中考数学专题 几何图形的归纳,猜想,证明问题

至善教育

讲义

学生姓名：王泽阳

授课老师：付老师

科目：初三数学

授课时间：18:00 —20:00

课次：第 6 次

教研组长：

教务主任签字：

实际时间： 5月 27 日

报名地点：萧山区北干街道工人路897号（新白马公寓旁）

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中考数学专题 几何图形的归纳,猜想,证明问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211

B D

C ∆的面积为1S ，322B

D C

∆的面积为2S ，…，1n n n

B D

C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．

D 4

D 3

D 2

D 1C 5C 4

C 3

C 2

C 1

B 5

B 4B 3B 2B 1A

…

…

【例2】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正

方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ，(0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数），则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n 的式子表示）．

-8

-448

O

D

C B

A

y x

【例3】如图，45AOB ∠=︒，过OA 上到点O 的距离分别为1357911...，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，

得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1

2

3

4

S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积

1S = ；观察图中的规律，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积n S = ．

B

A

...

1311975310

S 4

S 3S 2S 1

【例4】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，

A 2

B 2

C 2

D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．

y

x

O

D 1D 2

D 3

C 1

C 2

C 3B 1B 2B 3

A 3

A 2

A 1

1

23-1-2-3-3

-2-13

21

【例5】如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

【例6】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1

ABA ，再以等腰直

角三角形1

ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形1

1

A B

B ，……，如此作下去，若1OA OB ==，

则第n 个等腰直角三角形的面积n

S = ________（n 为正整数）.

B 2

B 1

A 1

B

O

A

【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找

出图形与图形之间的联系而已.对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变.最后根据这些联系列出通项去求解.在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了.这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握.

第二部分 发散思考

【思考1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，1B (0,1)，2B (0,3)，3

B (0,6)，

4B (0,10)，…，以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以

23B B 为对角线作第二个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第

三个正方形3334

A B C B ，…，如果所作正方形的对角线1n n B B +都在

y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象 限内（n ≥1，且n 为整数）．那么1

A 的纵坐标为 ；用n

的代数式表示n

A 的纵坐标： ．

【思考2】

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动， 第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1

P 处，接着跳到点1

P 关于y 轴

的对称点 2

P 处，第三次再跳到点2

P 关于原点的对称点处，…，

如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．

【思考3】

对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是 ，自然数n 2的分裂数中最大的数是 .

【思考4】

一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______

【思考5】

如图，将边长为)

,,,( 3212

1=+n n

的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中

心依次为A 1, A 2, A 3, ….①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；②若摆放前n （n 为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .

1 3

1 3 5

1

2

3

x

y

1

2 3 … A 4

A 2

A 3

A 1