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《因式分解》复习课件
《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
数学八年级下第四章《因式分解》复习课PPT
例2.把下列各式分解因式
⑴ 27m2n 9mn2 18mn
解： 原式 9mn(3m n 2)
公因式既可以是单 项式，也可以是多 项式，需要整体把 握。
⑵ 4b(1 b)3 2(b 1)2
解：原式 4b(1 b)3 2(1 b)2
2(1 b)22b(1 b) 1
2(1 b)2 (2b 2b2 1)
典例分析
例3.把下列各式分解因式
(m n)2 (m n)2 解 :原式 (m n) (m n)(m n) (m n)
2m 2n 4mn
(x y)2 10(x y) 25
解：原式 (x y 5)2
x2 3x 9 4
解：原式 (x 3)2 2
(2a b)2 8ab
整理得：xx
y y
24 40
解得：xy
32 8
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
典例分析
五：基于分解因式的整除问题
例8.利用分解因式说明： 257 512 能被120整除。
解：原式 527 512 (57 56 )(57 56 ) 56 6 56 4 120 511
知识回顾
• 1、举例说明什么是分解因式。 • 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ • 3、分解因式常用的方法有哪些？ • 4、试着画出本章的知识结构图。
知识结构图
整式乘法
互 为 逆 运 算
因式分解
方法
把一个多项式化成几个整式 的积的形式，这种变形叫做 把这个多项式分解因式。
如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提 公因式法。
A. y2 3y 4 y( y 3) 4 A选项没有化成几个整式的积的形式;
⑴ 27m2n 9mn2 18mn
解： 原式 9mn(3m n 2)
公因式既可以是单 项式，也可以是多 项式，需要整体把 握。
⑵ 4b(1 b)3 2(b 1)2
解：原式 4b(1 b)3 2(1 b)2
2(1 b)22b(1 b) 1
2(1 b)2 (2b 2b2 1)
典例分析
例3.把下列各式分解因式
(m n)2 (m n)2 解 :原式 (m n) (m n)(m n) (m n)
2m 2n 4mn
(x y)2 10(x y) 25
解：原式 (x y 5)2
x2 3x 9 4
解：原式 (x 3)2 2
(2a b)2 8ab
整理得：xx
y y
24 40
解得：xy
32 8
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
典例分析
五：基于分解因式的整除问题
例8.利用分解因式说明： 257 512 能被120整除。
解：原式 527 512 (57 56 )(57 56 ) 56 6 56 4 120 511
知识回顾
• 1、举例说明什么是分解因式。 • 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ • 3、分解因式常用的方法有哪些？ • 4、试着画出本章的知识结构图。
知识结构图
整式乘法
互 为 逆 运 算
因式分解
方法
把一个多项式化成几个整式 的积的形式，这种变形叫做 把这个多项式分解因式。
如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提 公因式法。
A. y2 3y 4 y( y 3) 4 A选项没有化成几个整式的积的形式;
运用完全平方公式进行因式分解一市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
（6） 16x4-8x2＋1 解： 原式 (4x2 )2 2 (4x2 ) 112 (4x2 1)2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2
一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
C、x1 2, x2 4 D、 x1 2, x2 4
2、假如方程 x 2 3x c 0 有一种根为1，
那么c= ，该方程旳另一根为
。
3、用合适旳措施解下列方程
（1）25y 2 16 0 （2）(x 2)2 3x 6
（3）(6y 5)(6y 5) 24 0（4）x2 2 5x 10 0
2、把小圆形场地旳半径增长5得到大圆形 场地，场地面积增长了一倍，求小 圆形场地旳半径。
画龙点睛:
归纳：用因式分解法解一元二次方程，将方程
化为形如：A· B=0旳形式，则A=0或B=0.（A、 B为整式）
（1）ma mb 0 m(a b) 0
则： m 0 或 a b 0
（2）m(a b) n(a b) 0 (a b)(m n) 0
变式1：解方程：x(x 2) x 2 0
解：因式分解，得：(x 2)(x 1) 0 于是得：(x 2) 0 或 (x 1) 0 ∴ x1 2 ； x2 1
相应练习：3x(x 1) 2(x 1)
变式2：解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得：4x 2 1 0
＆22.2.3一元二次方程旳解法 因式分解法
温故知新:
1、我们学习了解一元二次方程旳哪些措 施？ 直接开平措施、配措施、公式法
2、因式分解旳措施： （1）提公因式法：
ma mb mc _________
（2）公式法：
a 2 2ab b2 ___________ a 2 2ab b2 ___________
3、用合适旳措施解下列方程
（1）( y 2)( y 3) 0 （2） x 2 2x 0
（3） 7x 2 21
因式分解复习课(公开课)PPT课件
8
2.把下列各式分解因式：
2021
9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
2021
10
三、因式分解的应用
2021
11
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12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
3
1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的
形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解与整式乘法的关系：
因式分解与整式乘法互为逆变形 多项式 因式分解 几个整式的积
整式乘法
2021
4
1.下列各式从左到右的变形中，哪些 是因式分解？为什么？
(1)c(a b) ac bc
(2)(a b)2 a2 2ab b2
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
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课堂检测 1.把下列各式分解因式：
(1)4x2 16
(2)a4 2a2b2 b4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a2 b2 a b
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2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),则a=(-1 ),b=( -2 ).
(3)a2 b2 (a b)(a b)
(4)x2 1 y2 (x 1)( x 1) y2
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5
二、因式分解的方法
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公因式
提公因式法 找公因式
因
提公因式
式
分
解
的
方
第4课因式分解中考复习PPT课件
第4课 因式分解
知识点索引
要点梳理
基础知识·自主学习
4. 因式分解的应用 当实际问题中数值不够理想时，常利用因式分解的方 法转化为积的情势加强运算．如利用比差法进行大小 比较，可利用因式分解化成积的情势确定差的符号来 比较大小． 如：已知x、y为不相等的正数，比较x2(x－y)与y2(x －y)的大小．
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
【例 1】 (2013株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5) (x＋n)，则m＝____6____，n＝____1____． 解析 ∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n， ∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
第4课 因式分解
知识点索引
题型三 运用公式法分解因式
题型分类·深度剖析
变式训练3 (1)(2015杭州)分解因式：m3n－4mn＝ _m_n_(_m_＋__2_)_(_m_－__2_)_． 解析 分解因式m3n－4mn，先提取公因式mn后继续应 用平方差公式分解即可：m3n－4mn＝mn(m2－4)＝ mn(m (＋2)2()2(0m1－4淄2)博．)分解因式：8(a2＋1)－16a＝__8_(_a_－__1_)_2 _． 解析 分解因式8(a2＋1)－16a，先提取公因式8后继续 应用完全平方公式分解即可：8(a2＋1)－16a＝8(a2－2a ＋1)＝8(a－1)2.
∴n5＋ n＝5＝ 5，m，∴nm＝ ＝16.，
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
探究提高 熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将 一个多项式化成几个整式积的情势的恒等变形．本题考 查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
精选 《因式分解》完整版教学课件PPT
也可以是多项式.
步骤
确定公因式,可按系数大(最大公约数),字母同 (各项相同的字母),指数低(相同字母的指数取 次数最低的)的规律来取；
将各项的公因式提出来,并确定另一个因式；用
式子表示: ma mb mc m(a b c) .
教材原题: [八上P115 练习第 1 题]把下列各式分解因式: (1) ax ay a(x y) . (2) 3mx 6my 3m(x 2y) .
第 4 课时 因式分解
考点 1:因式分解的概念
概念 关系
把一个 多项式 化成几个整式的 积 的形
式.这样的式子变形叫做这个多项式的因式分 解,也叫把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法都是多项式的恒等变形,它 们互为逆运算.
教材原题: 下列各式是分解因式的是( C )
A. x2 3x 4 x(x 3) 4 B. 2(x y) 2x 2y C.1 4x 4x2 (1 2x)2 D. x2 y xy x(xy y)
.
点悟:有的因式分解不能一步到位,要分解到不能再
分解为止,有时还必需分解后再化简,或先化简后再 分解.
*考点 5:在实数范围内的因式分解
教材原题:
[八上P120 习题 14.3 第 11 题]在实数范围内分解因式:
(1) x2 2 ( x 2)( x 2) .
(2) 5x2 3 ( 5x 3)( 5x 3) .
2 4 1 9 32 6 8 1 49 72 1416 1 225 152 … 你能得出了什么结论?你能证明这个结论吗?
解:结论: (2n1 2) 2n1 1 (2n1 1)2 证明: (2n1 2) 2n1 1
(2n1 )2 2 2n1 1 (2n1 1)2 .
因式分解综合复习ppt课件
首选二项式平方差公式三项式完全平方公式四项式或四项以上分组分解法22或31注意
分解因式综合复习
1
知识点1：什么叫因式分解？ 把一个多项式写成几个整式的乘积的方式，叫做把这个多项式分解因式．
例 以下变形能否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x(x2 2) 1
C 2 x 2 2 y2 2( x 2 y2 ),
2
D x 2 x(1 )
x
2
E 18a3bc=3a2b·6ac
知识点2：分解因式与多项式乘法关系
mambmc
m(abc)
a2 b2 因 式 分 解 (ab)(ab)
a22abb2 整 式 乘 法 (a b ) 2
a22abb2
(a b)2
3.普通步骤 〔1〕确定应提取的公因式；
〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式。
5
例1 用提公因式法将以下各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
x3
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
+ (b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b) - (a-b)
=(a(-ab-)b()3x-2y) 把以下各式分解因式： 〔 x －y〕3 － 〔 x －y〕
(2)4p(1-q)3+2(q-1)2
6
因式分解的根本方法二:运用公式法 1 熟记公式及其特点 〔1〕平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) 〔2〕完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2
分解因式综合复习
1
知识点1：什么叫因式分解？ 把一个多项式写成几个整式的乘积的方式，叫做把这个多项式分解因式．
例 以下变形能否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x(x2 2) 1
C 2 x 2 2 y2 2( x 2 y2 ),
2
D x 2 x(1 )
x
2
E 18a3bc=3a2b·6ac
知识点2：分解因式与多项式乘法关系
mambmc
m(abc)
a2 b2 因 式 分 解 (ab)(ab)
a22abb2 整 式 乘 法 (a b ) 2
a22abb2
(a b)2
3.普通步骤 〔1〕确定应提取的公因式；
〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式。
5
例1 用提公因式法将以下各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
x3
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
+ (b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b) - (a-b)
=(a(-ab-)b()3x-2y) 把以下各式分解因式： 〔 x －y〕3 － 〔 x －y〕
(2)4p(1-q)3+2(q-1)2
6
因式分解的根本方法二:运用公式法 1 熟记公式及其特点 〔1〕平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) 〔2〕完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2
《因式分解》复习课北师大版八年级下全面版PPT课件
解：原式=(2x+y-1)2
⑺ x2y2+xy-12
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
(8) (x+1)(x+5）+4
解：原式=(xy-4)(xy+3)
解：原式=x2+6x+5+4
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=(x+3)2
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应用：
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（ ±140 ）
《分解因式》
复习课
2021/6/4
执教：肖兴兵
2008年4月29日
1
定义
方法
分解因式
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步骤 练习 小结
2
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫 做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
注：必须分解到每个多项式因式不能 再分解为止
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3
（二）分解因式的方法：
二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相 乘法分解。
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式是否
分解彻底
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9
把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
2、计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100·(-1)=-2100