复杂网络上疾病传播与免疫及动力学

0。把稳态感染
密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界 值） λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。
Ⅲ. 模型传播动力学方程
SIS模型传播方程
设s,i分别表示群体中S,I个体所占
的比例，则SIS传播的微分方程组为：
ds is i, dt di is i dt
3. 均匀网络中的SIS模型
Ⅰ. 均匀网络： Ⅱ. 解析模型
三个假设： ① 均匀混合假设：感染强度和感染个体密度 t 成比例。即： , 和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1， 因为这只影响疾病传播的时间尺度； ② 均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均 度<k>； ③ 规模不变假设：假设病毒的时间尺度远小于个体的生命周期， 即不考虑个体的出生和自然死亡
1. SIS模型在均匀网络中，存在一个传播临界值 c
当 c 时，疾病在时间演化过程中逐渐衰减，最终被灭；
当 时，疾病在时间演化过程中传播开来，并稳定于某 c ~ c 一 值（稳态感染密度）：
1பைடு நூலகம் 0。 k
c 2. SIS模型在SF网络中，传播临界值：
SIR模型传播方程 设s,i,r分别表示群体中S,I,R个体所占
的比例，则疾病传播的动力微分方程组为：
ds is dt di dr is ri, ri dt dt
注: (1) 传播网络是完全图，但实际网络中，只有接触才能被感染 (2) , 并不是对每个节点都一致，而是服从分布 Pi , Pj ， Newman对其进行了研究。
e
1/ m
1 m m
1/ m
me
1/ m
1 m
(me
m ) 1
1 1 1 e1/ m e1/ m ( ) 1/ m 1/ m (1 e1/ m )1 m e 1 m 1 e m
又因为
2m 2 kdk dk 2 Pk k 3 2m 2 m k mk 1 k 1 k k 1 dk 1 2 m 2 d k m k m k 1 k 2
复杂网络的传播机理与 动力学分析
张玉林2010.11.28
♦复杂网络中疾病传播与免疫
复杂网络的传播临界值理论 复杂网络的免疫策略与技术
复杂网络的传播临界值理论
主要内容:
1. 疾病传播的基本知识
2. SIS和SIR传播模型
3. 均匀网络中的SIS模型, WS模型为例进行解析
4.无标度网络中的SIS模型, BA模型为例进行解析
3. 熟人免疫与环状接种
1. 随机免疫（均匀免疫）
随机免疫与集中接种：将所有可能感染的种群集中起 来，按照某种概率随机选择种群中的个体进行接种。 （度大节点和度小节点是平等对待） 1992年，Anderson和May《人类传染病》， Oxford University Press SIS传播方式说明随机免疫
结论：对于SF（无标度）网络，节点度数具
有很大的浮动性，当 N ,导致 k 2 ， 从而 c 0 特别地，作为SF网络的一个典型例子，考虑 BA无标度网络。
BA无标度网络的传播临界值
BA无标度网络：(1) 增长特性，(2) 优先连接特性（富者更富， 或马太效应） 度分布 Pk 2m k ，平均度 k kPk dk 2m, 其中m是网络最小度 将平均度 k 2m ，度分布 Pk 2m k ，以及 k k 带入 1 k 1 kPk k ，可得：
k 0 2 k 只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一稳定
感染水平 值： ~ exp(1/ m ) ，这反映了无标度网络对 抵抗病毒的脆弱性。
报告内容
复杂网络的传播临界值理论 复杂网络的免疫策略与技术
免疫策略与技术
主要内容
1. 随机免疫与集中接种
2.目标免疫与优先免疫
d
即有：
(
kP （k） )| k 1+ k
k
0
1
1 d k kP （k） [ ( ) | 0] k k d 1+ k
（k） k kP
k
k
k 2P （k）
k
k
k2 1 k
k c k2

Ⅱ. 传播模型研究的主要参量
① 感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t) ρ(t)：传播过程中,感染节点总数占总节点数的比例。ρ：传播到稳态时
（t ）感染密度的值,称为稳态感染密度。
② 有效传播率λ(=/) λ非常小（很小，很大），传播达稳态时， 所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病 没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度 ρ =0。 反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节 点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围） ρ
2 3
m
2
3
2m 2 k k 3 1 k k 1+ k k ( ) kP （k） k k 1+ k 2m 1 1 m( ) . k k 1+ k
k
k
1 1 1 1 1 . . dk m k k 1+ k m k 1+ k 1 1 1 m ( )d ( k ) ln m k 1+ k m
SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但
免疫期是有限的，还会再次回到易染状态。（乙肝？）
疾病传播模型的描述
Ⅰ. 模型的传播规则：
① 初始时随机选择网络中一个或若干节点为染病节点（I），其 余为健康节点（S） ② 在每一个时间步t： 如果一个健康节点具有染病邻居，则它依某 个事先设定的概率变成染病节点，这一概率叫 做染病概率（β）；同时每一个染病节点都依 某个事先设定的痊愈概率（γ）变成健康节点。 ③ 在每个时间步，这些演化规则在整个网络中被并行地执行。 染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人， 因此，定义染病概率和痊愈概率的比值为有效传播率 并用这个参数综合地衡量疾病自身特征。
1. 疾病传播
I. 传染病：数理学家在研究传播行为时，往往并不区 别研究对象，他们把可以在网络中传播开来的东西 叫做传染病。 II. 在传播过程中，个体处于三个基本状态： (1) S(susceptible)—易感状态：不会传染他人，可能被 传染（也就是健康状态）
(2) I(infected) —感染状态：已患病，具有传染性
1/ m
1/ m
结论：
BA无标度网络在SIS模型下的 c 0; 只要有效传播率 λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一个稳定感染水 平 ，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性
BA网络中，疾病传播的时间演化 N=106，从下至上λ从0.05到0.065
WS网络与BA网络的比较
总结
(3) R(removed) —免疫状态：被治愈，具有免疫能力， 不具有传染能力，不会再次被感染（移除状态）
Ⅲ. 传染病模型
科学家通过用基本状态之间的相互转换来建立不同的传播模型：
SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还 可以再被感染）（感冒等） SIR模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不 会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传播网络中 被清除了）（天花等） SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）
波动性，定义一个相对感染密度 k (t )：度数为k的感染节点 数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密 度记为 k 。
平均感染密度： (t )= P(k )k (t )
k
稳态平均感染密度： = P(k )k
k
同样我们能采用MF理论来求 k (t ) 的变化率得:度为k的节点相对感 染密度的变化方程为：
当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0； t t k t 1 t 0
t
即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0 ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0； ρ（ρ- k ）=0；
1 1 当λ< k 时，ρ k 必大于0，所以ρ=0；
1
当λ
1 时，ρ= k


1 k
；
1 所以， k 即为临界传播值，记
c
1 = k 。
结论：
在均匀网络中存在一个有限的正的传播临界值λc。
如果有效传播率λ λc，则病毒可以在网络中传播
开来，并最终稳定于
c 1 c
,
此时称网络处于激活相态；
如果有效传播率λ<λc，病毒
感染个体数呈指数衰减，无法大
范围传播，最终将不能传播,
此时网络称为吸收相态。
4.无标度网络中的疾病传播
Pk ∝ k ； Ⅰ. 无标度网络：具有幂律度分布的网络，即：

网络中节点的度没有明显的特征长度
Ⅱ. 解析模型
无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的
1 1 2m ln1 m m
2
e1/ m 将( ) (1 e1/ m ) 1 代入上式中 m
化简后得：
2e e 1 1/ m （1） e 1/ m 1/ m 1 e 1 e ln
当λ=0时，有 0; 当λ>0时，有 0
1 k kP （k） （将 的值代入） k k 1+ k
k
s
回忆：传播临界值 c 必须满足的条件：当 c 时，可以得 到 的一个零解。当 c 时，可以得到 的一个非零解。
有一个平凡解
0
如果该方程要存在一个非零稳定解 0 ，需要满足如下条 件： d 1 k
k t k t k 1 k t t t
被感染个体以单位速率恢复健康 t ：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概率 单个感染节点产生的新感染节点的密度
根据稳态条件
k t 0 ，可得： t
下面我们计算 ( ) ：给定端点的一条边，其另一个端 点为染病节点的概率时，必须考虑到网络的非均匀性。 kP （ k） 任意一条给定边指向度为k的节点的概率为 sP ( s ) （与度为k节点关联的边数与总边数的比值） s kP （ k） k 则任意一条给定边指向度为k的感染节点的概率为 sP( s ) s 从而， kP （k）k kP （k）k ( ) k sP(s) k k
k k[1 k ]( ) 0;
传播达稳态时， t 记为
k ( ) k 1 k ( )
1
1 1 k
( (t )):给定一条边，这条边指向一个已感染节点的概率
此概率值不依赖于出发点的度，而仅于 (t ) 有关；并且趋于稳 态时， 又是λ的函数，因此趋于稳态时( (t )) 可以表示 为 ( ) 。 节点的度越高，被感染的概率越高
运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率
t t k t 1 t t
被感染节点以单位速率恢复健康 单个感染节点产生的新感染节点的平均密度，它与有效传 播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比 例，（其他的高阶校正项忽略了）。