变分法学习教材PPT课件
合集下载
数学物理方法变分法PPT学习教案
和
两点的
在附加条 件（）
第35页/共43页
和两个积 分 和附加条 件
例3 求 是归一化 的，即 解 本题 是求泛 函的条 件极值 问题， 可化为 变分问 题
对应的E-L 方程为 其通解为
的极值， 其中 ，且已知
第36页/共43页
代入附加 条件 得到 代入归一 化条件 得到
于是得到 ，故原极 值问题 的解为
三、 变分
定义： 变分
如果我们 将泛函 取极值 时的函 数（或 函数曲 线）定 义为
并定义与 函数曲 线
邻近的曲 线（或 略为变 形的
第11页/共43页
曲线）作 为比较 曲线， 记为
其中 选定函数 ，规定
函在极值 处连续 ．在研 究泛函 极值时 ，通常 将 而令
到泛函 就成为了 参数
是一个小 参数；
此即泛函 取极值 的必要 条件． 即泛函
必须是满 足泛函 的变分
的函数类
第22页/共43页
的极值函 数 ．因此，
把泛函的 极值问 题称为 变分问 题． 注明 ：E-L方 程是泛 函取极 值的必 要条件 ，而不 是充分 条件． 如果讨 论充分 条件， 则要计 算二阶 变分， 并考虑 其正、 负值,但 对于实 际问题 中，当 泛函具 有明确 的物理 涵义， 极值的 存在性 往往间 接地在 问题的 提法中 就可以 肯定， 所以极 值的存 在性是 不成问 题的， 只要解 出E-L 方程 ，就可以 得到泛 函的极 值．
由变分 法得到 的E-L方 程求解 ，一般 来说， 是很困 难的． 但在分析 力学中 往往还 是采用 这一办 法来求 解．因 为历史 悠 久，它自 有一套 办法．
（ii）近似 解 所谓近 似解即 由泛函 本身出 发，而 不需求 解E-L方 程，
有限元原理加权余量法和变分法PPT课件
第7页/共50页
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
第8页/共50页
• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
第13页/共50页
0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
第17页/共50页
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
第8页/共50页
• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
第13页/共50页
0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
第17页/共50页
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
变分法PPT
变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
课件_ch01变分法简介_v1
第三个变分问题：等周问题
在满足 x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 和条件
L(x (s ), y(s )) =
ò
s2
s1
ædx (s )ö ædy(s )ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 1+ç + ds = constant (a) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ds ds è ø è ø
注 1：有两个可以选取的函数 x = x (s ), y = y(s ) 注 2：也是边界已定的变分， x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 注 3： y = y(x ), z = z (x ) 之间必须满足的条件(a)也是一个泛函
1.2
变分的基本概念
变分原理 variational principle： 把一个物理学问题 （或其他学科的问 题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题。 如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的 某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束 条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 1964 年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日成子（ Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变 分原理的方法。 日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等 都是这方面的世界级大师。
这里假定 y(x ) 是在某一函数类（容许函数）中任意的改变。
2 微分与变分
所谓很小的改变量系指变量函数 y(x ) 与 y1(x ) 的接近程度。 当 dy = y1(x ) - y(x ) 的模很小 时，称 y(x ) 与 y1(x ) 有零阶接近度。当下面诸模都很小时
第十一变分法演示文稿
x
yz
y
fz
wmdxdydz
0
第22页，共57页。
由于 Am ,Bm ,Cm的任意性，它们的系数应当分别为零
于是得
x
x
xy
y
zx
z
fx
um dxdydz
0
y
y
yz
z
xy
x
f y vmdxdydz 0
z
z
zx
x
yz
y
fz wmdxdydz 0
u x
v y
w z
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
1 2
u z
w x
2
1 2
v x
u y
2
d
x
d
y
d
z
第8页，共57页。
§11-2
一 变分及其性质
位移变分方程
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么什么是变 分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示。变分具有以下的性质：
应用奥高公式，对上式中的第一项，我们有
x
x
udxdydz
x
xu dxdydz
x
x
udxdydz
l
xudS
x
x
udxdydz
第14页，共57页。
对于其余各项也进行同样的处理，则
V lx mxy nzx u m y n yz lxy v nz lzx m yz wdS
代入位移形变方程
fx u fy v fz w dxdydz fx u f y v fz w dS
yz
y
fz
wmdxdydz
0
第22页，共57页。
由于 Am ,Bm ,Cm的任意性，它们的系数应当分别为零
于是得
x
x
xy
y
zx
z
fx
um dxdydz
0
y
y
yz
z
xy
x
f y vmdxdydz 0
z
z
zx
x
yz
y
fz wmdxdydz 0
u x
v y
w z
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
1 2
u z
w x
2
1 2
v x
u y
2
d
x
d
y
d
z
第8页，共57页。
§11-2
一 变分及其性质
位移变分方程
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么什么是变 分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示。变分具有以下的性质：
应用奥高公式，对上式中的第一项，我们有
x
x
udxdydz
x
xu dxdydz
x
x
udxdydz
l
xudS
x
x
udxdydz
第14页，共57页。
对于其余各项也进行同样的处理，则
V lx mxy nzx u m y n yz lxy v nz lzx m yz wdS
代入位移形变方程
fx u fy v fz w dxdydz fx u f y v fz w dS
通俗简易讲解变分问题ppt课件-PPT课件
C
滚轮（半径为 2 ）沿 x 轴滚动的轨迹为旋轮 线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开 线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。
1
2. 等周问题—条件泛函极值
•
一块钢板围成什么曲面做成的半壁料 仓其容积最大。化成平面问题，定长直线 ，围成什么曲线使其所围面积最大。
' F ( x , y , y )dx ydx 条件： 0 1 y dx l ，泛函0 l
几个概念
• 泛函—函数的函数，表达式：
' F (x ,y ,y )d x称为变分；
F (x ,y , y' )d x；
泛函的极值条件。 Fxyy ( , , ) d x 0
'
几个实例
• 1. 最大速降问题 • 坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走 什么轨道（轨迹）。 ' dF • 根据欧拉方程 Fy' y 0 dx • 降阶欧拉方程（如果泛函不含x）
• 日本鹫津久一郎在1968年出版的《弹性和塑性 力学中的变分法》一书中，才比较明确地应用 了拉氏乘子法，但还有一些要点上不够明确， 如待定乘子通过泛函驻值条件来决定的观点还 没有反映。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C· 钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
y ( x ,) y ( x ) [ y ( xy ) ( x ) ] 0 0
式中， α为任意实数，易证曲线族 中的每条 曲线都属于容许曲线族。
滚轮（半径为 2 ）沿 x 轴滚动的轨迹为旋轮 线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开 线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。
1
2. 等周问题—条件泛函极值
•
一块钢板围成什么曲面做成的半壁料 仓其容积最大。化成平面问题，定长直线 ，围成什么曲线使其所围面积最大。
' F ( x , y , y )dx ydx 条件： 0 1 y dx l ，泛函0 l
几个概念
• 泛函—函数的函数，表达式：
' F (x ,y ,y )d x称为变分；
F (x ,y , y' )d x；
泛函的极值条件。 Fxyy ( , , ) d x 0
'
几个实例
• 1. 最大速降问题 • 坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走 什么轨道（轨迹）。 ' dF • 根据欧拉方程 Fy' y 0 dx • 降阶欧拉方程（如果泛函不含x）
• 日本鹫津久一郎在1968年出版的《弹性和塑性 力学中的变分法》一书中，才比较明确地应用 了拉氏乘子法，但还有一些要点上不够明确， 如待定乘子通过泛函驻值条件来决定的观点还 没有反映。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C· 钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
y ( x ,) y ( x ) [ y ( xy ) ( x ) ] 0 0
式中， α为任意实数，易证曲线族 中的每条 曲线都属于容许曲线族。
第三章变分法泛函极值问题ppt课件
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
因为这里讨论 x(t)是标量函数的情况，x(t0) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
tt0 f F xx F xx o (x )2 ,(x )2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
udvuvtt0f
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
xn (t)
x 1 ( t )
X
x
2
(
t
)
x
n
(
t
)
(3-9) (3-10)
泛函变分由（3-2）式改为
解 这是终端自由的情况。欧拉—拉格朗日方程为
d(2x3x2)0 dt
即
2x3x2 常数
于是 x 是常数，x则是时间的线性函数，令
x(t)A tB
由 x(0)0可得 B0，又终端是自由的，由式 （3-7）可得横截条件为
( F x )t1(2x 3x 2)t10
变分法PPT教学课件
主义道路上。今天的中国，是一个改革开放与和平崛
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
变分法求基态能量的步骤课件
相对于其他方法，变分法 具有更高的计算效率和精 度，能够处理更复杂的物 理系统。
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
数学物理方法-13-变分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
变分法旳优点:
(1) 变分法在物理上能够归纳定律．因为几乎全部旳自 然定律都能用变分原理旳形式予以体现；
(2) 变分法易于实现数学旳统一化．因为一般而言，数学 物理方程旳定解问题都能够转化为变分问题．尤其是前面 简介旳斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变 分法提供了施－刘型本征值问题旳本征函数系旳完备性等 结论旳证明；
E-L方程除了上面给出旳形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) F 不显含 x
且
F 0 x
因为
F F ( y, y),
d (F y F ) F y[F d (F )] y[F d (F )]
dx
y x y dx y
y dx y
若 y 0, E-L方程等价于
F y F c y
y(x) 旳泛函，而称 y(x) 为可取旳函数类，为泛函 T[ y(x)]
旳定义域。简朴地说，泛函就是函数旳函数（不是复合函数
旳那种含义）．
一般来说，设C是函数旳集合，B是实数或复数旳集合， 假如对于C旳任一元素 y(x) 在B中都有一种元素 J 与之相应， 则称 J 为 y(x) 旳泛函，记为
J J[ y(x)]
设 u(x, y) 为 x, y 旳二元函数，则
J
x2 x1
y2 y1
F
(
x,
y,
u,ux
,
u
y
)dxdy
u(x1, y) u(x2 , y) u(x, y1) u(x, y2 ) 0
与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
F F F ( ) ( )0
yi |xa 0,
yi |xb =0
(i 1, 2,, n)
则与此泛函极值问题相应旳E-L方程为
5.能量法1(变分法)ppt9.tmp
bx+dbx
b0
bx x
dx
vz
z = hx
vz ′ = vx hx → vx
z = hx
dhx dz ′ = hx = = dx dx
z vx hx dx
hx + dhx
流线微分方程
4 应变速率场
bx hx ′ ′ ′ ′ ∂vx U bx hx ɺ εx = =− + = −v x + ∂x cbx hx bx hx bx hx ∂v v v ∂v ɺ ɺ ′ ε y = y = x bx ε z = z = x hx' ∂y bx ∂z hx Uz 1 ∂v ∂v ɺ ε xz = z + x = 2 ∂x ∂z 2chx bx h′′ h′ b′ x− x x hx hx bx 2 hx ′ − 2 hx 2 bx ′ − 2 bx
2 小林速度场
U 1 vx = c hx bx
小林取
y z
φ = cbx(5.65) Nhomakorabea′ bx U 1 db x y = vx vy = bx c h x b x dx b x ′ hx U 1 dh x z vz = = vx c h x b x dx h x hx
ε xz = ε zy = 0
体积不变条件确定 a0
⑶ a 和工件外形的确定
∆h ∆h ⋅ l = ∫ u x dy → a0 = =ε 0 x =l h
h
ϕ =σs ∫
l
0 0
∫
h
ε dxdy + m
一阶变分 变分法PPT课件
(y) (y)
b a
F
x,
n i1
aiwi (x),
n i1
ai wi( x)
dx
(a1, a2,L
, an )
0 ai
( i=1,2, …,n )，解上述方程组来确定ai ,代回原式即可，n 为精确解
19
1.5.3 康托罗维奇法－化偏微分为常微分方程组
依赖多自变量的单自变函数的泛函
(1 21)
上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可
求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x) ，称间接解法.
其它欧拉方程形式为：
16
泛函形式
( y) x1 F(x, y, y, y,L , y(n) )dx x0
边界固定，依赖高阶导数的泛函
欧拉方程
d
d2
Fy dx Fy dx2 Fy L
(1)n
yn nyn1 y (u v) u v,
1
(uv) u v vu, (u v) (vu u v) / v2
2 变分号可由积分号外进入积分号内
x1 F(x, y, y)dx x1 F(x, y, y)dx
x0
x0
x1 ydx x1 ydx
x0
x0
(dy) d ( y)
3.0)
0
1
y3 12 (97 y2 188y3 4.5) 0
m个常微分方程组
y。 20
泛函解法综合例
例：求泛函 极值函数
[ y(x)]
1 0
(
y)2
y
2
2xy
dx,
y(0) y(1) 0
1.间接法： F d (F ) 0, 2 y 2x d 2 y 0, y y x 0; y(x) sin x x