第二章建模方讲义法示例--华东理工大学数学建模课件
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《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
第2讲 数学建模初等模型优秀课件
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
数学建模竞赛课件1-2
【分析】此问题涉及到两个方面：一是地面，如果太过于凹凸 不平（例如悬崖峭壁）显然是无法放平方凳的；二是方凳，其 四条腿应一样长，否则长短不一的四条凳腿你如何能将其放平？ 因此我们有必要对问题的前提作一合理的假定。其次，我们还 应寻找出一个变量，将这一实际问题转化为数学问题，注意到 三点共面，总有三个凳脚同时着地，我们可将四个凳脚与地面 的距离作为考虑的对象。
第二节
•机理分析 •测试分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。建模主要指机理分析
４．应用计算机解决数学问题的能力。计算机技术的飞速发展，为在现代 社会的各个领域中应用数学方法解决实际问题提供了工具与可能。有很多 问题尽管已经建立了数学模型，但是如果不用计算机还是无法解决的，或 者在短时间内是解决不了的，这就要求掌握一些常用的数学软件使用方法 以及基本的计算机编程能力．
５．洞察力。即能够从纷纭复杂的现象中迅速抓住问题的关键所在，去伪存 真，去粗存精，找到建立模型的方法与途径，当然，这是建立在充分占有资 料的基础之上的。洞察力不是在短时期内可以学会的，它必须经过持之以恒 的建模实践而逐渐形成，是我们努力的目标．
似乎条件不够哦 。。
换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻
子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他
就不会提前回家了。提前的10分钟时间从何而来？
显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会
合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到
回归模型华东理工大学数学建模课件
数学建模
i
i
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
yi a bxi i (i 1, 2,n)
…………….(2)
称(2)为一元线性回归模型. “一元”是指只有一个自变量X,这个自变量X 是引起因变量Y变化的部分原因. “线性”它一方面指因变量Y与自变量X之间 2 为线性关系,即 y y
息技术系
数学建模
ˆ ˆ bx ya
模型的参数最小二乘估计
问题：设x与y之间的线性关系为（１）式，如何由 一组统计值（xi,yi）,i=1,2…n.来建立起y与x之间的 线性统计模型（线性回归方程）。 ˆ 尽可能 ˆ ，使直线 y a ˆ bx 如何确定参数 a ˆ, b 靠近所有的点（xi,yi）。 即如何去寻找拟合散布点的直线？拟合一条直线的 准则是什么？
(i j; i, j 1, 2,, n)
数学建模
i
2 (3) 误差项 的方差与 n 无关 , 为一常数 . 即 var( i ) E (( i E ( i )) ) 2 2 2019/1/16 E (东华理工学院数信学院信 ) i i (i 1, 2, , n) 息技术系
数学建模
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
另一方面也指因变量Y与参数a,b之间为线性 关系,即
x
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
y y y y 1, 2 0; x, 2 0 a a b b
2 2
数学建模
b,
x
2
0
模型假设条件
(1)误差项 i 的数学期望(均值)为零.即 E( i ) 0(i 1, 2,, n) (2)不同的误差项 i 和 j 之间互相独立. 即 cov( i , j ) E(( i E( i ))( j E( j ))) 0
i
i
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
yi a bxi i (i 1, 2,n)
…………….(2)
称(2)为一元线性回归模型. “一元”是指只有一个自变量X,这个自变量X 是引起因变量Y变化的部分原因. “线性”它一方面指因变量Y与自变量X之间 2 为线性关系,即 y y
息技术系
数学建模
ˆ ˆ bx ya
模型的参数最小二乘估计
问题：设x与y之间的线性关系为（１）式，如何由 一组统计值（xi,yi）,i=1,2…n.来建立起y与x之间的 线性统计模型（线性回归方程）。 ˆ 尽可能 ˆ ，使直线 y a ˆ bx 如何确定参数 a ˆ, b 靠近所有的点（xi,yi）。 即如何去寻找拟合散布点的直线？拟合一条直线的 准则是什么？
(i j; i, j 1, 2,, n)
数学建模
i
2 (3) 误差项 的方差与 n 无关 , 为一常数 . 即 var( i ) E (( i E ( i )) ) 2 2 2019/1/16 E (东华理工学院数信学院信 ) i i (i 1, 2, , n) 息技术系
数学建模
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
另一方面也指因变量Y与参数a,b之间为线性 关系,即
x
2019/1/16东华理工学院数信学院信 息技术系
y y y y 1, 2 0; x, 2 0 a a b b
2 2
数学建模
b,
x
2
0
模型假设条件
(1)误差项 i 的数学期望(均值)为零.即 E( i ) 0(i 1, 2,, n) (2)不同的误差项 i 和 j 之间互相独立. 即 cov( i , j ) E(( i E( i ))( j E( j ))) 0
数学建模过程PPT课件
第13页/共39页
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
3 42 Q3 1(1 1) 578
1 0 32 Q1 3(3 1) 888.4
6 32 Q2 2(2 1) 661.5
3 42 Q3 1(1 1) 578
甲1 乙1 丙1
4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 5 8 12 14 18 9 15 21
甲：11，乙：6，丙：4
第24页/共39页
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
第25页/共39页
d’Hondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从 所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来 自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
第2页/共39页
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
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为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
3 42 Q3 1(1 1) 578
1 0 32 Q1 3(3 1) 888.4
6 32 Q2 2(2 1) 661.5
3 42 Q3 1(1 1) 578
甲1 乙1 丙1
4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 5 8 12 14 18 9 15 21
甲：11，乙：6，丙：4
第24页/共39页
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
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d’Hondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从 所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来 自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
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模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
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第二章 数学模型ppt课件
2.1.2 控制系统微分方程的列写
1．机械系统 任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械 系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量、弹性和阻 尼三个要素来描述。 (1) 机械平移系统 图2.1所示为常见的质量 - 弹簧 - 阻尼系统，图中的 m 、 K 、B分别表示质量、弹簧刚度和粘性阻尼系数。以系统在静 止平衡时的那一点为零点，即平衡工作点，这样的零位选择消除 了重力的影响。设系统的输入量为外作用力 fi t ，输出量为质 量块的位移 xo (t ) 。现研究外力 fi t 与位移 xo (t ) 之间的关系。 在输入力 fi t 的作用下，质量块 m将有加速度，从而产 生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻 t 。这两个力反馈作用于质量块上，影 尼力 fBt 和弹性力 fK 响输入 fi t 的作用效果，从而使质量块的速度和位移随时间发
建模，即依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论 推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解 析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。
2.1 控制系统的运动微分方程 2.1.1 建立数学模型的一般步骤
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： (1)分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统 和各元件的输入、输出量。 (2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各 变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分 方程。 (3)消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变 量之间关系的微分方程。 (4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与 输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。
2.5.2 非线性数学模型的线性化 2.5.3 系统线性化微分方程的建立
数学建模讲座PPT课件
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20公里）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
s1
d1
评注和思考
0sn+1 1
2
3x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要
人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四
型 假
数学建模第二章课件
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
数学建模概论PPT课件
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20
数学建模的六个环节
六个环节各自的含义
（5）讨论和验证：根据模型求解的结果，讨论得到的解是 否和情况相符。模型的各个环节都可能影响模型的结果，例 如假设是否合适，归结为数学问题时推理是否正确，求解所 用的方法是否恰当，数据是否满足一定的精确度要求等等， 都应该在讨论的范围之内。
数学建模理论与实践
—— 数学建模概论
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1
本讲主要内容
数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
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2
数学建模的基本含义 数学建模的六个环节 数学建模的学习建议
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3
数学建模的含义
数学模型的起源
1980年4月，美国数学教师协会（NCTM）公布了一份指 导80年代学校数学教育的纲领性文件《关于行动的议程》。 该文件指出：“80年代的数学教育大纲，应当在各年级都介 绍数学的应用，把学生引进到问题解决中去”；“数学课程 应当围绕问题解决来组织，数学教师应当创造一种使问题解 决得以蓬勃发展的课堂环境。” “必须把问题解决作为学校数学教育的核心”。
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9
数学建模的含义
数学建模是一个“迭代”的过 程
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10
数学建模的含义
传统的应用题与数学建模的关系
当前应用题教学的主要变化趋势是：问题的来源更生活化， 更贴近实际；条件和结论更模糊；可用信息和最终结论更有 待学生自己去挖掘；数据量或信息量趋于海量。因此，当前 应用题教学的发展趋势是逐步向数学建模过渡。数学建模要 从应用做起，从应用题的改革做起。
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11
数学建模的含义
一个简单的实例
建模方法示例--华东理工大学数学建模课件.ppt
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
定义 Qi
2 pi
否则, 该席给B
ni (ni 1)
, i 1,2, 该席给Q值较大的一方
2 pi
推广到m方 分配席位
2019/4/24
计算 Qi
ni (ni 1)
, i 1,2， , m
该席给Q值最大的一方 数学建模
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
2019/4/24 数学建模
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
2019/4/24
计数器读数是均匀增长的吗？
p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低! 数学建模
2019/4/24
“公平”分配方 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
数学建模简明教程课件：数学模型概论
AC与BD的位置互换，故有
2
f
2
0，
g
2
0
h(θ)＝f(θ)－g(θ)，显然有
h(0) 0，
h
π 2
0
26
h(θ)是连续函数，由连续函数的介值定理，存在
0
0,
π 2
，使得h(θ0)＝0.又由于f(θ)·g(θ)＝0，所以有
f(θ0)＝g(θ0)＝0.
就是说，存在θ0方向，使得四条腿能同时着地.因此问题
3
要用数学方法解决这些实际问题，就必须架设实际问题与数 学之间的桥梁，将实际问题转化为一个相应的数学问题，然 后对这个数学问题进行分析和计算，最后用所得的结果来解 答实际问题.
日常生活中，我们参观展览会、博览会，看到精美的汽 车模型、建筑模型、火箭模型、飞机模型、人造卫星模型等， 这些是反映实物形态的直观模型.在我们每个人的头脑中也 存储着不少模型，如认识的人的形象、社会活动规范、某项 技术方法等，这些是供人们思维决策的抽象模型.数学模型 这个概念并不是新名词，
白箱是指可以用像力学、电路理论等一些机理(指数量 关系方面)清楚的学科来描述的现象，其中需要研究的主要 内容是优化设计和控制方面的问题.灰箱主要是指应用领域 中机理尚不清楚的现象，对于这类问题，在建立和改善模型 方面还有许多工作要做.至于黑箱，主要包括的是在应用领 域中一些机理完全不清楚的现象.
8
(3)按照数学模型的结构可分为分析的模型、非分析的 模型和图论的模型.
10
1.2 数学建模的方法与步骤
在了解了数学模型的概念之后，如何建立数学模型，是 本教程的核心，本节我们给出建立数学模型的一般方法和步 骤.
11
1.Байду номын сангаас确问题
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
数学建模课程教学ppt
2 •• • •
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
以行星为坐标原点建立活动架标， 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er = cosθ i + sinθ j , eθ = − sinθ • i + cosθ j • 由于2r w+ r w = 0 •• 因此得出
a = ( r − rw )er
2
再将椭圆方程 两边微分两次， 两边微分两次，得
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
也就是说行星的加速度为
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 人口模型、 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等 流模型、 济模型、
§1.4 数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 后，就在国际性的竞 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 赛（美国大学生数学 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 建模竞赛） 建模竞赛）中交出了 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 非常出色的研究论文， 非常出色的研究论文， 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 夺得了特等奖兼 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 INFORMS奖 INFORMS奖2项（1999 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 2003年各一项 年各一项）、 年、2003年各一项）、 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 22项一等奖 18项二 项一等奖、 22项一等奖、18项二 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 等奖的好成绩。 等奖的好成绩。 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
建立数学模型 (2)优秀课件
1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力 4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力 6）团结协作的精神
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
建立数学模型
序言 一、现状：数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬 间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程， 随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞 赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得 到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术 特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计 算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟 通。二是社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后 要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。
建立变量能满足 的微分方程
｛ m d v ( t ) mg kv dt v |t 0 0
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等 提示我们注意什么量在变化(连续).
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
建立数学模型
序言 一、现状：数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬 间辐射至全球大部分国家和地区。 80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程， 随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞 赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得 到重视，也深受广大学生的喜爱。原因：一是由于新技术 特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计 算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟 通。二是社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后 要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。
建立变量能满足 的微分方程
｛ m d v ( t ) mg kv dt v |t 0 0
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等 提示我们注意什么量在变化(连续).
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数.
常 用建 微立 分方 方法 程
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
机理分析建模法
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
数学建模简明教程课件-第1-2章
第1章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。
生物、医学、军事、社会、经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简称数学建模，数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。
从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。
没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。
1.1 数学模型与数学建模1.1.1 模型的概念在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。
模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：1.它是客观事物的一种模仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
2.为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。
此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。
有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。
对我们来说，最感兴趣的是数学模型。
与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型（原始参照物）。
所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。
而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当地简化、提炼而构造的一种原型替代物。
数学建模培训精品课件ppt
03
数学建模基础知识
代数基础
代数基本概念：定义、性质、 分类等
代数运算：加法、减法、乘法、 除法等
代数方程：一元一次方程、一 元二次方程等
代数不等式：一元一次不等式、 一元二次不等式等
几何基础
空间点、线、 面
方向导数与梯 度
欧几里得距离 公式
曲线和曲面的 切线与法平面
概率统计基础
概率论基本概念：事件、概率、 独立性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
数学建模是一种将数学语言应用 于实际问题的过程
数学建模是一种将数学模型应用 于实际问题的过程
数学建模的应用领域
工程科学：机械工程、电子 工程、土木工程、化学工程 等
自然科学：物理学、化学、 生物学、地球科学等
社会科学：经济学、社会学、 政治学、历史学等
医学与健康：生物医学、临 床医学、预防医学等
数学建模培训精品 课件ppt
单击此处添加副标题
汇报人：XXX
目录
添加目录项标题 数学建模基础知识 数学建模案例分析 数学建模培训总结与展望
数学建模概述 数学建模方法与技巧 数学建模实践项目
01
添加章节标题
02
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模是一种用数学方法解决 实际问题的手段
数学建模是一种将实际问题抽象 为数学模型的过程
统计推断方法：参数估计和假设 检验
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
随机变量及其分布：离散型和连 续型随机变量
回归分析：线性回归和非线性回 归模型
微积分基础
导数与微分
积分
微积分的应用
微积分与数学 建模的联系
数学建模方法ppt课件
微
了很大作用。
分
方
应用实例：
程 模
单种群模型(Malthus Logistic )
型
两种群模型
传染病模型（SI SIS SIR）
作战模型
商品销售模型
回归分析是研究变量间统计规律的方法，属于”黑 箱“建模中常用的方法，根据自变量的数值和变化， 估计和预测因变量的相应数值和变化。有线性回归和 非线性回归。
点击添加文本
)点b2击添加文本
ax1m,1x点x21 ,击添a,m加x2nx文2本0 amnxn (, )bn
点击添加文本
建模步骤：
1.建立模型：找出目标函数及相应的限定条件
2.模型的求解：可利用Lin点go击软添件加进文行本求解模型。
3.结果分析
4.灵敏度分析：改变个别相关系数观察最优解是否会
min{D( p, k), D(q, k)}
点击添加文本
点击添加文本
步骤4：重复步骤2和步骤3，直至满足聚类为止。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性与模 糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性， 而又具有模糊性量的变化规律的一种数学方法。
模
点击添加文本
糊
数 学
原理关键词： 模糊集 隶属函数 模糊关系 模糊矩阵
yi 0 1xi1 2 xi2 p xip , i 1,2,, n
其中， i 是随机误差，相互独立且满足E(i ) 0, var(i ) 2
一般非线性模型的形式： 其中， f 是一般的非线性函数， 是 p维参数向量， 是一随机 误差变量，E( ) 0, var( ) 2
，把 Gp 和 Gq 合并
步骤3：计算新类与其他类的距离 点击添加文本
D(r, k) min{d (r, k) r Gr , k Gk , k r} min{d ( j, k) j Gp Gq , k Gk , k j}
第二章建模方法示例--华东理工大学数学建模课件
虽二者的绝对 不公平度相同
2020/8/16
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
数学建模
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
i 1,2，, m
2020/8/16 该席给Q值最大的一数学方建模 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
2020/8/16
数学建模
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
要求
2020/8/16
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
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1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
（设v,k,w ,r为已知参数）
数学建模
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
24.01.2021
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
数学建模
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
24.01.2021
数学建模
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
12 03
623
324
Q 11 0 1 1 9.4 6 ,Q 26 7 9.5 4 ,Q 33 4 9.3 6
Q1最大，第20席给甲系
第21席
1023 Q1111280.4, Q2, Q3同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分2配4.0结1.20果21
24.01.2021
数学建模
右轮转速不是常数
模型假设
பைடு நூலகம்
• 录像带的运动速度是常数 v ；
• 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；
• 空右轮盘半径记作 r ；
• 时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的
24.01.2021
建立时间t与读数n之间的关系
Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
24.01.2021
数学建模
2.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
甲系11席，乙系6席，丙系4
席
数学建模
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则 已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
精品
第二章建模方法示例--华东 理工大学数学建模课件
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
定义
Qi
pi2 , ni(ni 1)
i 1,2,
该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算 Qi ni(npii21), i1,2，,m
24.01.2021 该席给Q值最大的一数学方建模 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
p1/n1p2/n2 p2/n2
rA(n1,n2)~
对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0
24.01.2021
2数0学.0建模
20
21.000 21
“公平”分配方 法 人数 席位
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
24.01.2021
数学建模
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2(n21) n1(n11) 否则, 该席给B
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
24.01.2021
数学建模
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2)
3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1)
问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
要求
24.01.2021
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
数学建模
观察 计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数