《圆的一般方程》PPT课件
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圆的一般方程ppt课件
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2《圆的一般式方程》课件1.ppt
力
1 a 则a的取值范围是 _____ 2
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(3)圆x 2 y 2 8 x 10 y F 0与x轴相 提
升 切, 则F ______, 这个圆截y轴所得的弦 16 长是 ___ 6
题意可知，圆的方程 解法1：
可化为：
解法2：图象法
y
( x 4) ( y 5) 25
2 2
A C (- 4,5)
E B x
展开得
r=5
x y 8x 10y 16 0
2
2
D(- 4,0) o
则
F =16
|BC| =5, |CE| =4
令x=0 , 可得 y=2 或 y=8 所以 |AB| =6
则 |BE| =3, |AB| =6
把点(5,1)代入方程, 得r 13,
2
故所求圆的方程为: ( x 8) ( y 3) 13
2 2
[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解 . . 例2：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程
[说明]：本节课用到的数学方法和数学思想:
①数学方法: (i)配方法 (求圆心和半径)
(ii)待定系数法 (求D,E,F)
②数学思想: (ⅰ) 分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (ⅲ)数形结合的思想.
[作业]: 课本P102 5、6、7
4、
2 y 2 Dx Ey F 0 x
[复习回顾]:
圆的标准方程的形式是怎样的？
1 a 则a的取值范围是 _____ 2
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(3)圆x 2 y 2 8 x 10 y F 0与x轴相 提
升 切, 则F ______, 这个圆截y轴所得的弦 16 长是 ___ 6
题意可知，圆的方程 解法1：
可化为：
解法2：图象法
y
( x 4) ( y 5) 25
2 2
A C (- 4,5)
E B x
展开得
r=5
x y 8x 10y 16 0
2
2
D(- 4,0) o
则
F =16
|BC| =5, |CE| =4
令x=0 , 可得 y=2 或 y=8 所以 |AB| =6
则 |BE| =3, |AB| =6
把点(5,1)代入方程, 得r 13,
2
故所求圆的方程为: ( x 8) ( y 3) 13
2 2
[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解 . . 例2：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程
[说明]：本节课用到的数学方法和数学思想:
①数学方法: (i)配方法 (求圆心和半径)
(ii)待定系数法 (求D,E,F)
②数学思想: (ⅰ) 分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (ⅲ)数形结合的思想.
[作业]: 课本P102 5、6、7
4、
2 y 2 Dx Ey F 0 x
[复习回顾]:
圆的标准方程的形式是怎样的？
圆的一般方程ppt课件
标准方程：x a2 y b2 r2
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的一般方程ppt课件
( − ) +( − ) =
点 在圆外
| | >
( − ) +( − ) >
点 在圆内
| | <
( − ) +( − ) <
圆的标准方程的方法：
（1）几何法，数形结合
（2）待定系数法，计算上必须仔细。
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中
,半径长为
8
2 4
8
课本P88 习题2.4
3.已知圆 C 经过原点和点 A 2,1 ，并且圆心在直线 l : x 2 y 1 0 上，求圆 C 的标准方程．
【详解】设圆 C 的标准方程为 x a y b r 2 ，
2
2
6
a
0 a 2 0 b 2 r 2
课本P88 练习
3.如图，在四边形 ABCD 中， AB 6 ， CD 3 ，且 AB / /CD ， AD BC ，AB 与 CD 间的距
离为 3．求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
3
【详解】由题意可知 A (-3,0),B (3,0),C ,3 设所求圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0 ,
+ + + + = ()
+
+ +
=
+ −
()
当2 + 2 − 4 > 0时，比较方程(2)和圆的标准方程，可以看出方程(1)
圆的一般方程ppt课件
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
01 圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
配方
展开
标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
【典例】已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0),求△ABC外接圆的方 程.
将 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 左边配方，得
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2为圆心,以r=为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 (- D , - E ) ；
22
D2 + E2 - 4F 2
方法一： 几何方法
方法二： 待定系数法
y
A(4,3)
B(5,2)
0 C(1,0)
x
设圆的方程为x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
已知过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)
半径：圆心 到圆上一点
圆心：两条弦的中垂 线的交点
圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
1．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( )
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
01 圆的一般方程
思考： 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表 示的曲线是圆呢？
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
人教版高中数学第四章 圆的一般方程(共13张PPT)教育课件
凡事 都 是多 棱 镜， 不 同的 角 度会
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，让 得 失利 弊 犹如 花 开花 谢 那样 自 然， 不 计较 ， 也不 刻意 执 着； 让 生命 中 各种 的 喜怒 哀 乐， 就 像风 儿 一样 ， 来了 ， 不管 是 清风 拂 面， 还 是寒 风 凛冽 ， 都报 以 自然 的微 笑 ，坦 然 的接 受 命运 的 馈赠 ， 把是 非 曲折 ， 都当 作 是人 生 的定
《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
圆的一般方程课件
(4) x2+y2=0
不是
第5页/共11页
探究：圆的一般方程与圆的标准方程 在应用上的比较 例1 求圆心为C（5，-1）,过点P(8，-3)
的圆的方程.
例2 求过三点A(5，1)、B(7，-3)、C(2，-8) 的圆的方程.
第6页/共11页
求圆的方程时，关于圆的方程形式的选择： 1.由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 列有关圆心和半径的方程时，一般采用圆 的标准方程； 2.已知条件与圆心坐标、半径无直接关系 时，一般采用圆的一般方程。
探究：圆的一般方程
1、若把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开 后，会得出怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
即 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式
2、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定 是圆吗？
第2页/共11页
问：你能将下列展开式配方成平方 的形式吗？
3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表 示圆的一般方程
第4页/共11页
练一练：判断以下方程是不是圆的方程，若是， 则求出圆心和半径。
(1) x2+y2-2x=0
是 圆心为(1,0) 半径为1
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心为(3,-1) 半径为 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
第7页/共11页
练习：
1.已知两点A(4,9)、B(6,3), 求以AB为直 径的圆的方程. 2.求经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上的圆的方程．
第8页/共11页
课堂小结:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
圆的一般方程(共25张PPT)
2 2
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
栏目 导引
第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
栏目 导引
第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
栏目 导引
第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
栏目 导引
第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
2.4.2圆的一般方程-(人教A版选择性必修第一册)课件
的标准方程吗？
例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6=0，请检验其能否变形为
圆的标准方程.
对方程x2+y2-2x-4y+6=0进行配方，得
(x-1)2+(y-2)2=-1，
任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方
程不表示任何图形.
所以，形如(1)的方程不一定都能通过恒等变形变为圆的
=
所以，圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，
圆心为(4,-3)，半径为5.
·小结·
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
(3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程.
点M0(x0,y0)在圆C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0内的条
M
O
A
得x0=2x，y0=2y
因为点A在圆x2+y2-8x=0上，
所以有x02+y02-8x0=0，所以有 (2x)2+(2y)2-8·2x=0,
整理得(x-2)2+y2=4（x≠0,y≠0）,这就是点M的轨迹方程，
它表示去掉点(0,0)的，以(2,0)为圆心，半径为2的圆.
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0
整理得( − ) +( − ) = ，这就是点M的轨迹方程，
它表示以( , )为圆心，半径为1的圆.
x
·小结·
求轨迹方程的一般步骤：
例如，对于方程x2+y2-2x-4y+6=0，请检验其能否变形为
圆的标准方程.
对方程x2+y2-2x-4y+6=0进行配方，得
(x-1)2+(y-2)2=-1，
任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方
程不表示任何图形.
所以，形如(1)的方程不一定都能通过恒等变形变为圆的
=
所以，圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，
圆心为(4,-3)，半径为5.
·小结·
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
(3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程.
点M0(x0,y0)在圆C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0内的条
M
O
A
得x0=2x，y0=2y
因为点A在圆x2+y2-8x=0上，
所以有x02+y02-8x0=0，所以有 (2x)2+(2y)2-8·2x=0,
整理得(x-2)2+y2=4（x≠0,y≠0）,这就是点M的轨迹方程，
它表示去掉点(0,0)的，以(2,0)为圆心，半径为2的圆.
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0
整理得( − ) +( − ) = ，这就是点M的轨迹方程，
它表示以( , )为圆心，半径为1的圆.
x
·小结·
求轨迹方程的一般步骤：