傅里叶变换及其在图像处理中的应用

傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用

王家硕 学号：1252015

一、 Fourier 变换

1. 一维连续傅里叶变换

设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。

则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰

+∞

∞

--==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ

ωd e f t F f t f t j ⎰

∞

+∞

---=

=)(21)]([)(1

，

式中：1-=

j ，ω 为频域变量。

f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成

F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1)

式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式：

式中：

F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。

2. 二维连续傅里叶变换

如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞<⎰⎰

+∞

∞

-dxdy y x f |),(，且F (u , v )是可积的，

则二维连续傅里叶变换对可表示为：

dt e y x f v u F t j ⎰

⎰+∞

∞

--+∞∞

-=

ω),(),(

dt e v u F y x F t j ⎰

⎰

∞

+∞

-∞

+∞

-=

ω),(),(

对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是

对应于y 轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：

3.一维离散傅里叶变换

对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采样N个，则这个离散序列可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。则其离散傅里叶变换F(u)为：

离散傅里叶反变换（IDFT）为：

式中：x = 0, 1, 2, , N -1。

令，则上述公式变成：

4.二维离散傅里叶变换

二维离散傅里叶变换：

二、傅里叶变换在图像处理中的应用

傅立叶变换在图像处理中有非常重要的作用，被广泛应用于图像增强与图像去噪、图像分割之边缘检测、图像特征提取（形状、纹理）、图像压缩等方面。

1.基于傅里叶变换的图像增强

在图像处理中，图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息。高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过。低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过。

图像频域滤波增强技术是在频率域空间对图像进行滤波，因此需要将图像从空间域通过傅里叶变换频率域，具体操作如下：

假定原图像f(x,y)，经傅里叶变换为F(u,v)，频率域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅里叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面的流程描述：

（１）对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换得到F(u,v)；

（２）将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到g(u,v)；

（３）将g(u,v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x,y)。

频域滤波的核心在于如何确定传递函数，即H(u,v)。常用的频率域低通滤波器H(u,v)有4种。理想低通滤波器、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。

2.图像增强MatLab实现

clear all;

I1=imread('cameraman.tif'); %转载图像

fftI1=fft2(I1); %二维离散傅立叶变换

sfftI1=fftshift(fftI1); %直流分量移到频谱中心

RR1=real(sfftI1); %取傅立叶变换的实部

II1=imag(sfftI1); %取傅立叶变换的虚部

A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2); %计算频谱幅值

A1=(A1-min(min(A1)))/(max(max(A1))-min(min(A1)))*225;%归一化

subplot(3,2,2);imshow(A1); %显示原图像的频谱

figure,imshow(I1,[]); %把图像显示出来

% I1=imnoise(I1,'salt & pepper');

% figure,imshow(I1);

snoise=0.1*randn(size(I1));

I1=imadd(I1,im2uint8(snoise)); % 受随机噪声干扰

figure,imshow(I1); %显示噪声图像

f=double(I1); %图像存储类型转换

g=fft2(f); %傅立叶变换

g=fftshift(g); %转换数据矩阵

[N1,N2]=size(g); %测量图像尺寸参数

n=2;

d0=50;

n1=fix(N1/2);

n2=fix(N2/2);

for i=1:N1

for j=1:N2

d=sqrt((i-n1)^+(j-n2)^2)

h=1/(1+0.414*(d/d0)^(2*n)); %计算Butterworth低通转换函数 result(i,j)=h*g(i,j);

end

end

result=ifftshift(result);

X2=ifft2(result);

X3=uint8(real(X2));

figure,imshow(X3) % 显示频域增强后的图像

3.运行结果