教育统计学第四章 差 异 量

差异系数的计算公式为： 差异系数的计算公式为：
cv =
σx
x
× 100%
例1 某学校一年级学生体重与身高情况 如下述资料表： 如下述资料表：
表4-3 某学校一年级学生体重与身高情况资料表
平均数 体重 身高 21.40公斤 公斤 125.85cm
标准差 2.19公斤 公斤 4.67cm
计算差异系数： 解 计算差异系数：
第四章 差 异 量
差异量就是反映一组数据离中趋势的 差异量就是反映一组数据离中趋势的 量数， 量数，它概括地描述了数据之间的离散程 度和变异程度 离中趋势是指一组数据中的数常具有 离中趋势是指一组数据中的数常具有 偏离中心位置的趋势 集中趋势和离中趋势是次数分布的两 个基本特征 常用的差异量有平均差、方差、 常用的差异量有平均差、方差、标 准差和差异系数等。 准差和差异系数等。
三、集中量和差异量的关系
差异量越大， 差异量越大，说明数据组中数据的离 散程度越大，集中量的代表性越差； 散程度越大，集中量的代表性越差；而差 异量越小， 异量越小，说明数据组中的数据的离散程 度越小，那么集中量的代表性就越强。 度越小，那么集中量的代表性就越强。
第三节 差异系数
差异系数指的是标准差与算术平均数的百分 差异系数指的是标准差与算术平均数的百分 它是没有单位的相对数，用符号cv表示 表示。 比，它是没有单位的相对数，用符号 表示。
2、数据组中每一个数据都乘上同一个 、 常数后， 常数后，该数据组的标准差为原数据组标准 差乘这个常数。 差乘这个常数。 3、数据组 x1 , x2 ,L , xn 的标准差为 σ x 、 则数据组 y1 = bx1 + c, y2 = bx2 + c,L , yn = bxn + c 的标 准差仍为 bσ x 。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：
σ =
2 x
∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2
σx =
∑fx
N
2 i i
∑fx
N
i i

2
二、标准差的性质
1、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 该数组的标准差不变。 该数组的标准差不变。
组中值与 频数之积 199 283.5 358 591.5 874.5 968.5 625.5 322.5 119 4342
组别 979287827772676257总和
组中值 99.5 94.5 89.5 84.5 79.5 74.5 69.5 64.5 59.5
次数 2 3 4 7 11 13 9 5 2 56
σ =
2 x
∑ (x
2 i
i
− x)
2
n
σ =
2 x
∑x
n
−
∑x
n
i

2
• 例1 求数据组{52，62，74，45，50， 71，81，85}的方差。 为了使方差与数据组中的数据具有相 同的单位，将方差开平方， 同的单位，将方差开平方，称为数据组的 标准差，用符号бx表示。 标准差，用符号 表示。 标准差的计算公式： 标准差的计算公式： 标准差等于方差的算术平方根
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
次数分布表的平均差的计算
如果已知次数分布表来计算平均差， 如果已知次数分布表来计算平均差，可 采用下面的公式
AD =
∑ f x −x ∑f
i i i
例3 56名学生数学成绩的次数分布表计 名学生数学成绩的次数分布表计 算步骤见表4-1。 算步骤见表 。
表4-1 56名学生数学成绩的次数分布表 名学生数学成绩的次数分布表
一、方差和标准差的定义 一组数据离差平方的算术平均数，称 一组数据离差平方的算术平均数， 方差。具体地说， 为方差。具体地说，就是一组数据中每个 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 再除以数据的个数。 表示方差: 再除以数据的个数。用б2表示方差
方差的计算公式： 方差的计算公式：
第一节 平均差
数据组中的某一数x与数据组的平均数 数据组中的某一数 与数据组的平均数 越大， 的距离 xi − x 越大，表示该数距中心位置 越远。 越远。我们用这个距离的平均数的大小来衡 量数组中数据的离散程度。 量数组中数据的离散程度。称这个平均数为 平均差， 来表示： 平均差，用AD来表示： 来表示
计算平均数
各组离差和 43.92 50.88 47.84 48.72 21.56 39.52 72.36 65.2 36.8 426.8
计算平均差
∑f x x= ∑f
i
i i
∑f x −x AD = ∑f
i i i
4342 56 = 7754 . =
426 .8 56 =7.62 =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二节 方差和标准差
AD =
∑x
i
−x
n
• 例1 求数组｛1，2，3，4，5，6，7｝的平 求数组｛ ， ， ， ， ， ， ｝ 均差。 均差。 求数组｛ ， ， ， ， ， ， ｝ ·例2 求数组｛3，3，4，4，4，5，5｝的平 均差。 均差。 显然， 的数据组比例1的数据组平均 显然，例2的数据组比例 的数据组平均 的数据组比例 差要小，可见，例2的数据组离散程度小。 差要小，可见， 的数据组离散程度小。 的数据组离散程度小
σx = σ
2 x
•
例2 计算例1中给出的数据组的标准差。 计算例 中给出的数据组的标准差。 中给出的数据组的标准差
将例1中给出的数据组中的每一个数 · 例3 将例 中给出的数据组中的每一个数 据都加上5，得新数据组： ， ， ， ， 据都加上 ，得新数据组：{57，67，79，50， 55，76，86，90}，求该数据组的标准差。 ， ， ， ，求该数据组的标准差。 上述的公式只有在已知频数分布表而不 知道原始数据时，就无法计算了。 知道原始数据时，就无法计算了。下面给出 由频数分布表求方差和标准差的公式： 由频数分布表求方差和标准差的公式：