湖南省醴陵市高三数学一轮复习 专题 函数模块优质课件
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湖南省醴陵市高三数学一轮复习专题函数的图像课件
函数f ( x) ax2 bx c (a 0)的图象
f (x)
f (x)
f (x)
x1
O
x2
x
O
x
O
x
a 0 0
a 0 0
a 0 0
(1)求函数f ( x) x2 2x 3在[2,5]上的最小值和最大值. (2)解不等式x2 2x 3 0
y
y loga x (a 1)
y
y loga x (0 a 1)
O1
x
O1
x
y y x
a
Oa
x
函数y | x m |的图像:
y y | x m |
Om
x
函数y | x |的图像 :
y
y | x |
O
x
指数函数y a x的图象
y y a x (a 1)
y
1
O
x
1 y a x (0 a 1)
O
x
对数函数y loga x的图象
反比例函数y a (a 0)的图象
x
y
O
x
(1)求函数y 2 在[1,2]上的最小值和最大值; x
(2)求函数y 2 x [1,2]上的值域; x
函数y cx d 的渐进线方程为x b , y c .
ax b
aa
对称中心为( b , c ).
y
aa
O1
O
yc a
x
xb a
函数y cx d 的渐进线方程为x b , y c .
ax b
aa
对称中心为( b , c ).
f (x)
f (x)
f (x)
x1
O
x2
x
O
x
O
x
a 0 0
a 0 0
a 0 0
(1)求函数f ( x) x2 2x 3在[2,5]上的最小值和最大值. (2)解不等式x2 2x 3 0
y
y loga x (a 1)
y
y loga x (0 a 1)
O1
x
O1
x
y y x
a
Oa
x
函数y | x m |的图像:
y y | x m |
Om
x
函数y | x |的图像 :
y
y | x |
O
x
指数函数y a x的图象
y y a x (a 1)
y
1
O
x
1 y a x (0 a 1)
O
x
对数函数y loga x的图象
反比例函数y a (a 0)的图象
x
y
O
x
(1)求函数y 2 在[1,2]上的最小值和最大值; x
(2)求函数y 2 x [1,2]上的值域; x
函数y cx d 的渐进线方程为x b , y c .
ax b
aa
对称中心为( b , c ).
y
aa
O1
O
yc a
x
xb a
函数y cx d 的渐进线方程为x b , y c .
ax b
aa
对称中心为( b , c ).
高考数学一轮复习 2.1函数及其表示课件 文 湘教版
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最
接近的一个是( )
A.y＝2x－2
B.y＝ 1 x
2
C.y＝log2x
D.y＝ 1是均匀的，故选项 A 不是；y＝ 1 x 指数函数是单调递
2
减的，也不符合要求；对数函数 y＝log2x 的增长是缓慢的，也不符合
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型）的广泛应用.
1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意1 义. 2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3x,y= ,yx= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
幂函数、函数与方程 函数的图象 函数的应用
导数及导数的运算 导数的应用
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x，y=x2,y=x3,y=1
1
,y=2x 的图象,了解它们的变化情况.
x
3.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的
零点与方程根的关系.
4.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
对应关系 f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，
使个中的对于数集f（合，xA在）中集都的合和有数B它唯x.对一应一确定 f:A→B
名称 记法
称
为从集合A到集合B的
一个函数
y=f（x），x∈A
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第8节函数图象
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.要得到函数y=f(2x-1)的图象,应将函数y=f(2x)的图象向右平移1个单位长
度.( × )
2.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象相同.( × )
3.函数y=f(x)的图象关于直线x=-2对称的图象是函数y=-4-f(x)的图象.( × )
的图象,如图.
1
1 x 1
1
x,即( ) ≤ x;当-1<x<1 时,f(x)=log4(x+1)≤ x,易
2
2
2
2
1
求得函数 y=log4(x+1)与 y=2x 的图象的交点坐标为(0,0),结合图象可知,此时 x
∈(-1,0].所以不等式 f(x)≤
1
x
2
的解集为(-1,0]∪[1,+∞).故选 C.
5(e + e- ) >0,故排除C,故选D.
2 + 2
9.(2020·北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( D )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析 因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同
称;
(4)f(a+x)=-f(b-x)⇔f(x)的图象关于点(
+
,0)对称.
2
2.两个函数图象的互对称
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;
第9节函数与方程--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
2.函数零点存在定理
微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在
某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.
2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析 由题意,f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以函
数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
6.(人教B版必修第一册习题3-2B第3题改编)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个
考点三 函数零点的应用(多考向探究预测)
考向1根据函数零点的个数求参数取值范围
( + 1)2 , ≤ 0,
例3(1)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,
||, > 0,
则实数b的取值范围为( A )
A.(0,1]
B.[0,1]
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析 依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即方程f(x)=b有四个解,转
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)
在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?
提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条
2.函数零点存在定理
微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在
某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.
2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析 由题意,f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以函
数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
6.(人教B版必修第一册习题3-2B第3题改编)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个
考点三 函数零点的应用(多考向探究预测)
考向1根据函数零点的个数求参数取值范围
( + 1)2 , ≤ 0,
例3(1)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,
||, > 0,
则实数b的取值范围为( A )
A.(0,1]
B.[0,1]
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析 依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即方程f(x)=b有四个解,转
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)
在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?
提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第6节指数函数
2
3
A.c<b<a
B.b<a<c
C.c<a<b
D.b<c<a
解析 因为函数
2
(0,1);c=(3)
1
3
2 x
y=( ) 在
3
1
3
,则 a,b,c 的大小关系为( C )
R 上单调递减,所以
3 -0.3 2 0.3 2 0
a=( ) =( ) <( ) =1,即
2
3
3
2 0
1
2
<(3) =1,即 c∈(0,1),又3>0.3,则(3)
1
.
解析 令f(x)=|ex-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞),又y=ex的值域为(0,+∞),所
以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞).
考向2比较值的大小
例3(1)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为
3.函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质如下:
f(x)=a|x|
定义域
奇偶性
值域
单调性
图象
a>1
0<a<1
R
偶函数
[1,+∞)
(0,1]
在区间[0,+∞)上单调递增; 在区间(-∞,0]上单调递增;
在区间(-∞,0]上单调递减
在区间[0,+∞)上单调递减
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
考点一 指数函数的图象及其应用
3
A.c<b<a
B.b<a<c
C.c<a<b
D.b<c<a
解析 因为函数
2
(0,1);c=(3)
1
3
2 x
y=( ) 在
3
1
3
,则 a,b,c 的大小关系为( C )
R 上单调递减,所以
3 -0.3 2 0.3 2 0
a=( ) =( ) <( ) =1,即
2
3
3
2 0
1
2
<(3) =1,即 c∈(0,1),又3>0.3,则(3)
1
.
解析 令f(x)=|ex-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞),又y=ex的值域为(0,+∞),所
以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞).
考向2比较值的大小
例3(1)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为
3.函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质如下:
f(x)=a|x|
定义域
奇偶性
值域
单调性
图象
a>1
0<a<1
R
偶函数
[1,+∞)
(0,1]
在区间[0,+∞)上单调递增; 在区间(-∞,0]上单调递增;
在区间(-∞,0]上单调递减
在区间[0,+∞)上单调递减
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
考点一 指数函数的图象及其应用
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 第二节 利用导数研究函数的单调性
=x+ln x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x).令 y1=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],则当 x∈(0,0.1]
1
时,y1'=11-
=
-
<0.于是函数 y1=x+ln(1-x)在区间(0,0.1]上单调递减.于是
1-
y1<0,∴ln a1-ln b1<0,
∴b1>a1.令 y2=a1-c1=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],则
=
(-1)(+1)
<0,可得
0<x<1,
x 的单调递减区间为(0,1).
-2sin
(2)f'(x)= ,
e
令f'(x)>0,则2sin x<0,得π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z,令f'(x)<0,则2sin x>0,得
2kπ<x<π+2kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间是(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z,单调
1
2 - +1
f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=- 2 -1+ =- 2 .
当 a≤0
2 - +1
时, 2 >0,f'(x)<0
当 0<a≤2 时,x -ax+1=
2
恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
2
2
x-2 +1- ≥0,f'(x)≤0
递减区间是(2kπ,π+2kπ),k∈Z.
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 第3节利用导数研究函数的极值、最值
函数f(x)的极值点,则实数a的值为( D )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x23x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)
=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值
3
5.(湘教版选择性必修第二册1.3.3节练习第2题改编)函数
4
4
3
区间[0,3]上的最大值是
,最小值是
.
解析 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当 x=2
f'(x)<0,得
0<x<;由
f'(x)>0,得
x>,所以函数
f(x)在区间
0,
上单调递减,在
区间Βιβλιοθήκη ,+∞
上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当
a<0 时,若 b≥0,则 x>0 时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当 x→+∞
时,f(x)→-∞,当 x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当 b<0 时,易知函数 f(x)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x23x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)
=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值
3
5.(湘教版选择性必修第二册1.3.3节练习第2题改编)函数
4
4
3
区间[0,3]上的最大值是
,最小值是
.
解析 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当 x=2
f'(x)<0,得
0<x<;由
f'(x)>0,得
x>,所以函数
f(x)在区间
0,
上单调递减,在
区间Βιβλιοθήκη ,+∞
上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当
a<0 时,若 b≥0,则 x>0 时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当 x→+∞
时,f(x)→-∞,当 x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当 b<0 时,易知函数 f(x)
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.12 函数模型的应用
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A； 根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C； 将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.
教材改编题
3.某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位： 元)之间的关系为y＝－2x52 ＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当 日售价为___1_5_0___元.
的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要
“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)
A.4
B.5
√C.6
D.7
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.9n－1. 由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.9<ln 0.6， 即 n－1>llnn 00..69≈－－00..150115≈4.87，则 n>5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6.
√A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物
发挥治疗作用
√B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于
2小时，一定会产生药物中毒
√C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗 作用，A正确； 根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最 大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物 中毒，B正确；
回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全
高考数学一轮总复习 第二篇 第9讲 函数的应用课件 理
第9讲 函数的应用
• 【2014年高考会这样考】
• 1．考查二次函数模型的建立及最值问题． • 2．考查分段函数模型的建立及最值问题． • 3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立
及 • 最值问题． • 4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关
系 • 式，从而研究其最值.
考点梳理
• 答案 y＝a(1＋r)x，x∈N*
考向一 一次函数、二次函数模型
• 【例1】►据气象中心观察和预测： 发生于M地的沙尘暴一直向正南方 向移动，其移动速度v(km/h)与时 间t(h)的函数图象如图所示，过线 段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线．
l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙 尘暴所经过的路程s(km)．
• 答案 A
2．将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余 的水符合指数衰减曲线 y＝aent.假设 5 分钟后甲桶和乙桶的 水量相等，若再过 m 分钟后甲桶中的水只有a8，则 m 的值为 ( )．
• A．7
B．8
C．9
D．10
解析 令18a＝aent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n，比较
• 答案 6 10 000
5．(湘教版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本
金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)
为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是
____• _解__析_．已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝
a(1＋r)， • 2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， • 3期后本利和为y＝a(1＋r)3， •… • x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*
• 【2014年高考会这样考】
• 1．考查二次函数模型的建立及最值问题． • 2．考查分段函数模型的建立及最值问题． • 3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立
及 • 最值问题． • 4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关
系 • 式，从而研究其最值.
考点梳理
• 答案 y＝a(1＋r)x，x∈N*
考向一 一次函数、二次函数模型
• 【例1】►据气象中心观察和预测： 发生于M地的沙尘暴一直向正南方 向移动，其移动速度v(km/h)与时 间t(h)的函数图象如图所示，过线 段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线．
l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙 尘暴所经过的路程s(km)．
• 答案 A
2．将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余 的水符合指数衰减曲线 y＝aent.假设 5 分钟后甲桶和乙桶的 水量相等，若再过 m 分钟后甲桶中的水只有a8，则 m 的值为 ( )．
• A．7
B．8
C．9
D．10
解析 令18a＝aent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n，比较
• 答案 6 10 000
5．(湘教版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本
金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)
为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是
____• _解__析_．已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝
a(1＋r)， • 2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， • 3期后本利和为y＝a(1＋r)3， •… • x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 第1节导数概念及其意义、导数运算
x.又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin x,此时f'(x)=sin
x+(x+2π)cos x,
所以
3π
3π
3π
3π
f'(- 2 )=sin(- 2 )+(- 2 +2π)cos(- 2 )=1+0=1.故选
B.
考点三 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1求切线方程
1
1
x0= (x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0= (-x0),解得 x0=e,
0
0
1
y-1= (x-e),即
e
1
y= x.
e
1
当 x<0 时,y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由 y'=,所以 y'| =
C.
e
f'(1)=e+3f'(1),解得 f'(1)=- ,
2
, ≥ 0,
3
(3)函数 f(x)=
的导函数为 f'(x),则 f'(- 2 )=( B )
( + ), < 0
A.0
B.1
C.
2
D.1+
2
解析 设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin
(g(x)≠0).
④复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导
数间的关系为y'x= y'u·u'x ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第2章一元二次函数、方程和不等式 第3节二次函数及其性质
m
6 4
的取值范围为(-7,-5).
变式探究3
(变条件)本例中,若函数解析式不变,且对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时
都有 (1 )-(2 ) >-2,求实数m的取值范围.
1 -2
解 不妨设
(1 )-(2 )
x1>x2,则
>-2
1 -2
可化为 f(x1)-f(x2)>-2x1+2x2,即
1
综上,当 t≤ 2时,最大值为 t2-2t+2;
当
1
t> 时,最大值为 t2+1.
2
(2)因为函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=1∉[2,4],所以函数在区间
[2,4]上单调递增,所以当x=2时,y取得最小值b+1;当x=4时,y取得最大值
16a-8a+1+b=8a+1+b.
+ 1 = 1,
= 1,
由题意,可得
解得
8 + + 1 = 9,
= 0.
[对点训练2](2024·云南昆明模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象
过点(-2,0)和原点,且对于任意x∈R,都有f(x)≥2x.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设g(x)=f(x)+2mx,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.
解得-1<m≤0.
≤ 0,
综上所述,实数m的取值范围为[-1,0].
变式探究1
(变条件)本例中,函数解析式不变,若函数在区间[1,2]上单调递减,则实数m
的取值范围为 (-∞,-2] .
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第一节 函数的概念及其应用
a=
.
答案 0或e
解析 当a≤0时,f(a)=a2+1=1,解得a=0,满足题意;当a>0时,f(a)=ln a=1,解得
a=e,满足题意.所以a=0或e.
规律方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的
解析式代入求参数;
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
由②-①可解得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
1 2
f(x)=3x -2x.
规律方法 求函数解析式的常用方法
考点三
分段函数(多考向探究预测)
考向1分段函数求值
log 3 -2, > 0,
4- 2
的定义域为(
)
ln (+1)
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
(2)(2023·河北石家庄高三检测)已知 f(√ + 1)的定义域为[0,3],则 f(x)的定义
域为
(3)已知
.
(2)
f(x+1)的定义域为[0,2],则
的定义域为
4.各段函数的定义域不可以相交.
常用结论
1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式 确定定义域的方法
列表法
表中实数x的集合
图象法
图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
解析法
.
答案 0或e
解析 当a≤0时,f(a)=a2+1=1,解得a=0,满足题意;当a>0时,f(a)=ln a=1,解得
a=e,满足题意.所以a=0或e.
规律方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的
解析式代入求参数;
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
由②-①可解得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
1 2
f(x)=3x -2x.
规律方法 求函数解析式的常用方法
考点三
分段函数(多考向探究预测)
考向1分段函数求值
log 3 -2, > 0,
4- 2
的定义域为(
)
ln (+1)
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
(2)(2023·河北石家庄高三检测)已知 f(√ + 1)的定义域为[0,3],则 f(x)的定义
域为
(3)已知
.
(2)
f(x+1)的定义域为[0,2],则
的定义域为
4.各段函数的定义域不可以相交.
常用结论
1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.求函数y=f(x)定义域的方法:
函数给出的方式 确定定义域的方法
列表法
表中实数x的集合
图象法
图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合
解析法
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.11 函数的零点与方程的解
题型三 函数零点的应用
命题点 1 根据零点个数求参数
例 3 (2023·黄冈模拟)函数 f(x)＝4lo－g3xx2，－x1≤，2x，>2， g(x)＝kx－3k，
若函数 f(x)与 g(x)的图象有三个交点，则实数 k 的取值范围为
A.(2 2－6,0)
B.(2 3－6,0)
C.(－2,0)
√D.(2 5－6,0)
知识梳理
1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有 公共点.
知识梳理
(3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
设函数 h(x)＝13x－log2x， 易知 h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝13，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知，x3>1， 即－1<x1<0<x2<1<x3.
思维升华
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内 必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否 有交点来判断.
4－x2，x≤2， 作出函数 f(x)＝log3x－1，x>2 的图象，如图所示， 设与y＝4－x2相切的直线为l， 且切点为 P(x0,4－x20)， 因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0， 则切线方程为 y－4＋x20＝－2x0(x－x0)， 因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上， 代入切线方程求得 x0＝3－ 5或 x0＝3＋ 5(舍去)，
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 素能培优三 在导数应用中如何构造函数
ln 3
( 3)
2 =f(
ln e
ln π2
3),b= e2 =f(e),c= 4π
=
ln π
( π)
f( 3)>f( π)>f(e),即 a>c>b.故选 B.
2 =f(
ln 3
a=
3
π),因为 e < 3 < π<e,故
=
2.结构不同时构造函数
当所要比较大小的数或式在形式或结构上不相同时,可根据导数中常用的
解析 令函数f(x)=x-sin x,x>0,则f'(x)=1-cos x≥0且不恒为0,故f(x)在(0,+∞)上
单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0,于是0.9>sin 0.9,
即 b>a;当
sin x>cos
π π
π
x∈(4 , 2)时,x-4
1
例 6 设定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),且 f'(x)<-f(x),若 f(ln 3)=3,
则不等式
1
f(x)> 的解集为(
1
A.(3,+∞)
D )
B.(ln 3,+∞)
C.(0,ln 3)
D.(-∞,ln 3)
解析 因为f'(x)<-f(x),所以f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则
奇函数,即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇
( 3)
2 =f(
ln e
ln π2
3),b= e2 =f(e),c= 4π
=
ln π
( π)
f( 3)>f( π)>f(e),即 a>c>b.故选 B.
2 =f(
ln 3
a=
3
π),因为 e < 3 < π<e,故
=
2.结构不同时构造函数
当所要比较大小的数或式在形式或结构上不相同时,可根据导数中常用的
解析 令函数f(x)=x-sin x,x>0,则f'(x)=1-cos x≥0且不恒为0,故f(x)在(0,+∞)上
单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0,于是0.9>sin 0.9,
即 b>a;当
sin x>cos
π π
π
x∈(4 , 2)时,x-4
1
例 6 设定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),且 f'(x)<-f(x),若 f(ln 3)=3,
则不等式
1
f(x)> 的解集为(
1
A.(3,+∞)
D )
B.(ln 3,+∞)
C.(0,ln 3)
D.(-∞,ln 3)
解析 因为f'(x)<-f(x),所以f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则
奇函数,即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第九节 函数模型及其应用
20
m
10
200
A产品
40
8
18
120
B产品
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的
原材料价格决定,预计m∈[6,9],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美
元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件
1 (40) = 4 400,
= -2,
1 3
函数模型.由
得
所以 M1(v)= v -2v2+150v.
40
1 (60) = 7 200,
= 150,
(ⅱ)由题意,高速路上的耗电量
∀v1,v2∈[80,120],且
200
100
f(v)=N(v)× =400(v+ -5),80≤v≤120,
测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如
下表所示:
v
M
0
0
10
1 325
40
4 400
60
7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数
模型供选择:
1 3
①M1(v)=40 v +bv2+cv;②M2(v)=1
000·
2 v
+a;③M3(v)=300logav+b.
物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为
时间增加的方向.下列说法正确的是(
)
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
m
10
200
A产品
40
8
18
120
B产品
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的
原材料价格决定,预计m∈[6,9],另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美
元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件
1 (40) = 4 400,
= -2,
1 3
函数模型.由
得
所以 M1(v)= v -2v2+150v.
40
1 (60) = 7 200,
= 150,
(ⅱ)由题意,高速路上的耗电量
∀v1,v2∈[80,120],且
200
100
f(v)=N(v)× =400(v+ -5),80≤v≤120,
测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如
下表所示:
v
M
0
0
10
1 325
40
4 400
60
7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数
模型供选择:
1 3
①M1(v)=40 v +bv2+cv;②M2(v)=1
000·
2 v
+a;③M3(v)=300logav+b.
物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为
时间增加的方向.下列说法正确的是(
)
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
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17
作用
③ 换底公式
换底
log a
b
log c log c
b a
(a 0且a 1 , c 0且c 1, b 0)
18
2.对数函数
① 对数函数定义： y=loga x (a>0, 且a≠1)
19
②对数函数图象和性质：
0<a<1
y
图象 定义域
(1,0)
x
0
x=1
y=logax (0<a<1)
R
(0,+∞)
a>1
y 1 y=1
0
x
R
(0,+∞)
性质
1)在R上是减函数; 2)过定点(0,1) 3)当x>0时, 0<y<1;
当x<0时, y>1.
1)在R上是增函数; 2)过定点(0,1) 3)当x>0时, y>1;
当x<0时, 0<y<1.
15
对数函数模块
1.对数
① 对数定义：
转化
当a 0,且a 1时，a x N x loga N
若g[ f ( x)] x2 x 1,求a的值。
23
例2.求下列问题的定义域：
(1) y
11 2 x 3 ; 例2.求下列问题的定义域：
2 x x ① y 2x 3 1 1 2 x x
(2)若f ( x)的定义域为[0，2]，求f ( x x) ②若f (x)的定义域为[0，2]，求f (x2 x)
当0<x<1时, y<0. 20
幂函数模块
1.幂函数的定义：
一般地，函数 y=xa( 为常数)叫
做幂函数.
21
2.幂函数的一般研究方法：
1）借助函数模块分析； 2）利用图像法分析。
3.幂函数的一个重要特点：
0 幂函数在第一象限为增函数； 0 幂函数在第一象限为减函数。
22
例1.已知f ( x) 2x a, g( x) 1 ( x2 3), 4
5).应用 : 利用二次函数的图象可 以来解一元二次不等式 , 讨论一元二次方程的实 根的分布情况.
9
指数函数、对数函数 与幂函数
10
乘方(指数)、开方、对数三者间的联系
开方
b N (b为奇数）
已知指数、幂,
a b N (b为偶数） 求底数
乘方(指数幂) ab N
对数 b loga N
已知底数、指 数,求幂
已知底数、真 数,求指数
11
指数函数模块
1.指数幂的运算性质：
(ar )s ars (a 0, r、s Q) an( aaramrr )sssamnaa(rarrss((0aa, m、00,n,rr、、Nss*,n QQ1))) aaaaaaarrrsrsrsassaaarrarsrrss(((assaa(a000,,,0rrr,、、、r、ssss QQQQ))) )
几个重要结论： loga a 1，loga 1 0 , aloga N N
16
② 对数运算: (a>0, a≠1, N>0)
loga M n n loga M
log a
n
M
1 n loga
M
loga (M N ) loga M loga N
M loga N loga M loga N
x
7
4).单调性 : ①当a 0时,在(, b ]上是减函数, 2a
在( b ,)上是增函数. 2a
②当a 0时,在(, b ]上是增函数, 2a
在( b ,)上是减函数.
Hale Waihona Puke 2ayy x
b
2a
O
x
x b 2a
O
x
8
4).奇偶性 : 二次函数y ax2 bx c (a 0), ①当b 0时,函数是偶函数; ②当b 0时,函数是非奇非偶函数;
2.二次函数的三种表示形 式 : (1)一般式 : f ( x) ax2 bx c (a 0) (2)顶点式 : f ( x) a( x h)2 k (a 0) (3)两根式 : f ( x) a( x x1 )( x x2 ) (a 0)
6
3.二次函数的内容 :
1).定义域 : R
12
2.负分数指数幂的意义：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m、n N * , n 1)
3.零指数幂的意义：
a0 1(a 0)
13
4.指数函数的定义：
一般地，函数 y=ax(a>0且a≠1) 叫做指数函数.
14
5.指数函数的图象和性质：
图象
定义域 值域
0<a<1 y
1 y=1
0
x
函数模块
1
1. 函数的三要素 2. 函数的表示法
1)定义域; 2)对应关系; 3)值域.
1)解析法; 2)图象法 (数形结合，以点为主)；
3)列表法
2
3. 离散型函数 连续型函数
定义域是否连续
函 数
模
4. 分段函数 （整体部分思想）
块
3
5. 函数的单调性 6. 函数的奇偶性
1)定义法;
2)图象法;
2).值域 : ①当a 0时, 值域为[4ac b2 ,) 4a
②当a 0时, 值域为(, 4ac b2 ] 4a
3).图象是抛物线, 对称轴是x b , 2a
顶点坐标(,
b
4ac b2
,
)
y
2a 4a
①当a 0时,开口向上; ②当a 0时,开口向下;
O
x
x b 2a
y x
b
2a
O
3)复合函数： 函
同增异减
数
1)定义法;
模
2)图象法.
块
4
7.反函数 1)抓住“反”
2)求反函数的步骤
①确定定义域 ②反求 ③互换 x、y
3)互为反函 数的特点
1. 互为反函数的图象关于 y = x对称；
2. 点(a, b)在一个函数上, 则 (b, a)必在其反函数上。
5
二次函数
1.一元二次函数的定义 : 形如f ( x) ax2 bx c (a 0)的函数.
2
的定义域。
的定义域.
24
例3.求下列各函数的值域： 1)函数f ( x) 1 在[2，0）（0，3）上的值域
x 是 ____________ . 2)函数y 3x 值域是 _________ .
3x 4
25
例4.已知函数f ( x) x (a, b为常数， ax b
且a 0)满足f (2) 1,方程f ( x) x有唯一解， 求： 1)函数f ( x)的解析式; 2) f [ f (3)]的值.
(0,+∞)
值域 性质
R
(1)过定点(1, 0) (2)在(0,+∞)上是减
函数; (3)当x>1时, y<0;
当0<x<1时, y>0.
a>1
y x=1 y=logax
(a>1)
0 (1,0) x
(0,+∞)
R
(1)过定点(1, 0) (2)在(0,+∞)上是增
函数; (3)当x>1时, y>0;