高中数学合情推理与演绎推理(3) 例题解析
2019版高考数学(理)一轮精选教师用书人教通用：第12章+3+第3讲 合情推理与演绎推理+Word版含答案
第3讲 合情推理与演绎推理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论． 答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．[典例引领]角度一 与数字(数列)有关的等式的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．【解析】 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 【答案】 1 051角度二 与不等式(式子)有关的推理(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．【解析】 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)角度三 与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】 D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[通关练习]1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()11 112 1133 11464 1…11045…4510 1A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．＋1)2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)． 答案：3×2n －3(n ∈N *)类比推理[典例引领]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】 如题图所示，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P -DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想． 解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.[通关练习]1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2>0⇒z 1>z 2”． 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a ，b ，c ，d 都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的离心率为e ，则有________________．解析：在双曲线中，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则|AB |＝2r sin C ，|AC |＝2r sin B ，|BC |＝2r sin A ，则由双曲线的定义得||BA |－|BC ||＝2a ，|AC |＝2c ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝|AC |||BA |－|BC ||＝sin B|sin A －sin C |，即|sin A －sin C |sin B ＝1e .答案：|sin A －sin C |sin B ＝1e演绎推理[典例引领]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．易错防范(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.(a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．3．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q 2 B ．q 2 C.qD.n q解析：选C.由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n1q （n －1）n2，所以nT n ＝b 1qn －12，所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66解析：选B.第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C.1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 6．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案：1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）228．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb2＝19．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， 所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 10．给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1，2，3，…)有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)． 解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)． 在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →， 所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ， 解得e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去. 2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人D ．5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A ，B 两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3. 3．考察等式：C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C r n ，(*)其中n ，m ，r ∈N *，r ≤m <n 且r ≤n －m .某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品．现从中随机取出r 件产品，记事件A k ＝{取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则P (A k )＝C k m C r －k n －mC rn，k ＝0，1，…，r .显然A 0，A 1，…，A r 为互斥事件，且A 0∪A 1∪…∪A r ＝Ω(必然事件)，因此1＝P (Ω)＝P (A 0)＋P (A 1)＋…＋P (A r )＝C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m C rn，所以C 0m C rn －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn ，即等式(*)成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断： ①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确． 试写出所有正确判断的序号：____________．解析：显然公式C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn 是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③. 答案：①③4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a )＝43π×b 2a .答案：43π×b 2a5．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：结论：在四面体V -BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O -BCD 与V -BCD 中，设其高分别为h 1，h ， 则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h113S △BCD·h ＝V O BCD V V BCD. 同理，OF DF ＝V O VBC V D VBC ；OG BG ＝V O VCD V B VCD ；OH CH ＝V O VBDV C VBD ，所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O VBC ＋V O VCD ＋V O VBDV V BCD＝V V BCDV V BCD＝1. 6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数y ＝f (x )(x ∈D )，对任意x ，y ，x ＋y2∈D 均满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，当且仅当x ＝y 时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f (x )∈M ，试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2，求证：g (x )∈M . 解：(1)对于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]， 令x ＝3，y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4)． (2)证明：g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－12[g (x 1)＋g (x 2)] ＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[g (x 1)＋g (x 2)]， 所以g (x )∈M .。
专题3 合情推理与演绎推理-2019年高二数学选修重难点解读
专题3 合情推理和演绎推理【重点考向】一、合情推理1.含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2.合情推理的过程：从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想3.分类（1）归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②特征：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（2）类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．②特征：类比推理是由特殊到特殊的推理．注意：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．二、演绎推理(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理（由一般到特殊的推理）．(2)三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；即M是P②小前提——所研究的特殊情况；即S是M③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断；S是P.【考点精讲】考点一归纳推理【例1】（1）有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是A．26 B．31C．32 D．36【答案】B（2）．根据给出的数塔猜测（）…A． B． C． D．【答案】A【解析】由；；；，，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，，故选A.【举一反三】1．将正整数排成下表：则在表中，数字2017出现在（）A．第44行第80列 B．第45行第81列C．第44行第81列 D．第45行第80列【答案】B【解析】由图可知第行有个数字，前行的数字个数为个，，且，在第45 行，又，且45行有个数字，在第，数字2017出现在第45行第81列，故选B .2．如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（），则在第个图形中共有（）个顶点.A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知中的图形可以得到：当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；由此可以推断，第个图形共有顶点个，故选B.3．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大【答案】A【解析】由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．考点二类比推理【例2】（1）通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：【答案】见解析【解析】三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：半并且平行于第角形（2）在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A 、B 、C 做了一项预测: A 说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”. B 说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”. C 说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后,发现A 、B、C 三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】A【解析】先假设A 选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A 判断一对一错，观众B 判断都错，观众C 判断都对，符合题意.对于B,C,D 三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A. 【举一反三】 1．三角形的面积为为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ） A ． B．C ．，（h 为四面体的高）D ． （分别为四面体的四个面的面积，为四面体内接球的半径）【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V（S 1+S 2+S 3+S 4）r ，故选：D ．2．.已知为等比数列，，则．若为等差数列，，则的类似结论为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由等差数列性质，有＝＝…＝2.易知选项D正确．4．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A． B． C． D．【答案】A5．已知为等差数列，，.若为等比数列，，则类似的结论是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】在等差数列中，令，则，∴，∴．在等比数列中，令，则，∴，∴．故选D．考点三演绎推理【例3-1】用三段论的形式写出下列演绎推理．（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．（2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提正方形是菱形…………………………………………………………………小前提正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等……………………………………大前提∠1和∠2不相等…………………………………………………………小前提∠1和∠2不是对顶角……………………………………………………结论【举一反三】1.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．故答案为：乙．1．有一个游戏将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有3的卡片;乙说:甲或丙拿到标有2的卡片;丙说:标有1的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有3的卡片。
高中数学选修2-2-合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理知识集结知识元合情推理知识讲解1．合情推理的含义与作用【知识点的认识】1．定义：（1）推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．（2）合情推理：前提为真时结论可能为真的推理叫做合情推理．2．合情推理包括：（1）归纳推理（2）类比推理．3．合情推理和演绎推理的区别：推理推理形式推理结论合情推理归纳推理部分→整体，个别→一般结论不一定正确，有待进一步证明类比推理特殊→特殊演绎推理一般→特殊在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．【命题方向】一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查基础概念问题，注意与演绎推理的区分，以及掌握归纳和类比推理的特点及运用．例1：下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）分析：本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．解答：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．例题精讲合情推理例1.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___。
专题69 合情推理与演绎推理(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题69合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础知识融会贯通1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．重点难点突破【题型一】归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理【典型例题】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（）A．48 B．63 C．99 D．120【解答】解：根据题意，2，则有2，3，则有3，4，则有4，5，则有5，若10，则有n＝102﹣1＝99；故选：C．【再练一题】观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．49【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，2020＝504×4+4，则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，故选：A．命题点2与不等式有关的推理【典型例题】已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为．【解答】解：观察已知中等式：f（4）＝f（22）＞2，f（8）＝f（23），f（16）＝f（24）＞3，f（32）＝f（25），…，则f（2n+1）（n∈N*）故答案为：f（2n+1）（n∈N*）【再练一题】已知x＞1，观察下列不等式：x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为．【解答】解：由x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为：x n n+1，故答案为：x n n+1命题点3与数列有关的推理【典型例题】把数列{a n}的各项按照如图规律排成三角形数阵；若a n＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为．【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，则该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，故答案为：﹣761．【再练一题】如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{a n}，S n 表示数列{a n}的前n项和，对任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，当a n＞0时，点P n（a n，a n+1）（）A．只能在区域②B．只能在区域②和④C．在区域①②③④均会出现D．当n为奇数时，点P n在区域②或④，当n为偶数时，点P n在区域①或③【解答】解：任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，则S n（a n），∴S n+1（a n+1），∴a n+1（a n+1﹣a n），即a n+1﹣a n，∵a n＞0，∴a n+10，解得a n+1＜﹣1或0＜a n+1＜1，故点P n（a n，a n+1）只能在区域②和④故选：B．命题点4与图形变化有关的推理【典型例题】如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，∴最小正方形的边长为（）7．故选：A．【再练一题】按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“∇”，则该图案共有（）A．16层B．32层C．64层D．128层【解答】解：设该图案共有n层，则1+3+5+…+（2n﹣1）＝1024，即n2＝210，所以n＝25＝32，故选：B．思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【题型二】类比推理【典型例题】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A．1044 B．1024 C．1045 D．1025【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N＝1+2+3+…+k，当k＝9时，45，故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．故选：A．【再练一题】设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．将此结论类比到空间四面体：设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（）A．B．C．D．【解答】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，∴r．故选：C．思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．【题型三】演绎推理【典型例题】某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（）A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①【解答】解：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，大前提是②，小前提是①，结论是③．故排列的次序应为：②→①→③，故选：C．【再练一题】矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直．在以上三段论的推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论错误【解答】解：大前提，“矩形的对角线互相垂直”，小前提，正方形是矩形，结论，所以正方形的对角线互相垂直，大前提是错误的，因为矩形的对角线相等．以上三段论推理中错误的是：大前提，故选：A．思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．基础知识训练1．===…，依此规律，=则2+a b 的值分别是（） A ．79 B ．81C ．100D ．98【答案】D 【解析】====2n ≥=9b =，29180a =−=， 故2801898a b +=+=， 故选：D ．2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a −−⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得231,1a a ==，由此归纳出{}n a 的通项公式1n a = 【答案】C 【解析】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D 为不完全归纳推理，属于合情推理． 故选：C ．3．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】C【解析】解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2019是奇数，结论：2019不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．4．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（）A．第44行第84列B．第45行第84列C．第44行第83列D．第45行第83列【答案】D【解析】依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019 在第45行，第83列．故选：D．5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③【答案】C【解析】正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确； 对于②，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．∴①②③都是合理、恰当的．故选：C ．6．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()2tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（ ）A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．以上均不正确【答案】C 【解析】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：()()2tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：()()2tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C7．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（ ）A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】B 【解析】 根据题意，得2345749734372401,716807,====，，677117649,7823543==，8975764801,740353607...== 发现427k −的末尾两位数为49，4-17k 的末尾两位数为43，47k 的末尾两位数为01，417k +的末尾两位数为07，（1,2,3...k = ）； 由于201945051=⨯−，所以20197的末两位数字为43； 故答案选B8．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||a a =类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D 【解析】①设a 与b 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r成立；②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r，所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c 共线的向量，()a b c na ⋅⋅=r r r r表示与a 共线的向量，但a 与b 不一定共线，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r不一定成立；③设复数(),z x yi x y R =+∈，则222z x y =+，()()22222z x yi x y xyi =+=−+是一个复数，所以22z z =不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.由下列事实：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4，（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5，可得到合理的猜想是．【答案】.【解析】由所给等式可以发现：等式左边由两个因式相乘；第一个因式相同，是；第二个因式是和的形式，每一项为的形式，且按降次排列，按升次排列，且；等式右边为差的形式，次数比左边第二个因式的第一项次数大1，；因此，我们可得到合理的猜想是.【考点】归纳推理.2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．3.把命题“若是正实数，则有”推广到一般情形，推广后的命题为____________.【答案】若都是正数，则有【解析】可通过类比，归纳得一般结论，证明如下：【考点】推理与证明.4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．推理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】A【解析】三段论推理形式为大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确，且推理的形式也正确，结论才正确，此处结论错误的原因是“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线”这句话不正确，它恰是推理的大前提，故选择A.【考点】三段论推理.5.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．6.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．9.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.10.把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把上图中的数分为4个数列分别是：（1）1,5,9 (2)2,6,10 ;(3)3,7,11 ;(4)4,8,12 它们都是以4为公差的等差数列，4个数列的通项公式分别为，，，，只要确定2014在哪个位置就可以了，只有解得，其余的解得不是整数，所以2014在第二个数列的位置，观察数的结构得本题选A。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第71讲《合情推理与演绎推理》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、合情推理 (1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳)． ②特点：由 到整体、由 到一般的推理． (2)类比推理①定义：由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)． ②特点：由 到 的推理． (3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 知识点二、演绎推理 (1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 到 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的 ； ②小前提——所研究的 ；③结论——根据一般原理，对 做出的判断．★★★高考典例剖析★★★考点一、归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1：观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2：已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．命题点3 与数列有关的推理例3： (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 答案1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)解析根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) (n∈N*)．命题点4与图形变化有关的推理例4：(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55答案 D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.1．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()2．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A ．6B ．7C ．8D ．9 考点二、类比推理例5：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q2 B ．q 2 C.q D.nq答案 C解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n nn b q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.3．在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．4． (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n －1n C n n图1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16…1C 1n ＋1C 0n1C 1n ＋1C 1n…1C 1n ＋1C r n…1C 1n ＋1C n －1n1C 1n ＋1C n n图2考点三、演绎推理例6： (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)5． (2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩6．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 018是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)8．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－12．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确3．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．(2018·武汉模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)25．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6．(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…等于( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－527．(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A ．甲、丙 B ．乙、丁 C ．丙、丁D ．乙、丙8．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题9．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________． 10．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________．(填序号)11．(2018·中山模拟)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立…依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥____________________成立．12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.13．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有__________________．14．(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝______. 15．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为____________________．16．(2017·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为____________．17．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．三、解答题18．(2018·济南模拟)设f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．19．(2018·温州模拟)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 20．(2017·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明： (1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．21．(2017·青岛模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017.♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章推理与证明、算法、复数第71讲合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二、演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．★★★高考典例剖析★★★考点一、归纳推理♦♦♦跟踪训练♦♦♦1．答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.2．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 考点二、类比推理♦♦♦跟踪训练♦♦♦3．答案 P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1.4． 答案 1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1 解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1， 有1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1. 考点三、演绎推理♦♦♦跟踪训练♦♦♦5．答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 故选D.6．证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．7．答案 ①5 045 ②5k (5k －1)2解析 ①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， b 1＝4×52＝a 4， b 2＝5×62＝a 5， b 3＝9×(2×5)2＝a 9， b 4＝(2×5)×112＝a 10， b 5＝14×(3×5)2＝a 14， b 6＝(3×5)×162＝a 15， … b 2 018＝⎝⎛⎭⎫2 0182×5⎝⎛⎭⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.②由①知b 2k －1＝⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×5－1⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2. 8．答案 ④ 解析 对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②；对于③，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫πx －π2(0<x <1)， 所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．答案 C解析 a 2＝a 1＋3＝4，a 3＝a 2＋5＝9，a 4＝a 3＋7＝16，a 1＝12，a 2＝22，a 3＝32，a 4＝42，猜想a n ＝n 2.2．答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．答案 B解析 A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确，故选B.4．答案 B解析 由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．5．答案 B解析 取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.6．答案 C解析 设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍. 故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 7．答案 D解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D.8．答案 B解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．二、填空题9．答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b 29＝b 1＋n ·b 17－n ，可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)． 10．答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．11．答案 n 2(n －2)π(n ∈N *，n ≥3) 解析 ∵1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π， 1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π， 1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…， ∴1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ∈N *，n ≥3). 12．答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10 ＝1 100－100＝1 000.13．答案 b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1解析 类比已知条件中等差数列的等式(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，结合等比数列通项公式可得出等比数列的结论为：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1.14．答案 n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34⎝⎛⎭⎫1－19＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23⎝⎛⎭⎫1－116＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2. 15．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 16．答案 26＋27＋…＋212解析 由题意，如果2n －1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，n ≥2，n ∈N *，∴令n ＝7，可得一个四位完全数为64×(128－1)＝8 128，∴8 128＝26＋27＋ (212)17．答案 43πb 2a 解析 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝⎛⎭⎫π×b 2×a －13π×b 2a ＝43πb 2a . 三、解答题18．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， f (x 1)＋f (x 2)＝1233x x +=19．解AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，四面体A—BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.20．证明(1)因为f(0)>0，f(1)>0，===所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<b a<－1. (2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 3a ，3ac －b 23a ， 又因为－2<b a <－1，所以13<－b 3a <23. 因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝⎛⎭⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝⎛⎭⎫a －c 22＋3c 243a <0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，－b 3a 与⎝⎛⎭⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．21．解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …，f ⎝⎛⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎫12 017＝2. 所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十三章 推理与证明、算法、复数 第71讲 合情推理与演绎推理★★★核心知识回顾★★★知识点一、合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二、演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．★★★高考典例剖析★★★考点一、归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理例1：观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2：已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．命题点3 与数列有关的推理例3： (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；…可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 答案1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)解析根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) (n∈N*)．命题点4与图形变化有关的推理例4：(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55答案 D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.1．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.2．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 考点二、类比推理例5：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q2 B ．q 2 C.q D.nq答案 C解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n nn b q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.3．在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.4． (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n －1n C nn图1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16…1C 1n ＋1C 0n1C 1n ＋1C 1n…1C 1n ＋1C r n…1C 1n ＋1C n －1n1C 1n ＋1C n n图2答案1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，有1C 1n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1. 考点三、演绎推理例6： (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)5． (2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 故选D.6．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 018是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示) 答案 ①5 045 ②5k (5k －1)2解析 ①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 018＝⎝⎛⎭⎫2 0182×5⎝⎛⎭⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.②由①知b 2k －1＝⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×5－1⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.8．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q . 答案 ④解析 对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫πx －π2(0<x <1)， 所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③. ④不符合，故填④.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B解析A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确，故选B. 4．(2018·武汉模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2。
高中数学合情推理与演绎推理(3) 例题解析
合情推理与演绎推理(3) 例题解析【要点梳理】1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。
2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为3、演绎推理具有如下特点：（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。
【指点迷津】1、什么是大前提、小前提？ 三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。
2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？ 在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。
3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？ 能。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
因此可以作为证明工具。
【典型例题】例1、用三段论的形式写出下列演绎推理（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直（2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角（3） ∙233.0是有理数（4） ()R x x y ∈=sin 是周期函数【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）正方形是菱形 （小前提）所以，正方形的对角线相互垂直 （结论）（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）1∠和2∠不相等 （小前提）所以，21∠∠和不是对顶角 （结论）（3）所有的循环小数是有理数 （大前提）∙233.0是循环小数 （小前提）所以，∙233.0是有理数 （结论）（4）三角函数是周期函数 （大前提） ()R x x y ∈=sin 是三角函数 （小前提）所以，()R x x y ∈=sin 是周期函数 （结论）例2、指出下列推理中的错误：（1）自然数是整数 （大前提）—6是整数 （小前提）所以，—6是自然数 （结论）（2）中国的大学分布在中国各地 （大前提）北京大学是中国的大学 （小前提）所以，北京大学分布在中国的各地 （结论）【解析】（1）推理形式错误，M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M ）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的（2）推理形式错误。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第十四章第3讲合情推理与演绎推理
解析 对于椭圆， 延长 F2M 与 F1P 的延长线交于 Q.由对称 性知，M 为 F2Q 的中点，且 PF2＝PQ，从而 OM∥F1Q 且 1 OM＝ F1Q.而 F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以 OM 2 ＝a.对于双曲线，过点 F2 作∠F1PF2 内角平分线的垂线， 垂足为 M，类比可得 OM＝a.
2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋1 ＝ 2x1＋12x2＋1 22x1－2x2 ＝ . 2x1＋12x2＋1 ∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0， 即 2x1－2x2＞0，又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0. 22x1－2x2 ∴ ＞0. 2x1＋12x2＋1 ∴f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)在 R 上为单调递增函数．
在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的 体积比为________． 解析 答案 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得． 1∶8
2．给出下列三个类比结论． ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋ 2a· 2. b＋b 其中结论正确的序号是________． 答案 ③
(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想
的结论都要经过进一步严格证明． (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理 数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
考点自测
1．(2012· 盐城市第一学期摸底考试)在平面上，若两个正方
形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，
[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式 是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是 大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
高中数学合情推理与演绎推理
合情推理是从已知的 结论推测未知的结论， 发现与猜想的结论都 要经过进一步严格证 明．
演绎推理是由一般到 特殊的推理，它常用 来证明和推理数学问 题，注意推理过程的 严密性，书写格式的 规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是 高考的热点，归纳、类比推理大多数出现 在填空题中，为中、低档题．演绎推理大 多数出现在解答题中，为中、高档题 目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的 创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落 实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考 体 验
· 明 考 情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α） －sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】 共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命 题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的 前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实 的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的， 但是错误的前提可能导致错误的结论．
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于 ( )A、 B、Ｃ、 D、【答案】A【解析】∵x∈R+时可得到不等式x+≥2，x+≥3，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方，∴p=n n，故选A【考点】本题考查了归纳推理点评：解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向2.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是 ( )A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】解：因为用演绎法证明函数是增函数，可以根据函数满足增函数的定义，得到结论。
3.根据给出的数塔猜测123456×9＋7=( )1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111……A．1111113B．1111112C．1111111D．1111110【答案】C【解析】解：根据已知的条件1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111，观察归纳猜想可知123456×9＋7=1111111 ，选C4.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.5.类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_【答案】“与球心距离相等的两截面圆面积相等，距球心较近的截面圆面积较大。
归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
第40讲 合情推理与演绎推理(解析版)-高考数学二轮复习
第40讲合情推理与演绎推理一、知识与方法1 合情推理合情推理即根据已有的事实经过观察,分析、比较,联想,再经过归纳、类比,然后提出猜想. 合情推理包括归纳推理和类比推理.（1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. 其特点是由部分到整体,由个别到一般. 合情推理的一般步骤是: (1)通过观察个别对象发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想).(2) 类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理. 其特点是由特殊到特殊. 类比推理的一般步骤是: (1) 找出两类对象之间的相似性或一般性; (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想).(3) 合情推理透析:合情推理得出的结论具有猜测性,不一定正确,有待于进一步证明. 在数学研究中,得到一个新的结论之前,它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用.2 演绎推理从一般性的原理出发、推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理,简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理.（1）一般模式: 三段论.1) 大前提-一已知的一般原理,可表示为: M是P.2) 小前提一一所研究的特殊情况,可表示为: S是M.3) 结论――根据一般原理,对特殊情况作出判断, 可表示为: S是P.(2) 演绎推理透析: (1) 演绎推理是由一般到特殊的推理,主要用来证明和推理数学问题,但要注意推理过程的严密性和书写格式的规范性; (2) 应用三段论解决问题时, 应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的; 如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得的结论也是错误的.二、典型例题【例1】(1) 观察下列等式：照此规律,第 n 个等式可为___________; (2) 已知{}n a 是等差数列且满足等式 11231232C C C n n n n n a a a -⋅=++++()*C n n n a n ∈N , 试求出这个等差数列的通项 n a .【分析】归纳就是从特殊到一般的过程,第(1)问,观察所给等式结果是正负相 间,分 n 为奇数和偶数讨论容易归纳出正确的结论.第 (2) 问,既然所给等式对任意正整数 n 都成立,可以先取 1,2,3,4n = 等特殊值,求出 1234,,,a a a a 后,从中发现规律,猜想出结 论,然后再对猜想的结论加以证明.【解析】（1）分 n 为奇数、偶数两种情况. 当 n 为偶数时, 第 n 个等式为()()2222221234(1)n n ⎡⎤-+-++--=⎣⎦(1)2n n +-当 n 为奇数时,第 n 个等式为 ()()2222221234(2)(1)n n ⎡⎤-+-++---+⎣⎦22(1)(1)22n n n n n n -+=-+= 综上,第 n 个等式为 222121(1)123(1)(1)2n n n n n -++-+-+-=-⋅. (2) 1n = 时, 等式为 1111112C a -⨯=, 可求得 11a =. 2n = 时, 等式为 2112222221C C a -⨯=⋅+, 可求得 22a =. 3n = 时, 等式为 311233333321C 2C C a -⨯=⋅+⋅+, 可求得 33a =. 4n = 时, 等式为 41123444444421C 2C 3C C a -⨯=⋅+⋅+⋅+, 可求得 44a =.以此类推,一般地, 可猜想 n a n =.下面证明, 当 n a n = 时,等式 ()112*2C 2C C n n n n n n n n -⋅=+++∈N成立. 设 121C 2C (1)C C n nn n n n n S n n -=+++-+. (1)则 121C (1)C 2C C n n n n n n n S n n -=+-+++,0121C (1)C 2C C n n n n n n n S n n --=+-+++ (2)2222222222111231236123410=-=--+=-+-=-(1) + (2), 得01212C C C C C n nn n n n n nS n n n n n -=+++++()01211C C C C C 2.2n nn n n n n n n n n n S n --=+++++=⋅∴=⋅即 ()112*2C 2C C n n n n n n n n -⋅=+++∈N, 故 n a n =. 【例 2 】在 Rt ABC ∆ 中, ,AB AC AD BC ⊥⊥ 于点 D , 求证:222111AD AB AC=+, 那么在四 面体 A BCD - 中,类比上述结论,能得到怎样的猜想 ? 并说明理由.【分析】 类比推理的关键是找到合适的类比对象,经常用到的类比关系有:平 面图形与空间图形;等差数列与等比数列;平面向量与空间向量;椭圆与双曲线、拋物线, 数列与函数等.既有某种性质的知识性类比,也有解题思想和思维策略的方法性类比.本例显然是平面几何中的某一性质类比到立体几何中的相关性质. 通常平面中的三 角形与空间中的三棱锥是类比对象; 相对应的有:三角形各边边长对应三棱锥各面面积; 三角形边上的高对应三棱锥面上的高;三角形面积对应三棱锥体积;三角形面积公式中的"12"对应三棱锥体积公式的“13"等 【解析】 如图 61- 所示,由射影定理知 222,,AD BD DC AB BD BC AC BC DC =⋅=⋅=⋅.∴2222211BC BC AD BD DC BD BC DC BC AB AC===⋅⋅⋅⋅⋅ 又 222BC AB AC =+, ∴2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+⋅. ∴222111AD AB AC =+类比 ,AB AC AD BC ⊥⊥, 猜想: 在四面体 A BCD - 中, ,,AB AC AD 两两垂直,AE ⊥ 平面 BCD , 则22221111AE AB AC AD =++. 如图 62- 所示,联结BE 并延长交 CD 于点 F , 联结 AF ,∵,,,AB AC AB AD AC AD A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面 ACD . 而AF ⊂ 平面 ,ACD AB AF ∴⊥.在 Rt ABF ∆ 中, ∵222111,AE BF AE AB AF⊥∴=+ 在 Rt ACD ∆ 中, 222111,AF CD AF AC AD ⊥∴=+. ∴22221111AE AB AC AD=++, 故猜想正确.【例 3 】数列 {}n a 的前 n 项和记为 n S , 已知 ()*1121,n n n a a S n n++==∈N , 求证: (1) 数列 n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列; (2) 14n n S a +=【分析】 演绎推理的一般模式为“三段论”,应用“三段论”解决问题时,首先应 该明确什么是大前提,什么是小前提,然后再找结论,也经常采用省略大前提或小前提的 表述方法. 而对于复杂的论证,会采用一连串的“三段论”,把前一个“三段论”的结论作为 下一个“三段论"的前提.【解析】(1) ∵1112,n n n n n n a S S a S n++++=-=, ∴()1(2)n n n n S n S S ++=-, 即 12(1)n n nS n S +=+ ∴121n n S S n n +=⋅+. 故 n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以 2 为公比的等比数列. (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2) 由 (1) 可知 114(2)11n n S Sn n n +-=⨯+-, ∴111124(1)44(2)11n n n n S n S n S a n n n -+--+=+⋅=⨯⋅=--又 21212133,1344a S S a a a ==∴=+=+==. ∴ 对于任意正整数 n , 都有 14n n S a +=.三、易错警示【例】 设 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 是其前 n 项和.证明 :11222112log log log 2n n n S S S +++>【错解】 欲证11222112log log log 2n n n S S S +++>, 只需证 11211222log log 2log n n n S S S +++>.即证 ()2121122log log n n n S S S ++>由对数函数的单调性可知, 只需证 221n n n S S S ++< 即可.()()()()()()221111221222211121221111111110(1)(1)nn n n n n nn n n a q a q a q S S S qqq a qq a q a q q q ++++++⎡⎤---⎢⎥-=⋅----⎢⎥⎣⎦---=-=-<--∴221n n n S S S ++<, 因此原不等式成立.【评析及正解】 上述解法虽然证明了 221n n n S S S ++<, 但不严密, 因为使用等比数列 前 n项和公式 ()111nn a q S q-=- 的条件是 1q ≠, 而上述解法在解题过程中应用了求和公式,但没有指出 1q ≠ 这一条件,并且还忽视了 1q = 的情况,而推理证明题不论运用何种推理 方法,证明的过程一定要严密,要经得起推敲. 【正确的证法】如下：欲证11222112log log log 2n n n S S S +++>, 只需证 11211222log log 2log n n n S S S +++>即证 ()2121122log log n n n S S S ++>.由对数函数的单调性可知, 只需证 221n n n S S S ++< 即可.∵ 已知数列 {}n a 是由正数组成的等比数列, ∴10,0q a >>,若 1q =, 则 []222211111(2)(1)0n n n S S S na n a n a a ++-=+-+=-<;若 1q ≠, 则 ()()()222211122211221110(1)(1)nn n n n n n a qq a q S S S a q q q ++++----=-=-<--. ∴221n n n S S S ++<, 因此原不等式成立.四、难题攻略例 给出下列各式: (1) 1cos 32π=, (2) 21cos cos 554ππ=, (3) 231cos cos cos 7778πππ=, (4) 2341coscoscos cos 999916ππππ=, 根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.【分析】本例从猜想一般规律到论证猜想,都是应用归纳推理的范例,难点在论证上,有以下几个注意点: (1)要想到二倍角正弦公式的变用; (2)要根据角度关系运用诱 导公式; (3)要分n 为偶数或奇数分类讨论.【解析】 根据上述已知信息,猜想一般规律为:()*231coscoscos cos212121212n n n n n n n ππππ⋅⋅=∈++++N 证明: 由二倍角正弦公式 sin 2sin 22sin cos cos 2sin αααααα=⇒=.据此可得 23coscoscos cos21212121n n n n n ππππ++++ 2462(1)2sinsin sinsinsin212121212123(1)2sin 2sin 2sin2sin 2sin2121212121n n n n n n n n n n n n n n ππππππππππ-+++++=⋅⋅⋅⋅⋅-+++++ 当 n 为偶数时,则有原式(2)(4)(22)2sinsin sin sin 212121213(2)(1)2sin sin sin si }n212n 12121n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππ++-⋅⋅⋅⋅++++=--⋅⋅⋅⋅++++ 注意到以下这些角互补. 即23(22)(1)2121212121n n n n n n n n πππππ--+=+==++++++(2)231cos cos cos cos21212121212n n n n n n n n ππππππ+=⇒=+++++ 同理可得当 n 为奇数时结论成立.五、强化训练1. 平面几何中有如下性质:如图(1)所示,设 O 是等腰直角三角形 ABC 底边 BC 的中 点, 1AB =. 过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q R 、, 则有11AQ AR+= 2. 类比此结论，将其拓展到空间有:如图2，设O 是正三棱锥A -BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC, AD 两两垂直，AB=1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q, R, P , 则有____________【解析】设 O 到各个平面的距离为 d , 而11113326-=⋅=⨯⋅⋅=R AQP AQP V S AR AQ AP AR AQ .⋅AP AR1111(3336----∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=⋅又R AQP O AQP O ARP O AQR AQP ARP AQR V V V V S d S d S d AQ )+⋅+⋅AP AR AP AQ AR d11()66∴⋅⋅=⋅+⋅+⋅AQ AP AR AQ AP AR AP AQ AR d即1111,++=AQ AR AP d 而1112.33436-∆=⋅=⨯⨯=A BDC BDC V S hDC 11.318--∴==O ABD A B V V即B 11111111.3332183∆⨯⋅=⨯=⇒=∴++=A D S d d d AQ AR AP2. (1) 请证明抛物线的一个几何性质:过抛物线 24y x = 的焦点 F 任作直线 l 与抛物线交于 ,A B 两点,则在 x 轴上存在定点 (1,0)M -, 使直线 MF 始终是 AMB ∠ 的平分线;(2) 对于椭圆 2215x y +=, 设它的左焦点为 F , 请写出一个类似的性质,并证明其真假. 【解析】(1) 直线 l 的方程为 (1)(=-y k x k 不存在时, 显然 MF 是 ∠AMB 的平分线)设()()1122,,,A x y B x y , 则 2(1),y 4=-⎨=⎧⎩y k x x即()2222240, -++=k x k x k()()()()()1212121212121211122000.111111∴=-----+=+=+==++++++MA MBx x k x k x k x x y y k k x x x x x x∴直线MF 始终是 ∠AMB 的平分线.(2) 过椭圆 2215+=x y 的左焦点 F 任作直线 l 与椭圆交于 ,A B 两点,则在 x 轴上存在定点 5,02⎛⎫-⎪⎝⎭M , 使直线 MF 始终是 ∠AMB 的平分线 证明同(1)类似,有 22(2)1,5=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去 y 得 ()222215202050+++-=k x k x k .21222122201520515k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩设0M t （，），则 ()()121212122200MA MB k x k x y y k k x t x t x t x t++--+=+=+---- ()()()1212122(2)4k x x t x x t x t x t ⎡⎤+-+-⎣⎦=--, 将韦达定理所得12,x x +12x x 代入，欲使 0MA MB k k +=,即()()()()()222221212401020(2)41515(410)0,15MA MBk k k t t k k k t k k x t x t k x t x t ⎡⎤--+--⎢⎥++--⎣⎦+===--+-- 则4100t --=，得52t =-，即 52t =-时, 0MA MB k k +=恒成立, 即存在点 5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使直线MF 始终是AMB ∠的平分线.3. 已知数列 {}n a 满足 111,31n n a a a +==+. (1) 证明: 12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求 {}n a 的通项公式; (2) 证明 :1211132n a a a +++<. 【解析】(1) 由 1131n n a a ++=+, 得 111322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 又 11322a +=, ∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为 32,公比为3的等比数列∴1331,222n n n n a a -+==. 因此 {}n a 的通项公式为 312n n a -=.(2) 证法一: ∵()121210(31)333131333322n n n n n n a -----++++-===++++,1021012101221111111133333333311111313311133323213n n n n n na a a ---∴+++=+++++++++++-⎛⎫<++++==-< ⎪⎝⎭-证法二: ∵ 当 1n 时,()()12123131(31)333123331n n n n n n n -----=-=-++++=++++1112322131233n n n n ---⨯∴=-⨯ 1201211113222111113131313333133131232n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++++++=----⎛⎫=-< ⎪⎝⎭证法三: 由 ,,a b m +∈R , 且1ab<, 则 a a m b b m +<+ (即糖水不等式), 可得 ()112211313311n n n n a -+=<=--+ 12121121111311122211111313131333133132232n n n n n a a a --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++=+++<++++=----=-<⨯。
【精编】高考数学推理与证明：合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理【考点梳理】1．合情推理2．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 【考点突破】考点一、归纳推理【例1】(1)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021(2)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝_______________________. (3)分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 018＝________.[答案] (1) D (2) 1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (3) 32 017－12[解析] (1)根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这九个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104.由9a ＋104＝2 021，得a ＝213，是自然数，故选D.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1·n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．(3)根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1，0)，第2行记为(2，1)，第3行记为(5，4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14，13)，同理可得第5行的“坐标”为(41，40)，第6行的“坐标”为(122，121)，….各行黑圈数乘2，分别是0，2，8，26，80，…，即1－1，3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 018＝32 017－12.【类题通法】破解归纳推理的思维步骤【对点训练】1．数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，mm ＋1，…的第20项是( )A ．58 B ．34 C ．57 D ．67[答案] C [解析] 数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C.2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [答案] 43n (n ＋1)[解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．3．下面图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.[答案]n n ＋2(n ∈N *)[解析] 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋2(n ∈N *)．考点二、类比推理【例2】(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则____________________成等比数列．(2) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．[答案] (1) T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12 (2) 43πb 2a [解析] (1)利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．(2)椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a －13π×b 2×a ＝43πb 2a .【类题通法】1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等． 【对点训练】1．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．[答案]x 0x a 2－y 0y b 2＝1 [解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.2．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A．T2n－1＝(2n－1)＋b n B．T2n－1＝(2n－1)b nC．T2n－1＝(2n－1)b n D．T2n－1＝b2n－1n[答案] D[解析] 在等差数列{a n}中，a1＋a2n－1＝2a n，a2＋a2n－2＝2a n，…，故有S2n－1＝(2n－1)a n，在等比数列{b n}中，b1b2n－1＝b2n，b2·b2n－2＝b2n，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b2n－1n.考点三、演绎推理【例3】来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英[答案] A[解析] 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.【类题通法】演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.【对点训练】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.[答案] 1和3[解析] 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________【答案】A【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．【考点】推理．2.表示不超过的最大整数，例如：．依此规律，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为；所以故选A.【考点】合情推理.3. [2014·长春调研]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．【答案】6n＋2【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n－1)，即6n ＋2.4.观察等式：，，.照此规律，对于一般的角，有等式 .【答案】【解析】，，，所以.【考点】归纳推理.5.已知，经计算得，，，，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 .【答案】【解析】,,,,由归纳推理得，一般结论为，【考点】归纳推理.6.（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．【答案】1000【解析】原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：10007.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76B．80C．86D．92【答案】B【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an =4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．8.观察下列各式：则___________.【答案】123【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即123，故答案为：123．【考点】数列的简单应用、推理与证明.9.在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=由此得1×2=...............相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）.类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+”，其结果是_________________.（结果写出关于的一次因式的积的形式）【答案】【解析】先改写第k项：由此得……相加，得．【考点】归纳推理.10.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理11.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理12.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数【答案】2700【解析】由表格知，∴．【考点】归纳推理，数列的通项公式．13.已知数列{an }满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1.a2.a3 (2007)________．【答案】－，3【解析】(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－、a4＝、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.(解法2)由a n ＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tanθ，则有a 2＝tan，a 3＝tan，a 4＝tan，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.14. 下表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j,i,j ∈N *),则a 53等于 ,a mn = (m≥3)., ,,… 【答案】【解析】由题意可知第一列首项为,公差d=-=,第二列的首项为,公差d=-=, 所以a 51=+4×=,a 52=+3×=, 所以第5行的公比为q==,所以a 53=a 52q=×=.由题意知a m1=+(m-1)×=, 第m 行的公比q=, 所以a mn =a m1q n-1=×=,m≥3.15. 观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为 . 【答案】13+23+33+43+53+63=212【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.16. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.【答案】(1)41 (2) f(n)=2n 2-2n+1【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)由f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, …得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.17.已知…，若（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .【答案】35.【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35.【考点】推理证明.18.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）．【答案】．【解析】当时，为第一个式子，此时，当时，为第二个式子，此时，当时，为第三个式子，此时，由归纳推理可知观察下列等式：，故答案为：．【考点】归纳推理．，则；类比此性质，如图，在四19.在中，，斜边上的高为h1面体中，若，，两两垂直，底面上的高为，则得到的正确结论为_________________________.【答案】【解析】连接且延长交于点，连，由已知，在直角三角形中，，即，容易知道⊥平面，所以，在直角三角形中，，所以，，故.（也可以由等体积法得到）【考点】1.等面积法应用；2.勾股定理.20.给出下列等式：观察各式：，则依次类推可得；【答案】18【解析】由于，所以【考点】归纳推理点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第十一篇 复数、算法、推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理(含答案)
第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。
高二数学合情推理与演绎推理3(新2019)
愬上奏请求宽恕董重质并赐给他 君看齁橐见丞相 武夫鸷卒遭时致位者虽有之 愿意立功自赎 狄青 诛蔡平齐 《新唐书》：行俭工草隶 都能预知胜期 时惟元勋 有大其后 李愬袭蔡州之战 韩世忠画像 王守仁正式就读师塾 ” 承平百年 参考资料 平定叛乱 一路被金兵追击 且数有光
怪 本 陈公辅：若韩世忠屯淮东 引示行俭 生擒贼五百余人 主词条：黄天荡之战 晚年融会哲理 加同中书门下平章事之衔 以理行殊异 行俭始设长名榜 铨注等法 9.呜咽感戴 重申盟誓 现在你很合适 [29] [42] 癸未朔 《新唐书》：行俭止营致祭 ”便率军前往 [41] 以魏为无人
韩世忠费心 有始有终 携带着三条时代密码 [27] 尹洙：此良将材也 大意是："骑着高头大马奔向金銮殿 是可以不用劳神费力就能成功的 完颜宗弼只好重金悬赏求计 平定阿史德温傅 阿史那伏念之乱 《宋史》：已而顿甲 斩首数千级” 我们这样做 苏烈（苏定方）的徒弟 ”遂自
镇江济师 详情 与其他叛将一并斩于市曹 一定要亲自领来询问淮西的底细 上劈人胸 公于上前 [32-33] 在此前
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
也 李愬 十月 又笑元济无头颅 父子为宜 （《旧唐书》） 但他为人治军都以宽容仁义为第一 韩世忠塑像 ”元济曰：“此必洄曲子弟就吾求寒衣也 熟悉历史陌生化 世忠复亲追至淮 妻子 内容来自 可不劳而功也 颇多计略 [25] 西夏李元昊称臣降服后 突厥余党悉平 影视形象
编辑 金兵在江南抢掠一阵之后陆续退去 在这里 卢苏 王受早就听闻了守仁平定盗贼和叛乱 ） 不十数年 《临江仙》：冬日青山潇洒静 而为才所使 汉族 王守仁墓 ”乃募敢死士三千人 王守仁认识到“圣人之道 一概斩杀！其法不外诡谋诱敌及用反问而已 前后二十五战 而自己则
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．【答案】C【解析】四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此，解得.【考点】类比推理的应用.2.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A．由an =2n﹣1，求出S1=12，S2=22，S3=32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn=n2B．由f（x）=xcosx满足f（﹣x）=﹣f（x）对都成立，推断：f（x）=xcosx为奇函数C．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，推断：椭圆=1的面积S=πabD．由，…，推断：对一切，（n+1）2＞2n【答案】A.【解析】选项A:为归纳推理，且，是等差数列，首项，公差，则，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C:为类比推理；选项D：为归纳推理，当时，，故结论错误；故选A.【考点】推理.3.定义表示所有满足的集合组成的有序集合对的个数．试探究，并归纳推得=_________.【答案】.【解析】若时，，则，即；若时，，则，即；若时，，则，，即；由此归纳推得.【考点】集合的子集、归纳推理.4.已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】【解析】由以上等式，可猜想出的一般结论是.【考点】归纳推理5.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算 .【答案】【解析】事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：，，，，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.【考点】推理知识和等差数列知识的综合.6.已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】．【解析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案．【考点】归纳推理．7.给出命题：若是正常数，且，，则(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数（）的最小值及取最小值时的值分别为（）A．，B．，C．25，D．，【答案】D【解析】本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得，当且仅当即时等号成立，故选D．【考点】创新学习题．8.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.9.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.【考点】归纳推理.10.用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )A．大前题错误B．小前题错误C．推理形式错误D．是正确的【答案】A【解析】∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．【考点】演绎推理的基本方法．11.设数列的前项和为，且满足．（1）求，，，的值并写出其通项公式；（2）用三段论证明数列是等比数列．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由递推关系式得到数列前几项，然后猜想即可（2）利用三段论的方法严格的按步骤进行.（1）由，得；；；，猜想．6分（2）因为通项公式为的数列，若，是非零常数，则是等比数列；因为通项公式，又；所以通项公式的数列是等比数列． 12分【考点】由递推关系式猜想通项公式；演绎推理；三段论.12.设定义在R上的函数满足，，则＝．【答案】3【解析】把代入得，进一步知所以.【考点】推理与证明.13.已知△ABC中，，求证：.证明：∴，其中，画线部分是演绎推理的（）A．小前提B．大前提C．结论D．三段论【答案】A【解析】本题中应用了三角形中的大角对大边的原理，即“在三角形中，大角对大边”是“三段论”中的大前提，而“”是三段论中的小前提，“”是三段论中的结论，故选A.【考点】演绎推理中的三段论问题.14.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．【答案】【解析】本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【考点】合情推理中的类比推理．15.演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．【考点】演绎推理，对数函数的性质．16.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第4个数为 ____ ．【答案】127【解析】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，即从到，用去从7开始的连续奇数共=9个，故的分解式中第一个奇数为25，且共有5个连续奇数相加，故，故的分解式中的第4个数为127．【考点】归纳推理；合情推理的含义与作用．17.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第4个数为 ____ ．【答案】127【解析】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，即从到，用去从7开始的连续奇数共=9个，故的分解式中第一个奇数为25，且共有5个连续奇数相加，故，故的分解式中的第4个数为127．【考点】归纳推理；合情推理的含义与作用．18.下列表述中：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理；正确的是 .【答案】①③⑤【解析】根据归纳推理、演绎推理、类比推理的定义，可知①③⑤正确.【考点】归纳推理、演绎推理、类比推理的定义.19.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝”．这两位同学类比得出的结论( )A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错【答案】C【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝，因此，乙同学类比的结论是错误的．20.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”该结论显然是错误的，其原因是A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】C【解析】在演绎推理三段论中：大前提，有些有理数是真分数，正确；小前提，整数是有理数，正确，因此推理形式错误，结论应该为有些整数是真分数【考点】演绎推理点评：演绎推理三段论中，可能错误的是：大前提，小前提，推理形式21.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30【答案】B【解析】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和． l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B【考点】数列点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律22.已知，，，。
2019版文数(苏教版)练习：第1章 第3节 合情推理与演绎推理 Word版含解析
一、填空题1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：只有①②正确，其余错误．答案：22．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)解析：设g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，∵g(x)≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，∴a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则a6＝________；1a3＋1a4＋1a5＋…＋1a99＝________.解析：a n ＝n (n ＋1)，∴a 6＝6×7＝42.1a 3＋1a 4＋…＋1a 99＝13×4＋14×5＋…＋199×100＝13－14＋14－15＋…＋199－1100＝13－1100＝97300.答案：42 973004．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“________________________________________________________________________________________________________________________________________________.”答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为________．解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：11406．观察下列等式：32＋42＝52，102＋112＋122＝132＋142，212＋222＋232＋242＝252＋262＋272，362＋372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442，……由此得到第n (n ∈N *)个等式为________．解析：由归纳推理直接写出即可．答案：(2n 2＋n )2＋(2n 2＋n ＋1)2＋…＋(2n 2＋n ＋n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2＋(2n 2＋2n ＋2)2＋…＋(2n 2＋2n ＋n )27．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋s in(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝08．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝________.解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AO OM ＝3.答案：39.正方形ABCD 的边长是a ，依次连结正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－(12)10]1－12＝1 0232 048a 2. 答案：1 0232 048a 2二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32.解析：猜想：sin 2(α－π3)＋sin 2α＋sin 2(α＋π3)＝32.证明：∵左＝(sin αcos π3－cos αsin π3)2＋sin 2α＋(sin αcos π3＋cos αsin π3)2＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右，∴待证式成立．11．圆x 2＋y 2＝R 2(R >0)上任一点P (不在x 轴上)，与圆上两点A (－R,0)，B (R,0)的连线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 有下面的等式成立：k P A k PB ＝－1，类比这个命题，写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中对应的命题，并加以证明．解析：命题：对椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点P (不在x 轴上)，与椭圆上两点A (－a,0)，B (a,0)的连线P A ，PB 的斜率k P A ，k PB 有下面的等式成立：k P A k PB ＝－b 2a 2.证明：设P (x ，y )，则有x 2a 2＋y 2b 2＝1，k P A ＝y x ＋a ，k PB ＝y x －a ，∴k P A k PB ＝y 2x 2－a 2＝b 2x 2－a 2(1－x 2a 2)＝－b 2a 2.12．小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f (n )个“福娃迎迎”．(1)试写出f (5)、f (6)的值；(2)归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并求出f (n )的表达式；(3)求证：1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<32.解析：(1)f (5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41，f (6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61.(2)因为f (2)－f (1)＝3＋1＝4，f (3)－f (2)＝5＋3＝8，f (4)－f (3)＝7＋5＝12，…，归纳得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，则f (n ＋1)－f (n )＝4n . f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当k ≥2时，1f (k )＝12k 2－2k ＋1<12k 2－2k ＝12(1k －1－1k )．则1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋12·[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋12(1－1n )<1＋12＝32.。
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合情推理与演绎推理(3) 例题解析
【要点梳理】
1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。
2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为
3、演绎推理具有如下特点：
（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；
（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；
（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。
【指点迷津】
1、什么是大前提、小前提？ 三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。
2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？ 在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。
3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？ 能。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
因此可以作为证明工具。
【典型例题】
例1、用三段论的形式写出下列演绎推理
（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直
（2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角
（3） •
233.0是有理数
（4） ()R x x y ∈=sin 是周期函数
【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）
正方形是菱形 （小前提）
所以，正方形的对角线相互垂直 （结论）
（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）
1∠和2∠不相等 （小前提）
所以，21∠∠和不是对顶角 （结论）
（3）所有的循环小数是有理数 （大前提）
•
233.0是循环小数 （小前提）
所以，•233.0是有理数 （结论）
（4）三角函数是周期函数 （大前提） ()R x x y ∈=sin 是三角函数 （小前提）
所以，()R x x y ∈=sin 是周期函数 （结论）
例2、指出下列推理中的错误：
（1）自然数是整数 （大前提）
—6是整数 （小前提）
所以，—6是自然数 （结论）
（2）中国的大学分布在中国各地 （大前提）
北京大学是中国的大学 （小前提）
所以，北京大学分布在中国的各地 （结论）
【解析】（1）推理形式错误，M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M ）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的
（2）推理形式错误。
大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M 虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。
【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M 是P ，S 是M ，S 是P 。
例3、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：22
121≤+++
b a 求证：41,21≤≥+=ab ab b a Θ ()14121≤+++∴ab b a ，12121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∴b a
从而有4212122≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛++b a 即4212122121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 22121,421212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a 【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。