高中数学合情推理与演绎推理(3) 例题解析

合情推理与演绎推理(3) 例题解析

【要点梳理】

1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。

2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为

3、演绎推理具有如下特点：

（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；

（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；

（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

【指点迷津】

1、什么是大前提、小前提？ 三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。

2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？ 在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。

3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？ 能。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。因此可以作为证明工具。

【典型例题】

例1、用三段论的形式写出下列演绎推理

（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直

（2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角

（3） •

233.0是有理数

（4） ()R x x y ∈=sin 是周期函数

【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）

正方形是菱形 （小前提）

所以，正方形的对角线相互垂直 （结论）

（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）

1∠和2∠不相等 （小前提）

所以，21∠∠和不是对顶角 （结论）

（3）所有的循环小数是有理数 （大前提）

•

233.0是循环小数 （小前提）

所以，•233.0是有理数 （结论）

（4）三角函数是周期函数 （大前提） ()R x x y ∈=sin 是三角函数 （小前提）

所以，()R x x y ∈=sin 是周期函数 （结论）

例2、指出下列推理中的错误：

（1）自然数是整数 （大前提）

—6是整数 （小前提）

所以，—6是自然数 （结论）

（2）中国的大学分布在中国各地 （大前提）

北京大学是中国的大学 （小前提）

所以，北京大学分布在中国的各地 （结论）

【解析】（1）推理形式错误，M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M ）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的

（2）推理形式错误。大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而在小前提中M 虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。

【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M 是P ，S 是M ，S 是P 。

例3、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：22

121≤+++

b a 求证：41,21≤≥+=ab ab b a Θ ()14121≤+++∴ab b a ，12121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∴b a

从而有4212122≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛++b a 即4212122121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 22121,421212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a 【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。