《现代控制理论基础》第3章

第一和第二讲小结

一、状态空间表达式的标准形式

能控标准形

能观测标准形

对角线标准形

Jordan标准形

二、矩阵的特征值及对角线化

矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异

（2）重根

（3）一般情形

三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换

[A, B, C, D] = tf2ss (num, den)

[num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu]

四、时域分析的基本概念

状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理

最小多项式

五、矩阵指数计算

级数法，对角线标准形与Jordan标准形法

拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理

II、分析部分

第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析

能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。

在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。

3.1 线性连续系统的能控性

3.1.1 概述

能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。

例1．给定系统的描述为

u x x x

x

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121 []⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=2160

x x y

将其表为标量方程组的形式，有：

u x x

+=114 u x x

2522+-= 26x y -=

例3－2：判断下列电路的能控和能观测性

)

(t u +

y

C

R )

(t u

L y

2

3.1.2 能控性的定义

考虑线性时变系统的状态方程

∑:

Bu x t A x

+=)( ， u t D x t C t y )()()(+=，00)(x t x =，J t ∈ (3.1.1)

其中，x 为n 维状态向量，u 维p 维输入向量，J 为时间定义区间，B A ,分别为n n ⨯和p n ⨯的元为t 的连续函数的矩阵。下面给出系统能控和不能控的定义：

定义1：对线性时变系统∑，如果对取定初始时刻J t ∈0的一个非零初始状态0x ，存在一个时刻J t ∈1，01t t >，和一个无约束的的容许控制)(t u ，[]10,t t t ∈，使状态由0x 转移到1t 时0)(1=t x ，则称此0x 在0t 时刻是能控的。

定义2：对线性时变系统∑，如果状态空间中的所有非零状态都是在0t 时刻为能控的，那么称系统∑在时刻t o 是能控的。

定义3：对上述线性时变系统，取定初始时刻J t ∈0，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻0t 是不能控的，则称系统∑在时刻0t 是不完全能控的。 定义的几点解释：

（1） 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特

性；

（2） 容许控制的分量幅值不加限制，且在J 上平方可积； （3） 线性系统的能控性与0t 无关；

（4） 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非

零状态，则称为系统的能达性。

（5） 系统不完全能控为一中“奇异”情况。 3.1.2 能观测性的定义

(3.1.1)的状态方程可以表示为

⎰+=t

t d u B t x t t t x 0

)()(),(),()(00ττττΦΦ (3.1.2)

则系统输出

)()()()(),()(),()()(0

00t u t D d u B t t C x t t t C t y t

t ++=⎰ττττΦΦ

(3.1.3)

若定义

)()()()(),()()()(0

t u t D d u B t t C t y t y t

t --=⎰ττττΦ (3.1.4)

这样

00),()(x t t t C y Φ= (3.1.5) 所以，(3.1.5)系统的能观测性研究等价于下列系统

∑: x t A x

)(= x t C t y )()(= (3.1.6)

定义1：如果系统的状态x (t o )在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t o 是能观测的。

定义2：对(3.16)所示系统，如果对取定初始时刻J t ∈0的一个非零初始状态0x ，存在一个有限时刻J t ∈1，01t t >，使对所有[]10,t t t ∈有0)(=t y ，则称此0x 在时刻0t 是不能观测的。

定义3：对(3.16)所示系统，如果对取定初始时刻J t ∈0，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻0x 是不能观测的，的一个非零初始状态0x ，存在一个有限时刻J t ∈1，01t t >，则称该系统在时刻0t 是不能观测的。

前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。3.1节涉及到能控性，3.2节将讨论能观测性。 上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。

3.2 定常系统状态能控性判据

3.2.1 定常系统状态能控性的代数判据