多元函数

多元函数中值定理的研究

摘要：微分中值定理是研究函数的有力工具.本文总结了多元函数的微分中值定理，包括二元函数的罗尔中值定理、二元函数的拉格朗日中值定理、二元函数的柯西中值定理、二元函数的泰勒中值定理.并用二元函数柯西中值定理的证明推导出了二元函数的罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则，进一步介绍了有限多个多元函数的中值定理，多元函数的中值定理的不等式形式、多元函数的高阶微分中值定理，给出了相应的实例.

关键字: 二元函数；微分中值定理.

The Study on Mean Value Theorem for Multivariate Functions Abstract:The Differential Intermediate Value Theorem is a powerful tool for study of function. In this paper, Multivariate function differential Intermediate Value Theorem, including the dual function of the Roll Mean Value Theorem, the dual function of the Lagrange Mean Value Theorem, the dual function of the Cauchy’s Mean Value Theorem, the dual function of the Taylor’s Mean Value Theorem, is summarized, and the dual function of the Roll Mean Value Theorem, Lagrange Mean Value Theorem, the L’Hospital Law was derived by the Cauchy’s Mean Value Theorem’s proof. The Multivariate function differential Intermediate Value Theorem, including Multivariate function of the Mean Value Theorem inequality the form of high-end Multivariate function differential Intermediate Value Theorem, is introduced in this paper ,and the corresponding application is given.

Key words: Multivariate function; Differential Mean Value Theorem

目录

引言

1 多元函数的微分中值定理.................................................................................................

1.1 二元函数的微分中值定理.........................................................................................

1.2 二元函数微分中值定理的应用.................................................................................

2 有限多个多元函数的微分中值定理...................................................................................

3 多元函数中值定理的不等式形式....................................................................................... 4多元函数的高阶微分中值定理............................................................................................

5 参考文献...............................................................................................................................

6 谢辞.......................................................................................................................................

多元函数中值定理的研究

引言

众所周知，在一元微积分中，中值定理是联结

在一元和多元微积分中，中值定理是连接函数值与其导数之间的桥梁，它在微积分中有着重要的地位，对于多元函数的微分中值定理，在大多数数学分析或高等数学教科书研究，一般都介绍的比较少，近年来，许多作者对于多元函数中值定理进行了一些较少深刻的研究，本文介绍多元函数微分中值定理。

1 多元函数的微分中值定理 1.1 二元函数的微分中值定理

首先介绍二元函数的微分中值定理的几个重要定理

我们先来引入一下平面凸区域的概念，对于多维（2n ≥）的情形类似。

若平面区域D 上任意两点的连线含在D 内，则说D 为凸区域，这就是说，若D 为凸区域，则对D 内任意两点11,221,2(),()p x x p x x 和一切)10(≤≤λλ，恒有

121112((),())p x x x y y y λλ+-+-∈D

定理1.1.1（二元函数罗尔中值定理） 设二元函数(,)f x y 在有界闭区域D 连续，在0D 的每一点存在偏导数，且当(,)x y D ∈∂时，(,)f x y C ≡,C 为常数，则至少存在一点

0(,)D ξη∈使''(,)0,(,)0,x y f f ξηξη==其中0D D ∂分别表示的D 内部和边界。

定理1.1.2（二元函数拉格朗日中值定理） 设二元函数(,)f x y 在平面凸开区域D 上连续，在0D 内可微，则对D 的任意两点0(,),(,)P a b Q a h b k D ++∈,存在(01)θθ≤≤，使

(,)(,)(,)(,x y f a h b k f a b f a h b k h f a h b k k

θθθθ++-=+++++

定理 1.1.3设二元函数(,)f x y 在点0,0()x y 的 某邻域内存在偏导数，若(,)x y 属于该邻域，则存在

010()x x x ξθ=+-和020(),y y y ηθ=+- 1,201θθ<<， 使得

0,0

000

(,)()

(,)()(,)(

)

x y f x y f x y

f y x x f x y y ξη-=-+-

定理1.1.4 （二元函数柯西中值定理） 设二元函数(,)f x y ，(,)g x y 满足下列条件：（1）在有界闭区域D 上连续；

（2）在0D 内有对,x y 的连续片导数；