复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：复数的除法运算教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？2.探索交流，解决问题【问题1】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？[提示]z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？[提示]满足．【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个怎样的数？[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3（3）例题讲解【例1】计算（3−4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)=3×3+3×4i −4×3i −4i×4i;=(11−2i)(−2+i);=−20+15i.=25.【变式】计算（12−5i）（12+5i）=22512+=213（三）、复数的除法运算猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？试试自己猜测，复数的除法法则：(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)×4i +31=4i +32i 1+=4i)-4i)(3+(34i)-2i)(3+(1=22434i)-2i)(3+(1=+注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
复数乘除法公开课优秀教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bia ++()0≠+di c .引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bia ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法. 例4i43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性. 点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2.设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ） A.i - B.i C.1- D.1 4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来. 提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性. 【总结反思】知识 . 重点 .能力与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( )A.很好B.较好C.一般D.较差2011年训练试题2．（浙江理2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+，则(1)z z +⋅= ．3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii-=- ． 4．（四川理2）复数1i i-+= ．9．（江西理1）若12iz i +=，则复数z = ． 13．（北京理2）复数212i i-=+ ．6．（全国新课标理1）复数212ii+=- ． 7．（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ． 12．（广东理1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ． 14．（安徽理1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a = ． 15．（江苏3）设复数z 满足(1)32i z i +=-+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ．。
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
复数代数形式的乘除运算优秀教学设计
复数代数形式的乘除运算【教学要求】掌握复数的代数形式的乘、除运算。
【教学重点】复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。
【教学难点】乘除运算【教学过程】一、复习准备1．复数的加减法的几何意义是什么?2．计算：（1）（2） （3）(14)(72)i i +-+(52)(14)(23)i i i --+--+(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3．计算：（1）（2）(1(2+⨯()()a b c d +⨯+二、讲授新课1．复数代数形式的乘法运算2．复数的乘法法则：。
2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++例1．计算、、、(14)(72)i i +⨯-(72)(14)i i -⨯+[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．计算、、(14)(14)i i +⨯-(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+2(32)i +2．已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
Z Z (23)8i Z +≥Z 3．共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
a bi a bi +-与0b ≠注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
32,43,5,52,7,2i i i i i --++--4，试写出复数的除法法则。
=2．复数的除法法则：，其中2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++c di-叫做实数化因子例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）(32)(23)i i -÷+(12)(32)i i +÷-+练习：计算，232(12)i i -+23(1)1ii -+-2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
高中数学 第三章《复数的代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
第二课时3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 3. 计算：（1）(13)(23)+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
③类比12(12)(23)23(23)(23)+++=--+，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案一、教学目标：1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算；3.能够应用复数进行实际问题求解。
二、教学重点：1.复数的加减乘除运算；2.复数的相关性质。
三、教学难点：1.复数乘除运算的步骤；2.复数运算过程中的常见问题。
四、教学过程：第一步：了解复数的定义和性质（10分钟）1. 复数的定义：复数由实数和虚数相加得到，形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
2.复数的性质：复数的加法、减法、乘法、除法满足相应运算规则；- 加法性质：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法性质：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法性质：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法性质：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad) / (c^2 + d^2)i第二步：复数的加法和减法运算（15分钟）1.讲解复数的加法和减法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的加法和减法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第三步：复数的乘法运算（25分钟）1.讲解复数的乘法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的乘法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第四步：复数的除法运算（25分钟）1.讲解复数的除法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的除法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第五步：实例分析和拓展应用（20分钟）1.提供一些实际问题，要求学生用复数进行求解。
2.学生们自己动手解决实际问题，并展示解题过程和结果。
3.学生之间进行交流和讨论，明确解题思路和答案的合理性。
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
数系的扩充与复数的引入复习课整体设计教材分析复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅使学生对数的概念有一个初步的完整的认识，也为进一步的学习打下基础．通过前几节课的学习，同学们对复数的基本概念，基本运算法则，以及复数的几何意义等几个不同的方面有了了解，本节的复习将使学生在问题情景中进一步了解数系扩充的过程和引入复数的必要性，以及用复数解决数学问题的基本方法，复数与以前学习的知识之间的联系与区别，加强对复数的理解，体会实际需要与数学内容的矛盾．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标理解复数的概念以及复数相等的充要条件，熟练掌握复数代数形式的四则运算，了解复数及其加减运算的几何意义，复数模的概念及其应用．过程与方法目标引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，培养学生数形结合，化归与转化的思想意识．情感、态度与价值观通过对本章的复习，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于开拓进取的良好品质，从而形成全面且细致的思维习惯．重点难点重点：复数的基本概念，复数的四则运算和复数相等的充要条件．难点：复数的几何意义以及对复数的模的理解应用．教学过程形成网络提出问题问题1：通过前面的学习，我们已经将数系由实数扩充到了复数，谁来将前面学习的有关复数的内容描述一下？活动设计：学生独立思考，5秒后找一位同学口答，其他同学可以补充．活动成果：复数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 复数的概念⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的代数形式及其相等的充要条件复平面、实轴、虚轴和复数对应的点和向量共轭复数复数的运算⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的加法及其运算律和几何意义复数的减法及其运算律和几何意义复数的乘法法则和除法法则复平面上两点间的距离公式数系的扩充⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的分类实系数的一元二次方程提出问题问题2：(1)计算1－i 1＋i＝__________； (2)若m ＋pi ＝2p ＋(1－m)i ，则m ＝__________，p ＝__________(m ，p ∈R )；(3)若复数z ＝1＋2i ，则|z|＝__________，复数z 对应的向量OZ →＝__________.活动设计：找一个学生到黑板上做，然后一起对答案．活动成果：(1)－i (2)23 13(3)5 (1,2) 设计意图通过问题1、2，从理论和实践两个方面回顾复数的基本内容．典型示例类型一：复数的基本概念例1设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝__________.(2)若z 为纯虚数，则m ＝__________.思路分析：复数a ＋bi(a ，b ∈R )包括实数(b ＝0)和虚数(b ≠0)，其中虚数中a ＝0的数是纯虚数．解：首先整理得：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.在(1)中z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2.在(2)中z 为纯虚数，则2m 2－3m －2＝0且m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12. 点评：解决这类问题，首先把z 化成“z ＝a ＋bi ”的形式，分清虚部和实部．若题目条件中直接指明z 为“虚数”，此时我们可设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )；若指明z 是纯虚数，则可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)即可．注意设复数的同时一定加入必需的条件．巩固练习已知a ∈R ，复数z ＝a a －3＋(a 2＋2a －15)i ，当a 为何值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)z 对应的点在直线y ＝9上？答案：(1)－5.(2)a ≠－5且a ≠3.(3)0.(4)4或－6.类型二：复数相等的充要条件例2已知集合A ＝{(m ＋3)＋(n 2－1)i ，8}，集合B ＝{3i ，(m 2－1)＋(n ＋2)i}，满足A ∩B ⊂A ，A ∩B ≠∅，求整数m ，n.思路分析：由A ∩B ⊂A ，可知这两个集合有一个公共元素(m ＋3)＋(n 2－1)i 或8，即(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 或8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i ，或(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i.解：依题意，当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i ，即m ＋3＝0，n 2－1＝3.解得m ＝－3，n ＝±2.经检验m ＝－3，n ＝－2时，(m 2－1)＋(n ＋2)i ＝8不合题意，舍去．所以有m ＝－3，n ＝2.当8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m 2－1＝8，n ＋2＝0.可解得m ＝±3，n ＝－2.但m ＝－3，n ＝－2时，(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 不合题意，舍去．所以有m ＝3，n ＝－2.当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m ＋3＝m 2－1，n 2－1＝n ＋2，此时m ，n 无整数解，不合题意．综合以上得m ＝－3，n ＝2或m ＝3，n ＝－2.点评：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时注意知识之间的相互联系，也要注意思维的广阔性和严谨性．巩固练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝__________.答案：－1类型三：复数的基本四则运算例3求值：(1)已知复数z 与(z －3)2－18i 均是纯虚数，则z ＝__________.(2)已知z 2＝4＋3i ，则z 3－8z －1z＝__________. 思路分析：在(1)中可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，将z 代入(z －3)2－18i 中求得b 的值．在(2)中可由z 2＝4＋3i 求得z 以后，再将z 代入z 3－8z －1z 中求值，也可化简z 3－8z －1z后再求值．解：(1)设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则(z －3)2－18i ＝(bi －3)2－18i ＝(9－b 2)－(6b ＋18)i. 由(z －3)2－18i 为纯虚数，所以9－b 2＝0且6b ＋18≠0，所以有b ＝3，即z ＝3i.(2)z 3－8z －1z ＝z 4－8z 2－1z ＝(z 2－4)2－17z ＝－26z ＝－26z z z ＝－26z|z|2. 又由z 2＝4＋3i ，得z ＝±(322＋22i)，|z |2＝|z|2＝|4＋3i|＝5， ∴z ＝±(322－22i)．∴原式等于3925－1325i 或－3925＋1325i. 点评：在解决复数计算问题时，应该先审清题意，尤其是对有条件的求值问题，先审清题意，然后找准切入点，逐步化简求值．巩固练习 －7＋i 1＋7i ＋(－21＋i )2 012＋(3－8i )2－(－3＋8i )22－7i. 答案：－1＋i.类型四：复数的几何意义例4已知复数|z 1|＝|z 2|＝3，|z 1－z 2|＝4，求|z 1＋z 2|的值．思路分析：这里可以先把z 1、z 2、z 1－z 2和z 1、z 2、z 1＋z 2两组复数对应的向量分别组成两个三角形，再借助余弦定理求解．解：设z 1对应向量OA →，z 2对应向量OB →，则z 1－z 2对应向量BA →.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1－z 2|22|z 1||z 2|＝19. 设z 1＋z 2对应向量OC →，则BC →＝OA →.∴|z 1＋z 2|2＝|OC →|2＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC＝|z 2|2＋|z 1|2＋2|z 2||z 1|cos ∠AOB＝20.∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝2 5.点评：复数的几何意义体现在将复数问题转化为点或向量的问题，也就是将代数问题转化为几何问题，充分体现了数形结合的思想．变式练习已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝1，求|z1－z2|的值．(用代数和几何两种方式求解)答案： 3.拓展实例例5已知z＝m－1－mi(m∈R)，求|z|的最值．思路分析：可以先将|z|整理出来转化为关于m的最值问题，还可以转化为几何问题，即z对应的点在哪里才能使z对应的点到原点的距离最大或最小的问题．解：代数法：因为|z|＝(m－1)2＋m2＝2m2－2m＋1＝2(m－12)2＋12，所以当m＝12时，|z|min＝22，但|z|无最大值．几何法：如下图所示，设z＝x＋yi，则有x＝m－1，y＝－m，则x＋y＋1＝0，所以z 对应的点Z在直线x＋y＋1＝0上．因为|z|的几何意义是表示Z点到原点的距离，因此|z|就是x＋y＋1＝0上的点与原点的距离，|z|的最小值就是原点到直线x＋y＋1＝0的最短距离d＝22，显然无最大值．点评：充分运用复数的几何意义，将模的最值问题转化为距离的最值问题．变式练习若复数z对应的点在(1)以原点为圆心，半径为1的圆上；(2)以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；(3)以(3,0)，(－3,0)为焦点，以原点为对称中心，长轴长为10的椭圆上，分别写出满足上述条件的z的表达式．答案：(1)|z|＝1；(2)|z－(1＋i)|＝1；(3)|z－3|＋|z＋3|＝10.变练演编提出问题：(1)当|z 1－1－i|＝1时，可以提出什么问题？(2)当|z 1－1－i|＝1，z ＝m －1－mi ，m ∈R 时，可以提出什么问题？活动设计：学生可先独立探索，后互相交流．学情预测：(1)例如：求|z 1－3－i|的范围．几何方法：如图，由|z 1－1－i|＝1可知，z 1所对应的点Z 在以C(1,1)为圆心，1为半径的圆C 上，那么|z 1－3－i|就是点A(3,1)与圆C 上的点Z 的连线的距离，所以|z 1－3－i|的最大值为|AC|＋1＝3，最小值为|AC|－1＝1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．代数方法：设z 1＝a ＋bi ，则|z 1－1－i|＝1可转化为(a －1)2＋(b －1)2＝1，就可以得到|z 1－3－i|＝(a －3)2＋(b －1)2＝(a －3)2＋1－(a －1)2＝9－4a.因复数z 1对应的点Z(a ，b)在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上，故0≤a ≤2.所以当a ＝0时，|z 1－3－i|有最大值3；当a ＝2时，|z 1－3－i|有最小值1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．(2)例如：求|z 1－z|的最小值．(答案：322－1) 对于(1)或(2)的问题和答案可以很多，教师可以选有代表性的或有共性的例子拿来讨论． 设计意图加深对复数的代数和几何含义的理解，增强题目的趣味性，训练学生的发散思维，加深对前面知识的理解，考查学生的知识应用能力．达标检测1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．24．复数(1＋1i)2的值是( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－2答案：1.D 2.D 3.D 4.B课堂小结学生独立思考后，概括对复数这一章节的认识，教师最后补充．(1)深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示，对概念的理解上要善于利用数形结合的思想．(2)掌握复数的分类，明确“复数问题实数化”是解决问题的最基本的思想方法，在解决复数问题时，充分利用复数的有关概念和复数相等的充要条件．(3)代数形式的加、减、乘、除四则运算的运算法则类似于合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法的主要内容是分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，要特别注意实数范围内的运算法则和性质是否在复数范围内实用．。
7.2.2 复数的乘、除运算 教学案
7.2 复数的四则运算7.2.2 复数的乘、除运算教学目标：1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.教学重点：复数代数形式的乘法和除法运算.教学难点：求复数范围内的方程根.教学过程：一、导入新课，板书课题前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？【板书：复数的乘、除运算】二、出示目标，明确任务1.掌握复数乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解且会求复数范围内的方程根.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书下面，阅读课本P77-P79页内容，思考如下问题（4min）：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材自学指导（8min）阅读课本P77-P79页内容，思考并完成如下问题：1.复数的乘法法则是什么？与多项式相乘的区别是什么？2.复数的乘法满足运算律有哪些？你能否证明一下？3.按照五步法认真阅读例3、例4，说明运用了哪些乘法运算律？运用乘法公式对例4进行计算，比对过程和结果有什么不同。
4.按照五步法认真阅读例4（1），你能得到关于共轭复数的一个什么性质？5.类比复数加减运算的关系，探究除法的运算法则（复数的除法实质上是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么数？）；6.按照五步法认真阅读例5，熟练掌握复数除法的运算法则；7.根据五步法阅读例6，利用求解一元二次方程的根的方法，求复数范围内的方程根.五、自学展示，精讲点拨1.口头回答自学指导问题（答案见PPT）2.书面检测：课本80页练习题1、2、3、4精讲点拨：1．复数乘、除的运算已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有4.共轭复数的性质：若z1，z2是共轭复数，则z1，z2是一个实数。
322 复数代数形式的乘除运算 教学设计
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计一、教材分析复数四则运算是本章的重点，也是高考的重点，每年必考。
复数代数形式的乘法与多项式法类似，不同的是将所得结果中把i?换成一1,再把部、虚部分别合并；复数的除法运算法则是将分母实数化转化为乘法运算。
通过复数的乘、除运算，使学生体会数学类比、转化的思想。
二、教学目标：1 .理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则及胡复数的概念；2 .理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；3 .通过对复数乘除法运算的学习，使学生渗透数学转化的数学思想方法。
三、教学重难点：重点：复数代数形式的乘除运算及共挽复数的概念。
难点：复数除法法则的应用。
四、学情分析授课班级是高二(2)・(4)班学生，学生的数学基础相对比较弱。
学生已经学习了数系的扩充、复数的概念、几何意义、力口、减运算。
类比实数四则运算，学生很容易想到复数也有乘、除运算。
从而探究复数乘法、除法法则。
五、教学过程(一)知识回顾：1 .已知两复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d是实数)，那么(1)、力口法法贝U：z1+z2=(a+c)+(b+d)i(2)、减法法则:z1-z2=(a-c)+(b-d)i即:两个复数相加(减)就是：实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(3)、复数加法运算的几何意义--向量加法的平行四边形法则(4)、复数减法运算的几何意义一---向量减法的三角形法则(二)探求新知探究一：复数乘法1 .复数代数形式的乘法法则已知zι=α+bi,Z2=c+"i,a,b,c>d£R,则zι∙Z2=(α+6i)(c+M)=(αc-∕√)+Q∕+bc)i.［提示］复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i?换成一1,再把实部、虚部分别合并.解题技巧(复数乘法运算技巧)2 .两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开.⑵再将i?换成一1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.3 .常用公式(1)(α+bi)2=a 2~b 2+2ab ∖(a ,beR).(2)(a+b ∖)(a~bi)=a 2+b 2(a i b ∈R).(3)(1±i)2=±2i.4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4w ≈1(n∈N*)(2)i f1+i f1+1+i rt+2+i w+3=0(neN).特别提醒5也可以推广到整数集.2.记住以下结果，可提高运算速度.(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i. (3)4-=-i.14.例题解析1【例1】(1)复数i(2-i)=A.1+2iC.-1+2iD.-1-2i(2)(2018全国卷niχi+i)(2T)=A.—3~iB.-3÷i C3-i D3+i设计意图:学生同顾、类比多项式乘法写出两复数的展开形式。
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数代数形式的乘除运算整体设计教材分析本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法目标1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．情感、态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点难点重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．设计意图了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.探究新知提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考，然后交流．学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．注意：z的共轭复数常用z表示．即：若z＝a＋bi，则z＝a－bi.例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则． 活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi ，叫做复数a ＋bi 除以c ＋di 的商．(2)经计算可得(cx －dy)＋(dx ＋cy)i ＝a ＋bi.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b.由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题1：若z 1，z 2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z 1·z 2是一个怎样的数？(3)若z 1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论． 活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2；(即z·z ＝|z|2＝|z |2)(3)z 1的共轭复数仍是z 1，即实数的共轭复数是它本身．设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解．提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋bi)÷(c ＋di)写成a ＋bi c ＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －di ，化简整理后即可．(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程． 巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)(－1＋i )(2＋i )－i. 解：(1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i；并自己编制一道类似的题目． 答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝25i 25＝i ； 解法二：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )i (4－3i )i ＝(3＋4i )i 3＋4i＝i.编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋bi 与c ＋di 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z.3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A.2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结。
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数代数形式的四则运算一、教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：复数代数形式的乘除法运算法则。
难点：复数代数形式的乘除运算法则的应用。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）（2）（3）3. 计算：（1）（2）（类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1）（2）（3）（4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）（2）（3）2、已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：其中叫做实数化因子例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）练习：计算，2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1）（2）（3）2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
变：在复平面的下方，求。
五、小结。
复数代数形式的乘除运算说课稿
《复数代数形式的乘除运算》说课稿一、说教材（一）、本课题的地位和作用1、复数代数形式的四则运算是本章知识的重点。
2、将实数运算的通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. （二）学情分析1、学生总体基础较差，学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
(三）教学目标1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
（3) 情感、态度与价值观:利用多项式乘除法和复数乘除法的类比,知道事物之间是存在普遍联系的。
通过学习复数乘除法的运算法则，培养学生的创新精神，以及探索问题、分析问题、解决问题的能力.（四)教学重点：复数代数形式的乘除法运算法则、运算律。
(五)教学难点：复数的除法的运算法则的推导。
二、说教法（一）类比分析法本节课通过类比思想,对比多项式的运算法则,体会多项式运算与复数运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。
（二）归纳推理法运用已有多项式乘法法则和分母有理化及复数加减运算的知识，通过归纳类比，推导复数乘除法法则.（三）多媒体辅助法合理、恰当地运用多媒体教学手段，以突破教学难点。
三、说学法（一）复习已学知识，为本节课的学习做铺垫。
（二）通过对比,类比归纳出方法和结论.(三）合作交流，思维拓展.(四）积极动手演练运算，提高运算能力。
（五)积极反思,归纳总结。
四、说教学过程创设情境，提出问题讨论交流，延伸拓展总结归纳，加深理解。
复数的乘除运算(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的乘除运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把2i换成1,并且把实部和虚部分别合并即可.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．三、教学问题诊断分析教学问题一：学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但独立推导复数乘法法则，从思维角度看学生还缺乏经验．解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习共轭复数和分母有理化等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措，这样有助于学生理解复数的乘法法则．教学问题二：复数的除法运算是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过复习共轭复数的性质，22z z a b ⋅=+，类比分母有理化帮助学生理解．教学问题三：如何在复数范围内求二次方程的根？这是学生不好理解的一个地方．解决方案：两种方法解决：一是拓展求根公式，当△<0==，从而求解；二是将方程的根设为a bi +，代入方程．利用复数的相等求解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：求复数范围内的方程根．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的乘、除法法则，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数除法法则的推导理解，让学生体会到类比的基本过程.五、教学过程与设计课堂小结升华认知a是实数，且a1＋i＋1＋i2是实数，则a等于()A.12 B.1 C.322.(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋iz1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z－25的虚部等于________.z满足：z·z－＋2z i＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.D 3.1 4.4课后练习是对运算巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
复数的乘法和除法教案
复数的乘法和除法教案教案：复数的乘法和除法教学内容：本节课将讲解复数的乘法和除法。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。
教学目标：1.能够理解复数的乘法和除法的定义；2.能够使用复数的乘法和除法进行运算；3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题；4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔；3.复数乘法和除法的练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟）1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。
2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。
4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。
Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数乘法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.解释如何计算乘积的实部和虚部。
示例：计算(2+3i)(4+5i)解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=-7+22i4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。
Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟）1.使用示例展示复数除法的计算方法。
2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] /(c²+d²)。
3.解释如何计算商的实部和虚部。
示例：计算(3+4i)/(1+2i)解：(3+4i)/(1+2i)=[(3×1+4×2)+(4×1-3×2)i]/(1²+2²)=(3+8+4i-6i)/5=(11-2i)/5=11/5-(2/5)i4.更多示例：让学生计算更多的复数除法示例，以加深对计算方法的理解。
复数的代数形式的乘除运算教案
复数的代数形式的乘除运算教案教学目标：1.学生能够了解复数的基本概念和表示方法。
2.学生能够学会复数的代数形式的乘法运算。
3.学生能够学会复数的代数形式的除法运算。
教学重点：1.复数的代数形式的乘法运算。
2.复数的代数形式的除法运算。
教学准备：1.复数的定义和表示。
2.复数的乘法运算法则。
3.复数的除法运算法则。
教学步骤：步骤一：复习1.复习实数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
步骤二：引入复数1.引入复数的概念，说明实数不能解决一些问题，因此引入了复数的概念。
2. 定义复数为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位。
3.解释复数的实部和虚部的概念。
步骤三：复数的表示1.说明复数的表示形式有代数形式和三角形式。
2.讲解代数形式的复数，并给出一些例子说明。
步骤四：复数的乘法运算1.讲解复数的乘法运算法则。
2.解释乘法运算的几何意义。
步骤五：复数的除法运算1.讲解复数的除法运算法则。
2.解释除法运算的几何意义。
步骤六：练习1.设计一些乘除复数的练习题，让学生互相练习并解答。
2.强调解题的步骤和解题技巧。
步骤七：归纳总结1.请学生总结复数的乘除运算法则，并归纳相关的公式和规律。
教学延伸：1.引入复数的其他运算，如加法和减法。
2.给学生更多的练习机会，巩固复数的乘除运算。
教学反思：通过本次教学，学生们将对复数的代数形式的乘除运算有了更深入的理解，同时也培养了学生们的逻辑思维能力和解题能力。
在教学过程中，应注重示范和指导，并尽量提供实际问题的例子来帮助学生理解抽象的概念。
复数代数形式的乘除运算 教案
(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表298043.2.2复数代数形式的乘除运算一、教学目标：１、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 过程与方法：２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．二、重点难点：重点:掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点:复数除法的运算法则．三、教学过程【知识链接】1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；4.复数的加法运算满足结合律:()()321321z z z z z z ++=++；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：=⋅21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804 （2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c +的商，记为：()()di c bi a +÷+或者di c bi a ++()0≠+di c .引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+；（2）()21i +. 引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算i i i 42)1)(41(+++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足12i i z+=，则z =（） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 3.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（） A.i - B.i C.1- D.14.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性. 世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。
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教学目标：
1．知识技能目标：掌握复数的几个常用结论，会在复数范围内进行因式分解．
2．过程方法目标：理解并掌握复数进行四则运算的规律．
3．情感态度价值观目标：我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充，让学 生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系．
教学重点：
复数混合运算．
教学难点：
几个常用结论在计算中的熟练应用．
教学过程：
一、复习回顾
1．z 2＝c ＋d i ≠0，则2222i (i)(i)
i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad
c d c d c d c d c d ＋＋
－＋－＝＝＋＋＋－＋＋．
2．共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数．
3．乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．
（1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n
n
z z z z ＝．
特别地：n ∈N *，有
补充：1
2
3二、问题情境
问题1 计算10
10(1i)(1i)－＋．
问题2 计算311
3i i
2222⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
＋－＋．
问题3 在复数范围内解方程x 4＝1．
()()13131
331i i i 2222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－
＋－＋＝－－－＝－＋．
问题3 ∵x 4－1＝(x 2＋1)( x 2－1)＝(x ＋1)( x －1)( x ＋i)( x －i)＝0 ∴x ＝±1，±i ．
四、数学应用 1．计算（1）2
2i 1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ （2）i ·i 2·i 3·…·i 100
解 （1）2
2i 1i ⎛⎫
⎪⎝⎭＋＝2i ； （2）i ·i 2·i 3·…·i 100＝i 5050＝i 2＝－1 2．计算：1515
2020(13i)(13i)(1i)(1i)－＋－－－－＋
解 原式＝15151515
101013i
13i 2()2()2222(2i)(2i)－＋－－－－＝1515
101022(2i)(2i)－－＝0
3．在复数范围内因式分解：（1）a 4－b 4（2）x 2＋2x ＋5． 解 （1）a 4－b 4＝(a ＋b )( a －b )( a ＋b i)( a －b i)
（2）∵x 2＋2x ＋5＝0，∴(x ＋1)2＝4i 2∴x ＝±2i －1
∴x 2＋2x ＋5＝(x ＋1＋2i)( x ＋1－2i)
五、巩固练习
在复数范围内因式分解：
（1）x2＋4 （2）a2＋b2＋c2＋2ab 已知z2＝－7－24i，求复数z．六、要点归纳与方法小结。