相似原理与量纲分析
相似原理及量纲分析教学
重新编排这个方程为以下形式： 解： 或者 这里，n=7。
其中每个 代表一个独立的由若干个有量纲量 以乘积形式组合而成的无量纲量。 例题11.2 用 定理方法分析例题11.1中的流动。 如上例所述，共有 和 等7个变量，因此有函数关系式
1）列出对所求问题有重要影响的物理量：
02
将式(c)代入式(b)，整理后得
03
04
05
既然两个流动现象完全相同，它们的主导方程就应该一致，于是比较式(a)和(d)，则有
06
既然二现象相似，必有
由此各相似倍数不能任意选取，它们依上式相互制约。将上式第一项分别除以后三项，则
至此，从基本方程导出了两个相似的不可压缩定常流动现象的相似准则，它们是弗鲁德数 、欧拉数 和雷诺数 。综上所述，相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：凡是同一种现象，必能用同一个微分方程所描述；单值条件相似；由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。
第十一章 相似原理及量纲分析
11.1 相似原理
11.2 量纲分析法及定理的应用
11.3 方程分析法
11.4 模型实验
流体力学问题的解决不外乎用理论或实验两种方法。在理论方法中，主导待求问题的控制方程是必须的。但对于许多复杂的现象，特别是对于原本就不清楚的未知现象往往是不可能的。这就必须依靠实验方法 。在实际过程中任何一个物理现象往往有许多影响因素，要研究每一个因素对这一现象的影响，需要进行大量的实验，有时简直是不可能的。因此需要一种简单的方法使得只进行少量的实验就可达到对流动现象的本质认识.本章介绍的相似原理及量纲分析就是指导实验的理论基础。
11.2.1 量纲基本知识
“量纲”，或“因次”，是用以度量物理量单位种类的。在国际单位制（即SI单位制）中，规定有7个基本单位（或量纲），对于流体力学问题一般涉及其中的4个，即长度单位为米（m），质量单位为公斤（kg），时间单位为秒（s），温度单位为开尔文（K），对应的量纲即基本量纲，依次是 和 任何
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
相似性原理和量纲分析
∆p υ l k = f , , 2 v ρ vd d d
∆p kl = f Re, 2 v ρ dd
kl l v2 ∆p = f Re, ρv 2 = λ ρ dd d 2 k λ = f Re, d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
FT + FG + FP + FE + …… + FI = 0
动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则——粘性力是主要的力
FTP FIP = FTm FIm
l pυ m
（3）改变压强（30at），温度不变 等温过程p∝ρ，且μ相同
ρvl Re = ⇒ pvl µ
p p v p l p = p m vm l m
20 × 1 vm = v p = 300 × = 200km / h lm Pm 1 × 30 lp pp
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
f (q1 , q2 , q3 , q4 ) = 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要FTm
dv FT = µA → µlv = ρυlv dy
FI = ma → ρl 2 v 2
v pl p
υp
=
vm l m
υm
无量纲数
Re =
vl
υ
雷诺数——粘性力的相似准数
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第七章 相似原理与量刚分析
第七章相似原理与量纲分析第一节相似的概念在几何学的学习中，人们已建立起几何图形的相似概念。
工程中很多物理现象也有相似的特点。
人们把可用同样形式数学式表达的物理现象群称为同类现象。
但属于同类现象的不同物理现象不一定都相似，只有当同类不同物理现象中，它们的各自空间中相对应的各点上的表征现象特性的同类物理量的比例，在时间上相对应的瞬间为常数时，两个同类的不同物理现象才相似。
由于物理现象都是在一定的空间中进行的，相似的物理现象应在相似的空间中进行。
所以完整的物理现象相似应包含两个相似概念，即几何相似和物理现象本身的相似，其中包括初始条件和边界条件的相似。
后者习惯被称为物理现象相似。
一、几何相似几何相似即几何图形相似，如两个相似三角形的对应边长成比例，其比例常数可称为相似常数。
如教材85页图7-1所示。
其中的C l称为相似常数，由于相似常数是同类量之比值，因此相似常数无量纲。
二、物理现象相似如教材86页图7-2所示为物理现象相似。
质点A、B沿几何相似的路径作相似运动。
针对物理现象相似，有如下推论：（1）如果物理现象相似，则在相应的时刻，它们空间任意相应点上的任意同名物理量应该成比例关系；（2）如果物理现象相似，在选取相似的物理量作为量度单位后，将描述物理现象的数学方程式转换成的无量纲方程式应该一样。
需要注意的是，在几何相似时，相似常数只有一个，而物理相似时，由于方程式中的物理量有很多种，不同名的物理量都有各自的相似常数，如空间相似常数C l=l/l’，时间相似常数Ct=t/t’，速度相似常数Cv=v/v’等。
各相似常数又有一定的约束关系，如对两相似质点A和B运动的物理现象，v=l/t和v’=l’/t’，则即或这就是相似物理现象中相似常数关系的附加条件，C称为相似指示数或相似指标，用它来控制相似常数的关系。
如果两现象相似，则其相似指标等于1。
由教材86页图7-2所示物理现象：此式等号左右由物理参数组成的项为无量纲的不变量，或称定数，可取定数的统一符号表示，即此式说明，像质点运动那样的物理现象相似时，则对应点上由各相关参数组成的无量纲数在对应的时间上具有相同的数值，如Ho。
相似理论与量纲分析
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
即:
upd p
m u p p dm C 1 Cu C CL um m d p CL
C P CQ C ACu C CLC CL CL m
2 L
p
um d m
§4-3相似原理的应用
dLp / dtp dLm / dtm
dLp / dLm dtp / dtm
CL Ct
Cu CL Ca 2 加速度相似比尺： am dum / dtm dtp / dtm Ct Ct
ap
dup / dtp
dup / dum
⑶动力相似 （力的方向必须相互平行，且具有同一比例）
若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同 时满足Re、Fr、Eu准则，才能实现动力相似。
§4-3相似原理的应用
§4-3相似原理的应用
一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是Fr数 相等（原型和模型） 2 u2 u p Fr p Fr m m g p Lp g m Lm 在地球上gp≈gm
2 C ∴ u CL
Cu CL
2 5/ 2 Cu C A CL CL CL
流量比尺： CQ
CL CL CL 时间比尺： Ct Cu CL
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
Re p Re m
Lp u p
§4-2相似准则
二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则）
粘性阻力比尺：
dyp CT C CLCu C C CLCu Tm A dum m m dym
水流动力相似的必要条件： 粘性阻力的比尺与惯性阻力的比尺为同一相似比尺。 2 2 即：CT =CF 则： C CL Cu C C CLCu
(Cg 1)
则：
2 2 Cu2 CL Cu 2 C g CL C
3/ 2 C CL
§4-3相似原理的应用
p 3/ 2 CL m
1 m 3/ 2 p CL
才能同时满足Fr和Re准则。实际要做到这一点几乎是 不可能的
§4-3相似原理的应用
例1 有圆管直径为20cm,输送ν=0.4cm2/s的油液.流量为12L/s. 若在实验室中用5cm直径的圆管作模型实验.假如采用⑴20℃ 的 水.或⑵空气(=0.17cm2/s)作实验流体,则模型中流量各为多 少才能满足粘滞力作用的相似？ d p 20 4 解：几何比尺： CL dm 5 由雷诺相似准则： Re p Re m
一般原、模型中的流体性质相同 即
p
Lm um
m
p m
Lm um Lp
2 L
up
1 Cu CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 CL 流量比尺：CQ CuCA C CL
CL CL 2 C C 时间比尺： t L Cu 1 / C L
压力比尺： CF
Fp Fm
F Ma Va CV Ca mVm am
3 L
2 CL 2 CL 2 2 C C C C C C C L L u Ct2 Ct2
§4-2相似准则
§4-2相似准则
一、牛顿相似准则
将上式展开：
第四章 相似原理与量纲分析
§4-1相似的基本概念
§4-1相似的基本概念
相似系统：模型与原型之间必须具有：
⑴外形必须几何相似。 ⑵运动状态、力的作用情况必须相似。 ⑶表征同类物理性质的量必须具有同一比值。
⑴外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线
性长度具有同一比例。 长度比尺（缩小倍数）： C L
四、欧拉相似准则（总压力P不可忽略时）
PP p p Ap 2 CP C p CL Pm pm Am
要满足动力相似，必须 则:
CP CF
pm 或： 2 2 pu p m um pp
2 2 2 C pCL C CL Cu
即：
CP 1 2 C Cu
(Eu)p=(Eu)m 欧拉数反映了压力与惯性力的比值
C L Cu 1 得： C
Tp
p Ap
dup
也可写成：
Lp u p
雷诺数： Re
uL
Re p Re m
p
Lm um
m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
pV p g p 3 CG C CL Cg Gm M m g m mVm g m