第三讲随机现象与基础概率

所谓古典概率：若 A1, A2, A3, , An是一个等可能 完备事件组，而事件A由其中的某m个基本 事件所构成，则大量实践经验表明，事件A 发生的概率为：
P(A)=m/n
例题1：
抛掷一个骰子一次，问出现5点的概率 是多少？出现奇数点的概率是多少？
例题2
一个袋子中装有3白2黑共5个同样大小 的塑料球。
随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推 论的理论（数学）基础，概率是统计推论的依据。 统计推论的所有数学表都是以概率为基础的。
二、概率
随机事件（例子）： 诞生的婴儿将是
男孩； 某人将活到80岁
以上；
明年报考公务员 的人数将超过 200万人；
明天将下雨；
随机事件：对随机现象进行的 观察或试验称为随机试验。 在一定条件下所进行的随机 试验中，可能发生或可能不 发生的事情称为随机事件。 通常用大写字母A、B、C等 来表示。
问题：既然社会中存在大量的非确定 性现象，那么预期或预测如何可能？
统计规律：从表面上看来非确定性现象好 像是捉摸不定的，纯粹是偶然性起支配作 用，但实际上，在研究了大量同类现象后， 通常会揭示出一种确定的规律性，这就是
所谓的统计规律。
EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数 与抛掷总次数的比接近1/2。。。。。。
例题5：
为了研究父代文化程度对子代文化程 度的影响，某大学统计出学生父亲具 有大学文化程度的占25%，母亲具有 大学文化程度的占18%，而父母双方 都具有大学文化的占10%，问学生中 任抽一名，父代至少有一名具有大学 文化程度的概率是多少？
例6：
若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数 点的情况，事件B表示出现的点数大于 3的情况。请问，抛掷骰子一次，出现 偶数点或点数大于3的概率为：
对于一个二项实验,设在单次试验中,事件 A发生(成功)的概率为P,事件A不发生(失
败)的概率为q,即 P( A) p, P( A) q,
且 p q 1 ,则在n次试验中事件A恰
好发生m次的概率为 (q p)n 的二项展 开式中当P的指数是m的那一项,即
Pn(m)
Cnm
pmqnm
n! m!(n
随机事件有两种极端情况： 必然事件：如抛掷一枚在硬币
若无支撑落于地上； 不可能事件：如抛掷一枚硬币
悬于空中。
日常生活中，人们常 用“比较级”来表示 随机事件发生可能性 的大小，例如：
某生明年不可能考上大学； 某生明年可能考上大学； 某生明年很可能考上大学；
概率就是随机事件 发生可能性大小 的数量表示。
三、概率的计算方法
1、频率法
在相同条件下进行N次 实验或观察，随机事 件A出现的次数为n， 频次n与实验次数N的 比值n/N，称作N次实 验或观察中事件A的 频率，即这一事件出 现的概率
P( A) n N
2、古典概率类型
在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有 限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所 有这些基本事件都是等可能的。
2009年在武汉市发生的经济适用房抽 签中出现的“六连号”事件。显然不 符合概率论。
2、 偶然性和规律性的关系
单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具
有规律性。 “在表面上是偶然性在起作用的地方， 这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的， 而问题在于发现这些规律。”——恩格斯
偶然事件（随机事件）的概率就是随机事件隐蔽 着的规律。
概率在日常生活中运用的例子:
1.你结交了一位新朋友,问她是否有孩 子.她说有两个.你问,有女孩吧?她说有. 那么两个孩子都是女孩的概率是多少?
2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩 子.她说有两个.你问大的是女孩吧?她 说是.那么两个孩子都是女孩的概率是 多少?
五、概率与二项分布
1、概率分布
社会统计学
第三讲 随机现象与基础概率
知识点
随机现象及其特征 概率的定义 概率的加法定理 概率的乘法定理 概率与二项分布
一、随机现象及其特征
随机现象例子：
全国每天有多少婴儿出生？ 多少人因车祸死亡？ 多少人结婚，多少人离婚？ 多少人晚间收看新闻联播？ 天气的变化？ 手术的成功？ 骰子的点数？
(1)二项试验的概率公式
一个二项实验是一个满足如下条件的实验: 第一.实验由确定的试验数所组成; 第二.每个试验只有两个可能的结果,通常称
为”成功”和”失败”; 第三.任一试验的结果独立于任何其他试验
结果; 第四.在各次实验中,”成功”的概率和”失败”
的概率都是固定的常数,并且他们的和等于1.
概率的表达实质和这 些“比较级”是一 样的，只是更为精 确。
下面是一些试验者（著名数学家） 所做试验的记录
试验者 狄摩根 布丰 皮尔逊 皮尔逊
投掷总次数n 2048 4040
12000 24000
出现正面朝上的次数m（频数） 1061 2048 6019 12012
频率=m/n 0.518 0.5069 0.5016 0.5005
2、随机事件的概率
在一组不变的条件S下，重复做n次试验， m为在n次试验中事件A发生的次数。当n 很大时，事件A发生的频率m/n稳定地在某 一常数p附件摆动，并且随着试验次数n的 增加，其摆动幅度会越来越小，则事件A称 为随机事件，并把数值p称为随机事件A发 生的概率，记作：P(A)= p
概率的取值范围（0，1）
2、一般情况 对于任意两个事件A和B，乘法公式为：
P(AB)=P(A)P(B/A)
P(B/A)又称为条件概率，表示在事件A发生 的条件下事件B发生的概率。
例8：盒中装有16个球，其中6个为玻 璃球，剩下10个为木质球。而玻璃球 中有2个是红色的，4个是蓝色的；木 质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。 现从中任取1个，问得到蓝色玻璃球的 概率是多少？
若事件组 A1, A2, A3, , An 满足下面三个条件，则称该事 件为等可能完备事件组。
（1）A1, A2, A3, , An 发生的机会相同（等可能性）； （2）在任何一次试验中，A1, A2, A3, , An至少有一个发
生（完备性）； （发3）生在（任互何不一相次容试性验）中。，A1, A2, A3, , An 最多只有一个
(1)从中任取一个，取到白球的概率是多 少？ (2)任取两球，全是白球的概率是多少？
复习：组合
一般来说，从n个不
同元素中，任取m
（m<n)个元素编成
一组，称为从n个不
同元素中每次取m
个元素的一个组合，
这些组合的种数记
作
Cnm
C m
n!
n
m!( n m)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1
(1)离散型随机变量的概率分布
设离散. 型随机变量 的一切可能值为 x1, x2, x3,...xn...
且对应于x1, x2, x3,...xn... ,有
P(X xi ) pi (i 1,2,3, , n)
则上式称为随机变量X的概率分布或概率函数,通常也可以表示为:
x X1 x2 x3 … xn …. p P1 p2 p3 … pn ...
概率分布是指对随机变量取不同值 时的概率的描述,一般用概率分布 函数进行描 述.
2.离散型变量与连续型变量
根据随机变量的类型,可以分为：
离散型变量：随机变量只能取特定的 数值（一般是整数）。(如家庭成员数; 硬币正面朝上的次数等)
连续型变量：变量在两个数值界限之 间可以取任何数值。（如雨量、射击 的距离、身高、体重等。）
m)!
pmqnm
例题:
抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次”6 点”的概率.
解:这是一个二项实验,依题意,此时
p 1 , q 1 p 5 , n 20, m 7.
6
6
因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:
P20(7)
C270
(
1 6
)7
( 5 )207 6
如 率果相单等次,即试p验中q,事12件则成上功述与二失项败实的验概 的概率公式可简化为:
1、随机现象具有双重性：
偶然性：在一次试验或观察中事件出 现的可能具有偶然性；可能会出现
它表示为：若……，可能…… 统计规律性：在相同条件下，进行大
量重复试验或观察时，随机事件出现 可能的大小是稳定的。
概率论研究的正是随机现象的统计规律性。
EG
重复投掷骰子，根据概率论，可以知 道出现1点、2点、3点、4点、5点和6 点的可能性均为1/6。
C m
Pnm
n
m!
四、概率的加法运算
1、特殊情况
若事件A与事件B互不相容（互斥），即两 件事情不可能同时发生，那么事件A或事件 B发生的概率等于两事件单独发生概率之和：
P(A+B)=P(A)+P(B)
例3：抛掷骰子一次，若事件A表示出 现5点的情况，事件B表示出现6点的情 况。那么，抛掷骰子一次，出现5点或 6点的概率为：
对于随机变量X，如果存在一个非负的可 积函数f(x)(-∞＜x＜+∞),使对任意的a、b都 有(a<b)都有:
b
P(a X b) a f (x)dx
则称随机变量X具有连续型的分布,并称f(x) 为概率密度函数或密度.
3.二项分布
二项分布是一种具有广泛用途的离散 型随机变量的概率分布,它是由贝努里 创始的,因此又称为贝努里分布.
例4：某年级共有学生100名，其中来 自广东省的有25名，来自广西省的有 10名，问任抽一名，来自两广的概率 是多少？
2、一般情况
对于任意两个事件A和B，满足事件A和 事件B互不相容，则事件“A+B”的概 率为事件A的概率与事件B的概率之和 减去事件A与事件B同时发生的概率