917762-离散数学教程-第0章 准备知识

0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.5 运 算
定义0.5 分别称，为集合A上的一元、二元运算，如果，分别是 对单元素和序偶的操作，并且对任意x,yA，其结果(x)， xy是集合A中唯一确定的成员。
定义0.6 设，为集合A上的二元运算，x,y.z是A中的任意元素 (1) 称运算满足结合律，如果x(yz)=(xy)z (2) 称运算满足交换律，如果xy=yx (3) 称运算对运算满足分配律，如果x(yz)=(xy)( xz)
定理0.2 对任意集合A，AU。 定理0.3 设A，B，C为任意集合，若A B , B C，则A C。 定理0.4 对任何集合A， A。 定理0.5 空集是唯一的。
定义0.4 集合 A称为集合 B的真子集，如果AB且A B。 “A是B的真子集”记为AB。 空集 是所有非空集合的真子集。
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例0.6 偶数集E： (1) 基础条款：0 E。 (2) 归纳条款：若xE，则x+2E， x2E。 (3) 终极条款：除有限次使用(1)，(2)条款确定的元素外， E中没有 别的对象。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
字母表Σ上的字（用Σ+表示Σ上的字的集合） （1）基础条款：ΣΣ+。 （2）归纳条款：若ξΣ，wΣ+则ξwΣ+ （3）终极条款：除有限次使用（l），（2）条款确定的元素外， Σ+中没有别的对象。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.2 命题与谓词
例0.2 （1）雪是白的。 （2）2+2=5 （3）陈胜、吴广起义的那天杭州下雨。 （4）第30届奥林匹克运动会开幕时伦敦天晴。 （5）大于2的偶数均可分解为两个质数的和（哥德巴赫猜想）。 （6）火星上有生物。 （7）好痛快啊！ （8）您身体好吗？ （9）我说的这句话（例0.2之（9））假。 （10）x≤0
例0.10
{a，b} {a，c，b，d}
{a，b，c} {a，b，c} {a} {a，b} a{a，b} a {a，b}
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{1} {1，{1}} {1} {1，{1}}
0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.4 外延性原理与子集合
定理0.1 对任意集合A，B，A＝B当且仅当A B且B A 。 特别地，对任意集合A，A A 。
例0.5
{0,1}=2 ＝0
Nn=n {} = 1。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
归纳法（归纳定义）： (1) 基础条款：规定待定义集合以某些对象为其基本成员，集合的 其它元素可以从它们出发逐步确定。 (2) 归纳条款：规定由已确定的集合成员去进一步确定其它成员的 规则。 (3) 终极条款：规定待定义集合只含有(1)，(2)条款所确定的成员。
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0.1.2 命题与谓词
断言：？？ 谓词： 断言中关于对象基本性质或相互关系的语言成分。 表示： 带有空位的大写拉丁字母（或字母串）。
如：P( )表示“小于等于零” QR( , ) 表示“与的平方和等于1” ADD( , , ) 表示“与的和等于”
常用变元去填空位，如P(x)、 QR(x, y) 、ADD(x,y,z) n元谓词：含有n个空位（或变元）的谓词。
w的字头: （1）基础条款：λ是w的字头。 （2）归纳条款：若w’为w的字头，w = w’ξw’’（其中ξΣ, w’,w’’Σ*），那么w’ξ也是w的字头。 （3）终极条款（略）。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
例0.8 “while程序集”的归纳定义（记为WP） （1）基础条款：V←E在WP中。其中V为变元，E为算术表达式。 （2）归纳条款： （2.l）若C为条件语句，P1，P2为while程序， 则 if C then P1 else P2 end if 在WP中。 （2.2）若C为条件语句，P为while程序， 则 while C do P end while在WP中。 （2.3）若P1,P2为whlile程序，则P1;P2在WP中。 （3）终极条款（略）。
实数集合上：0是加法的幺元 每一个实数x都有自己的加法逆元x。
定理0.8 设为集合A上的二元运算，e为幺元，且运算满足结合律， 那么当A中元素x有逆元时，它Βιβλιοθήκη Baidu逆元是唯一的。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.2.1 鸽笼原理基本形式
通俗表述：当多于鸽笼的鸽子飞进笼子时，至少有两只鸽子进入 同一个笼子。
正规原理：集合理论约定，对任何对象、集合A , AA。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.2 命题与谓词
命题：对确定事物作出判断的陈述句。 真值：当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），
否则称该命题假（false）。 真值“真、假”常用数字“1、0”来表示。 排中律：命题或真、或假，但不能兼而有之。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
定义0.1 没有任何元素的特定集合称为空集，记为，即 ＝{}={xxx}
由研究对象全体组成的集合称为全集，记为 U={xxx}。
定义0.2 空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集，否则 称为无限集。有限集合中成员的个数称为集合的基数。 集合A的基数表示为 A 。
0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.5 运 算
定义0.7 设为集合A上的二元运算，如果eA且对任意元素xA有 xe = ex = x，称元素e为集合A的关于运算的幺元。
定义0.8 设为集合A上的二元运算，如果oA且对任意xA有 x o =o x=o ，称元素o为集合A的关于运算的零元。
例0.12 0是实数集合上加运算的幺元、关于乘运算的零元； 1是实数集合上关于乘运算的幺元。 零矩阵是关于矩阵加法的幺元、关于矩阵乘法的零元； 单位矩阵是关于矩阵乘法的幺元。
形式语言：用λ表示空字，令Σ+∪λ=Σ，如果LΣ，那么符 号串集合L称为Σ上的一个形式语言。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
例0.7 设Σ为数字集 D＝{0, l, 2, …, 9}，则Σ+＝D+为全体自然数的集合。 当Σ＝{a,b}时，Σ={λ, a , b ，aa，ab，ba，bb，…}。 L＝{λ，ab，aabb，aaabbb，…}Σ （ L为Σ上的一个语言）
谓词填式： n元谓词P(x1,…,xn) 填满对象后的表达式P(t1,…,tn) ，表 示对象序列t1,…,tn满足n元谓词P(x1,…,xn) ，或对象序列t1,…,tn 具有性质P，或关系P。
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0.1.3 集合的表示
列举法：将集合A中元素一一列举在一个大括号中，或列出 足够多的元素以反映A中成员的特征，形如 A＝｛a1,a2,…,an｝或A=｛a1,a2,a3,…｝
描述法：将集合A中元素的特征用一个谓词来描述，形如 A =｛x P(x)｝或 A =｛x ：P(x)｝ B =｛<x1,x2,…,xn> Q(x1,x2,…,xn)｝ 或 B =｛<x1,x2,…,xn> :Q(x1,x2,…,xn)｝
概括原理：每一个谓词确定一个集合。
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例0.14 13个人组成的集合中，至少有两个人生日的月份相同。
60个人组成的集合中，至少有
60 12
1
1个人生日的月份相同。
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0.2 鸽笼原理
0.2.1 鸽笼原理基本形式
例0.15 二维空间中有5个格点。证明在所有格 点的连线的中点之中，至少有一个也是格点。
证：格点的二个坐标的奇(1)偶(0)状况只有4 个：(0,0),(0,1),(1,0 ),(1,1 )。因此，根据 鸽笼原理基本形式一，5个格点中至少有两 个格点的坐标的奇、偶状况相同。设这两 个格点的坐标是(a,b)和(a’,b’)，于是，它们 之间连线的中点的坐标是((a+a’)/2, (b+b’)/2, 由于(a,b)和(a’,b’)的奇、偶状况 相同， ((a+a’)/2, (b+b’)/2中各坐标均为 整数，故该点是一个格点。
集合成员相异 、无序，集合表示形式多样
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.4 外延性原理与子集合
定义1.3 集合A称为集合B的子集合（或子集），如果A的每一个元素
都是B的元素，即，若元素x属于A，那么x也属于B。
表示：A是B的子集 —— AB 或 BA A不是B的子集 —— AB
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.5 运 算
定义0.9 设为集合A上的二元运算，e为幺元，x,y为A中元素，若 xy＝yx＝e
那么称 x(y) 为 y(x) 的逆元。x的逆元通常记为x-1 。
例0.13 非零实数集合上：1是乘法的幺元 每一个实数x都有自己的乘法逆元x-1
注意：某元素是否是所在集合的幺元或零元，不仅取决于所在的集
合，还取决于所关注的运算。
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.5 运 算
定理0.6 设为集合A上的二元运算，那么集合A的关于运算 的 幺元是唯一的。
定理0.7 设 为集合A上的二元运算，那么集合A的关于运算 的 零元是唯一的。
0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.3 集合的表示
例0.4 常用集合及其表示： （1）{0,l}＝{xTV(x) } （2）自然数集合N={0,1,2,3,…}={ xNN(x) } 正整数集合I+={1,2,3,…}={ xIN(x) } （3）整数集合I＝{…,-2,-l,0,l,2,…}=｛xINTEG(x)｝ （4）前n个自然数的集合 Nn＝{ 0,1,2,…,n-1 }= { xNN(x) 且 xn } （5）前n个自然数集合的集合={ {0}, {0,1}, {0,1,2},… } ={ Nnn I+ }
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第0章 准备知识
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0.1 集合、命题、谓词和运算 0.2 鸽笼原理
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0.1.1 集合
集合：由确定的、互相区别的、并作整体识别的一些对象组成的总体。
例0.1（1）北京大学全体学生 （2）全体正整数 （3）本书中所有汉字 （4）获1921年诺贝尔物理学奖的科学家 （5）上海市市东中学所有班级 （6）好书的全体 （7）方程 x(x2-2x+1)=0 的所有根 （8）方程 x2 +x+1=0 的根 （9）满足方程 x2 + y2 =1 的平面直角坐标系中点的坐标
当谓词的空位或变元处填以确定的对象后，便可判别其真假， 即可得到一个命题。
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0.1.2 命题与谓词
例0.3 R(x) ： x是实数
L(x,y) ： x小于y B(x,y) ： x生于y ADD(x,y,z) ： x + y = z
R(3)是真命题。 L(3,2)是假命题。 B(董青，青岛) 真假是确定的。 ADD(3,5,8) 是真命题。
（10）满足方程x2 + y2 =1的平面直角坐标系中的点的坐标
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0.1.1 集合
对象：称元素或成员 具体的或抽象的客体 单一的客体或客体的序列。
集合族：所有成员均为集合的集合
表示：集合——大写字母A，B，C 等 元素——小写字母a,b,c等 当对象a是集合A的成员时，称a属于A，记为aA 当对象a不是集合A的成员时，称a不属于A，记为aA
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.4 外延性原理与子集合
外延性原理：集合A和集合B相等，当且仅当它们具有相同的元素。 即对任意集合A,B，A=B当且仅当属于A的元素也属于 B；反之,属于B的元素也属于A。
例0.9
{0,l}＝{l,0} ＝{x∣x(x2 - 2x＋l)＝ 0} = {x x＝1或x＝0}
鸽笼原理基本形式一 ： 如果把n+1（n是正整数）个对象放入n个盒子里，那么至少有
一个盒子里放有两个或两个以上的对象。
鸽笼原理基本形式二 ：
m个对象放入n个盒子里（m,n是正整数），那么有一个盒子
至少放进了
m n
1
1
个对象。
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0.2 鸽笼原理
0.2.1 鸽笼原理基本形式
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0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.5 运 算
例0.11 求相反数运算：实数集合上的一元运算 加运算、乘运算：实数集合上的二元运算 实数和多项式的加运算、乘运算：都满足结合律和交换律； 乘运算对加运算：满足分配律; 矩阵乘法：满足结合律，不满足交换律。
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