柯西准则及其应用

柯西准则及其应用

摘 要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．

关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性

引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0x x →一种情形来讨论，即

设函数()f x 在00(;)U x δ'内有定义，0

0()lim x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数

δ(<δ')，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ，都有()()f x f x '''-<ε．

事实上，当0x x +→，0x x -

→，x →+∞，x →-∞，x →∞五种情形函数极限存在的柯西

准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．

1 柯西准则的其它五种形式

定理1.1 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义．00()lim x x f x +

→存在的充要条件是：任给0ε>，存

在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，均有()()f x f x '''-<ε．

证 必要性 设0

()lim x x f x A +

→=，则对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，使得对

00(;)x U x δ+∀∈，有()2

f x A ε

-<

．于是对00(;)x x U x δ+'''∀∈，，有

()()()()22f x f x f x A f x A εε

ε''''''-≤-+-<

+

=．

充分性 设数列{}0

0(;)n x U x δ+⊂且0lim n n x x →∞

=，按假设，对任给的ε>0，存在正数δ(<δ')，

使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ+，有()()f x f x ε'''-<．

由于0()n x x n →→∞，对上述的δ>0，存在N >0，使得当n m ，>N 时有00(;)n m x x U x δ+∈，

从而有

()()n m f x f x ε-<．

于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列{}()n f x 的极限存在，记为A ，即()lim n n f x A →∞

=．

设另一数列{}00(;)n y U x δ+'⊂且0lim n n y x →∞

=，则如上所证，()lim n n f y →∞

存在，记为B ．现证

B A =，为此，考虑数列

{}1122,,,,

,,,

n n n z x y x y x y ：

易见{}n z ⊂00(;)U x δ+'且0lim n n z x →∞

=，故仍如上面所证，{}()n f z 也收敛．于是，作为{}()n f z 的两个子列，{}()n f x 与{}()n f y 必有相同的极限，所以由归结原则推得0

()lim x x f x A +

→=．

证毕

定理1.2 设函数f 在00(;)U x δ-'内有定义．0

0()lim x x f x -

→存在的充要条件是：任给0ε>，

存在正数()δδ'<，使得对任何x '，x ''∈00(;)U x δ-，均有()()f x f x '''-<ε．

以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．

证 充分性 设数列{}n a 满足柯西条件，先证明{}n a 是有界的．为此，取ε=1，则存 正整数N ，当1m N =+及n N >时有

1n m a a -<．

由此得

111111n n N N n N N N a a a a a a a a +++++=-+≤-+<+．

令

{}121max 1N N M a a a a +=+，，，，．

则对一切正整数n 均有n a M ≤．

于是，由致密性定理可知，有界数列{}n a 必有收敛子列{}

k n a ，设lim k n k a A →∞

=．对任给的

0ε>，存在0K >，当m n k K >，，时，同时有 2

n m a a ε

-<(由柯西条件)， 2

k n a A ε

-<

（由lim k n k a A →∞

=）．

因而当取()k m n k K =≥>时，得到

2

2

k k n n n n a A a a a A ε

ε

ε-≤-+-<

+

=．

这就证明了lim n n a A →∞

=．

有归结原则：0

lim ()x x f x A -→=⇔对任何0()n x x n →→∞有lim ()n n f x A →∞

=．

充分性即证．

必要性 设lim n n a A →∞

=．有数列极限定义，对任给的0ε>，存在0N >

当m n N >，时有

22

m n a A a A εε

-<-<，　，

因而

2

2

m n m n a a a A a A ε

ε

ε-≤-+-<

+

=．

由归结原理知，即可证得．

证毕

注 归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．

定理1.3 充分大的M >0，设函数f 在()U +∞内有定义．()lim x f x →+∞

存在的充要条件是：

任给0ε>，存在正数1()M M >，使得对任何x '>1M ，x ''>1M ，均有()()f x f x '''-<ε．

证 先证必要性．设()lim x f x A →+∞

=，按照定义，0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，

()2f x A ε

'-<

，()2

f x A ε

''-<． 于是

()()f x f x '''-≤()f x A '-+()f x A ''-<ε．

再证充分性．设0ε∀>，110M M M ∃>>，，1x x M '''∀>，

()()f x f x '''-<ε．

任意选取数列{}n x ，lim n n x →∞

=+∞．则对上述10M >，10n m N n m N x x M ∃>∀>>，，，，．有

()()n m f x f x ε-<．

这说明函数值数列{}()n f x 是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知()lim x f x →+∞

存在而且有极限．