圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的
圆锥曲线重要结论
圆锥曲线重要结论性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)某2y21上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.某2y21上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112|AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支时112112AB在异支时|||AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112|AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数某2y21，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在3.已知椭圆43实常数，使ABFAFB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数112e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep11|2e2|双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep112e2抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep某2y21，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1,l2分别交椭圆于A，B两4．已知椭圆43点和C，D两点，且l1l2，是否存在实常数，使ABCDABCD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值某2y21，点F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线l1分别交椭圆于A，B两点，5．已知椭圆84设直线AB与y轴于点M，MAAF1,MBBF1,试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即AF1F1B1e2AF2F2C2定值21e某2y26．已知方向向量为e(1,3)的直线l过点A(0,23)和椭圆C:221(ab0)ab的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：OBe0,ABAO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设EF11F1S,EF22F2T，求12的值.2圆锥曲线中的重要性质经典精讲中a2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点t,0的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质 (1)
圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系20021111班朱家庆指导教师向长福摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。
而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。
为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。
关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1].2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形[2].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e 性质1:θcos 12221+=⋅b PF PF .证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有221212221cos 2F F PF PF PF PF =⋅⋅-+θ a PF PF 221=+ 221222142a PF PF PF PF=⋅++∴2212124cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ 整理，得 .cos 12221θ+=⋅b PF PF 例1 如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=S 260sin 21PO OF =⋅︒求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P ⎪⎩=+222ac b解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF .290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b 性质2:.2tan221θ⋅=∆b S PF F证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F .2tan cos 1sin sin cos 1221222θθθθθ⋅=+⋅=⋅+⋅=b b b 例2 已知1F 、2F 是椭圆1256422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积． 分析：如果设P 点的坐标为),(y x ，由P 点在已知椭圆上且321π=∠PF F ，利用这两个条件，列出关于x ,y 的两个方程，解出x ,y ．再求21PF F ∆的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321π=∠PF F ，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解： 2tan221θ⋅=∆b S PF F .33256tan2521=⋅=∴∆πPF F S 例3:已知点),(00y x P )0(0>y 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，且θ=∠21PF F .求证：2tan 20θ⋅=c b y . 证明： 0212221211y c h F F S PF F ⋅⋅=⋅⋅=∆ 2tan 221θ⋅=∆b S PF F =⋅⋅∴0221y c 2tan 2θ⋅b00>y .2tan 20θ⋅=∴c b y 例4:点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．分析：要求点P 的坐标，不妨设P 点坐标为),(00y x ，由P 点在已知椭圆上和21PF F ∆的面积等于1，可列两个方程，解方程可得点P 的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解[3]．解：设P 点坐标为),(00y x ,则有c c S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c .1100±=∴=∴y y 把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 性质3 :)12arccos(22-≤<ab O θ.证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)](180sin[sin sin sin sin sin 2121βαβαθβα+-+=+=+∴F F PF PF 2cos 2sin 22cos2sin2)sin(sin sin βαβαβαβαβαβα+⋅+⋅-+⋅=++=2sin12cos 12cos 2cosθβαβαβα=+≤+-=θcos 12-= a PF PF 221=+ )(44222221b a c F F-==θθcos 12cos 122222222-≤-∴-≤-∴b a a b a a即 2222cos a a b -≥θ. 因为πθ<<0，所以 2222arccos a a b -≤θ.当点P 在长轴上的端点时，0=θ，这时，21PF F ∆不存在，因此，)12arccos(022-≤<ab θ[4].性质4:离心率 .2cos2cosβαβα-+=e 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF 2cos 2sin 22cos 2sin2sin sin )sin(2121βαβαβαβαβαβα-⋅++⋅+=++=+∴PF PF F F .2cos2cosβαβα-+==∴e ac 例5（2004年福建高考题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率[5].分析：由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=. 再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质4解：根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe 性质5:ee+-=⋅112tan2tanβα. 证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF == βαβαβαθsin sin )sin(sin sin sin 2121++=+=+∴PF PF F F =++==∴βαβαsin sin )sin(a c e 2cos2sin 22cos2sin2βαβαβαβα-+++ 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin2sin 2cos 2cos 2cos 2cosβαβαβαβαβαβα⋅+⋅⋅-⋅=-+=2tan2tan 12tan2tan1βαβα⋅+⋅-=e e +-=⋅∴112tan 2tan βα.例6:如图，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率[6]．分析：知道,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 我们可以直接利用性质5解题．解：由性质5有e e ee+-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan2tan22αααααααααee+-=+-∴11cos cos cos 122ααα 化简，得.1cos 2-=αe2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点1F 、2F 及双曲线上任意一点P （除实轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做双曲线的焦点三角形[7].例1:设1F 和2F 为双曲线191622=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F ，求21PF F ∆的面积. 解： 1890cos 192cos 12221=-⨯=-=⋅︒θb PF PF 990sin 2121=⋅⋅⋅=∴︒PF PF S . 性质2:2cot221θ⋅=∆b S PF F .证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F θθsin cos 12212⋅-⋅=b θθcos 1sin 2-⋅=b θθθsin cos 12tan-=θθθcos 1sin 2cot -=∴ 2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F .例2:已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时， 若令θ=∠21PF F ，求2cotθ的值．解：由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹方程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以222122121=⋅⋅=∆c S PF F.222cot222cot2=∴=⋅∴θθb例3:设点)0)(,(000<y y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点，且,21θ=∠PF F求证：.2cot 20θ⋅-=c b y 分析：此题根据已知条件列方程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于0y 和21PF F ∆的高相等，不妨从21PF F ∆的面积入手进行求解.证明：0212121y F F S PF F ⋅⋅=∆ 2cot 221θ⋅=∆b S PF F 2cot 22120θ⋅=⋅⋅∴b y c 00<y .2cot 20θ⋅-=∴c b y性质3:离心率 2sin2sinαβαβ-+=e （βα≠）.证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF αβsin sin ≠ .)sin(sin sin 2121βααβ+=--∴F F PF PF即=-⋅+2sin 2cosαβαβa2cos 2sinαβαβ+⋅+c又 02cos,≠+<+<βαπβαo 2sin2sinαβαβ-+==∴ac e .例4:（2002年上海高考题） 如图，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线方程．分析：由于双曲线的渐近线方程为x aby ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x ab y ±=作一下变形，2222222222)1(x e x a a c x a b y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线方程就求出．知道︒=∠3021F PF ，︒=∠9012F PF ，利用性质4解：330sin 60sin 2sin 2sin==-+=︒︒αβαβe.2222x y x y ±=∴=∴ 性质4 :（1）当P 点在双曲线右支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e βα（2）当P 点在双曲线左支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e αβ证明：（1）当P 点在双曲线右支上时.221a PF PF =- 由正弦定理，有βsin 1PF =)sin(sin sin 22)sin(sin sin sin sin sin 2121βααββααβθαβ+-=∴+-=-=-∴c a F F PF PF =-+==∴αββαsin sin )sin(a c e 2sin2cos 22cos2sin2αβαββαβα-+++ 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin2cos2cos2sin2sin 2sinαβαββαβααββα⋅-⋅⋅+⋅=-+=2cot2tan 12cot2tan1βαβα⋅-⋅+= .112cot 2tan +-=⋅∴e e βα.13+=∴e 3圆锥曲线焦点弦的性质性质1:过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于点P 、Q ，1A 、2A 为椭圆长轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点N ，P A 2和Q A 1交于点M ，则NF MF ⊥.证明：如图，设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则可设点F 的坐标为),0,(c -点P 、Q 的坐标分别为)sin ,cos (ααb a ，)sin ,cos (θθb a ，则P A 1的方程为 ).()cos 1(sin a x a b y +⋅+=αα①Q A 2的方程为).()1(cos sin a x a b y -⋅-=θθ ② 由①②得2cos2cossin sin )sin()]sin(sin [sin θαθαθαθαθαθα-+⋅=---+--=a a x ③由于点P 、F 、Q 共线，则有ca b c a b +=+θθααcos sin cos sin 化简，得)sin (sin )sin(αθθα-=-c a2sin2sin2cos22cos2sin 2≠--⋅+⋅=-⋅-⋅∴αθαθαθθαθα c a c a -=-+∴2cos2cosθαθα④ 将④式代入③式，得c a x 2-=所以，点N 的坐标为).)1(cos )(sin ,(2-+--θθc c a b c a 同理，点M 的坐标为))1(cos )(sin ,(2+---θθc c a b c a [9].∴.1)()1(cos sin )(4422222222-=-=-⋅--=⋅bb c ca cbc a K K NFMF θθ 即 .NF MF ⊥ 性质2:过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，1A 、2A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2相交于点N ，Q A 1和P A 2相交于点M ，则NF MF ⊥. 证明与性质1的证明类似，从略．性质3:过抛物线的焦点F 线交AQ 于点M ，过Q 证明：设抛物线方程为)0(22>=p py x ，则点P 的坐标可分别设为)2,2(211pt pt ，2,2(2pt 因为P 、F 、Q 三点共线，所以121222pt p pt =-化简，得 1421-=t t . 又PA 的方程为 t y 1=由①②得.2221p t pt y -== 即 点N 的坐标为)2,2(2pt -. 同理点M 的坐标为)2,2(1pt -[10]. .12221-=-⋅-=⋅∴pt p pt p K K NF MF 即 .NF MF ⊥4总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力. 参考文献[1]唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微[J].数学通报,2000,(9):24～25. [2]熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质[J].数学通报,2004,(5):24～25.[3]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）[M]，北京：人民教育出版社，2004.[4]李迪淼.关于椭圆的十个最值问题[J].数学通报,2002,(4):24～25.[5]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）[M].海南：南方出版社，2005.[6]薛金星.中学教材全解高二数学（上）[M].陕西：陕西人民教育出版社,2003.[7]徐希扬.双曲线焦点三角形的几个性质[J].数学通报,2002,(7):27.[8]潘际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势[M].吉林：延边大学出版社，2005.[9]李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[J]. 数学通报,2001，（5）：23.[10]毛美生范慧珍.圆锥曲线的一组相关性质[J].数学通报,2002,(12):27～28.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，现行高中教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关内容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。
最新解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则2、过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
（1） 当焦点内分弦时，有（2） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角【椭圆】222122()S (a c )tanb tanαα=-=22()S b mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角212b ()S tanα=22()Sb mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【抛物线焦点弦与原点△ 面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】 分析：如上左图,11:22|F A ||F B |a b e;e;p =-c =|AM ||BN |c c==根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析：如上左图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN|e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角AF12a x c=F2MBNAF12a x c=-F2MBN121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-ABM N2b p c=2a x c=θM‘MBAAM’M分析：如上左图, 122|F A |a b e;p =c =|AM |c c=-:根据第二定义准线与对应焦点距离 11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析：如上右图,22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦θM‘MN’NBABθN‘N【焦半径——抛物线】2）x(yπθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论122211p p p;;|AB|cos cos sinρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|y y p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】21a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==+=+22a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==-+=-122:==a b a ba b a ba ex;a ex|AB|a ex a ex e(x x)|AB|a ex a ex a e(x x)ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右AB F2a x c=-2b p c=MN Fθ ABMN2b p c=2a x c=θ【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
圆锥曲线常用知识归类
圆锥曲线常用知识归类1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4） 6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线焦点弦的又一优美性质
圆锥曲线焦点弦的又一优美性质圆锥曲线焦点弦的又一优美性质
圆锥曲线焦点弦是几何学中的一种基本曲线，由一条圆锥曲线以及两个以它为焦点的弦构成，有着另外一种神奇的性质。
首先，当两个弦上任意两点连线，内切曲线定点差值不大于弦距离的一半，它将会过该点，而该点的连线将是弦的平行线，这就是所谓的Pappus点的定义。
此外，当两个弦上任意点连线，延长着的曲线会穿过圆锥曲线的其他三顶点，这就是所谓的Pascal三等分点定义。
也就是说，两个相邻的弦上任意点连线，将会穿过圆锥曲线的另一顶点，而该点来自另一条弦。
再者，当有任意三点在弦上，以两个点之间线段为直径圆上有着另外一点，该点与两个点连线组成的曲线含有另外一条相交的弦，而且被称为Steiner的内接圆三分点，即内接圆距离弦等于弦的四分之一。
以上便是圆锥曲线焦点弦的又一优美性质。
它是几何学中又一个奇妙的定理，它生动写明了圆锥曲线之间及其和弦之间的相互关系及特殊性，使这个定理有其美感，受到国内外数学研究者的关注和好评。
圆锥曲线知识总结
1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
例题讲解:①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )A． B．C． D．〔〕；②方程表示的曲线是__ __点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕〔2〕双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
例题讲解:①方程表示椭圆，那么的取值范围为____②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，那么该双曲线的方程_______②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：〔1〕椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。
焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。
对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。
下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。
对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。
对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。
需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。
焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。
希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。
圆锥曲线重要结论
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线(课堂讲义和例题)
专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。
圆锥曲线中的应记的二级结论
(11)SABO
p2
2sin
,
yA
M
O •F
x
B
几何特征： （1）AN BN； (2)PF QF; (3)NF AB; (4) AN是PAF的平分线， BN同理； （5）AN是抛物线的切线， BN同理； （6）A,O,Q三点共线， B,O, P三点共线；
直线和圆锥曲线的位置关系中，应该求出坐标的点：
于准线于N , 直线AB的倾斜角为，A(x1, y1), B(x2, y2 ),
代数特征：
（7）x1x2, y1 y2及OA OB均为定值；
(8)
|
AB
|
x1
x2
p
2p
sin 2
;
(9) | AF | p ,| BF | p ;
1 cos
1 cos
(10) 1 1 2 ; | AF | | BF | p
1.两直线的交点； 2.曲线C与坐标轴的交点； 3.直线与圆锥曲线的特殊的交点
b2
BF1 a c cos
=
a2
2ab2 c2 cos2
（长减、短加； 为直线AB与焦点所在对称轴的夹角）
抛物线C:x2 2 py
焦半径 : AF p ，
1 cos
BF = p
1+ cos
焦点弦 :
AB
2p
1 cos2
2p
= sin2
四.和圆中三个垂直关 系对应椭圆中的类似 性质： （1）椭圆的“垂径” 定理:
B2 4AC A2
（1 k 2 ) =
A
（2）同理:椭x 圆m方y 程n
AB
(1 m2 ) A
三.焦半径和焦点弦:
简证 : AF1F2中, 设AF1 m
圆锥曲线的常用结论
圆锥曲线常用的几个结论（一）焦半径1．椭园：P 是椭圆上一点，F 是一个焦点.（1）a c PF a c -≤≤+； （2）若PF ⊥长轴,则2b PF a =；→以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相切2．双曲线：P 是双曲线上的点，F 是双曲线的一个焦点.（1）若P 与F 在同侧，则PF c a ≥-， 若P 与F 在异侧，则PF c a ≥+.（2） 若PF ⊥实轴，则2b PF a=；→以PF 为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相切3．抛物线：（1）00(,)P x y 是抛物线px y 22±=上的点，F 是焦点 则 022p pPF x =±≥ → 以PF 为直径的圆与y 轴相切 （2）00(,)P x y 是抛物线py x 22±=上的点，F 是焦点 则 022p pPF y =±≥ → 以PF 为直径的圆与x 轴相切（二）焦点三角形1．椭园：P 是椭圆上的点，1F 、2F 是两焦点，12F PF θ∠=．（若B 为短轴端点，则120F BF θ≤≤∠）. （1）①1212F F e PF PF =+； ②122tan2F PF S b θ∆=； ③212(1cos )2PF PF b θ⋅+=（2）P 与Q 是椭圆上关于短轴对称的点，F 是一个焦点，则2FP FQ a +=. 2．双曲线： P 是双曲线上的点，1F 、2F 是两焦点，12F PF θ∠=（1） ① 1212F F e PF PF =-； ② 122tan2F PF b S θ∆=； ③212(1cos )2PF PF b θ⋅-=（2）11F PF ∆内切圆圆心的轨迹是直线x a =±（或y a =±）（三）椭圆、双曲线上一点与相对顶点连线的斜率之积1．椭园：P 是椭圆上一点, 12,A A 是长轴的端点，12,B B 是短轴的端点.①若椭圆方程为22221x y a b +=， 则 12122221PA PA PB PB b k k k k e a ==-=-；②若椭圆方程为22221y x a b+=， 则 121222211PA PA PB PB a k k k k b e ==-=-；2．双曲线：P 是双曲线上一点, 12,A A 是双曲线的顶点.① 若双曲线方程为22221x y a b -=， 则 122221PA PA b k k e a ==-；② 若双曲线方程为22221y x a b-=， 则 1222211PA PA a k k b e ==-；（四）椭圆、双曲线弦的中点性质1．椭园：直线交椭圆于A B 、两点，M 是弦AB 的中点，O 为中心.①若椭圆方程为22221x y a b +=0)a b >>（，则2221OM AB b k k e a ⋅=-=-；②若椭圆方程为22221y x a b+=0)a b >>（，则22211OM AB a k k b e ⋅=-=-2．双曲线：直线交双曲线于A B 、两点，M 是弦AB 的中点，O 为中心.①若双曲线方程为22221x y a b -=，则2221OM AB b k k e a ==-②若双曲线方程为22221y x a b-=，则22211OM AB a k k b e ==-（五）圆锥曲线焦点弦的性质1．椭园：过椭圆焦点F 的直线与曲线交于A 、B 两点，若直线的斜率为k ，倾斜角为θ，椭圆的离心率为e ，且AF FB λ= (或FAFBλ=)①若F 在x 轴，则：222221cos )11(k e e +==+-θλλ； ②若F 在y 轴，则：222222221()sin 1111e e k e k kλθλ-===+++.2．双曲线：过双曲线焦点F 的直线与双曲线交于A 、B 两点，若直线的斜率为k ，倾斜角为θ， 双曲线的离心率为e ，且AF FB λ=①若F 在x 轴，则：222221cos )11(ke e +==+-θλλ； ②若F 在y 轴，则：222222221()sin 1111e e k e k kλθλ-===+++.注：若A 、B 在双曲线同一支上，则FA FB λ=；若A 、B 在双曲线不同支上，则FAFBλ=-. 3．抛物线：【1】过焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ． （1）对于22y px =±：①122221()(1)2sin p AB x x p p kθ=±++==+⋅， ②θsin 22p S AOB =∆； （2）对于22x py =±：①21222()(1)2cos p AB y y p k p θ=±++==+⋅ ， ②θcos 22p S AOB =∆．→以AB 为直径的圆与准线相切【2】（1）过焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点；与准线交于点C 记l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若FB AF λ=（注:CBCA FBFA ==λ）①若焦点F 在x 轴，则：22211()cos 11k λθλ-==++； ②若焦点F 在y 轴，则：22221()sin 11k k λθλ-==++. （2）设抛物线的准线与对称轴交于点E ,过E 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点. 记l 的斜率为k ，抛物线的焦点为F ，若EB EA λ=（注:FBFA EBEA ==λ）①若E 在x 轴，则：221()11k λλ-=-+； ②若E 在y 轴，则：2211()11kλλ-=-+.（六）过圆锥曲线对称轴上一定点的弦P 、Q 是圆锥曲线上两点，A 为圆锥曲线的一个为顶点.直线AP 与AQ 的斜率之积为定值⇔直线PQ 过对称轴上的一定点.。
圆锥曲线必备公式(经典)
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a 2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ，0 ，A 2a ，0 ，B 10，-b ，B 20，bA 10，-a ，A 20，a ，B 1-b ，0 ，B 2b ，0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =ca=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0x b 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c(2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tanθ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之差为常数（大于F 1F 2 ）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yx F 1F2b c 虚轴实轴ayxF 1F 2实轴虚轴标准方程x 2a 2-y 2b 2=1a >0，b >0 y 2a 2-x 2b 2=1a >0，b >0 范围x ≤-a 或x ≥a ，y ∈R y ≤-a 或y ≥a ，x ∈R 顶点A 1-a ，0 、A 2a ，0 A 10，-a 、A 20，a 轴长虚轴长=2b ，实轴长=2a ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2+b 2焦点F 1-c ，0 、F 2c ，0F 10，-c 、F 20，c焦半径|PF 1|=a +e x 0，|PF 2|=-a +e x 0左支添“-”离心率e =ca=1+b 2a2e >1 准线方程x =±a 2c y =±a 2c 渐近线y =±b a xy =±a b x切线方程x 0x a 2-y 0y b 2=1x 0x b 2-y 0y a 2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|-|PF 2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2÷tan θ2=c ∙y(4)离心率：e =F 1F 2 PF 1 -PF 2=sin θsin α-sin β =sin (α+β)sin α-sin βyxF 1F 2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2，0 F -p 2，0 F 0，p 2 F 0，-p2准线方程x =-p 2x =p 2y =-p2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ，(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2p (4)AB =2p sin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ，0)则设直线：x =my +a ，可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ，y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ，韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 23、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn，可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2，x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2，代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法（可以拓展为第三定义）：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0，y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中，有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中，有k MN ⋅y 0=p .。
圆锥曲线的定义与基本性质
圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。
圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。
设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。
- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。
例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。
二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a costy=b sint其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。
类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。
三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。
对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。
对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。
对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。
四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。
其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。
而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。
对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。
高中数学圆锥曲线总结
数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
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圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系2008级6班唐流聪指导教师 XXX摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。
而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。
为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。
关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangleand Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1]. 2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形[2].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e ，则有以下性质：图1性质1 θcos 12221+=⋅b PF PF .证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有2221212221)2(cos 2c F F PF PF PF PF ==⋅⋅-+θa PF PF 221=+221222142a PF PF PF PF =⋅++∴2212124cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ整理，得.cos 12221θ+=⋅b PF PF例1 如图2：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．图2分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=S 224360sin 21c PO OF =⋅︒，求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c，c 23.由于点P 在椭圆上，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221434ac b bc a c 解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF.290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b 性质2 .2tan221θ⋅=∆b S PF F证明：由性质1得 θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F.2tan cos 1sin sin cos 1222θθθθθ⋅=+⋅=⋅+⋅=b b例 2 已知1F 、2F 是椭圆1256422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：如果设P 点的坐标为),(y x ，由P 点在已知椭圆上且321π=∠PF F ，利用这两个条件，列出关于x ,y 的两个方程，解出x ,y ．再求21PF F ∆的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321π=∠PF F ，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解： 2tan221θ⋅=∆b S PF F.33256tan2521=⋅=∴∆πPF F S 例3已知点),(00y x P )0(0>y 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任一点，且θ=∠21PF F .求证：2tan 20θ⋅=c b y . 证明： 0212221211y c h F F S PF F ⋅⋅=⋅⋅=∆ 2tan 221θ⋅=∆b S PF F=⋅⋅∴0221y c 2tan 2θ⋅b00>y.2tan 20θ⋅=∴c b y例4 点P 是椭圆145=+上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．分析：要求点P 的坐标，不妨设P 点坐标为),(00y x ，由P 点在已知椭圆上和21PF F ∆的面积等于1，可列两个方程，解方程可得点P 的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解[3]．解：设P 点坐标为),(00y x ,则有cc S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c.1100±=∴=∴y y把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 性质3)12arccos(22-≤<ab O θ.证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)](180sin[sin sin sin sin sin 2121βαβαθβα+-+=+=+∴F F PF PF2cos2sin 22cos2sin2)sin(sin sin βαβαβαβαβαβα+⋅+⋅-+⋅=++=2sin12cos 12cos 2cosθβαβαβα=+≤+-=θcos 12-= a PF PF 221=+)(44222221b a c F F -==θθcos 12cos 122222222-≤-∴-≤-∴b a a b a a即2222cos a a b -≥θ.因为πθ<<0，所以 2222arccos aa b -≤θ. 当点P 在长轴上的端点时，0=θ，这时，21PF F ∆不存在，因此，)12arccos(022-≤<ab θ[4].性质4 离心率 .2cos2cosβαβα-+=e 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF2cos2sin 22cos2sin2sin sin )sin(2121βαβαβαβαβαβα-⋅++⋅+=++=+∴PF PF F F .2cos2cosβαβα-+==∴e ac例5（2004年福建高考题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率[5].分析：由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=.再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质4解题，求解更简便．解：根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图3）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe图3性质5ee+-=⋅112tan2tanβα. 证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==βαβαβαθsin sin )sin(sin sin sin 2121++=+=+∴PF PF F F=++==∴βαβαsin sin )sin(a c e 2cos2sin 22cos2sin2βαβαβαβα-+++ 2sin2sin 2cos 2cos 2sin2sin 2cos 2cos 2cos 2cosβαβαβαβαβαβα⋅+⋅⋅-⋅=-+=2tan2tan12tan 2tan1βαβα⋅+⋅-=ee +-=⋅∴112tan 2tan βα.例 6 如图4，P 是椭圆12222=+b y a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率[6]．图4分析：知道,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 我们可以直接利用性质5解题． 解：由性质5有e e ee+-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan2tan22αααααααααee+-=+-∴11cos cos cos 122ααα 化简，得.1cos 2-=αe 2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点1F 、2F 及双曲线上任意一点P （除实轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做双曲线的焦点三角形[7].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，双曲线的离心率为e ，则有以下性质：性质1 cos 121θ-=⋅PF PF 证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有22221-+PF PF =⋅⋅θcos 21PF PF 2221)2(c F F= ①a PF PF 221=-221222142a PF PF PF PF =⋅-+∴ ②由①②得.cos 12221θ-=⋅b PF PF例 1 设1F 和2F 为双曲线191622=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F ，求21PF F ∆的面积.解： 1890cos 192cos 12221=-⨯=-=⋅︒θb PF PF 990sin 2121=⋅⋅⋅=∴︒PF PF S . 性质22cot 221θ⋅=∆b S PF F .证明：由性质1得 θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F θθsin cos 12212⋅-⋅=b θθcos 1sin 2-⋅=bθθθsin cos 12tan-=θθθcos 1sin 2cot -=∴ 2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F .例2已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时，若令θ=∠21PF F ，求2cot θ的值． 解：由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹方程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以222122121=⋅⋅=∆c S PF F.222cot222cot2=∴=⋅∴θθb例 3 设点)0)(,(000<y y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任一点，且,21θ=∠PF F 求证：.2cot 20θ⋅-=c b y分析：此题根据已知条件列方程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于0y 和21PF F ∆的高相等，不妨从21PF F ∆的面积入手进行求解.证明：0212121y F F S PF F ⋅⋅=∆ 2cot 221θ⋅=∆b S PF F2cot 22120θ⋅=⋅⋅∴b yc 00<y.2cot 20θ⋅-=∴c b y性质3 离心率 2sin2sinαβαβ-+=e （βα≠）. 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PFαβsin sin ≠.)sin(sin sin 2121βααβ+=--∴F F PF PF即=-⋅+2sin2cosαβαβa2cos2sin αβαβ+⋅+c又 02cos,≠+<+<βαπβαo2sin2sinαβαβ-+==∴ac e . 例4 （2002年上海高考题） 如图6，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线方程．分析：由于双曲线的渐近线方程为x aby ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x aby ±=作一下变形，2222222222)1(x e x aa c x ab y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线方程就求出．知道︒=∠3021F PF ，︒=∠9012F PF ，利用性质4可求e.解：330sin 60sin 2sin2sin==-+=︒︒αβαβe.2222x y x y ±=∴=∴性质4 （1）当P 点在双曲线右支上时 .112cot2tan+-=⋅e e βα（2）当P 点在双曲线左支上时 .112cot2tan+-=⋅e e αβ证明：（1）当P 点在双曲线右支上时 .221a PF PF =-由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)sin(sin sin 22)sin(sin sin sin sin sin 2121βααββααβθαβ+-=∴+-=-=-∴c a F F PF PF=-+==∴αββαsin sin )sin(a c e 2sin2cos 22cos2sin2αβαββαβα-+++ 2sin2cos 2cos 2sin 2sin2cos2cos2sin2sin 2sinαβαββαβααββα⋅-⋅⋅+⋅=-+=2cot2tan12cot 2tan1βαβα⋅-⋅+=.112cot 2tan +-=⋅∴e e βα例5（2005年福建高考题）已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F[8].解：连接N F 21221.13113)32(3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan 1130cot 15tan .11260cot 230tan +=∴+-=⋅-∴-=+-=-=+-=⋅∴+-=⋅︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒e e e e e e e3圆锥曲线焦点弦的性质性质 1 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于点P 、Q ，1A 、2A 为椭圆长轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点N ，P A 2和Q A 1交于点M ，则NF MF ⊥.图8证明：如图，设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则可设点F 的坐标为),0,(c -点P 、Q 的坐标分别为)sin ,cos (ααb a ，)sin ,cos (θθb a ，则P A 1的方程为).()cos 1(sin a x a b y +⋅+=αα①Q A 2的方程为).()1(cos sin a x a b y -⋅-=θθ②由①②得2cos2cossin sin )sin()]sin(sin [sin θαθαθαθαθαθα-+⋅=---+--=a a x ③由于点P 、F 、Q 共线，则有 ca b c a b +=+θθααcos sin cos sin 化简，得)sin (sin )sin(αθθα-=-c a2sin2sin2cos22cos2sin 2≠--⋅+⋅=-⋅-⋅∴αθαθαθθαθα c ac a -=-+∴2cos2cos θαθα ④ 将④式代入③式，得ca x 2-=所以，点N 的坐标为).)1(cos )(sin ,(2-+--θθc c a b c a 同理，点M 的坐标为))1(cos )(sin ,(2+---θθc c a b c a [9]. ∴.1)()1(cos sin )(4422222222-=-=-⋅--=⋅bb c ca cbc a K K NFMF θθ 即.NF MF ⊥性质 2 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，1A 、2A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2相交于点N ，Q A 1和P A 2相交于点M ，则NF MF ⊥.证明与性质1的证明类似，从略．性质3过P AP 于点N ，则NF MF ⊥.图9证明：设抛物线方坐标可分别设为)2,2(211pt pt ，)2,2(222pt pt .因为P 、F 、Q 三点共线，所以222121222222pt p pt pt p pt -=-化简，得1421-=t t .又PA 的方程为x t y 1=， ①QN 的方程为,22pt x = ②由①②得.2221pt pt y -== 即点N 的坐标为)2,2(2p pt -. 同理点M 的坐标为)2,2(1p pt -[10]..12221-=-⋅-=⋅∴pt ppt p K K NF MF即.NF MF ⊥4总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等方法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.参考文献[1]唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微[J].数学通报,2000,(9):24～25. [2]熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质[J].数学通报,2004,(5):24～25.[3]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）[M]，北京：人民教育出版社，2004.[4]李迪淼.关于椭圆的十个最值问题[J].数学通报,2002,(4):24～25.[5]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）[M].海南：南方出版社，2005.[6]薛金星.中学教材全解高二数学（上）[M].陕西：陕西人民教育出版社,2003.[7]徐希扬.双曲线焦点三角形的几个性质[J].数学通报,2002,(7):27.[8]潘际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势[M].吉林：延边大学出版社，2005.[9]李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[J]. 数学通报,2001，（5）：23.[10]毛美生范慧珍.圆锥曲线的一组相关性质[J].数学通报,2002,(12):27～28.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，现行高中教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关内容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。