递归分析方法
总结调研的方式方法
总结调研的方式方法1. 文献综述：通过查阅相关文献资料，对现有研究进行梳理和总结，了解已有的研究成果与研究方法。
2. 实地调研：到研究对象所在地进行实地考察和观察，收集第一手资料，并对调研对象进行深入了解和交流。
3. 问卷调查：设计并发放问卷，收集受访者的意见、看法和需求，通过统计分析获得调研结果。
4. 深度访谈：选择重要的调研对象进行个别深入交流，了解其专业见解和实际情况，获取更多细节性信息。
5. 专家咨询：邀请相关领域专家进行咨询，获取专业意见和建议，对研究方向和方法进行指导和优化。
6. 网络调研：通过互联网渠道搜集相关数据和资料，分析研究对象在网络上的行为和观点。
7. 归纳总结法：将不同调研方法得到的数据进行集中分析处理，并进行归纳总结，得出结论。
8. 对比分析法：对不同调研来源的数据进行对比分析，找出差异和规律，发现研究对象的特点和问题。
9. 专题研究法：根据调研需求，选定特定的主题进行研究，通过多种方式对该主题进行系统调查。
10. 参与观察法：调研人员融入到调研对象的工作和生活中，进行参与式观察，获取更真实的信息和数据。
11. 抽样调查法：设计合理的样本调查方案，通过对样本数据的收集和分析，推断总体的特征和规律。
12. 反馈验证法：将初步调研结果反馈给调研对象，验证和修正调研数据和结论，确保调研结果的准确性和可信度。
13. 数据挖掘法：运用数据挖掘技术对大量数据进行深入分析，发现隐藏的信息和规律，辅助调研结论的形成。
14. 实验研究法：设置实验条件，观察和测量研究对象在变量变化下的表现，获取特定情境下的实验数据。
15. 代码分析法：对大规模的数字化文本进行编码和分析，分析其中的关键主题、情感倾向等信息。
16. 可视化展示法：通过图表、地图等形式对调研结果进行可视化展示，帮助研究者和受众更直观地理解研究成果。
17. 质性研究法：采用质性研究方法，关注研究对象的内在特点、关系和现象，深入挖掘其背后的含义和机制。
递归算法的应用与分析
化的执行效率。
关键词：递归；算法；非递归化；效率
中图分类号：TP301.6
文献标识码：A
文章编号：2096-4706（2020）20-0146-04
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
NI Jinyuan，ZHANG Jianxun （College of Computer Science and Engineering，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）
146 2020.10
倪锦园，等：递归算法的应用与分析
第 20 期
为了下一次迭代递归的输入。
1.2.2 递归算法的边界条件 边界条件就是递归的出口。递归算法不是无穷无尽的， 当程序递归到最后一层时，就要返回输出。由于每一层递归 都会使问题规模不断缩小，所以每一次递归都会越来越趋近 于终止条件，直到达到终止的条件，返回临界值。例如递归 求阶乘问题 f（n）=n•f（n-1），递归的终止条件当 n=1 时， 如果没有递归的边界条件，此时程序是无限循环的，没有输 出结果。递归算法的边界条件有的时候也不止一个，在整数 划分问题里面，要分别讨论最大化分数值和被划分的整数值 大小关系，此时递归边界条件也有多个的。
Abstract：Recursive thought is one of the most important thoughts in algorithm analysis and design. Recursive algorithms are widely used. With the help of recursive algorithms，some more complex problems can be expressed concisely. This article focuses on the concept and three characteristics of the recursive algorithm. This paper describes the application of recursive algorithm in data structure tree in detail through computer game tree，systematically introduces the application of recursive algorithm in graph by using different situations in the process of point chess game，and analyzes the execution efficiency of recursive algorithm and recursive algorithm non recursive through contrast experiments.
编译原理递归下降分析法C语言
编译原理递归下降分析法C语言编译原理是计算机科学中的一个重要领域，主要研究如何将高级语言程序转化为机器可执行的目标代码。
在编译原理中，递归下降分析法是一种常用的语法分析方法，它通过递归地从上至下对程序进行分析，最终确定程序的语法结构。
递归下降分析法是一种自顶向下的语法分析方法，基于产生式和预测分析表来实现对程序的语法分析。
该方法的基本思想是，每个非终结符对应一个处理过程，通过递归调用这些处理过程来分析整个程序。
在C语言的递归下降分析法中，需要定义对应C语言语法结构的处理过程，这些处理过程通常对应于C语言中的各种语句、表达式、声明等。
递归下降分析法的实现主要包括两个步骤：构造预测分析表和编写递归下降分析程序。
预测分析表是一个二维表格，行对应于非终结符，列对应于终结符，表格中的每个元素记录了该产生式的编号。
通过预测分析表，可以预测下一个分析符号，并选择相应的产生式进行语法分析。
编写递归下降分析程序时，首先需要确定递归下降分析程序的数据结构和接口。
一般来说，分析程序的数据结构包括符号栈、语法树等，接口包括初始化、语法分析、错误处理等。
接下来，根据语法规则编写对应的递归下降分析函数，每个函数对应一个非终结符的处理过程。
在实际编写过程中，通常使用递归调用来实现对程序的逐步分析，直到达到终结符。
递归下降分析法在C语言编译器中的应用非常广泛。
通过该方法，可以对C语言程序进行语法分析，检测代码中的语法错误，并生成相应的语法树。
在生成语法树之后，可以继续进行语义分析、中间代码生成、代码优化等编译过程。
总的来说，递归下降分析法是一种重要的语法分析方法，可以用于对C语言程序进行语法分析。
它通过自顶向下的递归调用，从上至下地解析语法规则，最终确定程序的语法结构。
递归下降分析法在实际编译器设计中有广泛应用，是理解和学习编译原理的重要内容。
实证研究中的质性数据的分类与分析方法
实证研究中的质性数据的分类与分析方法引言：实证研究是科学研究的重要方法之一，它通过观察、实验或调查来收集和分析数据，从而获得对现象背后规律的认识。
质性数据在实证研究中具有重要的地位，它能够提供丰富的细节和深入的理解，帮助人们更好地把握问题的本质和内涵。
本文将介绍实证研究中质性数据的分类与分析方法，帮助读者更好地利用这些方法来深入了解和解释现象。
一、质性数据的分类与定义1. 个人访谈个人访谈是一种常用的质性数据收集方法，通过与受访者进行面对面的深入交流，收集和获取数据。
个人访谈可以通过开放式问题和半结构化问题来获取详细和质性的信息。
2. 焦点小组讨论焦点小组讨论是一种在一定时间和空间范围内，由一组参与者共同讨论某一特定主题的方法。
焦点小组讨论通过让不同的个体交流和协商，获取有关主题的多元观点。
3. 文件分析文件分析是通过收集和阅读各种文件和资料，进行数据搜集和分析的一种方法。
文件可以是书籍、报纸、政策文件等，通过对这些文件的细致研究，可以获得对问题的深入理解。
4. 观察法观察法是通过观察和记录现象的变化和规律，来获取数据的一种方法。
观察可以是实地观察，也可以是对影像、录像、照片等的观察。
观察可以是直接观察，也可以是间接观察。
5. 文本分析文本分析是对文本材料进行内容分析和解释的一种方法。
文本可以是书籍、文章、访谈录音等，通过对文本的深入分析和解读，可以获得对主题的深刻理解和认识。
6. 问卷调查问卷调查是一种通过设计和发放问卷，收集并分析数据的方法。
问卷可以包含开放式问题和封闭式问题，通过对问卷数据的统计和分析，可以获取对问题的了解和认知。
二、质性数据的分析方法1. 编码与分类编码与分类是对质性数据进行整理和分类的方式。
通过对数据进行码化和分类，可以将复杂的数据重新梳理和整合，为后续的分析提供基础。
2. 主题分析主题分析是对质性数据进行概念提取和归纳的过程，通过发现和归类数据中的共性和差异，生成主题和维度。
2019-wfx-第1章 概述 -递归算法的复杂度分析
【例1.7】有以下递归算法： void mergesort(int a[],int i,inБайду номын сангаас j)
{ int m; if (i!=j) { m=(i+j)/2; mergesort(a,i,m); mergesort(a,m+1,j); merge(a,i,j,m); }
}
其中，mergesort()用于数组a[0..n-1]（设n=2k，这里的k为正整数）的归并
算法设计与分析
咸阳师范学院计算机学院 吴粉侠
递归算法的时间复杂度分析
递归算法是采用一种分而治之的方法，把一个“大问题”分解为若 干个相似的“小问题”来求解。
对递归算法时间复杂度的分析，关键是根据递归过程建立递推关系 式，然后求解这个递推关系式，得到一个表示算法执行时间的表达式， 最后用渐进符号来表示这个表达式即得到算法的时间复杂度。
i+=2; } }
解：该算法是一个非递归算法，其中只临时分配了i、k两个变量 的空间，它与问题规模n无关，所以其空间复杂度均为O(1)，即该算
法为原时工作算法。
【例1.10】有如下递归算法， 分析调用
maxelem(a，0，n-1)
的空间复杂度。
int maxelem(int a[],int i,int j) { int mid=(i+j)/2,max1,max2;
排序，调用该算法的方式为：
mergesort(a，0，n-1)；
另外merge(a，i，j，m)用于两个有序子序列a[i..j]和a[j+1..m]的有序合并，是
非递归函数，它的时间复杂度为O(n)（这里n=j-i+1）。分析上述调用的时间复杂度。
数据结构与算法分析论文(递归的讨论)
数据结构论文——递归算法的讨论所谓递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。
一个过程(或函数)直接或间接调用自己本身,这种过程(或函数)叫递归过程(或函数)。
递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归方法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。
递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。
在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
下面就让我们结合例子详细讨论一下递归算法。
一、递归算法的原理递归算法简单的说就是在函数中调用函数自身，不断调用，直到满足函数得出计算结果(某个条件)。
因为其需要不断循环的调用自身，所以称为递归调用。
递归的原理,其实就是一个栈(stack), 比如求5的阶乘,要知道5的阶乘,就要知道4的阶乘,4又要是到3的,以此类推,所以递归式就先把5的阶乘表示入栈, 在把4的入栈,直到最后一个,之后呢在从1开始出栈, 看起来很麻烦,确实很麻烦,他的好处就是写起代码来,十分的快,而且代码简洁,其他就没什么好处了,运行效率出奇的慢。
还有一个十分形象的例子：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚正在讲故事……如此循环往复到最终的要求。
递归分为2种，直接递归和间接递归。
直接递归，比如方法A内部调用方法A自身。
间接递归，比如方法A内部调用方法B，方法B内部调用方法C，方法C 内部调用方法A。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
《递归下降分析法》实验报告
《编译原理》课程实验报告姓名：LZ学号：110地点：机房教师：老师院系：计通专业：计算机char scaner(char*input,int* p);void S(char*input,int* p);void T(char*input,int* p);void T1(char*input,int* p);void error();int sym=0;int main(){int p=0;char input[200]={0};printf("提示：单词只能由( ) a ^ , 组成，且单词必须以$#结尾\n"); printf("请输入你要识别的单词\n");return 0;}char scaner(char*input,int *p){char temp=input[*p];(*p)++;return temp;}void S(char*input,int* p) {if(sym=='a'||sym=='^')sym=scaner(input,p);{S(input,p);T1(input,p);return ;}void T1(char*input,int* p){if(sym==','){sym=scaner(input,p);S(input,p);T1(input,p);}else if(sym!=')')error();}void error(){printf("error!");return ;}三．实验步骤四．总结与回顾通过该实验的操作，我了解了语法分析器的内部工作原理，并掌握自上而下语法分析的要求与特点。
了解了每个函数的功能是识别由该终结符所表示的语法成分，通过在实验中运用一定的编程技巧，掌握对表达式进行处理的一种方法；在实验最后的调试中让我对该实验有了更全面的知识掌握，从中进步了不少。
语法分析递归下降分析法
语法分析递归下降分析法递归下降分析法是一种常用的语法分析方法，它通过构建递归子程序来解析输入的语法串。
该方法可以分为两个步骤：构建语法树和构建语法分析器。
首先，我们需要构建语法树。
语法树是一个表示语言结构的树形结构，它由各类语法片段（非终结符）和终结符组成。
构建语法树的过程就是根据文法规则从根节点开始递归地扩展子节点，直到达到文法推导出的终结符。
具体来说，我们可以通过以下步骤来构建语法树：1.设计满足语言结构的文法规则。
文法规则定义了语法片段之间的关系和转换规则。
2.将文法规则转换为程序中的递归子程序。
每个递归子程序对应一个语法片段，并按照文法规则递归地扩展子节点。
3.设计词法分析器将输入的语法串分词为单个有效的词法单元。
4.从语法树的根节点开始，根据递归子程序逐步扩展子节点，直到达到终结符。
同时，将每一步的扩展结果记录在语法树中。
接下来，我们需要构建语法分析器。
语法分析器是一个根据语法规则判断输入语法串是否符合语法规则的程序。
它可以通过递归下降分析法来实现。
具体来说，我们可以通过以下步骤来构建语法分析器：1.定义一个语法分析器的函数，作为程序的入口。
2.在语法分析器函数中，根据文法规则调用递归子程序，分析输入的语法串。
3.每个递归子程序对应一个语法片段，它会对输入的语法串进行识别和匹配，并根据文法规则进行扩展。
4.如果递归子程序无法匹配当前的输入，那么意味着输入的语法串不符合文法规则。
5.如果递归子程序成功扩展，并继续匹配下一个输入，则语法分析器会一直进行下去，直到分析完整个语法串。
总结起来，递归下降分析法是一种简单而有效的语法分析方法。
它通过构建递归子程序来解析输入的语法串，并构造出对应的语法树。
虽然递归下降分析法在处理左递归和回溯等问题上存在一定的困难，但它仍然是一种重要的语法分析方法，被广泛应用于编译器和自然语言处理等领域。
运用社会系统研究方法
社会系统研究是一种以社会系统为研究对象的科学研究方法，主要通过对社会系统内部与外部元素之间的相互关系、相互作用和相互影响进行研究，从而揭示社会系统运行的规律和机制。
社会系统研究方法可以应用于各种社会问题的研究，如社会发展、社会变迁、社会结构等。
首先，在社会系统研究中，研究者通常采用结构功能主义的分析框架进行分析。
结构功能主义认为社会系统是由各种相互依存的社会组成部分构成的，这些部分通过相互之间的功能和相互作用来实现社会系统的稳定和健康发展。
因此，研究者需要首先分析社会系统的结构和功能，了解各个部分之间的相互联系和作用，以及这些联系和作用对社会系统整体运行的影响。
其次，在社会系统研究中，研究者通常采用实证研究方法进行数据收集和分析。
实证研究方法可以通过对社会现象的观察、测量和实验来获取数据，从而揭示社会系统内部和外部元素之间的关系。
研究者可以基于收集到的数据来进行数据分析，运用统计学方法、计算机模拟等工具来验证研究假设和进行定量分析，以便获得客观、准确的研究结论。
然后，在社会系统研究中，研究者通常采用系统动力学的方法来模拟和分析社会系统的动态变化。
系统动力学是一种研究系统结构和行为的科学方法，通过对系统内各个元素的相互作用和反馈机制进行分析和模拟，以预测和解释系统的行为。
研究者可以利用系统动力学方法构建数学模型、运行模拟实验、定量分析结果，从而识别和解决社会系统面临的问题和挑战。
最后，在社会系统研究中，研究者通常采取递归分析的方法来揭示社会系统的内因和外因之间的相互影响。
递归分析是一种关注因果关系和作用机理的科学方法，通过对社会系统内部和外部元素之间的递归关系进行研究，揭示社会系统的内在逻辑和运行规律。
研究者可以通过递归分析来识别和评估各种因素对社会系统的影响，为社会问题的解决提供理论依据和政策建议。
综上所述，社会系统研究方法是一种揭示社会系统运行规律和机制的科学研究方法，通过结构功能主义分析框架、实证研究方法、系统动力学方法和递归分析方法等工具和方法来研究社会系统的内部和外部元素之间的相互关系和相互作用。
递归实验报告分析总结
递归实验报告分析总结递归是一种非常重要的编程思想和技巧，对于理解和解决问题具有非常大的帮助。
通过递归，我们可以将一个问题分解成为更小的子问题，从而简化问题的复杂度和难度。
在本次实验中，我深入学习了递归的原理和应用，并实践了一些递归算法。
通过这些实验，我对递归有了更深入和全面的理解，掌握了递归的使用方法和注意事项。
在实验中，我首先学习了递归的概念和原理。
递归是一种将大问题分解成小问题的算法思想，通过不断调用自己来解决问题。
递归算法通常包含两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是递归终止的条件，递归情况是递归调用自身的条件。
通过合理设置这两个条件，我们可以确保递归算法能够得到正确的结果并正常终止。
然后，我练习了递归的应用。
在实验中，我实现了一些常见的递归算法，如计算阶乘、斐波那契数列等。
通过这些实践，我更加熟悉了递归的写法和思维模式。
递归算法的核心思想是将大问题分解成小问题，然后通过递归调用解决这些小问题，最终得到整个问题的解。
这种思维模式非常灵活和高效，对于解决一些复杂和抽象的问题非常有帮助。
在实验过程中，我也遇到了一些递归算法的常见问题和注意事项。
例如，递归算法容易出现堆栈溢出的问题，因为每次递归调用都会占用一定的内存空间，如果递归层数过多，就容易导致栈溢出。
为了解决这个问题，我们可以在递归算法中加入递归深度的限制条件，或者考虑使用迭代算法等其他算法思想。
此外，递归算法的时间复杂度一般比较高，因为递归算法需要不断的调用自身，导致函数的调用次数非常多。
为了提高递归算法的效率，我们可以尝试使用尾递归优化、记忆化搜索等技巧。
尾递归优化是指在递归函数的最后一步调用中，直接返回递归函数的结果，而不再进行其他操作。
这样可以有效避免函数调用的堆栈积累，提高程序的性能。
总的来说，通过本次递归实验，我对递归算法有了更深入的理解和掌握。
递归是一种非常强大和灵活的算法思想，可以用来解决各种复杂的问题。
通过合理设置递归的基本情况和递归情况，我们可以通过递归算法简化问题的复杂度和难度，高效地解决问题。
递归算法分析
已知X和n的值，求Xn的值
传统做法：for一遍，计算n次乘积，复杂度？ 朴素快速幂做法：折半计算，复杂度？
问题就是排序
在700多年前，意大利有一位著名数学家斐波那契在他的《算盘全集》一书中 提出了这样一道有趣的兔子繁殖问题。 如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生 后的第三个月也都生下一对小兔。那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以 繁殖成多少对兔子？ 用列举的方法可以很快找出本题的答案： 第一个月，这对兔子生了一对小兔，于是这个月共有2对（1+1=2）兔子。 第二个月，第一对兔子又生了一对兔子。因此共有3对（1+2=3）兔子。 第三个月，第一对兔子又生了一对小兔而在第一个月出生的小兔也生下了一对 小兔。所以，这个月共有5对（2+3=5）兔子。 第四个月，第一对兔子以及第一、二两个月生下的兔子也都各生下了一对小兔 。因此，这个月连原先的5对兔子共有8对（3+5=8）兔子。 列表如下：
递归模型是递归算法的抽象 , 它反映一个递归 问题的递归结构,例如,前面的递归算法对应的 递归模型如下：
fun(1)=1 fun(n)=n*fun(n-1) (1) n>1 (2)
其中 , 第一个式子给出了递归的终止条件 , 第二个式子给出了 fun(n) 的值与 fun(n-1) 的值 之间的关系,我们把第一个式子称为递归出口, 把第二个式子称为递归体。
1、阶乘 2、求数列前n项和 3、折半查找 4、快速幂 5、斐波那契数列 6、汉诺塔问题 7、快速排序
[分析] n!的计算是一个典型的递归问题。使用递归方法来描 述程序，十分简单且易于理解。 [步骤1] 描述递归关系 。 递归关系是这样的一种关系。设{U1,U2,U3,…,Un…}是一个序 列，如果从某一项k开始，Un和它之前的若干项之间存在一 种只与n有关的关系，这便称为递归关系。
经济动态的递归方法pdf
经济动态的递归方法pdf1 递归方法与经济动态递归方法是一种通用的程序设计技术，主要用于解决不断重复出现的问题，也称为递归算法。
它具有灵活性、可重用性等优势，可以有效提高程序的执行效率，缩短程序执行周期。
因此，递归方法也被广泛应用于经济动态分析中。
2 递归方法在经济动态分析方面的应用（1）资源配置策略分析。
比如，给定满足需求的最大利润的优化条件，应用递归方法，可以根据假设的分解解决经济调节问题。
（2）对产品利润最大化的分析。
使用递归方法，可以通过研究和求解不同劳动力和原料组合，提高产品的生产率和利润，从而达到最低成本、最大利润的目的。
（3）社会经济问题的分析。
例如，在处理发展中国家的经济政策时，可以采用递归方法，逐步求解和分解解决复杂的多项因素的综合影响。
3 特点：（1）可节省编程时间：由于递归技术重复利用自身的编程特性，可以减少编程工作量和提高程序执行效率，同时可以节省大量编程时间和精力。
（2）可重用：递归技术是可重用的，处理过的一些工作可以多次回溯并重用，因而可以非常有效地节省开发时间和资源。
（3）语句简洁：递归技术可以让语句变得简洁，使用递归可以把复杂的任务拆成若干简单的任务，简化程序设计，使程序更加清晰易读。
4 递归方法在经济动态分析中的缺点（1）递归过程使用大量计算资源：递归技术大量使用内存和处理器资源，如果程序太复杂或数据量太大，程序容易发生崩溃，从而影响递归方法在经济动态分析中的应用。
（2）编写和调试难度大：递归程序具有大量的关联变量，有时候对于某些变量更改会影响程序的预期输出，需要程序员深入理解和编程的复杂过程，编写和调试都比较困难，而且递归程序不利于调式(debug)。
5 总结递归方法在经济动态分析方面具有很多优点，可以大大提高程序执行效率，节省编程时间和资源，并可以使语句更加简洁、清晰。
但是，由于它大量使用计算资源，经常会发生崩溃，而且也不利于编写和调试。
因此，在使用递归方法时，应该注意避免程序崩溃，尽量使程序语句编写和调试更加简单易读，以此达到最佳的经济动态分析分析效果。
递归实验报告分析总结
一、实验背景递归是一种编程技巧，通过函数自身调用自身的方式实现算法的求解。
递归算法在解决一些具有递归特性的问题上具有独特的优势，如斐波那契数列、汉诺塔等。
本实验旨在通过递归算法解决实际问题，加深对递归的理解和应用。
二、实验目的1. 掌握递归算法的基本思想和方法；2. 熟悉递归算法的编写和调试；3. 分析递归算法的时间复杂度和空间复杂度；4. 学会运用递归算法解决实际问题。
三、实验内容1. 斐波那契数列求解2. 汉诺塔问题3. 递归求解组合问题四、实验过程1. 斐波那契数列求解（1）问题描述：给定一个正整数n，求斐波那契数列的第n项。
（2）递归算法实现：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```（3）分析：斐波那契数列递归算法的时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)。
2. 汉诺塔问题（1）问题描述：有n个大小不同的盘子，初始放置在A柱子上，按照从小到大的顺序排列。
现要求将所有盘子移动到C柱子上，在移动过程中，每次只能移动一个盘子，且在移动过程中，大盘子不能放在小盘子上面。
（2）递归算法实现：```pythondef hanoi(n, source, target, auxiliary):if n == 1:print("Move disk 1 from", source, "to", target)returnhanoi(n-1, source, auxiliary, target)print("Move disk", n, "from", source, "to", target)hanoi(n-1, auxiliary, target, source)```（3）分析：汉诺塔递归算法的时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)。
算法设计与分析-递归法
b)
cn k
n1 n1
O (nlog b a ) T (n) O(nk log b n) O(nk )
a bk a bk a bk
但是并非所有的递推式都可以用公式法求解。 例T(n)=2T(n/2)+nlogn 由于a=2, b=2, f(n)=nlogn和nlogba=n。看起来似乎属于 主定理情况（3），但事实上f(n)只是渐近大于n，但并不 是多项式大于n。f(n)与的nlogba比值是log n，对于任何 正数，log n渐近小于n，所以，此例不能运用定理。
1 替换方法
替换方法要求首先猜测递推式的解，然后用归纳法证明。
例2.2 T(n) 2T(n / 2) n
需要注意在上述证明过程中，没有考虑初始条件，而初始条 件是归纳法成立的基础。上例归纳证明的初始条件是是 T(1)≤c，只要选择足够大的c≥1即成立。
2.迭代方法
迭代方法的思想是扩展递推式，将递推式先转换成 一个和式，然后计算该和式，得到渐近复杂度。 例2.4 使用迭代方法分析 T (n) 2T (n / 2) n2
本章要点
• 递归算法特性
• 递推关系 • 递归算法的应用
章节内容
2.1 递归算法 2.1.1 递归算法特性 2.1.2 递归算法的执行过程 2.1.3 递推关系
2.2 递归法应用举例
2.3 典型问题的C++程序
2.4 小结
2.1 递归法
2.1.1 递归算法的特性
若一个算法直接的或间接的调用自己本身，则称这个算 法是递归算法。递归本质上也是一种循环的算法结构，它把较 复杂的计算逐次归结为较简单的情形的计算，直到归结到最简 单情形的计算，并最终得到计算结果为止。
专业的语法分析方法
专业的语法分析方法语法是一门研究句子结构和语言规则的学科，而语法分析则是在计算机科学领域中对自然语言进行结构解析和语法分析的重要步骤。
在自然语言处理和人工智能等领域中，语法分析是一项关键技术，可以用于文本解析、句法树生成、机器翻译和语义分析等任务。
本文将介绍一些专业的语法分析方法。
1. 递归下降分析法递归下降分析是一种基于产生式规则和递归思想的语法分析方法。
它通过构建语法分析树来解析句子的结构，在每一步中选择合适的产生式规则来推导句子的各个部分，直到句子被完全分析为止。
递归下降分析法具有简单易懂、容易实现的优点，但可能会受到左递归和回溯等问题的影响。
2. LL分析法LL分析法是一种自顶向下的语法分析方法，它利用预测分析表来确定下一步要采取的动作。
LL分析法中的LL表示从左到右扫描输入，同时选择最左推导。
LL分析法通过预测下一个输入符号和栈顶的非终结符来选择产生式规则，并将产生的语法树按照左子树优先的方式生成。
3. LR分析法LR分析法是一种自底向上的语法分析方法，它通过构建语法分析器栈来解析句子的结构。
LR分析法具有广泛的适用性和效率较高的优点，常用于大规模语法分析任务中。
常见的LR分析法包括LR(0)、SLR(1)、LR(1)、LALR(1)和GLR等。
4. CYK算法CYK算法是一种基于动态规划的语法分析方法，适用于上下文无关文法的句法分析。
CYK算法通过填表的方式，根据输入串的组合情况来判断是否能由文法推导出来，进而构建句子的语法树。
CYK算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于较短的句子。
5. 统计语法分析方法统计语法分析是一种基于机器学习的语法分析方法，利用大规模语料库数据来学习语法规则和句子结构之间的统计关系。
常见的统计语法分析方法包括基于PCFG（Probabilistic Context-Free Grammar）的分析方法、基于依存语法和基于最大熵模型的分析方法等。
统计语法分析方法在解析复杂句子和处理大规模数据集时具有一定的优势。
【算法分析】递归算法的几个经典例子
【算法分析】递归算法的⼏个经典例⼦例⼀：整数划分问题 将正整数n表⽰成⼀系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表⽰称为正整数n的划分。
求正整数n的不同划分个数。
例如：正整数6有如下11种不同的划分：6；5+1；4+2，4+1+1；3+3，3+2+1，3+1+1+1；2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加⼀个⾃变量：将最⼤加数n1不⼤于m的划分个数记作q(n,m)。
下⾯对可能出现的四种情况进⾏分析：① m=1： 当m等于1时，对n的划分只可能1+1+1+……+1这⼀种情况。
②m>n时： 当m⼤于n时，由于划分中不可能出现负数，所以{n1, n2, n2,… , nk}（n = n1+n2+n3+……+nk）只可能出现⼩于等于n的整数。
故有q(n, m)=q(n, n)⑤m=n时： 当m等于n时，包含n⾃⾝的划分和没有n的划分两个部分。
⽽包含n⾃⾝的划分只有⼀种情况，故有有q(n, n)=1+q(n,n-1)④m<n时： n的m划分有包含m和不包含m两个部分。
其中包含m的部分⽤集合可表⽰为{m, {x1, x2, x3, 4,…, xk}}(其中x1+x2+……+xk=n-m)【详解见图1】，这部分的划分数为q(n-m, m)；⽽不包含m的划分中，最⼤值不能为m，故划分数就等于q(n, m)。
所以在m<n时整数n的划分数为：q(n, m)=q(n, m-1)+q(n-m, m)。
【图1：ipad坏了，⼀时找不到纸，后⾯再补吧。
】递归求整数划分：1int q(int n, int m){2if(m==1){3return1;4 }5else if(m>n){6return q(n,n);7 }8else if(m==n){9return q(n,n-1)+1;10 }11else if(m<n){12return q(n-m, m)+q(n,m-1);13 }14 }。
递归图分析
4.1(4)正 弦 序 列 图 1 0.8 0.6 0.4 0.2
s2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0.5
1
1.5 t
2
2.5
3
图3 S1 Logistic映射序列
图4 S2 正弦信号序列
3）序列公式为：
等间距出现大黑点 对应时间序列的波峰、波谷 （变化缓慢）
logistic序列递归图
均匀结构：均匀结构递归图一般是从随机系统得到的，它的松弛时间相对于递归图所 跨越的时间很短。
举例1：Logistic映射，取a=3, 初值x0=0.808, 迭代200次，嵌入维数买，延迟时间τ=1，阈 值选取序列标准差的0.2，在此基础上叠加高斯白噪声。
1）序列公式为：
xn 1 axn (1 xn ) 高斯白噪声 a 3, n 200, x0 0.808 m 1, 1, 0.25
举例：方波序列及递归图
方波序列时序图
方波序列递归图
谢谢观看！
Hale Waihona Puke 递归图结构分析递归图（RP ）是分析时间序列周期性、混沌性以及非平稳性的一个重要方法， 可以揭示时间序列的内部结构，提供有关系统递归状态、信息量和预测性的先验知 识。 递归图的最初目的是将高维相空间轨迹的递归现象直观地表现出来。递归图的图 形特征蕴含着相空间轨迹随时间的发展变化趋势和规律，而且递归图还可以直接应 用于相对较短和不稳定的序列。 递归图所表现出来的整体图形特征结构可以分为均匀结构、周期结构、漂移结构 和突变结构。具体来说，是在正方形的时间平面上描绘黑点和白点，其中黑点表示 该坐标上横轴及纵轴对应的状态发生递归现象，白点表示不发生递归现象。
叠加高斯白噪声前
计算时间复杂度的方法
计算时间复杂度的方法计算时间复杂度是计算机科学中的一个重要问题,涉及到算法设计和分析。
在算法设计中,我们需要评估算法的时间复杂度,以确定算法是否最优。
时间复杂度通常是用来衡量算法运行时间的性能指标,通常用 O(n) 表示算法的时间复杂度为线性时间复杂度,O(nlogn) 表示算法的时间复杂度为对数时间复杂度,而O(n) 表示算法的时间复杂度为常数时间复杂度。
计算时间复杂度的方法可以分为以下几种:1. 递归分析法:递归分析法是计算时间复杂度最基本的方法之一。
递归分析法通常需要对算法的每个步骤进行分析,从而确定算法的时间复杂度。
递归分析法的优点是简单易懂,缺点是需要进行多次递归,导致计算量较大。
2. 动态规划法:动态规划法是一种将算法问题转化为数学公式的方法。
通过将问题转化为数学公式,可以更容易地计算时间复杂度,并且可以避免递归分析法中出现的多次递归问题。
动态规划法的优点是可以解决复杂的算法问题,缺点是需要进行复杂的数学推导。
3. 分治算法:分治算法是一种将大问题分解为较小问题的算法。
通过将问题分解为较小的问题,可以更容易地计算时间复杂度,并且可以避免递归分析法中出现的多次递归问题。
分治算法的优点是可以解决复杂的算法问题,缺点是需要进行复杂的计算。
4. 模拟算法:模拟算法是一种通过模拟算法的运行过程,计算算法的时间复杂度的方法。
通过模拟算法的运行过程,可以更准确地确定算法的时间复杂度,并且可以避免由于实际运行与理论计算差异较大而导致的误差。
除了上述方法,还有一些其他的方法可以计算时间复杂度,例如贪心算法、遗传算法等。
这些方法的优点是可以解决一些复杂的算法问题,缺点是需要进行较多的计算。
计算时间复杂度是算法设计过程中非常重要的一个环节。
通过选择合适的算法设计和分析方法,可以更准确地评估算法的性能,从而更好地优化算法,提高算法的效率。
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当一个算法(如二分查找)中包含对自己的递归调用时，关于这个算法时间复杂性的分析最终都转化为一个递归方程的求解问题，而这样的算法不在少数。
实际上这是数学领域的问题，但是计算机科学又怎么能脱离数学而存在呢？^_^ 数学是好东西呀，可惜自己在这方面造诣颇浅，今生之遗憾亚。
^_^
还好，解决递归方程涉及的数学知识我还是能应付的了的^_^。
在MIT算法导论中介绍了3种方法，我们这里就说说这三种方法！这些是基础，如果以后要深入研究算法的话，这些知识是必须要精通的；如果并不想在算法方面有所深入的话，多学些知识也没错。
我本身也是在学习，像这类的知识一般都比较死性，有些记住了，就可以掌握了。
1、Substitution Method
这是一种使用数学归纳法推导证明的方法，其步骤为先假设一个解，然后带入到递归方程中，利用数学归纳法推导，以验证假设的解是否合理。
我们拿ITA(Introduction to Algorithm)中的例子说明吧，比较保险^_^。
[Ex1.]
T(n) = 4T(n/2) + n，解这个递归等式，分析T(n)的渐近性。
解：(这里我们只来找上界)
我们假设T(1) = θ(1)，猜测一个解T(n) = O(n^3)，根据O符号的定义，我们得到对k < n, 有T(k) <= ck^3，把这个解代入到T(n) = 4T(n/2) + n，并进行推导得出：
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4c((n/2)^3) + n
= (c/2)n^3 + n
= cn^3 - ((c/2)n^3 - n)
当c >= 2, n >= 1时，((c/2)n^3 - n) >= 0，这时T(n) <= cn^3，即T(n) = O(n^3)；
我们再回过头来看看当n = 1时这个解是否成立，即证明一下T(1) = θ(1)。
对于1 <= n < n0, θ(1) <= cn^3 (c足够大)，即该推导出的解也满足初始条件，所以O(n^3)是T(n)的一个上界。
但是O(n^3)是否是严紧的上界呢，我们不妨缩小上界范围再推导一次，这次我们猜测解为T(n) = O(n^2)，根据O符号的定义，我们得到对k < n, 有T(k) <= ck^2，把这个解代入到T(n) = 4T(n/2) + n，并进行推导得出：
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4c((n/2)^2) + n
= cn^2 + n
= cn^2 - (-n)
不能严格符合T(n) <= cn^2的定义，所以推导失败。
但是失败是不是说明，T(n) = O(n^2)一定不成立呢？我们再做一次最后的努力，当出现上面的这种情况时，我们假设解仍为：T(n) = O(n^2)，只是我们选择对k < n, 有T(k) <= ak^2 - bk，我们选择减去一个低阶的项，这不会影响到n足够大时的渐进性的，这里是一个常用的技巧。
T(n) = 4T(n/2) + n
<= 4(a(n/2)^2 - b(n/2)) + n
= an^2 - bn - (bn - n)
<= an^2 - bn (当b >= 1时)
这样我们找到了严紧解T(n) = O(n^2)。
2、Iteration method(Recursion-tree method)
这个方法的思想是："迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计"。
而我们可以借助'树'的形式来帮助迭代展开的过程。
[Ex2.]
T(n) = T(n/4) + T(n/2)+ n^2；解这个递归等式，分析T(n)的渐近性。
解：
T(n) = n^2 + T(n/4) + T(n/2)
= n^2 + {(n/4)^2 + T(n/16) + T(n/8)} + {(n/2)^2 + T(n/8) + T(n/4)}
= ...
= n^2 {1 + 5/16 + (5/16)^2 + (5/16)^3 + ... }
= θ(n^2)
3、Master Method
这是一种典型的套用公式的方法，解决形如'T(n) = aT(n/b) + f(n)'递归方程形的解的方法。
这种递归方程是一类分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子间题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a个子间题的解的综合，得到原问题的解。
如果用T(n)表示规模为n的原问题的复杂性，用f(n)表示把原问题分成a个子问题和将a个子问题的解综合为原问题的解所需要的时间，我们便有方程'T(n) = aT(n/b) + f(n)'。
在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式有三类情况：(log(b, a)表示以b为底的对数)
(1) 若对于某常数ε>0，有f(n) = O(n^log(b, a-ε))，即f(n)以慢于n^(log(b, a))的速率渐进增长，则T(n) = θ(n^(log(b, a))；
(2) 若有f(n) = θ(n^log(b, a) * (lgn)^k)，即f(n)以相似于n^(log(b, a))增长的速率渐进增长，则T(n) = θ(n^(log(b, a) * (lgn)^(k+1))，k为一常数，k >= 0；
(3) 若对于某常数ε>0，有f(n) = Ω(n^log(b, a+ε))，即f(n)以快于n^(log(b, a))的速率渐进增长，且对于某常数c > 1和所有充分大的正整数n有af(n/b) <= cf(n)，则T(n) = θ(f(n))。
举例来说吧：
[Ex3.]
T(n) = 4T(n/2) + n，解这个递归等式，分析T(n)的渐近性。
解：对T(n) = 4T(n/2) + n我们得到a = 4, b = 2, f(n) = n, 计算得出n^(log(b, a) = n^(log(2, 4) = n^2，而f(n) = n = O(n^(2-ε))，此时ε= 1，根据Case (1)，我们得到T(n) = θ(n^2)。
[Ex4.]
T(n) = 4T(n/2) + n^2，解这个递归等式，分析T(n)的渐近性。
解：对T(n) = 4T(n/2) + n^2，我们得到a = 4, b = 2, f(n) = n^2, 计算得出n^(log(b, a) = n^(log(2, 4) = n^2, f(n) = n^2 = θ(n^2 * (lgn)^0)，即k = 0，这样按照Case (2)，我们得到T(n) = θ(n^2 * (lgn)^(k+1)) = θ(n^2 * (lgn))。
[Ex5.]
T(n) = 4T(n/2) + n^3，解这个递归等式，分析T(n)的渐近性。
解：对T(n) = 4T(n/2) + n^3，我们得到a = 4, b = 2, f(n) = n^3, 计算得出n^(log(b, a) = n^(log(2, 4) = n^2, f(n) = n^3 = Ω(n^(2+ε)，此时ε= 1，且4f(n/2) = (n^3)/2 <= cn^3(c >= 1/2)，所以得到T(n) = θ(n^3)。
对于大部分人来说'Master Method'应该是最常用的，这几个Case可要牢牢记在心上才行哟。