凸优化理论与应用_等式约束优化
凸优化等式约束
凸优化等式约束凸优化是数学和计算机科学领域的一种优化方法，它主要用于寻找多元函数的最小值或最大值。
凸优化问题包含等式约束是一类常见的问题，这类问题在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和等式约束的相关概念，并深入探讨凸优化问题中等式约束的求解方法。
首先，我们先来了解凸优化的基本概念。
在凸优化中，我们要优化的目标函数和约束条件都满足凸性。
一个凸集是指对于该集合中的任意两点，连接这两点的线段上的点也在集合内。
一个凸函数是指对于函数定义域内的任意两点，函数取值对应的线段上的点也在函数值的上方。
凸优化的目标是找到满足约束条件的凸函数的最小值或最大值。
凸优化问题包含等式约束的形式如下：$$\begin{align*}\min_{\mathbf{x}} & \quad f(\mathbf{x}) \\\text{s.t.} & \quad \mathbf{Ax} = \mathbf{b}\end{align*}$$其中，$\mathbf{x}$是待求解的变量向量，$f(\mathbf{x})$是凸函数，$\mathbf{A}$是一个矩阵，$\mathbf{b}$是一个已知的向量。
解决等式约束的凸优化问题有多种方法，下面将介绍两种常用的方法：拉格朗日乘子法和内点法。
拉格朗日乘子法是一种通过构建拉格朗日函数来解决等式约束问题的方法。
它的基本思想是将等式约束问题转化为无约束优化问题。
拉格朗日函数定义如下：$$L(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) +\lambda^T(\mathbf{Ax} - \mathbf{b})$$其中，$\lambda$是一个拉格朗日乘子向量。
通过对拉格朗日函数求导并令导数为零，可以得到约束条件的解。
内点法是另一种求解等式约束的凸优化问题的方法。
该方法的基本思想是将约束条件转化为一系列的约束，并构造一个辅助函数。
通过逐步靠近可行解的路径，最终找到满足约束条件的最优解。
凸优化 等式约束
凸优化等式约束凸优化是一种数学方法，用于求解无约束或等式约束下的优化问题。
在凸优化中，等式约束指的是优化问题的限制条件中含有等式的约束条件。
等式约束是一种常见的约束条件形式，在实际问题中广泛应用。
例如，在生产调度中，不同工序的产量之和必须等于总产量；在资源分配中，各项资源的分配量之和必须等于总资源量。
这些问题都可以被抽象为等式约束下的优化问题，通过凸优化方法求解。
在凸优化中，等式约束可以通过拉格朗日乘子法来处理。
拉格朗日乘子法是一种常用的求解含等式约束优化问题的方法。
它将等式约束引入目标函数中，形成带有拉格朗日乘子的拉格朗日函数，并通过求取拉格朗日函数的极小值来解决等式约束下的优化问题。
具体而言，对于一个等式约束优化问题，假设目标函数为f(x)，等式约束为h(x)=0，其中x为优化变量。
引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λh(x)，其中λ为拉格朗日乘子。
然后通过求取拉格朗日函数的极小值来解决等式约束下的优化问题。
求解等式约束优化问题的关键在于求取拉格朗日函数的极小值。
通过对拉格朗日函数对优化变量x和拉格朗日乘子λ分别求导，并令导数为零，可以得到一组方程。
通过求解这组方程，可以得到优化变量和拉格朗日乘子的取值，进而得到等式约束下的极小值。
在实际应用中，凸优化和等式约束经常出现在各种工程和科学问题中。
例如，在机器学习中，常常需要通过凸优化方法求解带有等式约束的最优化问题，如支持向量机中的拉格朗日对偶问题。
又如在电力系统中，经济调度问题通常包含了一系列的等式约束，通过凸优化方法可以有效地求解得到最优的电力调度方案。
凸优化和等式约束是一对密切相关的概念。
等式约束是实际问题中常见的约束形式，凸优化方法可以有效地求解等式约束下的优化问题。
通过引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数，并通过求取极小值来解决等式约束下的优化问题。
凸优化和等式约束在各个领域具有广泛的应用，为解决复杂的实际问题提供了有力的数学工具。
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化理论与应用_凸集
03
凸优化问题建模与求解
凸优化问题定义及示例
凸优化问题定义
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件为凸集。凸函数在数学上具有很好的性 质，如局部最优解即为全局最优解，这使得凸优化问题的求解相对简单。
凸优化问题示例
支持向量机（SVM）、线性回归、逻辑回归、最小二乘法等机器学习算法中的优化问题都可以转化为凸优化问题 进行求解。
凸函数与凹函数关系
凹函数定义
凹函数与凸函数相反，满足f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
凸凹性转换
通过取负操作，可以将凸函数转换为凹函数，反之亦然。即，如果f是凸函数，则-f是凹函数；如果f是凹函数，则-f 是凸函数。
凸凹组合
凸函数和凹函数的线性组合可能既不是凸函数也不是凹函数，但可以通过一定的条件判断其凸凹性。
01
03
02 04
多面体与单纯形
多面体是由有限个线性不等式定 义的集合，即{x | Ax ≤ b}。单纯 形是一种特殊的多面体，每个顶 点都是其他顶点的邻居。
锥与凸锥
锥是由原点出发的射线组成的集 合。如果锥还是凸集，则称为凸 锥。
02
凸函数及其性质
凸函数定义及示例
凸函数定义
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于该函数定义域内的任意两个点x1 和x2，以及任意实数λ∈[0,1]，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)成立。
稀疏表示与重构
在压缩感知中，利用凸 集理论对信号进行稀疏 表示，并通过求解凸优 化问题实现信号的重构 。
噪声鲁棒性
针对压缩感知中的噪声 问题，利用凸集理论构 建鲁棒性优化模型，提 高信号恢复的精度和稳 定性。
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
凸优化问题的带约束优化算法研究
凸优化问题的带约束优化算法研究引言凸优化问题是数学和计算机科学领域中的一个重要研究方向，它在各个领域中都有广泛的应用。
在实际问题中，往往需要考虑一些约束条件，这就引出了带约束优化问题。
带约束优化算法是解决这类问题的关键工具。
本文将重点研究凸优化问题的带约束优化算法，并对其进行深入探讨。
一、凸优化和带约束条件1.1 凸集和凸函数在讨论凸优化之前，我们首先需要了解什么是凸集和凸函数。
一个集合称为凸集，如果对于该集合中的任意两个点，连接它们的线段上所有点都属于该集合。
而一个函数称为凸函数，如果其定义域上任意两点之间的线段上所有点都满足函数值不大于线段两端点对应函数值之间。
1.2 凸优化问题定义有了对于凸集和凸函数的理解后，我们可以定义一个一般性的凸优化问题：最小化一个定义在某个实数域上、具有某些性质（如连续性、可微性等）的凸函数，同时满足一些线性等式或不等式约束条件。
二、带约束优化算法2.1 无约束优化算法在介绍带约束优化算法之前，我们先来了解一下无约束优化算法。
无约束优化问题是凸优化问题的一个特例，即在没有任何额外的线性等式或不等式条件下，最小化一个凸函数。
常见的无约束优化算法有梯度下降、牛顿法、拟牛顿法等。
2.2 带约束优化问题带约束优化问题是在最小化一个凸函数的同时，还需要满足一些额外的线性等式或不等式条件。
这类问题可以进一步分为两类：有界条件和非有界条件。
对于有界条件，即最小值存在于一个特定区域内，我们可以使用投影梯度法、内点法和外点罚函数方法来解决。
投影梯度法通过将原始问题转换为无界情况下的最小值求解，并通过投影将结果限制在特定区域内；内点法则通过将原始问题转换为一个无限维空间中的无界问题，并使用迭代方法逼近最小值；外点罚函数方法则是通过对目标函数引入罚项来惩罚违反限制条件。
对于非有界条件，即最小值不存在于一个特定区域内，我们可以使用拉格朗日对偶法和KKT条件来解决。
拉格朗日对偶法通过引入拉格朗日乘子来将原始问题转换为一个对偶问题，并通过求解对偶问题得到原始问题的最优解；KKT条件则是一种必要条件，通过求解一组非线性方程组来确定最优解。
凸优化理论与应用_凸函数
凸优化理论与应用_凸函数首先，我们来看一下凸函数的定义：如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凸函数。
简单来说，凸函数是指函数曲线上的任意两点之间的线段都在曲线上方。
与之相对应的，如果对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f被称为凹函数。
可以说，凸函数和凹函数是一对孪生兄弟。
凸函数有着许多重要的性质。
首先，对于任意的两个凸函数f(x)和g(x)，它们的线性组合h(x)=af(x)+bg(x)也是凸函数，其中a和b是任意实数且a≥0，b≥0且a+b=1、这说明凸函数在加法和标量乘法下保持封闭性。
其次，若函数f(x)是凸函数，则对于任意的λ>0，函数g(x)=λf(x)也是凸函数。
这说明凸函数具有尺度不变性。
另外，如果函数f(x)是凸函数，那么对于任意的局部最小值x*，其也是全局最小值。
这说明凸函数的局部最小值就是全局最小值。
凸函数在优化问题中具有广泛的应用。
首先，凸优化问题是指在给定的凸约束条件下，寻找凸目标函数的最小值。
凸优化问题在工程、经济学、统计学、运筹学等领域中都有广泛的应用。
例如，在工程中，凸优化可以用于最优化控制、电力系统调度、通信系统设计等问题。
其次，凸函数在机器学习和统计学中也有重要的应用。
比如，在支持向量机和逻辑回归中，凸优化问题可以用来求解最佳的分类超平面和分类器参数。
另外，在正则化线性回归中，凸优化可以用来寻找最小二乘解或具有稀疏性的解。
凸函数还有着许多重要的性质，如Jensen不等式、KKT条件等。
Jensen不等式是用来描述凸函数的平均值不小于或不大于函数值的性质。
KKT条件是一组必要条件，用来判断凸优化问题的最优解。
这些性质为凸优化问题的求解提供了理论基础和算法支持。
总之，凸函数是凸优化理论与应用的基础，它具有许多重要的性质和应用。
凸优化理论与应用_凸优化
凸优化理论与应用_凸优化凸优化是指优化问题中目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸函数具有很多良好的性质，例如在定义域上的局部极小值就是全局极小值，凸函数的极值问题可以通过一些有效的算法来求解。
凸优化理论以及相关的算法方法在实际应用中有着广泛的应用。
在机器学习中，凸优化广泛应用于支持向量机（SVM）、逻辑回归等分类算法的求解。
在图像处理领域，通过凸优化方法可以实现图像的去噪、图像恢复以及图像压缩等任务。
在信号处理中，凸优化可以用于信号的降噪、滤波以及信号的拟合等问题。
在控制理论中，凸优化可以用于控制系统的设计和优化。
凸优化理论中的一些重要概念包括凸集、凸函数、凸组合等。
凸集是指一个集合中的任意两点连接的线段仍然在集合内，而凸函数则是定义在凸集上的函数，其函数值在定义域上任意两点间的线段上保持不减。
凸组合则是指通过凸权重将多个点加权求和得到的点。
在凸优化中，常用的优化问题形式包括极小化凸函数的无约束问题、极小化凸函数的约束问题、线性规划问题等。
对于这些优化问题，凸优化理论提供了一些有效的求解方法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法可以用于求解凸优化问题的局部极小值。
此外，对于一些特殊的凸优化问题，可以应用一些特殊的求解算法，例如线性规划问题可以通过单纯形法来求解，二次规划问题可以通过内点法来求解。
这些算法方法对于特定的凸优化问题来说是高效且可行的。
总的来说，凸优化理论与应用是数学优化领域中的一个重要分支，它在现代科学技术中有着广泛的应用。
凸优化理论提供了一些有效的求解方法，可以用于解决许多实际的优化问题。
凸优化理论与应用
i0
i0
信息与通信工程学院 庄伯金
bjzhuang@
18
半正定锥(Positive semidefinite cone)
n阶对称矩阵集：
S n {X nn | X X T }
n阶半正定矩阵集：
S
n
{X
S
n
|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
0}
n阶正定矩阵集：
Sn
{X
Sn
|
n阶半正定矩阵集为
展函数 f : n {} 为
扩展函数
f
(x)
f
(x)
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x domf x domf
也是凸函 数！
34
凸函数的一阶微分条件
若函数 f 的定义域 domf为开集，且函数 f 一阶可微， 则函数 f 为凸函数当且仅当 domf 为凸集，且对 x, y domf
21
真锥(proper cone)
真锥的定义：锥 K Rn 满足如下条件 1.K为凸集；
2.K为闭集；
K具有内点
3.K非中空；
4.K有端点。
K内不含直线
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22
广义不等式
真锥 K下的偏序关系：
x K y y x K
广义不等式
凸优化问题理论上有 有效的方法进行求解！
3
本课程的主要内容
理论部分
凸集和凸函数 凸优化问题 对偶问题
应用部分
逼近与拟合 统计估计 几何问题
算法部分
非约束优化方法 等式约束优化方法 内点法
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凸优化理论与应用内点法PPT课件
可编辑
13
寻找严格可行解的方法
牛顿法求解优化问题：
minimize s
subject to fi (x) s,i 1,..., m Ax b
迭代终止条件：当前解 s(k) 0 ，即终止迭代，严格可 行解为 x(k ) 。
则优化问题具有强对偶性，其对偶问题亦可解。
可编辑
2
不等式约束的消去
示性函数消去不等式约束：
m
minimize f0 (x) I ( fi (x)) i 1
subject to Ax b
0 u 0 I (u) u 0
I (u) 不具备良好的连续可微性，考虑用对数阀函数来
近似替代。
可编辑
中心步骤：以 x 为初始点求解优化问题 x*(t) ，
minimize tf0(x) (x)
subject to Ax b 迭代： x x* (t)
终止条件：若 m/ t ，则终止退出。
更新 t ：t t
可编辑
9
收敛性分析
外层循环迭代次数：
log(m /( t(0) ))
(t))
,
*
(t)
w
/
t
则 x x*(t) 是拉格朗日函数L(x, *(t), *(t)) 的最小值
解。
m
L(x, *(t), *(t)) f0 (x) i*(t) fi (x) *(t)( Ax b)
i 1
(*(t), *(t)) 为对偶问题的可行解。
可编辑
7
中心线的对偶点
设 p* 为原始问题的最优值，则有：
可编辑
4
对数阀函数
凸优化理论与应用
凸优化理论与应用凸优化是一种数学理论和方法，用于寻找凸函数的全局最小值或极小值。
凸优化理论和方法广泛应用于工程设计、经济学、金融学、计算机科学等多个领域，其重要性不言而喻。
凸优化首先要明确凸函数的概念。
凸函数在区间上的定义是：对于区间上的任意两个点x1和x2以及任意一个介于0和1之间的值t，都有f(tx1+(1-t)x2) <= tf(x1)+(1-t)f(x2)。
简单来说，凸函数的图像在任意两个点之间的部分都在这两个点的上方或相切，不会出现下凹的情况。
这个定义可以推广到多元函数。
凸优化问题的数学模型可以写成如下形式：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中f(x)是凸目标函数，g_i(x)是凸不等式约束，h_i(x)是凸等式约束。
凸优化问题的目标是找到使得目标函数最小化的变量x，同时满足约束条件。
凸优化理论和方法有多种求解算法，包括梯度下降、牛顿法、内点法等。
其中，梯度下降是一种迭代算法，通过计算目标函数的梯度来更新变量的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
牛顿法则是通过计算目标函数的二阶导数来进行迭代，收敛速度更快。
内点法是一种求解线性规划问题的方法，在凸优化中也有广泛的应用。
凸优化的应用非常广泛，以下列举几个典型的应用领域。
1.机器学习和模式识别：凸优化在机器学习和模式识别中有重要的应用，例如支持向量机和逻辑回归。
这些算法的优化问题可以通过凸优化来求解，从而得到具有较高准确率的分类器。
2.信号处理：凸优化在信号处理中有广泛的应用，例如滤波、压缩和频谱估计等。
通过凸优化可以得到更高效的信号处理算法，提高信号处理的准确性和速度。
3.优化调度问题：在工业生产、交通运输和电力系统等领域，凸优化可以用来优化调度问题，通过合理安排资源和调度任务，提高效率和经济性。
4.金融风险管理：凸优化在金融风险管理中有广泛的应用，例如投资组合优化和风险控制。
02凸优化理论与应用_凸函数
02凸优化理论与应用_凸函数凸优化是数学中的一个重要分支，旨在解决凸函数的极小化问题。
凸函数是一类具有较好性质的函数，具有广泛的应用背景和重要的理论意义。
在凸优化理论与应用中，凸函数起到了基础的作用。
首先，什么是凸函数呢？凸函数是指在定义域上的任意两点，函数值沿着连接这两点的线段上升的函数。
准确地说，对于一个定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1，x2和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
凸函数具有很多重要的性质，其中包括：1.凸函数的一阶导数是递增的，二阶导数非负。
2.凸函数的上确界与下确界都位于它的定义域的边界上。
3.凸函数的极小值点是全局最小值点。
4.凸函数和线性函数的复合仍然是凸函数。
5.凸函数的和与正数的乘积仍然是凸函数。
凸函数的性质使得它在实际问题中的应用非常广泛。
凸优化可以用于求解很多实际问题，其中包括：1.经济学中的最优化问题，比如最大化收益或者最小化成本。
2.工程设计中的优化问题，比如最优化能源利用或者最小化材料消耗。
3.机器学习中的参数优化问题，比如最小化损失函数或者最大化目标函数。
4.金融领域的组合优化问题，比如最大化组合投资的收益或者最小化风险。
5.数据分析中的最优化问题，比如拟合曲线或者寻找最佳预测模型。
凸优化理论提供了解决这些问题的一般框架和方法，包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
这些方法可以有效地求解凸优化问题，并且在计算机科学和工程学中得到广泛的应用。
除了理论方面，凸优化在应用中也面临一些挑战和问题。
其中之一就是如何在实际问题中找到符合实际需求的凸函数模型。
在实际问题中，往往存在多个目标和约束条件，如何将多个目标和约束条件转化为凸函数模型是一个关键的问题。
另一个挑战是求解凸优化问题的算法设计和计算复杂性分析。
虽然凸函数的求解问题是较为简单的，但是随着问题规模的增大，计算复杂性也会显著增加。
01凸优化理论与应用_凸集
01凸优化理论与应用_凸集凸优化理论是数学中的一个重要分支，是一种求解优化问题的方法。
在实际应用中广泛存在的一类优化问题，可以用凸优化理论进行形式化的描述和求解。
凸优化理论主要研究凸集、凸函数和凸优化问题，并给出了一系列的优化方法和算法。
凸集是凸优化理论的基础概念之一，它是指一个集合中的任意两个点之间的连线上的所有点也属于该集合。
具体来说，一个凸集要满足以下两个条件：1. 对于任意两个点x1和x2属于凸集C，它们的连线上的任意一点都属于C，即对于任意的t(0<t<1)，都有tx1+(1-t)x2属于C。
2.对于凸集C中的任意一个点x，与该点相接的区域也属于C。
凸集在凸优化问题中起到了重要的作用，它可以用来描述问题的可行解空间，也可以用来描述问题的约束条件。
在凸优化问题中，通常将目标函数定义在凸集上，并要求在该凸集上寻找使目标函数取得最小值的一个点或一个解集。
凸函数是凸优化理论中的另一个重要概念，它是指定义在凸集上的实值函数，对于该函数上的任意两个点，连接它们的线段上的函数值都不大于线段的两个端点的函数值之间的凸函数。
具体来说，对于定义在凸集C上的函数f(x)，对于任意x1和x2属于C以及0<t<1，都有f(tx1+(1-t)x2)<=tf(x1)+(1-t)f(x2)。
凸函数在凸优化问题中起到了至关重要的作用，它具有很多好的性质，比如局部最小值就是全局最小值、唯一最小值等。
因此，在实际应用中，我们通常可以将问题转化为寻找凸函数的最小值。
凸优化问题是指在给定的凸集上求解凸函数的最小值的问题。
通常情况下，凸优化问题的目标函数是一个凸函数，约束条件也是一些凸集。
对于凸优化问题，存在一系列的优化算法和方法，如梯度下降法、内点法、对偶问题等。
凸优化理论与应用广泛涉及到各个领域，如机器学习、图像处理、信号处理、运筹学、控制理论等。
在机器学习中，凸优化理论可以用来描述和求解各种不同的学习问题，如线性回归、逻辑回归、支持向量机等。
博士生《凸优化》课程 参考书
博士生《凸优化》课程参考书
《凸优化》是数学、工程和计算机科学领域中的重要课程，因此有很多优秀的参考书可供选择。
以下是一些常用的参考书：
1.《凸优化》（Convex Optimization）作者，Stephen Boyd
和Lieven Vandenberghe.
这本书是凸优化领域的经典教材，涵盖了凸集、凸函数、凸优化问题的基本理论，以及凸优化在工程和机器学习中的应用。
书中内容通俗易懂，适合初学者阅读。
2.《凸优化导论》（Introduction to Convex Optimization）作者，Yuriy Nesterov和Arkadii Nemirovskii.
这本书介绍了凸优化的基本概念、算法和应用，对于想深入了解凸优化的同学来说是一本很好的参考书。
3.《凸优化理论与算法》（Convex Optimization: Theory and Algorithms）作者，Dimitri P. Bertsekas.
这本书介绍了凸优化的理论和算法，内容涵盖了凸优化的基本
理论、算法和应用。
适合希望深入学习凸优化的同学阅读。
4.《最优化理论与方法》（Optimization Theory and Methods）作者，Wenyu Sun和Ya-xiang Yuan.
这本书介绍了最优化理论和方法，内容包括了凸优化、非凸优化、约束优化等内容，适合想系统了解优化理论和方法的同学阅读。
以上是一些常用的参考书，希望能够帮助你更好地学习和理解《凸优化》课程的内容。
如果你需要更多的参考书或者其他相关信息，请随时告诉我。
凸优化理论与应用_凸优化
性质：凸优化问题的可行域是凸集。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@ 12
抽象凸优化问题
例：
2 minimize f 0 ( x) x12 x2 2 subject to f1 ( x) x1 /(1 x2 )0
h1 ( x) ( x1 x2 )2 0
subject to fi ( x) si 0, i 1,..., m hi ( x) 0, j 1,..., p
s 称为松弛变量
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
优化问题的等价形式(5)
k n : R R 定理：设 满足等式 hi ( x) 0, j 1,..., p 成立，当且仅当 x ( z ) 。则原优化问题与以下优化 问题等价
15
凸优化问题最优解
定理：无约束凸优化问题中，若 f 0 ( x)可微。则 x 为最 优解当且仅当 f 0 ( x) 0 成立。 例：无约束二次优化问题 1 T f 0 ( x) x Px qT x r 2 可知 f ( x) Px q 0
0
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
i i i
( z ) (h ( z )) 0, i 1,..., p h i i i
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优化问题的等价形式(4)
定理：原优化问题与以下优化问题等价
minimize f 0 ( x), x R si 0
n
不等式约束 fi ( x) 0, i 1,..., m 等式约束 hi ( x) 0, . i 1,..., p 无约束优化
最优化方法凸优化解题方法
最优化方法凸优化解题方法最优化方法凸优化解题方法最优化方法是一种寻求最优解的数学方法。
凸优化是最优化方法中的一种重要分支，其使用较为广泛，可以解决很多实际问题。
下面，我们将介绍一下凸优化解题方法。
一、凸优化定义凸优化的本质是通过数学模型，寻求函数在定义域内的最小值或最大值。
在凸优化中，以凸函数为优化目标，以凸集为限制条件，解决优化问题，达到最优化的目的。
二、凸函数的定义在凸优化的研究中，凸函数是非常重要的一个概念。
具体来说，凸函数指的是满足以下两个条件的实数函数：在其定义域内的任意两点的连线上的函数值均不大于这两点的函数值之均值。
三、凸集的定义凸集是凸优化中的另一个重要概念。
严格来说，如果集合内的任意两点间的线段上的所有点均都属于此集合，则该集合被称为凸集。
四、凸优化的求解方法1. 等式约束在含有等式约束的凸优化问题中，我们可以使用拉格朗日函数将等式约束转化为拉格朗日乘子的形式，然后通过对拉格朗日函数求梯度，解析求解拉格朗日乘子和原变量。
2. 不等式约束对于含有不等式约束的凸优化问题，我们可以采用约束法来解决。
通过引入松弛变量(如Slack Variable)，将不等式约束转化为等式约束，然后再使用拉格朗日乘子法求解。
3. 分治法对于最大值问题，一般采用分治法进行求解。
先找到定义域的中点，求出中点处的函数值，然后将整个定义域按照函数值比中间点小或大的两部分分别处理，递归求解，最终得到最大值。
4. 内点法内点法是一种求解凸优化问题的有效方法。
其推广原理是：通过在定义域内引入一个可行解点，将该点定义为内点，并通过内点的移动求解最优解。
五、凸优化的应用1. 机器学习凸优化在机器学习中有着广泛的应用，例如线性规划、支持向量机和最小二乘法。
这些方法旨在寻求最优的函数分离，使得机器学习算法的预测准确性更高。
2. 信号处理凸优化在信号处理中也有着广泛的应用，例如信号分解和降噪等。
通过利用凸优化来实现对信号的优化和提取，可以提高信号处理的效率和准确性。
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消去等式约束的牛顿方法
( z) f (Fz x ), z Rn p minimize f
初始值
z ，第 k 次迭代值z
(0)
(0)
(k )
；
转换为等式约束下的牛顿方法：
Fz x (k ) (k ) x Fz x 迭代值：
次近似为：
1 T 2 T minimize f ( x v) f ( x) f ( x) v v f ( x)v 2 subject to A( x v) b
设 xnt 和 分别为该问题和对偶问题的最优解，则满 足： 2 f ( x) AT xnt f ( x) 0 0 A 牛顿减量 T 2 1/ 2
( x) (xnt f ( x)xnt )
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牛顿减量
牛顿减量
T 2 ( x) (xnt f ( x)xnt )1/ 2
牛顿减量的性质：
1 f ( x) inf{ f ( x v) | A( x v) b} ( x) 2 2
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等式约束的牛顿方法
初始化：给定初始解 LOOP：
x domf 满足 Ax b ，以及 0
2 x 计算 nt 及 ； 2 若 / 2 则终止退出；
一维线性搜索：计算步长因子 t ； 迭代： x x t xnt
初始值：x(0)
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非可行解为初始点的牛顿法
使 x x 满足KKT条件，即： A( x x) b f ( x x) AT 0 函数 f ( x ) 二阶连续可微，因此有 f ( x x) f ( x) 2 f ( x)x
消去等式约束
方程组 Ax b 的解集：
| zR {x | Ax b} {Fz x
n p
}
为方程组的一个特解， F 为 A 的零空间范围。 x
无约束ize f ( Fz x
若 z* 为最优解，则有
x Fz x
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非可行解为初始点的牛顿法
令
y ( x, v)
r ( y) (f ( x) A v, Ax b)
T
则KKT条件可表示为： r ( y) 0 设 y 为不满足KKT条件，则其迭代量需满足： r ( y y) r ( y) Dr ( y)y 0 即
T
1
3.若 H 奇异，则KKT系统可改写为： H AT QA AT v g AT Qh A 0 w h 其中 Q 0 ，且满足 H AT QA 0 。
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KKT系统的求解
KKT系统： 1.
T
LDL 分解；
1 T
H A
AT v g 0 w h
2.若 H 非奇异，则可消元：
AH A w h AH g , Hv ( g A w)
凸优化理论与应用
第9章 等式约束优化
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等式约束优化问题
问题描述：
minimize f ( x) subject to Ax b
f ( x) 为凸函数，且二次连续可微，且
A R pn , p n, rankA p * * * p x 假设最优值 存在，则 为最优解当且仅当存在 ，
2 f ( x ) A
f ( x) AT v AT xnt 0 vnt Ax b
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非可行解为初始点的牛顿法
初始化：给定初始解
x domf 及 v ，以及 0
P A
AT x* q * 0 b
KKT系统可解，则二次优化问题存在最优解。 系数矩阵称为KKT矩阵。KKT矩阵非奇异当且仅当：
Ax 0, x 0 x Px 0
T
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LOOP： 计算 xnt 和 vnt ； 回溯一维线性搜索： 令 t 1 ； While r ( x t xnt , v t vnt ) (1 t ) r ( x, v) 2 2 t t
迭代：x x t xnt v v t vnt 当 Ax b 且 r( y) 2 时，终止迭代。
设 xnt 和 为KKT条件的解，即有：
x 为等式约束优化的非可行解，则增量 x 应尽可能
2 f ( x ) A
AT xnt f ( x) Ax b 0
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* *
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* ( AAT )1 Af ( x* )
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对偶问题
对偶形式：
maximize
bT f * ( AT )
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牛顿法
x 为等式约束优化的可行解，则在 x 附近原问题的二
满足（KKT条件）：
f ( x ) A 0, Ax b
* T * *
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例
1 T n x Px qT x r , P S 二次优化： minimize 2 subject to Ax b
KKT系统：
性质2：牛顿减量具有仿射不变性。
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可行下降方向
可行下降方向：设 x 满足方程组 Ax b 。若 v 满足 方程组 Av 0 ，则 A( x tv) b 。v 称为可行方向。 若对于较小的 t 0，有 f ( x tv) f ( x) ，则 v 为可 行下降方向。