2015年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)天津卷

2015年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，集合A=2,3,5,6，集合B=1,3,4,6,7，则集合A∩∁U B= A. 2,5B. 3,6C. 2,5,6D. 2,3,5,6,82. 设变量x，y满足约束条件x+2≥0,x−y+3≥0,2x+y−3≤0,则目标函数z=x+6y的最大值为 A. 3B. 4C. 18D. 403. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 A. −10B. 6C. 14D. 184. 设x∈R，则“ x−2<1”是“ x2+x−2>0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为 A. 83B. 3 C. 103D. 526. 已知双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0的一条渐近线过点2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上，则双曲线的方程为 A. x221−y228=1 B. x228−y221=1 C. x23−y24=1 D. x24−y23=17. 已知定义在R上的函数f x=2 x−m −1（m为实数）为偶函数，记a=f log0.53，b=f log25，c=f2m，则a，b，c的大小关系为 A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. c<b<a8. 已知函数f x=2− x ,x≤2,x−22,x>2,函数g x=b−f2−x，其中b∈R．若函数y=f x−g x恰有4个零点，则b的取值范围是 A. 74,+∞ B. −∞,74C. 0,74D. 74,2二、填空题（共6小题；共30分）9. i是虚数单位，若复数1−2i a+i是纯虚数，则实数a的值为．10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11. 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．12. 在 x−14x 6的展开式中，x2的系数为．13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为315，b−c=2，cos A=−14，则a的值为．14. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60∘．动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，则AE⋅AF的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=sin2x−sin2 x−π6，x∈R．（1）求f x的最小正周期；（2）求f x在区间 −π3,π4上的最大值和最小值．16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量x的分布列和数学期望．17. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角D1−AC−B1的正弦值；（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长．18. 已知数列a n满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N∗，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（1）求q的值和a n的通项公式；（2）设b n=log2a2na2n−1，n∈N∗，求数列b n的前n项和．19. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F−c,0，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c， FM =433．（1）求直线FM的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于OP（O为原点）的斜率的取值范围．20. 已知函数f x=nx−x n，x∈R，其中n∈N∗，且n≥2．（1）讨论f x的单调性；（2）设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g x，求证：对于任意的正实数x，都有f x≤g x；（3）若关于x的方程f x=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：x2−x1<a1−n+2．答案第一部分1. A2. C 【解析】画出可行域，当目标函数的图象经过点A0,3时，z取得最大值18．3. B4. A 【解析】提示：实际上是判断“ 1<x<3 "与" x>1或x<−2 "的关系．5. A【解析】提示：CM⋅MD=AM⋅MB=BN⋅NA=CN⋅NE．，c=7，c2=a2+b2，联立可求．6. D 【解析】提示：3=2ba7. B 【解析】由f x为偶函数得m=0，f x=2 x −1在0,+∞上单调递增．log0.53=log23∈1,2，log25>2，2m=0，而f x=f x，所以c<a<b．8. D 【解析】函数y=f x−g x有4个零点，即方程f x+f2−x=b有四个不同的实根，函数y=f x和函数y=f2−x的图象关于直线x=1对称，画出它们的图象如图所示，其中红色线表示的是y=f2−x的图象，分析知，当0≤x≤2时，f x+f2−x=2，当x>2时，f x+f2−x=x−22+2− 2−x =x2−5x+8，再由对称性，可以画出函数y=f x+f2−x在R上的图象，如图所示，,2时，f x+f2−x=b有四个不同的实根．结合图象分析，显然当b∈74第二部分 9. −2 10. 83π【解析】由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m ，圆锥的高均为1 m ，圆柱的高为2 m ．因此该几何体的体积为V =2×13π×12×1+π×12×2=83π m 3．11. 16【解析】面积为∫ x −x 2 10d x 12. 1516【解析】T r +1=C 6r x6−r −14x r= −14 rC 6r x 6−2r，令6−2r =2，r =2，代回系数可求得x 2的系数为1516．13. 8【解析】由cos A =−14可得sin A =154，S =12bc sin A =3 15，所以bc =24，再结合b −c =2，可得b 2+c 2=52，于是a 2=b 2+c 2−2bc cos A =64，所以a =8． 14. 2918 【解析】AE⋅AF = AB+λBC ⋅ AB +BC +1−9λ18λAB =9λ+118λAB ⋅AB + 9λ2+λ18λ+1 AB ⋅BC +λBC ⋅BC =λ+2+17≥29. 当且仅当λ2=29λ，即λ=23时等号成立（−23舍去）．第三部分15. （1）由已知，有f x =1−cos2x −1−cos 2x −π3=12 12cos2x + 32sin2x −12cos2x =3sin2x −1cos2x =1sin 2x −π .所以f x 的最小正周期T =2π2=π．（2）由x ∈ −π3,π4 得2x −π6∈ −5π6,π3 ，当2x −π6=π3，即x =π4时，函数取得最大值12sin π3=34；当2x −π6=−π2，即x =−π6时，函数取得最小值12sin −π2 =−12．所以f x 在区间 −π3,π4 上的最大值为 34，最小值为−12．16. （1）由已知，有P A =C 22C 32+C 32C 32C 84=635．所以，事件A 发生的概率为635．（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4． P X =k =C 5k C 34−kC 84 k =1,2,3,4 ．所以，随机变量X 的分布列为X 1234P1331 随机变量X 的数学期望E X =1×114+2×37+3×37+4×114=52．17. （1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A 0,0,0 ，B 0,1,0 ，C 2,0,0 ，D 1,−2,0 ，A 1 0,0,2 ，B 1 0,1,2 ，C 1 2,0,2 ，D 1 1,−2,2 ．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，所以M 1,12,1 ，N 1,−2,1 ．依题意，可得n = 0,0,1 为平面ABCD 的一个法向量，MN = 0,−52,0 ，由此可得MN ⋅n =0．又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）AD 1 = 1,−2,2 ，AC = 2,0,0 ．设n 1 = x 1,y 1,z 1 为平面ACD 1的一个法向量，则 n 1 ⋅AD 1 =0,n 1⋅AC =0, 即 x 1−2y 1+2z 1=0,2x 1=0. 不妨设z 1=1，可得n 1 = 0,1,1 ．设n 2 = x 2,y 2,z 2 为平面ACB 1的一个法向量，则n 2 ⋅AB 1 =0,n 2 ⋅AC =0.又AB1=0,1,2，所以y2+2z2=0, 2x2=0,不妨设z2=1，可得n2=0,−2,1．因此有cos n1,n2=n1 ⋅n2n1n2=−1010，于是sin n1,n2=31010，所以二面角D1−AC−B1的正弦值为31010．（3）依题意，可设A1E=λA1B1，其中λ∈0,1，则E0,λ,2，从而NE=−1,λ+2,1．又n=0,0,1为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos NE,n=NE⋅nNE n=1−12+λ+22+12=1,整理得λ2+4λ−3=0，解得λ=−2±7．又因为λ∈0,1，所以λ=7−2．所以线段A1E的长为7−2．18. （1）由已知，有a3+a4−a2+a3=a4+a5−a3+a4，即a4−a2=a5−a3，所以a2q−1=a3q−1．又因为q≠1，所以a3=a2=2．由a3=a1⋅q，得q=2．当n=2k−1k∈N∗时，a n=a2k−1=2k−1=2n−12；当n=2k k∈N∗时，a n=a2k=2k=2n；所以，a n的通项公式a n=2n−1,n为奇数, 2n2,n为偶数.（2）由（1）得b n=log2a2na2n−1=n2,n∈N∗．设b n的前n项和为S n，则S n=1×120+2×121+3×122+⋯+n−1×12n−2+n×12n−1,上述两式相减，得12S n=1+12+12+⋯+12−n2=1−12n1−12−n2=2−22−n2,整理，得S n=4−n+22n−1,n∈N∗.所以，数列b n的前n项和为4−n+22,n∈N∗．19. （1）由已知，有c2a2=13，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2．设直线FM的斜率为k k>0，则直线FM的方程为y=k x+c．由已知，有k2+12+c22=b22，解得k=33．（2）由（1）得椭圆方程为x23c +y22c=1，直线FM的方程为y=33x+c，两个方程联立，消去y，整理得3x2+2cx−5c2=0，解得x=−53c或x=c．因为点M在第一象限，所以点M的坐标为 c,233c ．由 FM =c+c2+233c−02=433，解得c=1，所以椭圆的方程为x 23+y22=1．（3）设点P的坐标为x,y，直线FP的斜率为t，即t=yx+1，则直线FP的方程为y=t x+1x≠−1，与椭圆方程联立y=t x+1,x23+y22=1,消去y，整理得2x2+3t2x+12=6．又由已知，得t=6−2x23x+1>2，解得−32<x<−1，或−1<x<0．设直线OP的斜率为m，得m=yx ，即y=mx x≠0，与椭圆方程联立，整理可得m2=2x2−23．①当x∈ −32,−1时，有y=t x+1<0，因此m>0，于是m=2x −23，得m∈23,233．②当x∈−1,0时，有y=t x+1>0，因此m<0，于是m=− 2x −23，得m∈ −∞,−233．综上，直线OP的斜率的取值范围是 −∞,−233∪23,233．20. （1）由f x=nx−x n，可得fʹx=n−nx n−1=n1−x n−1，其中n∈N∗，且n≥2．下面分两种情况讨论：①当n为奇数时，令fʹx=0，解得x=1或x=−1．当x变化时，fʹx，f x的变化情况如下表：x−∞,−1−1,11,+∞fʹx−+−f x↘↗↘所以，f x在−∞,−1，1,+∞上单调递减，在−1,1内单调递增．②当n为偶数时，当fʹx>0，即x<1时，函数f x单调递增；当fʹx<0，即x>1时，函数f x单调递减．所以，f x在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减．（2）设点P的坐标为x0,0，则x0=n1n−1，fʹx0=n−n2．曲线y=f x在点P处的切线方程为y=fʹx0x−x0，即g x=fʹx0x−x0．令F x=f x−g x，即F x=f x−fʹx0x−x0，则Fʹx=fʹx−fʹx0．由于fʹx=−nx n−1+n在0,+∞上单调递减，故Fʹx在0,+∞上单调递减．又因为Fʹx0=0，所以当x∈0,x0时，Fʹx>0，当x∈x0,+∞时，Fʹx<0，所以F x在0,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F x≤F x0=0，即对于任意的正实数x，都有f x≤g x．（3）不妨设x1≤x2．由（2）知g x=n−n2x−x0．+x0，设方程g x=a的根为x2ʹ，可得x2ʹ=an−n当n≥2时，g x在−∞,+∞上单调递减，又由（2）知g x2≥f x2=a=g x2ʹ，可得x2≤x2ʹ．类似地，设曲线y=f x在原点处的切线方程为y= x，可得 x=nx．当x∈0,+∞时，f x− x=−x n<0，即对于任意的x∈0,+∞，f x< x，．设方程 x=a的根为x1ʹ，可得x1ʹ=an因为 x=nx在−∞,+∞上单调递增，且 x1ʹ=a=f x1< x1，因此x1ʹ<x1．+x0．由此可得x2−x1<x2ʹ−x1ʹ=a1−n1=1+n−1=n，故2≥n1n−1=x0．因为n≥2，所以2n−1=1+1n−1≥1+C n−1+2．则当x1≤x2时，x2−x1=x2−x1<a1−n同理可证当x1>x2时，结论也成立．+2．综上，x2−x1<a1−n。

天津市高考数学试卷与解析

2015 年天津市高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一. 选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）1．（ 5 分）（2015?天津）已知全集U={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8} ，会集 A={2， 3， 5， 6} ，会集 B={1， 3， 4， 6， 7} ，则会集A∩ ?U B=（）A．{ 2，5}B．{ 3， 6}C．{ 2，5，6}D．{ 2，3，5，6，8}考交、并、补集的混杂运算．点：专会集．题：分由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；析：解解：∵全集U={1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8} ，会集 A={2， 3， 5，6} ，会集 B={1，3，答：4， 6，7} ，∴?U B={2 ， 5， 8} ，则 A∩ ?U B={2， 5} ．应选： A．点此题观察了交、并、补集的混杂运算，熟练掌握运算法规是解此题的要点．评：2．（5 分）（2015?天津）设变量 x，y 满足拘束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（）A． 3B．4C． 18D． 40考简单线性规划．点：专不等式的解法及应用．题：分作出不等式组对应的平面地域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最析：大值．解解：作出不等式组对应的平面地域如图：（阴影部分）．答：由 z=x+6y 得 y=﹣x+z ，平移直线 y= ﹣ x+z，由图象可知当直线 y=﹣ x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣ x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即 A（0， 3）将 A（ 0， 3）的坐标代入目标函数z=x+6y ，得 z=3×6=18．即 z=x+6y 的最大值为 18．应选： C．点此题主要观察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想评：是解决此类问题的基本方法．3．（ 5 分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A．﹣10B．6C． 14D． 18考程序框图．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的i ， S 的值，当 i=8时满足条件 i ＞ 5，析：退出循环，输出 S 的值为 6．解解：模拟执行程序框图，可得答：S=20，i=1i=2 ， S=18不满足条件i ＞ 5， i=4 ， S=14不满足条件i ＞ 5， i=8 ， S=6满足条件 i ＞ 5，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．点此题主要观察了循环构造的程序框图，正确写出每次循环获取的i ， S 的值是解题的评：要点，属于基础题．4．（ 5 分）（2015?天津）设 x∈R，则“ |x ﹣ 2| ＜1”是“x2+x﹣ 2＞0”的（）A．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断．点：专简单逻辑．题：分依照不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．析：解解：由“ |x ﹣ 2| ＜1”得 1＜ x＜ 3，2答：由 x +x﹣ 2＞0 得 x＞ 1 或 x＜﹣ 2，2即“ |x ﹣ 2| ＜1”是“x +x﹣ 2＞0”的充分不用要条件，应选： A．点此题主要观察充分条件和必要条件的判断，比较基础．评：5．（ 5 分）（2015?天津）如图，在圆 O中， M、N 是弦 AB的三均分点，弦CD，CE分别经过点M， N，若 CM=2， MD=4， CN=3，则线段 NE的长为（）A．B．3C．D．考与圆有关的比率线段．点：专选作题；推理和证明．题：分由订交弦定理求出AM，再利用订交弦定理求NE即可．析：解解：由订交弦定理可得CM?MD=AM?MB，答：∴2×4=AM?2AM，∴A M=2，∴M N=NB=2，又 CN?NE=AN?NB，∴3×NE=4×2，∴N E=．应选： A．点此题观察订交弦定理，观察学生的计算能力，比较基础．评：6．（ 5 分）（2015?天津）已知双曲线﹣ =1（a＞ 0，b＞ 0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考双曲线的标准方程．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再依照焦点在x 轴上析：的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、 b 的另一个方程，求出a、 b，即可获取双曲线的标准方程．解解：由题意， =，答：∵抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，222∴a+b =c =7，∴a=2， b=，∴双曲线的方程为．应选： D．点此题主要观察双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，观察学生的计算能力，属于基评：础题．7．（ 5 分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数 f （ x） =2|x﹣m|﹣ 1（ m为实数）为偶函数，记a=f （）， b=f （ log 25）， c=f （ 2m），则 a， b， c 的大小关系为（）A． a＜b＜ c B．a＜ c＜ b C． c＜ a＜b D． c＜b＜ a考函数单调性的性质．点：专函数的性质及应用．题：分依照 f （ x）为偶函数即可求出 m=0，从而 f （x） =2|x|﹣ 1，这样便知道 f （ x）在 [0 ，析：+∞）上单调递加，依照 f （ x）为偶函数，即可将自变量的值变到区间[0 ，+∞）上：a=f （ || ），b=f （ log25），c=f（0），尔后再比较自变量的值，依照 f （ x）在 [0 ，+∞）上的单调性即可比较出a，b， c 的大小．解解：∵ f （ x）为偶函数；答：∴f （﹣ x） =f （x）；| ﹣ x ﹣m||x ﹣ m|﹣ 1；∴2﹣ 1=2∴|﹣ x﹣ m|=|x ﹣m|；（﹣ x﹣m）2=（ x﹣ m）2；∴m x=0；∴m=0；|x|∴f （ x） =2﹣1；∴f （ x）在 [0 ，+∞）上单调递加，并且 a=f （ || ）=f （ log 23）， b=f （ log 25）， c=f（ 0）；∵0＜ log 23＜log 25；∴c＜ a＜b．应选：C．点观察偶函数的定义，指数函数的单调性，关于偶函数比较函数值大小的方法就是将自评：变量的值变到区间 [0 ，+∞）上，依照单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（ 5 分）（2015?天津）已知函数f （ x）=，函数 g（x）=b﹣ f （ 2﹣ x），其中 b∈R，若函数y=f （ x）﹣ g（ x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（ 0，）D．（， 2）考根的存在性及根的个数判断．点：专创新题型；函数的性质及应用．题：分求出函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的表达式，构造函数h（ x） =f （ x） +f （ 2﹣ x），作出函析：数 h（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解解：∵ g（ x） =b﹣ f （ 2﹣x），答：∴y=f （ x）﹣ g（x） =f （x）﹣ b+f （ 2﹣ x），由 f （ x）﹣ b+f （2﹣ x） =0，得 f （x） +f （ 2﹣ x） =b，设 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0， 2﹣x≥2，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =2+x+x2，若 0≤x≤2，则﹣ 2≤﹣ x≤0，0≤2﹣x≤2，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =2﹣ x+2﹣ |2 ﹣ x|=2 ﹣ x+2﹣ 2+x=2，若 x＞ 2，﹣ x＜ 0， 2﹣ x＜0，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =（ x﹣ 2）2+2﹣ |2 ﹣x|=x 2﹣ 5x+8．即 h（ x） =，作出函数h（ x）的图象如图：当 x≤0时， h（x） =2+x+x2=（x+）2+≥，当 x＞ 2 时， h（x） =x2﹣ 5x+8=（x﹣）2+≥，故当 b=时， h（ x） =b，有两个交点，当 b=2 时， h（ x） =b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f （ x）﹣ g（ x）恰有 4 个零点，即h（ x） =b 恰有 4 个根，则满足＜ b＜ 2，应选： D．点此题主要观察函数零点个数的判断，依照条件求出函数的分析式，利用数形结合是解评：决此题的要点．二. 填空题（每题 5 分，共 30 分）1﹣ 2i ）（ a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为9．（ 5 分）（2015?天津） i 是虚数单位，若复数（﹣2．考复数的基本看法．点：专数系的扩大和复数．题：分由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0 且虚部不等于0 求得 a 的值．析：解解：由（ 1﹣ 2i ）（ a+i ） =（ a+2） +（1﹣ 2a）i 为纯虚数，答：得，解得： a=﹣2．故答案为：﹣2．点此题观察了复数代数形式的乘法运算，观察了复数为纯虚数的条件，是基础题．评：m），则该几何体的体积为10．（ 5 分）（2015?天津）一个几何体的三视图以下列图（单位：3m．考由三视图求面积、体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分依照几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出析：它的体积．解解：依照几何体的三视图，得；答：该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为22V 几何体 =2×π ?1 ×1+π?1 ?2=π．故答案为：π．点此题观察了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．评：11．（ 5 分）（2015?天津）曲线y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为．考定积分在求面积中的应用．点：专计算题；导数的看法及应用．题：分先依照题意画出地域，尔后依照图形获取积分下限为0，积分上限为1，从而利用定析：积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解解：先依照题意画出图形，获取积分上限为1，积分下限为 0答：直线 y=x 与曲线 y=x 2所围图形的面积 S=∫01（x﹣ x2） dx121而∫ 0（ x﹣ x ） dx=（） | 0 =﹣ =∴曲边梯形的面积是．故答案为：．点此题主要观察了学生会求出原函数的能力，以及观察了数形结合的思想，同时会利用评：定积分求图形面积的能力，解题的要点就是求原函数．12．（ 5 分）（2015?天津）在（x﹣）6的张开式中，x2的系数为．考点：专题：分析：解答：点评：二项式定理的应用．计算题；二项式定理．在二项张开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数．6T r+1 =?（ x）6﹣ r r r6﹣ 2r解：（ x﹣）的张开式的通项公式为?（﹣） =（﹣） ??x，令 6﹣ 2r=2 ，解得 r=2 ，∴张开式中x2的系数为× =，故答案为：．此题主要观察二项式定理的应用，二项张开式的通项公式，求张开式中某项的系数，属于中档题．13．（ 5 分）（2015?天津）在△ ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c．已知△ ABC 的面积为 3， b﹣ c=2， cosA=﹣，则 a 的值为 8 ．考余弦定理．点：专解三角形．题：分由 cosA=﹣， A∈（ 0，π），可得sinA= ．利用 S ==，化为 bc=24，又 b﹣ c=2，解△ABC析：得 b， c．由余弦定理可得：222即可得出．a =b +c ﹣ 2bccosA解解：∵ A∈（ 0，π），∴ sinA==．答：∵S ABC==bc=，化为bc=24，△又 b﹣ c=2，解得 b=6， c=4．222由余弦定理可得： a =b +c ﹣ 2bccosA=36+16﹣48×=64．故答案为： 8．点此题观察了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，观察了推理评：能力与计算能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知 AB∥DC， AB=2，BC=1，∠ ABC=60°．动点 E 和 F 分别在线段BC和 DC上，且 =λ， =，则 ?的最小值为．考平面向量数量积的运算．点：专创新题型；平面向量及应用．题：分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于析：体的形式求最值．解解：由题意，获取AD=BC=CD=1，因此 ?=（） ?（） =（） ?（）答：==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥ +=（当且仅当时等号成立）；λ的代数式，依照具点评：故答案为：．此题观察了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；要点是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三. 解答题（本大题共 6 小题，共80 分）15．（ 13 分）（2015?天津）已知函数 f （x） =sin 2x﹣ sin 2（ x﹣），x∈R．（Ⅰ）求 f （ x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f （ x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值．考两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．点：专三角函数的求值．题：分（Ⅰ）由三角函数公式化简可得 f （ x） =﹣ sin （ 2x﹣），由周期公式可得；析：（Ⅱ）由 x∈[ ﹣， ] 结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．解解：（Ⅰ）化简可得 f （ x） =sin 2x﹣ sin 2（ x﹣）答：=（ 1﹣cos2x ）﹣ [1 ﹣ cos （ 2x﹣） ]=（ 1﹣cos2x ﹣ 1+cos2x+sin2x）=（﹣ cos2x+sin2x ）=sin （2x﹣）∴f （ x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵ x∈[ ﹣， ] ，∴ 2x﹣∈ [ ﹣， ] ，∴s in （ 2x ﹣）∈ [ ﹣ 1， ] ，∴ sin （ 2x﹣）∈ [ ﹣， ] ，∴f（ x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值分别为，﹣点此题观察两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．评：16．（ 13 分）（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛赞同不相同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学希望．考失散型随机变量的希望与方差；失散型随机变量及其分布列．点：专概率与统计．题：分（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，尔后利用古典概型概率析：计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入希望公式求希望．解解：（Ⅰ）由已知，有P（A） =，答：∴事件 A 发生的概率为；（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为1， 2， 3， 4．P（ X=k） =（ k=1， 2， 3，4）．∴随机变量 X 的分布列为：X1234P随机变量X 的数学希望E（X） =．点此题主要观察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、失散型随机变量的分布列与数评：学希望等基础知识，观察运用概率知识解决简单实责问题的能力，是中档题．17．（13 分）（2015?天津）如图，在四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB=1， AC=AA1=2， AD=CD=，且点 M和 N 分别为 B1C和 D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面 ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣ AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面 ABCD所成角的正弦值为，求线段A1 E 的长．考二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断；直线与平面所成的角．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分（Ⅰ）以 A 为坐标原点，以AC、 AB、 AA1所在直线分别为x、 y、 z 轴建系，经过平面析：ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）经过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）经过设 =λ，利用平面 ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．解（Ⅰ）证明：如图，以 A 为坐标原点，以AC、 AB、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建答：系，则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 2， 0， 0）， D（ 1，﹣ 2， 0），A1（0， 0， 2）， B1（ 0， 1，2）， C1（ 2， 0， 2）， D1（ 1，﹣ 2， 2），又∵ M、 N 分别为 B1C、D1 D的中点，∴ M（ 1，， 1）， N（ 1，﹣ 2，1）．由题可知： =（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量， =（ 0，﹣，0），∵?=0， MN?平面 ABCD，∴ MN∥平面 ABCD；（Ⅱ）解：由（I ）可知： =（ 1，﹣ 2， 2）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， 2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（ 0，1， 1），设 =（ x， y， z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（ 0，﹣ 2， 1），∵cos＜，＞ ==﹣，∴ sin ＜，＞ ==，∴二面角D1﹣ AC﹣ B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈ [0 ， 1] ，∴E=（ 0，λ， 2）， =（﹣ 1，λ +2， 1），又∵=（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量，∴c os＜，＞ ===，2整理，得λ +4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段 A1E 的长为﹣ 2．点此题观察直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，观察用评：空间向量解决立体几何问题的方法，观察空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．* 18．（ 13 分）（2015?天津）已知数列 {a n} 满足 a n+2=qa n（ q 为实数，且 q≠1），n∈N，a1=1，a2=2，且 a2 +a3， a3+a4， a4+a5成等差数列（ 1）求 q 的值和 {a n} 的通项公式；（2）设 b n=，n∈N*，求数列 {b n} 的前 n 项和．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）经过 a n+2=qa n、a1、a2，可得 a3、 a5、 a4，利用 a2+a3， a3 +a4， a4+a5成等差数列，析：计算即可；*（ 2）经过（ 1）知 b n =，n∈N，写出数列 {b n} 的前 n 项和 T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解解：（ 1）∵a n+2=qa n（ q 为实数，且*=1， a2 =2，q≠1），n∈N， a12答：∴a3=q，a5=q，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4 ，a4 +a5 成等差数列，∴2×3q=2+3q+q 2，即 q2 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），∴a n=；（2）由（ 1）知 b n ===，n∈N*，数列{b n} 的前 n 和 T n，T n=1+2?+3?+4?+⋯+（ n 1）?+n?，∴2T n=2+2+3?+4?+5?+⋯+（ n 1）?+n?，两式相减，得 T n=3++++⋯+ n?=3+ n?=3+1 n?=4．点本考求数列的通与前 n 和，考分的思想，利用位相减法是解决本：的关，注意解方法的累，属于中档．19．（ 14 分）（2015?天津）已知+=1（ a＞ b＞ 0）的左焦点 F（ c， 0），离心率，点M在上且位于第一象限，直FM被 x2+y2=截得的段的 c，|FM|= ．（Ⅰ）求直 FM的斜率；（Ⅱ）求的方程；（Ⅲ）点 P 在上，若直FP 的斜率大于，求直 OP（ O原点）的斜率的取范．考直与曲的合；的准方程．点：新型；直与；曲的定、性与方程．：分（Ⅰ）通离心率，算可得a2=3c2、 b2=2c2，直 FM的方程 y=k （ x+c），利析：用勾股定理及弦心距公式，算可得；（Ⅱ）通立与直FM的方程，可得 M（ c， c），利用 |FM|= 算即可；（Ⅲ）点 P 的坐（x，y），分立直FP、直 OP与方程，分 x∈（，1）与 x∈（ 1， 0）两种情况即可．解解：（Ⅰ）∵离心率，∴ ==，答：222222∴2a =3b，∴a =3c， b =2c，直 FM的斜率k（ k＞0），直 FM的方程 y=k（ x+c ），∵直 FM被 x2+y2=截得的段的c，∴ 心（ 0， 0）到直 FM的距离 d=，22+=，∴d+=，即（）解得 k=，即直 FM的斜率；（Ⅱ）由（ I ）得方程： +=1，直 FM的方程 y=（ x+c），立两个方程，消去22y，整理得 3x +2cx 5c=0，解得 x= c，或 x=c ，∵点 M在第一象限，∴ M（ c， c），∵|FM|= ，∴ =，2222解得 c=1，∴a =3c =3， b =2c =2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（ x， y），直线 FP 的斜率为t ，∵F（﹣ 1， 0），∴ t= ，即 y=t （ x+1）（x≠﹣ 1），222联立方程组，消去y 并整理，得2x +3t （ x+1） =6，∴＞，解得﹣＜x＜﹣ 1，或﹣ 1＜ x＜0，设直线 OP的斜率为m，得 m=，即 y=mx（x≠0），2联立方程组，消去y 并整理，得m=﹣．①当 x∈（﹣，﹣ 1）时，有y=t （x+1）＜ 0，因此 m＞ 0，∴m=，∴ m∈（，）；②当 x∈（﹣ 1，0）时，有y=t （ x+1）＞ 0，因此 m＜0，∴m=﹣，∴ m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．点此题观察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的地址关系、评：一元二次不等式等基础知识，观察用代数方法研究圆锥曲线的性质，观察运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（ 14 分）（2015?天津）已知函数n，x∈R，其中?f （x） =nx﹣x n∈N，且 n≥2．（Ⅰ）谈论 f （ x）的单调性；（Ⅱ）设曲线 y=f （ x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（ x），求证：关于任意的正实数x，都有 f （ x）≤ g（ x）；（Ⅲ）若关于 x 的方程 f （x）=a（ a 为实数）有两个正实数根x1，x2，求证： |x 2﹣ x1| ＜ +2．考利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．点：专压轴题；创新题型；导数的看法及应用；导数的综合应用．题：分（Ⅰ）由 f （ x）=nx﹣ x n，可得 f ′（ x），分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得析：函数的单调性．（Ⅱ）设点 P 的坐标为（ x0，0），则可求 x0=n，f ′（ x0）=n﹣ n2，可求 g（x）=f ′（x0）n﹣ 1（ x﹣ x0），F′（ x）=f ′（ x）﹣ f ′（ x0）．由 f ′（ x）=﹣ nx+n 在（ 0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（ 0， x0）内单调递加，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设 x1≤x2，设方程 g（ x） =a 的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线 y=f （ x）在原点处的切线方程为 y=h（x），可得 h（ x）=nx，设方程 h（ x）=a 的根为，可得＜ x1，从而可得： x2﹣ x1＜﹣ =，由 n≥2，即 2n﹣ 1n﹣ 1=（ 1+1）≥1+=1+n﹣ 1=n，推得： 2=x0，即可得证．解（此题满分为14 分）答：n，可得 f ′（ x） =n﹣ nxn﹣ 1n﹣ 1?解：（Ⅰ）由 f （x） =nx﹣x=n（ 1﹣x），其中 n∈N，且n≥2．下面分两种情况谈论：（ 1）当 n 为奇数时，令 f ′（ x）=0，解得x=1，或x=﹣ 1，当x 变化时， f ′（x），f （ x）的变化情况以下表：xf ′（ x）（﹣∞，﹣﹣1）（﹣ 1， 1）+（ 1，+∞）﹣f （ x）因此， f （ x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1， 1）单调递加．（ 2）当 n 为偶数时，当 f ′（ x）＞ 0，即 x＜ 1 时，函数 f （ x）单调递加；当 f ′（ x）＜ 0，即 x＞ 1 时，函数 f （ x）单调递减；因此， f （ x）在（﹣∞， 1）单调递加，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（ x0， 0），则 x0=n，f ′（ x0） =n﹣ n2，曲线 y=f （ x）在点 P 处的切线方程为 y=f ′（ x0）（x﹣ x0），即 g（ x）=f ′（ x0）（ x﹣ x0），令 F（ x）=f （x）﹣ g（x），即 F（ x）=f （ x）﹣ f ′（ x0）（ x﹣ x0），则 F′（ x）=f ′（ x）﹣ f ′（ x0）．由于 f ′（ x） =﹣nx n﹣1+n 在（ 0，+∞）上单调递减，故F′（ x）在（ 0，+∞）上单调递减，又由于 F′（ x0） =0，因此当 x∈（ 0， x0）时， F′（ x）＞ 0，当 x∈（ x0，+∞）时，F′（ x）＜ 0，因此 F（ x）在∈（ 0， x0）内单调递加，在（x0，+∞）上单调递减，因此对应任意的正实数x，都有 F（x）≤ F（ x0） =0，即关于任意的正实数x，都有 f （ x）≤ g（ x）．（Ⅲ）证明：不如设x1≤x2，2知 g（ x2）≥ f （ x2） =a=g（），可得x2≤．近似地，设曲线y=f （ x）在原点处的切线方程为y=h（ x），可得 h（ x）=nx，当 x∈（0，+∞），f （ x）﹣ h（ x）=﹣x n＜0，即关于任意的 x∈（ 0，+∞），f （ x）＜ h（ x），设方程 h（ x） =a 的根为，可得 =，由于 h（ x） =nx 在（﹣∞， +∞）上单调递加，且 h（） =a=f （ x1）＜ h（ x1），因此＜ x1，由此可得： x2﹣ x1＜﹣ =，n﹣ 1n﹣ 1由于 n≥2，因此 2 =（ 1+1）≥1+=1+n﹣1=n，因此： |x 2﹣ x1| ＜+2．点本小题主要观察导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等评：式等基础知识和方法，观察分类谈论思想、函数思想和化归思想，观察综合分析问题和解决问题的能力．。

2015年天津市高考数学试卷(理科)及解析

2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 403((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 1824((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页)A( B( C( D( 36((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中bA( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 (10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m(第2页(共21页)211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 (14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11第3页(共21页)(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221第4页(共21页)2015年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}考点:交、并、补集的混合运算(专题:集合(分析:由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，??B={2，5，8}， U则A??B={2，5}( U故选:A(点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 40考点:简单线性规划(专题:不等式的解法及应用(分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值(解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)(由z=x+6y得y=,x+z，平移直线y=,x+z，由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大，此时z最大(由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18(第5页(共21页)故选:C(点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法(3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 18考点:程序框图(专题:图表型;算法和程序框图(分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(解答:解:模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i,5，i=4，S=14不满足条件i,5，i=8，S=6满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(故选:B(点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的第6页(共21页)关键，属于基础题(24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题:简易逻辑(分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由“|x,2|,1”得1,x,3，2由x+x,2,0得x,1或x,,2，2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件，故选:A(点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础(5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( )A( B( C( D( 3考点:与圆有关的比例线段(专题:选作题;推理和证明(分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，?2×4=AM•2AM，?AM=2，?MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，?3×NE=4×2，?NE=(故选:A(点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础(6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( )第7页(共21页)A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1考点:双曲线的标准方程(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程(解答: 解:由题意，=，22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的准线上，?c=，222?a+b=c=7，?a=2，b=，?双曲线的方程为(故选:D(点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题(,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a考点:函数单调性的性质(专题:函数的性质及应用(|x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?)上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2即可比较出a，b，c的大小(解答:解: ?f(x)为偶函数;?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1;?|,x,m|=|x,m|;22(,x,m)=(x,m);?mx=0;?m=0;|x|?f(x)=2,1;第8页(共21页)?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522(0);?0,log3,log5; 22?c,a,b(故选:C(点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用(8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)考点:根的存在性及根的个数判断(专题:函数的性质及应用(分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可(解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)，?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)，由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b，设h(x)=f(x)+f(2,x)，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2，则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2，若x,2，,x,0，2,x,0，22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8(即h(x)=，作出函数h(x)的图象如图:22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?，22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?，故当b=时，h(x)=b，有两个交点，当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，第9页(共21页)由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，即h(x)=b恰有4个根，则满足,b,2，故选:D(点评:本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键(二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 ,2 (考点: 复数的基本概念(专题:数系的扩充和复数(分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数，得，解得:a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题(10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为3 m(第10页(共21页)考点:由三视图求面积、体积(专题:计算题;空间位置关系与距离(分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积(解答:解:根据几何体的三视图，得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1;?该几何体的体积为22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体=π(故答案为:π(点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目(211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (考点:定积分在求面积中的应用(专题:计算题;导数的概念及应用(分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0211而?(x,x)dx=()|=,= 00?曲边梯形的面积是(故答案为:(第11页(共21页)点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数(6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (考点:二项式定理的应用(专题:计算题;二项式定理(2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1,2r，2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=，故答案为:(点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题(13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 (考点: 余弦定理(专题:解三角形(分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==(?S==bc=，化为bc=24， ?ABC又b,c=2，解得b=6，c=4(第12页(共21页)222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64(解得a=8(故答案为:8(点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (考平面向量数量积的运算(点:专平面向量及应用(题:分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值(解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答:•()==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1×1×cos120?=1++,?+=(当且仅当时等号成立);故答案为:(点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值(三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值(分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得;(?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值(第13页(共21页)解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,)=(1,cos2x),[1,cos(2x,)]=(1,cos2x,1+cos2x+sin2x)=(,cos2x+sin2x)=sin(2x,)?f(x)的最小正周期T==π;(?)?x?[,，]，?2x,?[,，]，?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]，?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望(解答:解:(?)由已知，有P(A)=，?事件A发生的概率为;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4(P(X=k)=(k=1，2，3，4)(?随机变量X的分布列为:P 1 2 3 4第14页(共21页)X随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角(分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论;(?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11系即得结论;(?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可(解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1轴建系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)，A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)，?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD;第15页(共21页)(?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)，设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，1，1)，设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，,2，1)，?cos,，,==,，?sin,，,==，?二面角D,AC,B的正弦值为; 11(?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)，又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，?cos,，,===，2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1第16页(共21页)点评:本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn考点:数列的求和(专题:等差数列与等比数列(分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445计算即可;*(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可(*解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354又?a+a，a+a，a+a成等差数列，2334452?2×3q=2+3q+q，2即q,3q+2=0，解得q=2或q=1(舍)，?a=; n*(2)由(1)知b===，n?N， n记数列{b}的前n项和为T， nn则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n两式相减，得T=3++++…+,n• n=3+,n•=3+1,,n•=4,(第17页(共21页)点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题(19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程(专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论;(?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即可;(?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(,，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论(解答:解:(?)?离心率为，?==，222222?2a=3b，?a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)，22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，?圆心(0，0)到直线FM的距离d=，22?d+=，即()+=，解得k=，即直线FM的斜率为;(?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)，第18页(共21页)22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M 在第一象限，?M(c，c)，?|FM|=，?=，2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2，即椭圆的方程为+=1;(?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)，222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6，又?直线FP的斜率大于，?,，解得,,x,,1，或,1,x,0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)，2联立方程组，消去y并整理，得m=,(?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，);?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0，?m=,，?m?(,?，,);综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)(点评:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;第19页(共21页)(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用(n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性(2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000+?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证((?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0解答: (本题满分为14分),,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论:(1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表:(,?，,1) (,1，1) (1，+?) xf′(x) , , +f(x)所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时，当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增;当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减;所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减;2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0第20页(共21页),n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减，又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0，所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)((?)证明:不妨设x?x， 122由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x?n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)，设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增，且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111由此可得:x,x,,=， 21,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n，故:2=x( 0所以:|x,x|,+2( 21点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力(第21页(共21页)。

2015年高考理科数学天津卷-答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =，所以{2,5}UAB=，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可．【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6．【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =，23CM MD CN ⨯=，故选A ．【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE418【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC ABBC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1818λλ117218λλ+=时，AE AF 有最小值，最小值为（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =，平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设1(,n x y =11100n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面21200n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，可得2(0,n =-12121210,10||||n n n n n n ==-123,10n n =， 10（Ⅲ）依题意，可设111AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-72λ=-，法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设111AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为122n n -⎧⎪，为奇数22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =的斜率为(0)k k >，则直线22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =12 / 12。

262015-2015年天津市高考数学试卷(理科)

2015年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．403．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．184．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA 1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．18．（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f （x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S==bc=，化为bc=24，△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X1234P随机变量X的数学期望E（X）=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA 1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）通过a n+2=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，【解答】解：（1）∵a n+2∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．。

2015年全国高考天津理科数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B=（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10-（B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83（B ）3 （C ）103（D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==，则A E A F 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==，AD CD ==且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，.(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

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2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集，集合，集合，则集合（ {1,2,3,4,5,6,7,8}U =A={2,3,5,6}B={1,3,4,6,7}U A C B= ）A ．B ．C ．D ．{}2,5{}3,6{}2,5,6{}2,3,5,6,82．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（,x y 20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩6z x y =+）A ．B ．C ．D ．3418403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）S A ．B ．C ．D ．10-614184．设，则“”是“”的（）x R ∈|2|1x -＜220x x +-＞A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点O N M ，AB CD CE ，若，，，则线段的长为（）N M ，2CM =4MD =3CN =NE A ．B ．3C ．D ．83103526．已知双曲线（）的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线22221x y a b-=0b 0a ＞，＞）A ．B ．C ．D ．2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，R ()21x mf x -=-m 0.5(log 3)a f =，，则的大小关系为（）2(log 5)b f =(2)c f m =b c a ，，A ．B ．C ．D ．a b c ＜＜a cb ＜＜c a b ＜＜c b a ＜＜8．已知函数函数，其中，若函数恰22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，()(2)g x b f x =--b R ∈()()y f x g x =-有个零点，则的取值范围是（）4b A ．B ．C ．D ．7()4+∞，7()4-∞，7(0)4，7(2)4，二、填空题9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数i (12)()i a i -+的值为．a 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为．3m 11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为2y x =y x =．12．在的展开式中，的系数为．61()4x x-2x 13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆，则的值为．12,cos 4b c A -==-a 14．在等腰梯形中，已知。

2015天津高考数学(理科)试题(卷)与图片版答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

普通高等学校招生全国统一测验数学理试题天津卷含解析

10
15
（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分条件与必要条件.
（5）如图，在圆 O 中， M , N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD, CE 分别经过点 M , N .若
CM 2, MD 4,CN 3 ，则线段 NE 的长为
8
（A）
3
D

43
y2
3
CN
33
，且双曲线的一个焦点在抛物线
1
3
考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.
（7）已知定义在 R
上的函数 f x 2 xm 1
a f (log0.5 3),b f log2 5, c f 2m ，则 a,b, c 的大小关系为
考点：程序框图.
（4）设 x R ，则“ x 2 1 ”是“ x2 x 2 0 ”的
（A）充分而不必要条件
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2015年天津市高考数学(理科)真题及答案解析

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

2015年高考理科数学天津卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可．【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6．【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ．【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =，所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

2015年高考理数真题试卷(天津卷)

第1页，总15页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2015年高考理数真题试卷（天津卷）考试时间：**分钟满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号一二三总分核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共8题)1. （2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( ) A . B .C .D .2. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A .B .C .D .4. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为()答案第2页，总15页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B . 3C .D .5. （2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A . -10B . 6C . 14D . 186. （2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A . 3B . 4C . 18D . 407. （2015·天津）设，则“”是“”的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件。