第二讲函数定义域及解析式

第2课函数的概念及其表示法

一基础训练

1•若函数产f (Q的定义域是［0,2］,则函数g&)二/空的定义域是________________ .

x-1

［答案］［0,1)

X2

2.函数y二一的定义域是 ______________ ,值域是 ____________ ■

JT +1

［答案］R. ［0,1)

3.若A-rr3) =A*:-2.Y+3 ,则f C Y)= __________ ・

［答案］丘-8时18

「解析］方法一(换元法)：设时3二r,则沪L3,

:.f(t) = (L3) =2 (L3) +3=f-8t+18・

f (-v)=疋-8对18・

方法二(配凑法人f (A+3)二/-2对3二(•计3)=8(対3)+18, :.f (x)二』-8对18・

4.定义在R上的函数几T)满足ru)=

/(x_l)_f(x_2),x>0,

［答案〕-2

［解析］由已知得 f (T) =log25, f (0) =log：4=2,所以/(I) =f (0) -f (-1) =2-log：5, f

(2)二f (1) -/(O) =-log：5, r (3)二f (2) -r(l) =-log：5- (2-log：5)二一2・

二例题

【例1】根据下列条件求各函数的表达式：

_ (2

(1)已知f - + 1 二1网求f (A O：

lx

(2)已知f (Q是一次函数，且满足3f(对D-2fG-l)二2对17,求f (龙)；

(3)已知ffx-丄｝二/+丄+1(.丫>0),求f (A O.

I x) 2

2 2 2 2

i解答］(1)(换兀法)令一+1 二r(上>1),则 w——,.\r(t)=lg -------------- , .\/Xx)=lg ----------- (-v>i).

X /一1 x-1 x-1

(2)(待定系数法)设f (x)二"乜(aHO),

则 3/(-Y +1) -2/'(.V ^1) =3aA ,+3a+3Zr-2a.Y+2^-2Z>=a.r-Zrl-5<3=2-rrl7> /.a=2, Z>=7, /./(-Y)二2站7・

【变式拓展】 已知彳/ ++卜“+丄r+1,求f(x).

(3)(配凑法)f\x~-

\ X)

+ 3, •：f (%)二y+3.

(-¥-3) +1 (xHO)・

【备讲例题】己知 f =2.v+a, g(x)-— (-Y '+3),若 g [f (x)]二”+对1,求 a 的值. 4 :解答 1 •/ f ( A F ) -2xra, g (x)二一(A Z +3 ), 4

/ (-Y )J = —「(2•计a)：+3]

(a+3).

4

4

又Tg [f (x)]二扌+A +1,

/.x+ax+ — (a~+3) =A "+.¥+1> 从而可得 a=l ・

4

【例2】求下列函数的左义域:

3 X"，

Y

(1) /CY) =^+lgM: (2) 5 =l^+(3^)0-

【变式拓展】 求函数f J ）二J25-F+lgsinx 的立义域.

x + —

+ 1 , , :.f (-r) -X

［解答〕（1）由题意可得

l-x>0, 3兀 +

解之得—g 〈X ＜l,即原函数的泄义域为卜+

（2）由题意可得＜ 2x - A 2 > 0,

2v_1>0,

解之得<

2X — 1H1,

3 - 2x H 0,

0

1

A> 25

X H 1,

3

X H —,

即丄＜xW2且xHl 和二

2 2

3) ・•・原函数的定义域为（$1 ］u （i'|］u （|,2 .

2；

［解答］由题意可得＜

解之得< sinx>0,

-5

2k 兀

•••原函数的定义域为［-5,-^）U （0,才）・

【备讲例题】已知函数的定义域为-丄,［,求函数y = f

2 2

X 2-A-lj 的定义域.

［解答］冷弓n

x 「-xTSO, x 2 -x>0

［解答］f 1

x + — X

1 + —

- 2

:解答 由题意知:"l ・Y GR 时，(a"-l) Y+ (rl) Y+ ---------------- M 0恒成立.

G + 1

a 1

时，得 a=l,此时冇(a ：-l)殳 + (bl) * —二—二 1.可知当 AT GR 时, a +1 H 0 a + \

■ ■ 2

(a'-l) x+ ( a~l) xr ------------ 20 恒成立.

d + 1

/2 > ]

时，有‘ 解得us

/-10G + 9S0,

9.

综上所述，使得函数y 的泄义域为R 的&的取值范围是[1,9]・ 【变式拓展】已知函数』

「（0-

,

_1的定义域是

R,求实数a 的取值范围.

ax^ +ax-3

a H 0,

[解答I 由尹0或｛ , 解得-12

△ = / -4GX (-3)<0,

/ v + 3

[备讲例题】记函数f3二」2 - — 的左义域为扎多3二"[&一a-1) (2&—,) ] Q ⑴ V x + 1 的定义域为5

(1) 求小(2)若B Q A,求实数a 的取值范围.

Y | 3 V* 3

[解答](1)由题意知2- 一 no 且对1H0,解得 —^^0,即水一 1或-Y^l, Azl=(- x + 1 x+1 8, —1) U [1, +8).

(2) 由 C Y _0,得(-v _2^)<0. Vci a+l>2^f

(2a, a+1) ••:B

A. ：.2a^ 1 或廿 1W-1,即 a^-或 &£一2・又 a 〈l, ••丄

1 或 aW — 2・所以当 BuA

2 2 一

时,实数日的取值范围是(一 8,—2] u[g,l).

四课后练习

2

小+（心）卄注碗义域为R,求实数&的取值范風

①当£-1二0,即〈

2

△ = @_1)2_4(/_1)・

所求函数的左义域是

【例3】若函数y =