苏教版小学数学五年级上册《八 用字母表示数：● 钉子板上的多边形》公开课教案_2

课题：《钉子板上的多边形》

教学内容：苏教版小学数学五年级上册第108~109页。

教材分析：

本节课是在学生学习了多边形的面积计算、用字母表示数和具有一定的探索规律学习经验的基础上，进一步开展的探索“格点与图形面积”规律的研究活动。教材分五段安排探索活动：第一段给出内部钉子数是1的多边形展开探索，发现这种现象下的规律，并用字母公式表示；第二段在钉子板上围出内部钉子数是2的多边形，研究他们的面积与图形边上钉子数之间的关系，延伸探索活动；第三段猜想内部有3枚、4枚等钉子时，面积与边上钉子数之间的关系，推想多边形内部没有钉子，会是什么结果？再通过围一围、算一算进行验证；第四阶段：采用数形结合的形式，让学生直观了解在钉子板上，为什么会有这样的规律呢？从而使学生加深对皮克定理的了解；第五段回顾探索和发现规律的过程，交流活动体会。

教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学准备：多媒体课件、学生研究单

教学过程：

一、课前谈话：2’

1、播放《欢乐颂》，这首乐曲是世界著名的音乐家贝多芬在奥地利创作的，听了贝多芬美妙的欢乐颂，我想学习数学应该也是欢乐愉快的。奥地利有享誉世界的音乐家，也有世界闻名的数学家，他就是乔治皮克。（出示2）

2、此人与我们常见的一种数学工具钉子板有关系，（出示3），相信我们同学们都用过，也喜欢在上面围出不同的图形。人们便于研究，把钉子板上简化成点子图（出示3），这一个个点就是一个个钉子，每行和每列两个钉子之间的距离是1cm。

师：乔治皮克啊喜欢在钉子板上围出有创意的图形，来探索发现数学规律。（出示一个复杂图形5）

今天咱们就来探索一下钉子板上的多边形的数学规律。（板书课题：钉子板上的多边形）有信心吗？（上课）

二、探索规律

1、引入1’

师：猜一猜这个钉子板上多边形的面积与什么有关系呢？（贴出：多边形的面积）（问的很轻松，慢速度）学生猜。（内部钉子数、边上钉子数、边数、边长、……）不强求学生能说多少。

师：好棒！恭喜你和数学家想的一样。（随机贴出：多边形边上的钉子数、多边形内部的钉子数）（师生数钉子）

2、探究多边形内有1枚钉子的规律。11’

师：钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数和内部钉子数到底有什么关系呢？咱们今天先从简单图形入手探究。（板书：易——难）（出示PPT7）。

仔细观察：这四个多边形有什么共同的特点？

学生说，（师板书：多边形内部的钉子数 1）

请拿出研究单一，先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学比一比，交流你的发现与想法。

预备开始。

学生活动。学生汇报。

生上台：边上的钉子数越多，面积就越大。

生上台：钉子数是面积的2倍、面积是钉子数的一半。（师生共同举例说明）

师：如果我们用S表示多边形的面积，用N表示边上的钉子数。(板书S、N)那么它的面积与边上钉子数有什么关系呢？

学生说教师板书。(S=N÷2)

师小结整个探究过程。师：刚刚我们通过观察四个图形、横着竖着比较表中数据的方法，发现了当多边形内部有1枚钉子数时候，多边形面积等于边上钉子数除以2这样的关系。

3、出示研究单二：探究多边形内有2枚钉子的规律。9’

师：如果多边形内部有2枚钉子，那么它们的关系还是这样吗？

学生操作计算填写表格。汇报。

师：请小组同学在你的研究单上任意画一个内部有2枚钉子的多边形，完成表格。是不是也符合这个关系呢？

师展示小组学生图形，汇报。

师：有不符合这个关系的吗？

生：多边形边上的钉子数÷2加1就等于多边形的面积。

师边说边板书：当内部钉子数等于2的时候，你能用含有字母的式子把发现的关系表示出来吗？

学生写（师板书： S=n÷2+1）

师指着黑板板书小结探究过程。师：刚刚我们通过观察、比较的方法，发现了当多边形内部有1枚、2枚钉子数时候，多边形面积等于边上钉子数除以2，多边形面积等于边上钉子数除以2加1这样的关系。

4、拓展猜想、验证规律8’

师：猜想一下，如果多边形内部钉子数等于3、4……的时候，它的面积与边上的钉子数的关系会怎样变化呢？

(根据学生回答，师板书)

师：那么，这里还有一种情况，大家知道是什么情况吗？（生：内部没有钉子）它的面积与边上的钉子数的关系会怎样变化呢？

(根据学生回答，师板书)

师：对于大家的猜想是否正确呢？(板书：加问号)我们还需要验证。小组分工合作，选择内部有3枚、4枚钉子数、没有钉子数三类情况中的一种，进行画图验证，完成表格。

学生开始验证。展示学生画图汇报。

（汇报要求：整个小组来汇报，教师不参与不说话，擦问号让小组长檫，让小组长问全班同学同意我们本组意见吗？）

5、揭示规律2’

师：感谢这一小组的精彩汇报，有不一样的地方吗？（生：没有）

师：说明我们的结论是正确的，由此我们可以继续向下来推论，能写完吗？（板书：……）

师：好的，刚刚我们研究了多边形内部有0、1、2、3、4……的情况下的规律。当内部钉子数等于1的时候，这里可以看成加…（板书：＋0）如果内部钉子数等于a时，那么S等于什么呢？请看（出示PPT11）把结论写在你的研究单上，指名板演，其他同学写在研究单上。

师：恭喜大家，你们今天发现了钉子板上多边形面积这个神奇的规律。你们知道这个规律是谁先发现的吗？

师：对，是乔治皮克，于是我们把它称之为皮克定理（出示PPT11）。该定理被誉为有史以来“最重要100个数学定理之一”。

师小结整个探究过程。师：刚刚我们通过观察、比较、猜测、验证、总结的探索过程，得出了皮克定理。大家还记得上课时看到的图形吗？现在运用皮克定理，来数一数、口算出它的面积。（出示PPT12）

6、揭示皮克定理形成的原因（出示PPT12）4’快速讲解，不拓展，时间紧张。

出示四个一样的图形。

（1）第一个多边形，数边上钉子数和内部钉子数，学生说算式，师展示：a=1 S=6÷2

（2）师：大家注意看第二个图形，把这个点往下拉，连成了一个新的多边形，你能说说什么变了？什么没变？（生说。）那么它的面积怎么求？（学生说，师展示a=2 S=6÷2+1）

师：谁知道加的1在哪里吗？（学生指一指，师出示）这就是为什么a=2 S=6÷2+1的原因。

（3）师：继续看第三个图形，还是这个点往下拉，连成了一个新的多边形，你发现了什么？（生说。）那么它的面积怎么求？（学生说，师展示a=3 S=6÷2+2）

师：谁知道加的2在哪里吗？（学生指一指，师出示）这就是为什么a=3 S=6÷2+2的原因。

（4）师：再继续看，还是这个点，向上移，（展示）你发现了什么？那么这个时候面积应该怎么算呢？（学生齐说）大家知道减1在那里吗？（指一指）

师：这就是皮克定理为什么会有这样规律的原因。有兴趣的同学课后可以用此方法继续研究下去。

三、课堂总结2’

提问：这节课即将进入尾声，请回顾整节课的探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？（出示PPT13）今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

师：钉子板上多边形的面积和边上的钉子数、内部钉子数有关系，那么面积和多边形的边长或周长有关系吗？

学生回答：有。

师：别急着下结论，这些有待我们以后继续努力学习，继续我们的探索与发现之旅吧。

四、结束语30”

师：好的，很高兴我们一起渡过了愉快的一节课。最后束老师期望大家今后学习中……

这节课我们就学到到这儿，下课……。