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(完整版)二次根式的复习(附答案)

页眉内容二次根式的复习知识精要1、二次根式的概念)0a≥叫做二次根式。

其中a是被开方数(可为整式或分式a≥.2、二次根式的性质性质1 ()0a a=≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2aaaaaaa性质2 ()20a a=≥;性质3 =()0,0a b≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=babaab性质4 =（ba,0≥>0）一般地,==3、最简二次根式化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0a≥的式子叫做最简二次根式。

4、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。

5.二次根式的混合运算6.分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。

分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号. 上述的适当代数式即是指有理化因式。

精解名题二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x解：（1）要使32-x 有意义，必须320-≥x ，由320-≥x 得x ≤32， ∴当x ≤32时，式子32-x 在实数范围内有意义。

（2）要使x +13有意义，x +1为任意实数均可， ∴当x 取任意实数时x +13均有意义。

（3）∴当x x ≥-≠12且时，式子x x +-12在实数范围内有意义。

（4）当x x ≥-≠11，且时，x x++-113有意义。

（5）当x ≥12时，式子x x --21在实数范围内有意义。

（6）当x x x x ≤-≠-≥≠2525且或且时式子x x 245--有意义最简二次根式例2.根式x x ma a 12,62,3,17,4,522+中最简二次根式为 ___________________________________________________.解：42+a ，17，2x 6同类二次根式根式：例 3. 已知二次根式5,23+a 是同类二次根式,写出三个a 的可能值_________________________. 解：3a+2是5的倍数a 为6，11，16（答案不唯一）分母有理化：例4.将下列二次根式分母有理化（1）242++a a （2）22+-a a解：（1）22+a(2)2222--+a aa（3）x125 （4）qp q p --222（p>q ）解：（3）xx615 （4）2)(qp q p -+化简：例5：化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-解： ()()()（）原式122222=+--÷+a ba b a ba b()()()=+÷+=+=--=+++++-+=++++->≥<<≥=++++-=++++-a b a b a ba b a ba a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a 2212242121224424421212222222202022121222222222222222（）原式原题只保证，因此要分类讨论时，及时当时，原式||||Θ23222021212222222222222622a a aaa a a a a a a aa aa a a a a a aa=+<<=++++-=++++-=+当时，原式化简求值：例6：已知：223223-=+=b a ，，求：a b ab 33+的值。

九年级数学期末复习002一元二次方程与二次根式

九年级数学期末复习方程、根式班级姓名学号一、知识点回顾：1.一元二次方程的一般形式： .2.解法:四种 ; ; ; . 求根公式:x =(b 2-4ac ≥0)3.根的判别式: .4.二次根式的定义:形如 ( )5.二次根式的性质:2= (a ≥⎧==⎨⎩;= (a ≥0，b ≥= . (a ≥0,b>0) 二、知识技能训练:1.已知ax 2+4x-5=3x 2关于x 的方程是一元二次方程，则 a 的取值范围 . 2.方程22x x =的解为 .3.已知:方程(k-1)x 2+2x+1=0. (1)若方程有实根,则k ；(2)若方程有两个不等实根,则k .4.一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)(1)当a+b+c=0时,该方程必有一根为: . (2)当4a-2b+c=0时,该方程必有一根为: . 5.若(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=8,则a 2+b 2= .6.当k= 时，二次三项式x 2-2(k+1)x+k+7是一个关于x 的完全平方式.7.在四边形ABCD 中, AB ∥CD,且AB 、CD 的长是关于x 的方程x 2-3mx+2m 2+m-2=0的两个根,则四边形ABCD 是 . 8.函数y =中自变量x 的取值范围是．9.已知x ≤1,= .10.,则a= .11.阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 根据材料填空:已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为． 12.关于x 的一元二次方程()2211a x x a -++=的一个根为0，则a 的值为 . 13.若抛物线y=kx 2+x+1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 14.若方程x 2+4x+a=0无实根，化简16-8a+a 2= .15.已知 m 是方程x 2-5x-6=0 的一根则 10m-2m 2+5＝．16.已知xy<0,.17.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为 . 18.下列二次根式中不可以再化简．．．．．．的是（） A.xy 1.0 B.x 2+1 C.y 3D.3119.下列运算中，错误的是（） A.632=⨯B.2221=C.252322=+D.32)32(2-=-20.（）Ａ.6到7之间Ｂ.7到8之间Ｃ.8到9之间Ｄ.9到10之间21. 计算:(1) 34482714122--+(2) 1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°22.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足方程x 2+x-6=0.23.解下列方程：（1） (x－5)(x－6)＝6 （2） 2x2-x-3=0(用配方法)24.已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2k+1 x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.25.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.26.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？27.某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？28.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?29.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？课后作业:1～25题；课堂:讲评作业并训练26～29题.。

二次根式和一元二次方程

二次根式全章练习姓名一、认真填一填：1、当x 时，根式1-x 有意义。

2、在实数范围内，因式分解a 2 – 3 =3、化简：=8 ，=971， 4、如果化简后的二次根式 —7535321-+x x 与是同类二次根式，则x= 5、（1）()2π3-= ，（2）若a >b ，则 2)(a b - = 6、如果5-a +2-b = 0，那么以a ，b 为边长的等腰三角形的周长是7、计算：（20072007)154()415-⋅+=8、小明和小芳在解答题目：“先化简下式，再求值：a+221a a +-，其中a=9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式=a+2)1(a -=a+（1-a ）= 1；小芳的解答是：原式=a+2)1(a -=a+a+1=2a-1=2×9-1=17。

则的解答错误，错误的原因是。

二、精心选一选：9、下列各式属于最简二次根式的是（） A 、12+x B 、32y x C 、12 D 、5.010、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（） A 、122与 B 、183与 C 、182与 D 、93与 11、10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（）A 、1B 、2C 、3D 、412、把aa 1-根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（） A 、a B 、-a C 、-a - D 、a -三、耐心解一解：13、计算（1）375-12532272-+ （2）)21218(3+-⨯（3）xx x x 1246932-+ （4）（2)23()12)(12-+-+14、王师傅有一根长45米的钢材，他想将它锯断后焊成三个面积分别为2米2，18米2，32米2的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由。

15、已知y=41221+-+-x x（1）求x 、y 的值。

（2）计算xy y x 1624-+16、已知x=2+ 3 ,y=2－ 3 ， 17、已知x ＋1x =4,求x －1x的值。

九年级上学期第一次月考二次根式与一元二次方程.doc

学习好资料欢迎下载二次根式与一元二次方程练习题一、选择题1、下列式子一定是二次根式的是（）A．x 2 B．x C．x2 2 D ．x2 22、若3m 1 有意义，则m能取的最小整数值是（）A． m=0 B ． m=1 C．m=2 D ． m=33、关于x的一元二次方程x2＋kx－ 1=0 的根的情况是 ( )A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根 D 、没有实数根4、已知一元二次方程已知一元二次方程ax 2 bx c 0 ，若a b c 0 ，则该方程一定有一个根为（）A. 0B. 1C. -1D. 25、若 x<0，则xx2 的结果是（）xA． 0 B ．— 2 C．0或—2 D ． 26、如果x x 6 x( x 6) ，那么（）A． x≥0B ． x≥ 6 C ． 0≤x≤ 6 D ． x 为一切实数二、填空题7、某经济开发区1月份工业产值达 50亿元，3月份工业产值达72亿，设平均每月增长率为 x ，则可列方程为 __________________________ 。

8、已知一元二次方程x2 px 3 0 的一个根为 3 ，则 p _____ 。

9、如果a2 a 0 则a的范围是。

10、如图，ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于 O， P点在 AO上，且∠OPD=60°，则PO：AO等于。

11、比较大小： 2 3 13 。

12、实数在数轴上的位置如图示，化简|a-1|+ (a 2) 2 。

13、已知： 1 1 1 2 1 1 1 1, 当 n1时，第 n个表达式为3 2 ,43 , 34 ，当 n≥ 1 时，第 n 个表达3 45 5式为。

14、已知( x2 y2 1)(x 2 y 2 3) 5 ，则 x 2 y 2的值等于。

15、在等腰△ ABC 中，三边分别为 a 、b、 c ，其中a 5 ，若关于x的方程x2 b 2 x 6 b 0ABC 的周长为．有两个相等的实数根，则△三、解答题16、计算：（1）( 6 1)(24 22（ 2））(6x2x1) 3 x 2 3 4 x17、解方程：⑴ 3x2 7x 4 0 ⑵ x(2 x 3) 4x 6 ⑶ ( x 1)(x 3) 818 广安市某楼盘准备以每平方米6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售。

二次根式和一元二次方程复习题

二次根式和一元二次方程复习题一．选择题1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1 5．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．下列各式计算正确的是（）A．B．C．＝5D．＝7．下面计算正确的是（）A．+＝B．×＝C．＝﹣3D．﹣＝8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．10．要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是11．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 12．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14C．（x+6）2＝D．以上答案都不对13．用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3 14．已知最简二次根式与可以合并成一项，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝﹣1，b＝2 15．若y＝﹣3，则x+y＝（）A．1B．5C．﹣5D．﹣116．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根17．方程（x+1）（x﹣3）＝0的根是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝3 18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±219．已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（）A．3B．2C．0D．120．方程（x﹣2）（x+1）＝（x+1）的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x1＝3，x2＝﹣1D．x1＝﹣3，x2＝1 21．方程x2+6x﹣9＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根为﹣1D．没有实数根22．如果关于x的方程x2+k2﹣16＝0和x2﹣3k+12＝0有相同的实数根，那么k的值是（）A．﹣7B．﹣7或4C．7D．423．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定24．已知m、n是方程x2+5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+6m+n﹣2mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣5D．525．已知x、y为实数，且．则的值为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题26．计算的结果是．27．一元二次方程2x2＝5x的解是．28．分解因式：2a2﹣4a+2＝．29．关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2＝0有一个根为1，则m的值为．30．已知﹣＝﹣，＝，则a﹣b＝．31．计算：＝．32．若+|x﹣3|＝0，则x+y的平方根为．33．已知三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长是．34．计算：（）2010•（）2009＝．35．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx＝0是关于x的一元二次方程，求m＝．36．要使代数式有意义，则x应该满足的条件是．37．若最简二次根式与可以合并，则x的值为．38．关于x的方程2x2+kx﹣1＝0的一个根是﹣1，另一个根为．39．﹣（）2＝．40．已知﹣3是关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为．41．计算：＝．42．已知x2+6x＝﹣1可以配成（x+p）2＝q的形式，则q＝．43．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题44．（1）计算：（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝045．①计算：②解方程：9x2﹣6x+1＝046．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1 （2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣47．计算：（1）2+6﹣3（2）﹣（2+）2（2﹣）248．用适当的方法解方程（1）3x2﹣x﹣4＝0 （2）（x+3）2＝16（2﹣x）2 （3）x2+4x＝1249．解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．50．解方程．（1）2x（x﹣2）＝3x﹣6 （2）x2﹣2x＝2x+1 （3）3x2﹣x﹣4＝0．51．先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a＝+1．52．先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的正数根．53．已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．54．已知a＝，b＝，求的值．55．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值．56．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．57．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．58．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0．（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值．。

初三上期中复习资料--二次根式、一元二次方程范文

初三上数学期中复习专题练习-----二次根式1、（A ）了解二次根式的概念（0)a ≥），会确定二次根式有意义的条件典型题目：课本P2：例1； P3：练习3； P 5：复习巩固1； P22页：复习巩固1 练习：当a 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1 （2（3 （4（5（6（7（82、（B ）能根据二次根式的性质对代数式作简单变形二次根式的性质：2(a a a =≥=典型题目：课本P4：例2； P3：练习3； P 5：复习巩固2； 1.化简：（1（2（3）2（4）(2（5）(2（6（7）(2- （8（9（10）2.化简：（1（2（31)a ≥ （43)x ≥3.计算：（1-101()(3)3---+-π （2-201()(3.14)2---+-π4、（A ）会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程；理解各种解法的依据；理解配方法；（B ）能选择适当的方法解一元二次方程（解数字系数的方程；解字母系数的方程） 1.选择适当的方法解方程①2490x -= ②26160x x +-=③23x x = ④240x -=⑤(35)(21)127x x x --=-+ ⑥2(23)3(23)x x +=+⑦3(31)22x x x -=- ⑧(3)(1)5x x +-=⑨23(5)2(5)x x -=- ⑩(31)(2)20x x -+=初三上数学期中复习专题练习-----一元二次方程1、（A ）了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数1.下列方程是一元二次方程的是（）2A 2(5)0.x x -= 22B(1)60.x --=21203C.x x +-= 21D 220.x x+-= 2.一元二次方程2(4)56x x -+=化成一般式是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 2、（B ）能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围 1.若20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则不等式3a +12>0的解集是．2.要使方程2(3)(1)0a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A 0.a ≠B 3.a ≠C 31.a b ≠≠-且D 310.a ,b ,c ≠≠-≠3.当k 值时，关于x 的方程258(2)(3)30kk k x k x -+-+++=为一元二次方程.4.当a 为任意实数时，下列方程是一元二次方程的是（）22A 12531.ax x x +-=- 22B(1)0.a x ax a -++=22(+1)(1)C.a x a x ax a ++-= 22D (21)50.a x a x ---=5.已知关于x 的方程22(1)(1)310m x m x m -+++-=，当m 时，它是一元二次方程；当m 时，它是一元一次方程.3、（A ）了解一元二次方程根的意义；（B ）会由方程的根求方程中待定系数的值 1.已知x =1是一元二次方程2210x mx -+=的一个解，则m 的值是（）． A ． 1 B ． 0 C ． 0或1 D ．0或-12.已知关于x 的一元二次方程22(3)230x p x p +-+-=有一个根是2，求方程的另一根及 p 的值．3.若关于x 的方程a x 2+b x +c =0的一个根是１，则a +b +c 的值为 ;若a -b +c =0，则此方程必有一个根 . 有4a -2b +c =0,你能确定方程的一个根吗？4.已知关于x 的方程x 2+m x +n =0 ① 与（x +4）2-52=3x ②有公共根，其中方程①的一个根是2，另一个根是正数，求m 、n 的值.5.已知m 是方程2250x x +-=的一个根：①求22m m +的值； ②求32259m m m +--的值；③求21035m m +--的值．6.解下列关于x 的方程①22220x ax a b ++-= ②221(21)04x k x k k --+-+=③2220(0)kx x k k ++-=≠ ④2221(1)0(1)x x k x k -+--=≠⑤2(1)(1)20m x m x --++=5、（B ）会用一元二次方程根的判别式判断根的情况; （C ）能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围● 根据判别式，判断根的情况 1.不解方程，判断下列方程根的情况①22310x x -+= ②2102x ++= ③2510x x --= 2.方程220x ax a +-+=的根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．不能确定 3.已知m <14-,判断方程22(23)20x m x m ++++=的根的情况.●根据根的情况，定判别式的符号，求字母的范围1.关于的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．2.关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.3.已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=①当m 取什么值时，原方程没有实根？②对m 选取一个合适的非0整数，使原方程有两个实根，并求出这两个实根．●证明根的情况1.求证:无论P 取何值时,方程(x -3)(x -2)-p 2=0总有两个不等实根.2. 求证：无论m 为何值，关于x 的一元二次方程22240x mx m ---= 总有两个不相等的实根．3.已知关于 x 的方程 3x 2– 2x + m = 0 的一个根是－1，求证：关于 x 的方程 k x 2+ ( k + m )x + m + 4 = 0 有实根.●综合题1.关于x 的方程222(1)+1=0k x k x -+ 有两个实数根.⑴ 求k 的取值范围； ⑵ 请你从第⑴ 题得到的 k 的取值范围中选择一个你喜欢的实数，写出这个方程，并求出两根； ⑶你能否选择一个实数k ，使这个方程的两根均为有理数.2．已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=．（1）若原方程有实数根，求k 的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ．①当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；②利用图象，估算关于k 的方程1210x x k ++-=3．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程213x x -=-的解看成函数21y x =-的图象与函数3y x =-的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数1y x =在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程210x x --=的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）6、（C ）会运用一元二次方程解决简单的实际问题1.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.2.围绕长方形公园的栅栏长280m ，已知该公园的面积为4800m 2.求这个公园的长与宽.3.如图，用长为18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m 2,应该怎么设计?4.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,求平均每月增长率.5.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x ,则可列方程为 6．参加一次聚会的每两人之间都互赠一张贺卡,所有人共赠贺卡30次,有多少人参加聚会?参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?(1)(2)。

(word完整版)初二数学二次根式和一元二次方程综合培优

初二数学二次根式和一元二次方程综合培优一、选择题1.已知关于x 的方程kx 2+ （1-k ） x-1=0，下列说法正确的是（）A •当k=0时，方程无解B •当k=1时，方程有一个实数解C •当k=-1时，方程有两个相等的实数解D •当k ^0时，方程总有两个不相等的实数解 2.若关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（）A •k >-1 B • k v 1 且 k z 0 C k =1 且 k ^ 0 D. k >-1 且 k 工0C 0 或-2D 2x 2- 2x - 5=0时，原方程应变形为()(x+2) 2=9 C (x - 1) 2=6 D (x - 2) 2=96・（蕲春县校级期末）若：，- —I .—:—” —，则（）A x 绐B x^0C 0纟詬D x 为一切实数 7・（长沙）小明的作业本上有以下四题: ① V16a 4=4a 2④：，l ・做错的题是（）3 •（凤冈县校级模拟）若- 1有意义，则m 能取的最小整数值是（A m=0B m=1C m=2D m=34 •（宝兴县校级期末）若 x v 0,5 •（兰州）用配方法解方程 A （x+1） 2=6 B③② …丨！ •」9. （修水县校级期末）若最简二次根式 |「 1..是同类二次根式，则x 的值为（）_ 1'的结果为（)1.C ^/33030& （蕲春县校级期末）化简A —1 B• ~3Q.A X =2B4C X =1DX = - 110.（宁夏）- 兀二次方程 X ( X - 2) =2 -X 的根是（)A - 1B 2C 1和2 D-1和2、填空题 1.（安陆市期中）若■'= -3，贝U x 的取值范围是2. （宜兴市校级期中）化简:3. （东台市二模）已知 £"1=01，则（X +1 ） 2 - 4 （ X +1 ） +4= ___________ .4. ______________________________________________________________________ （香河县期末）已知（x 2+y 2+1）（ x 2+y 2-3） =5，则x 2+y 2的值等于 ________________________5. （宜兴市校级期中）计算： Q3-2）如叭（V§+2）2008 = --------------------------------------26. （上海）如果关于 X 的方程X 2- 2x+m=0 （ m 为常数）有实数根，那么 m 的最大值为7. ____________________________________________________________________ （奉贤区期中）若 x v 2,化简：.:-i -+|3-X |的正确结果是 ______________________________________ . & （宜兴市校级期中）若：一的整数部分和小数部分分别是 a 与b ,则a+b= _____________9.（蓬溪县校级模拟）观察下列各式：：」|，,11.（鞍山）如图，设 M 、N 分别是直角梯形 ABCD 两腰AD 、CB 的中点，DE 上AB 于点M 与N 恰好重合，则AE : BE 等于（12.（临淄区期末）如图， △ ABP 与厶CDP 是两个全等的等边三角形，且四个结论：PA 丄PD .有下列(1) Z PBC=15 ° (2) AD // BC ; ( 3)直线 PC 与 AB 垂直; 形. （4）四边形ABCD 是轴对称图其中正确结论个数是（）丘，将厶ADE 沿DE 翻折,_1 -V5 Vs r寸5? _ ［二■'伍X折■…将你猜想到的规律用一个式子来表示：.10. （宁城县期末）已知a, b，c为三角形的三边，贝ye-d 叫（^+口一耳）$ = --------------------------- .d （s+b —c）词11. （南平）矩形ABCD中，AB= 廟将角D与角C分别沿过A和B的直线AE、BF向内折叠，使点D、C重合于点G, / EGF=/AGB，贝U AD= ______________ .12. ____________________ （丹徒区期中）已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm , BD=12cm , BE丄CD于点E, 则BE的长为.1. （建湖县校级月考）用指定方法解方程：2（1）x +4x - 2=0 （配方法）（2）x2+3x+仁0 （公式法）（3） 4 （x+1）2=9 （2x - 5）2（直接开平方法）2. （宜兴市校级期中）化简.（1）= +6a. I：-3*（2）（^^+2荐-启）;(3) .二…?(― 4[ ) £：：•'.;3. （蓬溪县校级模拟）已知：实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简: J （时1 ）' + 吋（b- 1 ）星-|a- b|.4.（宜兴市校级期中）化简计算:5.（上海）关于 x 的一元二次方程 mx 2-（ 3m - 1） x+2m -仁0,其根的判别式的值为 1, 求m 的值及该方程的解6.（睢宁县校级期中）因为- 一, : -1；,结果是有理的，则称：与互为有理化因式•在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号.仿照上例，请计算： ^V2+1 \T3^J2 V4+V3 V100+V997. （镇江校级期中）如图，在厶ABC 和厶ADE 中，点E 在BC 边上，/ BAC= / DAE ，/ B= / D ,AB=AD . （1）求证：△ ABC ◎△ ADE ;（2）如果/ AEC=75 °将厶ADE 绕着点A 旋转一个锐角后与 △ ABC 重合，求这个旋转角的大小.& （义乌市）商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件.设每件商品降价 x 元.据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 ____________ 件，每件商品盈利 ______________ 元（用含x 的代数式表示）；例:（V2-1）（V2+1） =2^+2（1）已知: x 值，代入化简后的式子求值.2100 (2 )在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？9.(泉州校级质检)如图，在△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC=6cm，正方形DEFG的边长为2cm,其一边EF在BC所在的直线L上，开始时点F与点C重合，让正方形DEFG沿直线L向右以每秒1cm 的速度作匀速运动，最后点E与点B重合.(1)请直接写出该正方形运动6秒时与△ ABC重叠部分面积的大小；(2)设运动时间为x(秒)，运动过程中正方形DEFG与厶ABC重叠部分的面积为y( cm2).在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式；。

二次根式和一元二次方程测试题(附完整答案及解析)

二次根式和一元二次方程测试题一．选择题(36分)1。

下列式子中二次根式的个数有（）⑴31；⑵3-；⑶12+-x ;⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ;⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2。

当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是（）A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－23.下列二次根式：2xy ，8，a b 2，35x y ，x y +，12，其中最简二次根式共有（） A. 2个 B 。

3个 C. 4个 D. 5个4.化简二次根式a a a -+12的结果是（） A. --a 1 B 。

---a 1C. a -1 D 。

--a 1 5. 式子错误!＋错误!有意义的条件是（ )A. x ≥0B. x ≤0且x ≠－2 C 。

x ≠－2 D. x ≤06。

计算abab b a 1⋅÷等于（） A ．ab ab 21B ．ab ab 1C ．ab b1 D ．ab b 7.下列方程中，一元二次方程是（）（A ）221xx +（B ）bx ax +2(C ）()()121=+-x x （D ）052322=--y xy x 8.已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（） (A ）21- (B ）2 （C ）21 (D ）－2 9.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（）（A ） k ＜1 (B ）k ≠0 (C ）k ＜1且k ≠0 （D) k ＞110某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x,则所列方程应为（ )A ．100（1+x)2=800B 。

100+100×2x=800C ．100+100×3x=800 D.100［1+(1+x)+（1+x)2]=80011。

八下二次根式、一元二次方程、勾股定理复习讲义

数学学科辅导讲义教学内容勾股定理·一元二次方程·二次根式（复习）教学过程知识详解【二次根式·知识梳理】1、二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式；（1）对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数（2）是非负数，即大于等于0.【易错点】（1）二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义；9=3，但3不是二次根式，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”（3）是二次根式，虽然4.二次根式的运算（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b>0）二次根式加减时，可以先将二次根式化成__最简二次根式___，再将___被开方数相同__的二次根式进行合并。

【一元二次方程·知识梳理】一、一元二次方程的解法二、一元二次方程根的判别式 1.根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况由24b ac -来决定。

我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。

通常用“∆”来表示，即∆=24b ac -。

2.根的判别：一般地，方程20(0)ax bx c a ++=≠，当∆＞0时，有两个不相等的实数根；a ac b b x aacb b x 24,242221---=-+-=当∆＝0时，有两个相等的实数根；;221a bx x -==当∆＜0时，没有实数根.三、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax ²+bx+c=0（a 、b 、c 是常数且a≠0）的两根为x1、x2，(b ²-4ac ≥0 ) 则有“韦达定理”：a bx x -=+21 (两根之和）a c x x =⋅21(两根之积）典例：.设a ，b 是方程x 2+2x-2018=0的两个实数根,则a 2+a-b 的值为 ( )A.2017B.2018C.2019D.2020四、一元二次方程的应用列方程解应用题的基本步骤:1、审：弄清题意，找出题中的等量关系;2、设：用字母表示题中的所求量;3、列：根据等量关系列出方程;4、解：解出方程，并根本实际意义进行检验;5、答：回答题中所问;①增长率问题②面积问题③分式方程④销售问题【勾股定理·知识梳理】一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱B点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A、B 两点即可典型例题二次根式题型一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：（1）（2）（3）（4）题型二二次根式的非负性的应用例1 已知m，n为实数，且满足,求6m-3n的值题型三二次根式性质的应用例1 把根号外面的因式移入根号内， = ( )A． B.C． D.例2，a的取值范围是( )A．a≤2 B. a≥2C．a≠2 D. a＜2题型四二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式：题型五二次根式的运算（1）（2）（3）一元二次方程增长率问题1.某厂四月份生产零件100万个,第二季度共生产零件282万个.设月平均增长率为x,那么x满足的方程是()A.100(1+x)2=282B.100+100(1+x)+100(1+x)2=282C.100(1+2x)=282D.100+100(1+x)+100(1+2x)=2822、小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期后共取得5145元.设这种储蓄的年利率为x，则能列出方程____________________.面积问题例1.有一块面积为150米2的长方形场鸡场的一边靠墙（墙长18米），另一边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35米,鸡场的长与宽各是多少？变式、有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形鸡场，设鸡场的宽AB为x厘米，面积为S平方米。

八年级下册二次根式和一元二次方程总复习1

例8、请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程．例9、直角三角形的两条边长恰好是方程x 2-7x +12=0的两根，则斜边长为．例10、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.例11、已知a 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根，则a 4﹣3a ﹣2的值为．例12.若关于x 的方程227(21)04x k x k +-+-=有两个相等的实数根，求k 的取值范围例13.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.例14、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（）A. 1B. 2C. 3D.例15、已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。

例16、已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.课堂检测B ：1、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（）（A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定2、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.3、用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( )（A ） 22()24p p x += （B ） 224()24p p q x -+= （C ） 224()24p p q x +-= （D ） 224()24p q p x --= 4、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A.1m >-B.2m <-C. m ≥0D.0m <5、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.6、关于x 的方程2(3)320m x x ---=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ .7.已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；8、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是。

完整版二次根式及一元二次方程专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1）．估算的值（544 D23 C3A12 B之间和之间之间和．在．在．在．在和和之间x2）+有意义，则应满足（．要使3x3BxAx33x CxD≤＜≤≤．．≤＜且．≠＜．203xabxa=0a）≠）．已知方程，则下列代数式的值恒为常数的是++（有一个根是﹣（bab DB Caab A﹣．．．+．2=0bbxa2cx4abca的根的情况是））+，+，+分别是三角形的三边，则方程（（+．已知）（B A．可能有且只有一个实数根．没有实数根D C．有两个不相等的实数根．有两个相等的实数根12%201552016GDP，由于受到国际金融危．武汉市）比年国内生产总值（年增长了x%7%GDPx%2016满足，若这两年，则年增长年平均增长率为机的影响，预计今年比）的关系是（x%1=2A12%7%=x% B112%17%））++）（．（+．（+2x%7%=2?x% D17%=112%1C12%））+．（+++）（．（6）．下列各式计算正确的是（A．1aB）＜．（C．D．2a74x1=0a5xx））满足（﹣．关于﹣的方程（﹣有实数根，则5a5Daa511AaBaaC1≠．且．．≥≥．＞≠且≠22ba2a2016=0xba8x）++的值为（．设，是方程 +﹣的两个实数根，则20162017 B2014A2015 DC．．．．页）18页（共1第3x1=x9x3）+ ）．方程（﹣）（﹣的解是（x=0x=31 Ax=0 Bx=3 Cx=3x=D或﹣．．．．或218=010x9x）的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（﹣+ ．方程DA12 B1215 C15 ．不能确定或．．．2c=0ab011axbxc=0a，那么我们称这个方程．定义：如果一元二次方程++≠+）满足（+2”“axbxc=0a0“”方程，且有两个相等的实数根，则下≠++方程．已知凤凰（为）是凤凰）列结论正确的是（a=b=ca=b Cb=c DAa=cB．．．．DOABOAy=12k0，且与直角斜边（）经过直角三角形＜的中点．如图，已知双曲线AOCAABC64）的面积为（，边相交于点．若点），则△的坐标为（﹣4CB9 6 D12 A．．．．二、填空题=13．．化简14．的结果是．计算=15．计算： +．22x1=0axa16的取值范围是 + +．如果方程．有两个不等实根，则实数222x3xx3x2=0x17xxx的值为﹣﹣+的两个实数根，则．设，+是一元二次方程．212211222n2mnmxn=0x=118xm的值为+ 的一个根，则．已知+是一元二次方程++．191的一元二次方程：．请你写出一个有一根为．（答案不唯一）222=7xxmx2m1=0xx20xx，+﹣，且﹣的两个实数根分别是+、．关于的一元二次方程22112xx的值是）则（．﹣2122kmkx3mmk=21x2x +的形式，其中+，为常数，则．．若把代数式﹣﹣化为（﹣）22．将根号外面的因式移进根号后等于．第2页（共18页）E23OABCBADEF的图象上．都在函数和正方形．若正方形的顶点的顶点若EOABC1k．的面积为，则正方形；点的值为的坐标为三、解答题24．计算：．21=3x2x25．+．用配方法解方程：23=04k2k1xx26 x．﹣（﹣的一元二次方程++．已知关于）k1取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（）求证：无论cbRtABCa=2恰好是这个方程的两个根时，△，且两条直角边）当的斜边长和（ABC 的周长．求△2m=027x2x．．已知一元二次方程﹣+m1的范围；）若方程有两个实数根，求（m=3x2xx3x的值．）若方程的两个实数根为，+，且，求（211222xxmxmx28x=21，﹣的两实数根为﹣．已知关于的一元二次方程）（21m1的取值范围；）求（myx2y=x的值，并求出最小值．取得最小值时，求相应+（）设，当21第3页（共18页）《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1）．估算的值（54 D3 C342A1 B2之间之间和之间．在．在．在和和之间．在和【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．363125，从而判断前后的两个完全平方数【分析】首先利用平方根的定义估算和的范围即可．的范围，再估算65＜＜【解答】解：∵43＜∴＜C．故选的【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算整数部分和小数部分．x2）+．要使有意义，则应满足（3xB3x3xD3xAx C≤＜＜．≤且≠．．≤．≤＜【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．00列式计算即可得解．【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于，【解答】解：由题意得，3x，≤解不等式①得，x，＞解不等式②的，3x．所以，≤＜D．故选：0；二次根式的被开方数是非负【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为数．页（共第418页）2bxa=0a3xa0），则下列代数式的值恒为常数的是（+ 有一个根是﹣（．已知方程）≠+bDa Cab Aab B﹣+．．．．【考点】一元二次方程的解．ax=代入方程，即可求解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把﹣20aabxa=0x），+（+≠有一个根是﹣【解答】解：∵方程2a=0aab，∴（﹣））++（﹣0a，又∵≠1=0baa，∴等式的两边同除以﹣，得+1b=a．﹣故﹣D．故本题选【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．2=0b2cxabxab4ac的根的情况是++）分别是三角形的三边，则方程（（）．已知+，，+）（BA ．可能有且只有一个实数根．没有实数根DC ．有两个不相等的实数根．有两个相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．所以利用根的判别式可以判断其根的情况．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，cab的式子的符号．，，能够根据三角形的三边关系，得到关于2222bcab=4ac=2c4ab=4cba），]﹣【解答】解：∵△（（）﹣）（+）（）+[+﹣（﹣+ 0c0abbca．，+＜+根据三角形三边关系，得﹣＞﹣0．∴△＜∴该方程没有实数根．A．故选【点评】本题是方程与几何的综合题．22c）主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（bbaa4）进行因式分解．）（++﹣（第5页（共18页）52016GDP201512%，由于受到国际金融危年国内生产总值（年增长了．武汉市）比20167%GDPx%x%满足年平均增长率为机的影响，预计今年比，则年增长，若这两年的关系是（）A12%7%=x% B112%17%=21x%））（（．++．（++）2x%17%= D112%1C12%7%=2?x%））．（++++）（．（【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．=1+增长率），然后用平均增增长前的量×（【分析】增长率问题，一般用增长后的量x%满足的长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即关系式．2015y，年的国内生产总值为【解答】解：若设2010年和今年的国内生产总值分别为：则根据实际增长率和平均增长率分别得到2016y1x%y112%），年国内生产总值：）或（++（1x%=112%，++所以2y112%17%y1x%），（今年的国内生产总值：）（（+++）或2=112%x%117%）．所以（++）+）（（D．故选【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．1aB）（．＜C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；【分析】B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；第6页（共18页）C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．A，本答案错误；【解答】解：≠、1aB），本答案正确；（＜、C，本答案错误；、2=4D=，本答案错误．、≠B．故选【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．2a4x57xax1=0）﹣有实数根，则的方程（﹣）满足（．关于﹣5Aa1Ba5 Daa1a5C1a≠且且≠．≥．．＞≥．≠【考点】根的判别式．【专题】判别式法．2a1=0xa5x14x﹣有实数根，那么分两种情况：（﹣【分析】由于﹣的方程（）当﹣）055=02a时，方程成为一元二次方程，利用判别式﹣时，方程一定有实数根；（）当≠a的取值范围．即可求出【解答】解：分类讨论：1=0a5=0a=54x，此时方程一定有实数根；即﹣①当时，方程变为﹣﹣50aa5时，②当即﹣≠≠21=0x4xax5有实数根﹣）∵关于﹣的方程（﹣05a164，）≥∴﹣+（1a．≥∴1aa．∴的取值范围为≥A．故选：224acc=0axbxa0=b：当△（≠）的根的判别式△【点评】本题考查了一元二次方程﹣++00=0，方程，方程有两个相等的实数根；当△＜＞，方程有两个不相等的实数根；当△没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．第7页（共18页）222aabbxx2016=08a的值为（ ++﹣的两个实数根，则．设+，）是方程A2014B2017C2015D2016．．．．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．222abaaaa2ab=a）的值，+【分析】由于），故根据方程的解的意义，求得（）+++（（++ab）的值，即可求解．+由根与系数的关系得到（2x2016=0ax的根，+【解答】解：∵是方程﹣2a=2016a；∴+ab=1，+﹣由根与系数的关系得：22aab=2016aa2ab=1=2015．++（+（）++﹣∴）C．故选：【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9x3x1=x3的解是（）．方程（﹣﹣）（+）Ax=0 Bx=3 Cx=3x=1 Dx=3x=0或．．﹣或．．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．x3），提公因式，降次即可求【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（﹣得．x3x1=x3﹣﹣））（+【解答】解：∵（x3x1x3=0）+﹣∴（﹣）﹣（）（x3x11=0）+∴（﹣﹣）（x=0x=3．，∴21D．故选x3当作一个整体，直接提公因式较简﹣【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．29x18=010x的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）．方程﹣+第8页（共18页）A12 B1215 C15 D．不能确定．．．或【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．29x18=0xx=6x=3，+﹣，得【解答】解：解方程216333=6，不符合三角形三边关系，腰为+时，由于∵当底为63，底为∴等腰三角形的腰为663=15+∴周长为+C．故选【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．2bxc=0a0ab11axc=0，那么我们称这个方程+）满足（．定义：如果一元二次方程+≠++2bxc=0a0““”ax”方程，且有两个相等的实数根，则下+为）是凤凰（方程．已知凤凰≠+列结论正确的是（）Aa=c Ba=b Cb=c Da=b=c．．．．【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．24ac=0abc=0=b，﹣+，又【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△+224ac=0ac4ac=0acbb=ac的关系．﹣﹣得（﹣与即﹣﹣，化简即可得到﹣），代入2bxc=0aax0）有两个相等的实数根，【解答】解：∵一元二次方程+≠+（24ac=0=b，∴△﹣abc=0b=ac，+﹣+﹣，即又224ac=0c4ac=0ba，得（﹣）代入﹣﹣﹣222222=0c=2acc4ac=aa2accac4ac=a，+（﹣）即（+﹣）﹣+﹣+a=c．∴A故选【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：10?方程有两个不相等的实数根；）△＞（2=0?方程有两个相等的实数根；（）△第9页（共18页）03方程没有实数根．）△＜?（D0OABOA12y=k，且与直角）经过直角三角形的中点＜．如图，已知双曲线斜边（AOC64ABCA），边），则△相交于点．若点的面积为（的坐标为（﹣4D12 B9 C6 A．．．．k的几何意义．【考点】反比例函数系数【专题】压轴题．4=AOBBOCA6AOC），△的坐标为（﹣【分析】△的面积﹣△的面积的面积，由点，kAOB=12的几何意的面积根据三角形的面积公式，可知△，由反比例函数的比例系数kOAD=BOCk值即可．的中点．只需根据|的坐标，求出|义，可知△的面积46DOAA），的坐标为（﹣的中点是，点，【解答】解：∵23D），（﹣∴，Dy=，∵双曲线经过点62=k=3，×∴﹣﹣=3=kBOC．|的面积|∴△4=12AOB=6，又∵△×的面积×3=9=12=AOCAOBBOC．∴△的面积的面积△﹣的面积﹣△B．故选k与其图象上的本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数【点评】S的关系，即点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积kS=．||二、填空题0=13．．化简页）18页（共10第【考点】二次根式有意义的条件．1=010x1x0x，从而得出结果．≥﹣≥，，得出【分析】由﹣﹣0x11x0，﹣﹣，≥≥【解答】解：∵1=0x，﹣∴=0．∴0a【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（）叫二次根式．性质：二次根式≥中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．414．的结果是．计算【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．==4．【解答】解：4．故答案为：【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．3=15． +．计算：【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．=2=3．【解答】解：原式+【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．22x1=0aa1a016ax≠的取值范围是＜．且．如果方程++有两个不等实根，则实数【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：第11页（共18页）1）二次项系数不为零；（20=b4ac2．＞）在有不相等的实数根下必须满足△（﹣，【解答】解：根据题意列出不等式组0aa1．解之得＜≠且0aa1．＜故答案为：≠且【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．2227xx3xx17xxx3x2=0． +则，是一元二次方程的值为+﹣﹣．设的两个实数根，221112【考点】根与系数的关系．22=xx3xxxxxxxx）【分析】根据根与系数的关系，可求出（++以及+的值，然后根据+22122111122xx进一步代值求解．+21xx=3xx=2；﹣+，【解答】解：由题意，得：21122xx=92=7=xx．+原式）（﹣+21217．故答案为：【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．22212mnmxn=0mx=118xn ++的一个根，则．．已知是一元二次方程+的值为+【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．222n1=0m2mnx=1xn=0mxmn+代入一元二次方程，然后把++【分析】首先把+中得到++利用完全平方公式分解因式即可求出结果．2mxn=0x=1x的一个根，是一元二次方程【解答】解：∵++mn1=0，+∴+mn=1，∴﹣+2222=11=m2mnnm=n．+）+）（﹣∴（+1．故答案为：【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．2=1119x的一元二次方程：．（答案不唯一）．请你写出一个有一根为第12页（共18页）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．22=1xx=1x=1等．得方程式【解答】解：根据题意．故本题答案不唯一，如【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因y1y2=0，后化为一般式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（+﹣））（2y2=0y．+形式为﹣222=7xxmx2m1=0xx20xx，+、﹣+﹣的两个实数根分别是．关于，且的一元二次方程2112213xx．﹣的值是）则（21【考点】根与系数的关系；根的判别式．22xxxxxx的值求出【分析】首先根据根与系数的关系，得出的值，然后根据++和211122mm的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．（需注意xx=mxx=2m1；【解答】解：由题意，得：﹣+，21212222xxx=xxx，）则：（+++ 2121212=722mm1），即+﹣（m=1m=5；解得，﹣242m1=254m=5=m90，不合题意；﹣当×时，△）＜﹣﹣（m=1xx=1xx=3；故，﹣﹣，﹣+2121224xx=112=13=xxxx．﹣（）﹣）++∴（221211【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本mm是否符合题意，以值后，一定要用根的判别式来判断所求的题需注意的是在求出免造成多解、错解．222x3xmmmk21kxk=3．，﹣则﹣+化为（﹣﹣）+的形式，．为常数，若把代数式其中【考点】完全平方公式．【专题】配方法．2224x12x14=x2x3=x，﹣﹣+﹣【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求﹣﹣（﹣）m=1k=4mk=3．．﹣+，则可知﹣2224x4=13=xx2x12x，﹣）【解答】解：∵﹣﹣﹣﹣+﹣（第13页（共18页）4m=1k=，∴﹣，3mk=．∴﹣+3．故答案为：﹣【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公222b=a2abab．±±+式：（）22．根号外面的因式移进根号后等于．将【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．a0a转化为，【分析】先根据二次根式定义得到，＜然后根据二次根式的性质把﹣再利用乘法公式运算即可．0，≥【解答】解：∵﹣0a，∴＜=?==a．﹣∴原式﹣﹣（﹣）．故答案为﹣=aa0 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（≥|）为二次根式；；|=?a0b0）等．，（≥≥23OABCBADEFE都在函数的图象上．的顶点若和正方形．若正方形的顶点E1OABC1k﹣）．；点的坐标为（+正方形的面积为，，则的值为k的几何意义．【考点】反比例函数系数1OABCAEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，【分析】（和正方形）根据正方形OABC1B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；且正方形的边长为，得出2DaOABCE点坐标，点在反比例函数图象上，用和正方形的边长表示出来（）由于第14页（共18页）Day=x0点坐标．（＞的值，即可得出）求得代入AEDFOABC各有一个顶点在一反比例函数图象上，且和正方形【解答】解：∵正方形1OABC．的边长为正方形11B），∴，点坐标为：（y=；设反比例函数的解析式为xy=k=1，∴aaADEFaE1），的边长为，，则设正方形+（0aaay=x01=1，）代入反比例函数，又（+＞）得：＞（a=．解得：﹣E的坐标为：（ +，﹣）．∴点考查了数形结合的思想，【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，xy=k得出是解题关键．利用三、解答题24．．计算：【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．22=34+﹣【解答】原式+﹣2=522﹣﹣+=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．21=3x2x25．+．用配方法解方程：【考点】解一元二次方程﹣配方法．第15页（共18页）【专题】计算题．1，首先把方程的二次项系数变成然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，【分析】则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．23x=2x1，﹣﹣【解答】解：移项，得1，二次项系数化为，得，配方，，由此可得=1x．∴，1【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即20bxaxc=0a）的形式，然后再配方求解．（+≠+23=04k1x26 xx2k．）的一元二次方程﹣﹣（．已知+关于+k1取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；）求证：无论（cb2RtABCa=恰好是这个方程的两个根时，和△的斜边长（，且两条直角边）当ABC的周长．求△【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．k10取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数【分析】（即可证明无论）根据△＞根；ccb2b即可得出答案．（的方程，解出）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于，，23=01xx1x4k2k，+的一元二次方程）﹣（﹣【解答】解：（+）关于22013=4=4k12k431=2k44k恒成立，﹣＞）（++）﹣（﹣+△k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；故无论222=31b2c=a①（）根据勾股定理得：+cb恰好是这个方程的两个根，因为两条直角边和第16页（共18页）bc=2k1bc=4k3③，+②，+则﹣222=312bc=bbcc，因为（++﹣）224k32k1=31，即（（+））﹣﹣22kk6=018k64k31=04k，﹣﹣+整理得：，即﹣+﹣+k=3k=2，，解得：﹣21k3kbc=4k0bc=2k10，＞﹣∵．+﹣+即＞＞即＞2k=（舍去），∴﹣21=7bc=2k，则++a=，又因为c=ABC7=ab+的周长+则△．+【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙10），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．运用△＞恒成立证明（2m=02x27x．．已知一元二次方程﹣+m1的范围；（）若方程有两个实数根，求m=3x3x2xx的值．+）若方程的两个实数根为，求，（，且2112【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．2m01xm=02x的有两个实数根，△≥【分析】（﹣）一元二次方程+，把系数代入可求范围；mx3x=3xx=22xx．+、）利用两根关系，已知，先求+，再求结合（2112212m=0x2x1有两个实数根，﹣+【解答】解：（）∵方程202=4m，≥）﹣∴△（﹣1m；解得≤=m?x=2x2xx，（）由两根关系可知，+，2121，解方程组第17页（共18页），解得=?xm=x．∴21【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．22xxm28xxx=21m，．已知关于﹣的一元二次方程﹣的两实数根为）（21m1的取值范围；（）求my=xxy2的值，并求出最小值．+取得最小值时，求相应）设，当（21【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．2m4ac01=b，建立关于）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△﹣【分析】（≥m的取值范围；的不等式，可求出mxy2x的函数关系式，根的表达式，进而可得出+（、）根据根与系数的关系可得出21m1y值．）题得出的自变量的取值范围，即可求出据函数的性质及（的最小值及对应的22=0m1xx1m2；﹣++）【解答】解：（）将原方程整理为（∵原方程有两个实数根，22m42m104m=8m=；（﹣≥）]∴△[≤﹣+，得﹣2222=0xm=21mxmxm21xx2x的两根，（﹣（）﹣）﹣（）∵，为一元二次方程，即++21mxy=x=2m2；∴≤+，且﹣+211m=ym．因而时，取得最小值随的增大而减小，故当【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性2）题的关键．质是解答（第18页（共18页）。

二次根式、一元二次方程

二次根式一、选择题2.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和53.实数a化简后为A ． 7B ．－7C ． 2a －15D ．无法确定第2题图4. 4的算术平方根是（）A. 2B. －2C. ±2D. 16 5.若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为（） A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－76.(-2)2的算术平方根是（）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 7.下列运算正确的是（） A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·32=68.在实数0、、2-中，最小的是（） A ．2- B ． C．0 D9.12a =-，则（）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1210．下列各式中，正确的是（）A ． 3=-B ．3=- C 3=± D 3=± 11.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（） A.9 B.±3 C.3 D. 5 12.计算75147-＋27之值为（A ．53B ．33C ．311D ． 91113. 计算631254129⨯÷之值为（ A ．123 B ．63 C ．33 D ．433 14. 8的立方根是（） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．415.下列各式计算正确的是=．2===16.下面计算正确的是（）A 3=3= 35= D.2=-18.根式3-x 中x 的取值范围是（） A ．x≥3 B ．x≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞320． A ．3B ．－3C ．±3D ．21.A. ±C. ±3D. 322.计算221－631＋8的结果是（A ．32－23B ．5－2C ．5－3D ．22 23.下列二次根式中，最简二次根式是（．24.已知y =2xy 的值为（）A ．15-B ．15C ．152-D ． 15226.下列计算正确的是（）==4÷=27.有意义,则x 的取值范围为( ) A.x ≥12 B. x ≤12 C.x ≥12- D.x ≤12- 二、填空题1.已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <<，则a b +=．2.计算：28-=6.计算的结果是． 7.（满分6分）先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.10．_____________．11.若m =，则54322011m m m --的值是．263(5)36m n m -+-=-m n -= ．13.若1x 2-有意义，则x 的取值范围是． 14.计算1)(2=__________．16.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += 。