数列中体现的数学思想
高考数列题中涉及的数学思想方法归类与分析
维普资讯
≤
× １
，
故须明 只 证
．
得 ＝ （ ＿） （一Ｉ 是 ｎｑ 量 ，一ｑ ＿） 于 ２ Ｉ Ｔ ２差ｓ 一ｑ ｑ
—
≤ 即证 ＡＩ Ａ Ｉ ２对 ｎ ３成 立 １ ＋ ≥ ｂ ≥
，
由 于 Ａ—
ｓ Ｓ（。 一号ｑ ） Ｓ（＋ （ ２． ｑ 一１＝ ，ｑ ÷） － ） ｑ
得ｏ ，Ⅱ ＜ ‘ ＜ （ ） ，赢 ，
・
（
一）１ 得≥ ． ｎ ， ｎ号 ≤解
现 明 ＿时 ｌｌ 对 一，…都 证 当 ≥吾 ， ＿ ≤ １ ，， ６ ２
成 立． ） （１ 当 一 １ 结 论 成 立 （ 时 已验 证 ） （Ｉ） 设 当 ． Ｉ假
．
．
。 ｋ 一＿ ｛ 一 一 一 １ 结 成 ， ≤ ，么 ＋一 ＜＋ ｌ ＿ ＋ ≥） 论 立即 古那 ｌ ａ＜ ＿ 差 ｉ ・ （ 时 ｌ ｌ
当一÷ ＜ｑ 且 ｑ 时， —Ｓ＜ｏ 即 ＜ｓ． ＜２ ≠ｏ ， 当ｑ 一一÷或 ｑ 时， —Ｓ一０即 —Ｓ． 一２ ，
【 评析 】 涉 及 到 等 比数 列 前 项 的求 和 ， 要 讨 常 论 公 比 ｑ的各 种 情 况 ； 比较 两个 数 大 小 时 ， 在作 差 在 常 以后 因式 分 解 ， 论 各个 因式 的符 号 以达 到 求 解 目的． 讨
不 等 式
ｎ南 ． ＋ ． 一 Ａ ｛一 去 一 ｎ ＋ 一 ＞ 时， （， ， ＜ ＜ 立； （） ｏ ｏ亏） ∈ 所以
即 ＋ 一 一
对 一 １２ … ， 成 立 ． ，， 都
ｏｎ ， 寺 专， ２ 不 式 成 ・ ＜ （） ＜ 故 一 时 等 也 立 ｚ 口≤ 一
ｎ ＜ ＿ 成 立 ．
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想由于一般的项公式、第一个n项和序列的公式都是关于n的函数的，所以可以从函数的角度，利用函数的思想来解决一些序列问题，相关的问题有：序列的单调性、求基本量、最大值、，利用序列对应函数的特征和序列对应函数的性质可以解决上述问题2.方程思想在等差和等比的顺序中有五个基本量。
利用方程的思想，我们可以“知三求二”，当一些量已知时，其他量可以通过一系列方程或方程来求解。
此外，本章中常用的待定系数法实际上是方程思想的体现3.转化与化归思想本章中变换思想的应用主要体现在将非特殊序列问题转化为特殊序列问题求解上。
例如，递归序列的通项公式可以通过构造转化为特殊序列的通项公式，而非特殊序列的求和问题可以转化为特殊序列的求和问题，它是指将相等数量的项目或研究对象转化为相等数量的点，例如相等数量序列或最差数量序列的基础4.分类讨论思想本章分类讨论的思想主要体现在解决一些参数级数问题，尤其是比例级数的求和或相关问题上。
如果包括参数，我们不能忽视q=1的讨论5.数形结合思想借助于序列对应函数的图像，解决一些问题将非常直观和快速。
例如，为了解决算术序列前n项之和的最大值问题，我们可以组合二次函数的图像6.归纳思想归纳思维是指从本章中的个别事实中归纳出一般结论的数学思维，根据序列的前几项归纳出序列的一般术语公式，图的归纳数是根据图的归纳数或归纳数在图中的应用7.类比思想类比思维指的是一种数学思维，即一种对象具有某些特征，而一个相似的对象也具有这些特征。
它的推理方式是从特殊推理到特殊推理，作为两种特殊数列，等差数列和等比数列有许多相似之处。
例如，在等差数列中，if，then；在比例数列中，如果，那么通过类比可以得出许多有用的结论，并且可以发现许多有趣的性质8.整体思想在研究序列（即等距或比例序列的前k项之和）时，我们使用整体思想，即将其视为序列中的一项，依此类推，我们可以得到序列的特征首页上一页12下一页末页共2页。
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
数学数列的本质是什么？
数学数列的本质是什么？数列是数学中的一个重要概念，它是指按照一定的规律排列的一列数。
数列的本质可以从以下几个方面来理解：一、数列是一种数学模型数列是一种数学模型，它可以用来描述和研究现实世界中的各种现象和规律。
例如，人们可以用数列来描述人口增长、物价变化、股票价格波动等现象。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解这些现象的本质和规律，从而为实际问题的解决提供数学支持。
二、数列是一种函数数列可以看作是一种特殊的函数，它的自变量是正整数，因变量是数列中的第项。
因此，数列可以用函数的概念和方法来进行研究。
例如，数列的通项公式就是一种函数表达式，它可以用来表示数列中每一项与项数之间的关系。
通过对数列通项公式的研究，人们可以更好地理解数列的本质和规律。
三、数列是一种极限数列可以看作是一种极限，它是一个无穷序列的极限。
例如，人们可以用数列来表示一个无穷级数的和，而这个无穷级数的和就是这个数列的极限。
通过对数列极限的研究，人们可以更好地理解无穷级数的求和方法和性质，从而为实际问题的解决提供数学支持。
四、数列是一种数学结构数列可以看作是一种数学结构，它具有一定的性质和规律。
例如，数列的前项和公式就是一种数学结构，它可以用来表示数列中前项的和与项数之间的关系。
通过对数列前项和公式的研究，人们可以更好地理解数列的本质和规律。
五、数列是一种数学思想数列是一种数学思想，它体现了数学中的归纳法和递归法。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解数学中的归纳法和递归法，从而培养自己的数学思维能力和创新能力。
综上所述，数列的本质是一种数学模型、函数、极限、数学结构和数学思想。
通过对数列的研究，人们可以更好地理解数学的本质和规律，从而为实际问题的解决提供数学支持。
高中数学数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透
智者创建时机，强者掌握时机，弱者坐等时机。
数列教课中数学思想方法的发掘与浸透数学思想方法是数学知识的精华,是知识转变为能力桥梁.可否存心识地正确运用数学思想方法解答数学识题，是权衡数学素质和数学能力的重要标记．数列中蕴涵了很多重要的数学思想，在数列教课中着重数学思想方法的发掘与浸透拥有十分重要的意义．１.函数思想函数思想是用联系和变化的看法观察数学对象.数列是一类特别的函数,以函数的看法认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.例 1 等差数列的前n项和为.已知问数列的多少项和最大?分析 :易知所给数列不是常数列,等差数列的前n 项和是n的二次函数，且常数项为零,因此可利用函数思想研究的最值.解法 1:由得,∴.进而;故前 13 项的和最大 ,其最大值为169.解法2:,的图象是张口向下的抛物线上一群失散的点,由知最高点的横坐标为,即前 13 项的和最大.２.方程思想方程思想就是经过设元成立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、乞降公式及性质结构方程（组），是解数列问题基本方法.例 2 等差数列的前n项和为，若，求.分析 :解本题的重点是求出数列的通项公式,可利用已知条件列出对于和d的方程组求出基本量和 d,也可用待定系数法确立.解得∴.进而.解法 2:易知所给等差数列不是常数列,因此它的前n 项和可设为,由已知条件得解得∴,.3.分类议论思想复杂问题没法一次性解决,常需分类研究,化整为零 , 各个击破 . 数列中包含着丰富的分类议论的问题 .例 3 已知数列的前n项和，试求数列的前n项和的表达式.分析 :解题的重点是求出数列的通项公式, 并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值 .故需分类商讨．解: 当 n=1 时 ,;当 n≥2时,.∴当 1≤n≤9时 ,,当 n≥10时 ,.进而当 1≤n≤9时 , ==;当 n≥10时, =.∴=４.等价转变思想等价转变就是将研究对象在必定条件下转变并归纳为另一种研究对象 ,使之成为大家熟习的或简单解决的问题 .这是解决数列问题重要方法 .例 4 等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?分析 :求的最大值有多种转变方法.本题可将知足的要求转变为公差 d 知足的要求；再将 k 所知足的条件转变为它的几何意义，借助图示直接写出结果.解:设数列的公差为d,则最大.设的前k项和最大,则有, 且, 故有.（* ）,.如图，数轴的两个暗影区间中，左侧是的取值范围，右侧是的取值范围，（*）的成立等价于k 取两个区间之间的自然数，因此k=3，即的前3项和最大.５.整体思想整体思想就是从整体着眼 ,经过问题的整体形式、整体结构或其余整体办理后，达到简捷地解题的目的 .例 5 已知数列为等差数列，前12 项和为 354，前 12 项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差 d.分析 :本题惯例思路是利用乞降公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决, 解法十分简捷 .解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为.∵.而.6.递推思想递推思想就是经过探究、结构和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法.数列问题，从某种意义上讲是递推关系的表现形式.利用递推思想解决某些数列问题可表现递推思想解决问题的优胜性.例 6 设数列的前n项和为,若对于全部的自然数n,都有,证明数列是等差数列 .分析 :证明等差数列一般考虑用等差数列的定义.这里可利用递推关系,将变换得,而后再对,的递推关系持续探究.解:由得,∴当 n≥2时 ,,即.同理.两式相减得,即,进而有(n ≥2).由此可知数列是等差数列 .7.概括、猜想与证明思想经过对个别、特别状况的分析、察看，发现规律,概括出一般的结论或性质，再追求证明方法.这是我们由已知探究未知的重要门路.例 7 已知数列知足条件:,试求数列的通项公式 .分析 :本题求解思路不清楚，从特例下手，察看、猜想结论,再加以证明不失为一种好方法. 解: 由已知条件 ,分别取 n=1,2,3, ，得,经过察看、概括、可得出猜想:.用数学概括法简单证明这一结论是正确的(证明略 ).8.建模与解模思想数列的工具性决定了应用的宽泛性 ,着重建立数列模型解实质问题 ,有益于培育学生用数学的意识和数学能力的提升 .例 8 从社会效益和经济效益出发，某地投入资本进行生态环境建设，并以此发展旅行家产，依据规划，今年度投入万元，此后每年投入比上年减少.今年度当地旅行业收入估计为万元，因为该项建设对旅行业的促使作用，估计此后的旅行业收入每年会比上年增加（Ⅰ）设 n 年内（今年度为第一年）总投入为an 万元，旅行业总收入为bn 万元．写出an，bn 的表达式；（Ⅱ）起码经过几年旅行业的总收入才能超出总投入？分析：建立等比数列的通项和前n 项和模型，再用换元法和不等式知识求解.(1) 第一年投入为800 万元 ,第二年投入为800(1万元,，第n年投入为800万元，因此， n 年内的总投入为；第一年旅行业收入为400 万元，第二年旅行业收入为400万元，，第n年旅行业收入为 400万元.因此n年内的旅行业总收入为.(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,即, 所以,化简得,换元化归为一元二次不等式,可得,解得 n≥5,故起码经过 5 年旅行业的总收入才能超出总投入.还有一些重要的思想方法，如数形联合、 分析与综合、联想与类比，结构模型等思想方法已在上述例题中有所波及，限于篇幅，不再赘述.（此文发布在江西师大《中学数学研究》2003 年第 12 期）都是“定义域”惹的祸函数三因素中， 定义域是十分重要的， 研究函数的性质时应第一考虑其定义域． 在求解函数有关问题时，若忽略定义域，便会直接致使错解．下边我们举例分析错从何起．一、求函数分析式时例 1． 已知 f ( x 1) x 2 x ，求函数 f (x) 的分析式 . 错解 ：令 tx 1，则 xt 1， x (t 1)2，f (t) (t 1)2 2(t 1) t21， f ( x) x 2 1分析 ：因为 f ( x 1)x 2 x 隐含着定义域是 x 0 ，因此由 t x 1得 t 1 ，f (t)t 21 的定义域为 t 1 ，即函数 f ( x)的分析式应为 f ( x) x 2 1（ x 1 ）这样才能保证转变的等价性 .正解： 由 f ( x 1) x 2 x ，令 tx 1得 t 1 ， xt 1 2 代入原分析式得f (t)t 2 1 （ t 1），即 f ( x) x 2 1 （ x 1）．二、求函数最值（或值域）时例 2． 若 3x 2 2 y 2 6x, 求 x 2 y 2 的最大值．错解： 由已知有y 23 x 2 3x ①，代入 x 2 y 2 得1 x 21 2 9 9 ．x 2y 23x x 3 2 ，∴当 x 3 时， x2y 2 的最大值为2222分析：上述错解忽略了二次函数的定义域一定是整个实数的会合，同时也未发掘出拘束条件 3x 22 y 2 6x 中 x 的限制条件．正解： 由 23 2 3 0 得，yxxx22x 2y 21 x2 3x1 x 3 29 ，x 0,2 ，因函数图象的对称轴为 x 3 ，222∴当 x 0,2 是函数是增函数，故当当x 2 时， x 2y 2 的最大值为 4 ．例 3．已知函数 fx 2 log 3 x 1 x9 ，则函数 yf x 2f x 2的最大值为（）A ．33B ．22C ．13D ．6错 解 ： yf x2f x 22 log3 x2log 3 x 2log 3 x 3 23 在=2 =1 x9y2fx 2 在 x 9 时获得最大值为 33．上是增函数，故函数 f xyf x 2f x21 x9x 3正解： 由已知所求函数的定义域是1x 2 得 1，9y f x 2 fx 22 log3 x 22 log3 x 2log 3 x23 在 1 x 3 是增函数，= = 3故函数 y2 f x 2 在 x3 时获得最大值为 13．f x例 4． 已知 f x 3x2 2x4 ，求 y f1x 2f1x 2的最大值和最小值．错解： 由 f x3x 2 2 x 4 得 1y 9 ．∴ f1x2 log3 x 1 x 9 ．∴ yf 1 2f1x 22 log3 x 2 2 log 3 x 2log 3 2 x6log 3 x 6xlog 3 x 3 23． ∵1 x 9，∴ 0 log 3 x 2 ．∴ y max22 ， y min6 ．分析： ∵ f 1x 中 1 x 9 ，则 f1x 2 中 1 x 29 ，即1 x 3 ，∴本题的定义域应为 1,3 ．∴ 0 log 3 x 1 ．正解：（前方同上）ylog 3 x 3 2 3，由 1 x3 得 0 log 3 x 1 ．∴y max13 ， y min6 ．例 5． 求函数 y4x 52x 3 的值域．错解： 令 t2x 3 ，则 2xt 2 3 ，∴ y 2 t 23 5 t2t 2 t 127 ,2 t 17 7 ．故所求函数的值域是 ．488 8分析： 经换元后，应有大而无量增大．因此当 t 三、求反函数时例 6． 求函数 yx 2t 0 ，而函数 y 2t 2 t 1在 0, 上是增函数，跟着 t 增 0 时， y min 1 ．故所求函数的值域是 1,．4x 2 (0 x2) 的反函数．错解 ：函数 yx 24 x 2 ( 0 x 2) 的值域为 y2,6 ,又 y (x2) 2 6 ，即 ( x 2) 2 6 yx 26 y ， 所求的反函数为y 26 x 2x 6 ．分析 ：上述解法中忽略了原函数的定义域，没有对 x 进行合理弃取 , 进而得出了一个非函数表达式．正解： 由 yx 24x 2 (0 x 2) 的值域为 y2,6 , 因 ( x 2)26 y ，又x 2 0x 26 y ， 所求的反函数为 y26 x 2x 6 ．四、求函数单一区间时例 7． 求函数 f ( ) lg( 4x 2) 的单一递加区间 .x错解 ：令 t 4x 2 ，则 y lg t ，它是增函数 .t4 x 2 在 ( ,0] 上为增函数，由复合函数的单一性可知，函数 f ( x) lg( 4x 2 ) 在 ( ,0] 上为增函数，即原函数的单一增区间是 (,0] .分析： 判断函数的单一性，一定先求出函数的定义域，单一区间应是定义域的子区间．正解：由 4x 20 ，得 f ( x) 的定义域为 ( 2,2) .t 4x 2 在 ( 2,0] 上为增函数，由可复合函数的单一性可确立函数f ( x)lg( 4 x 2 ) 的单一增区间是 ( 2,0] .例 8． 求 y log 0. 7 x 2 3x 2 的单一区间．错解： 令 tx 2 3x 2 ， ylog t ， x, 3 时， t x 2 3x 2 为减函数，2x3 , 时， t x 23x 2 为增函数， 又 y log t 为减函数， 故以复合函数单一性2知原函数增区间为, 3，减区间为 3 ,．22分析： 在定义域内取x 1， y 值不存在，明显上边所求不对，根来源因正是大意了定 义域，单一区间一定在函数定义域内．由x 23x 2 0，得x 1或 x 2 ，故增区间为,1 ，减区间为 2,．例 9． 指出函数 y x 2 2ln x 的单一增区间．错解： ∵ yx22ln x ，∴ y2x2，∴当 y 0 时， x 1或 x 1 ，∴函数y x 2x2ln x 的单一增区间为, 1,1,．分析： 本题错在没有考虑函数的定义域 0,，故本题的答案为1,．五、判断函数的奇偶性时例 10． 判断 f x1 x1 x 的奇偶性．1x错解： ∵ fx1 x 1x1 x 21 x1 x1x fx ， ∴ f x1 x 1 x1 x为偶函数．分析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件， 即第一定义域一定是对于原点的对 称区间．而此函数的定义域为 1,1 ，不知足上述条件，即应为非奇非偶函数．六、词语点将（据意写词）。
数列运算中的数学思想
唰 。 …
在数学学习过程 中， 同学们要 加强数 学思想方 法 的学
点评
此题常规解法是设 出基本 量 ａ ， ， 出方程组 ｑ列
习， 培养数学思 维能 力 。数 列是 高 中数 学 的重要 内容 ， 是 求解 ， 但计 算较 繁 ； 能利 用整体 思维 ， 可少走 弯路 ， 若 则 使 进一步学 习高等数学 的基 础 ， 每年高考 中都 占有一定 比 计算合理又迅 速。本 解法 不在 求 ０ ， 做 文章 ， 是将 在 ｑ上 而 重 。在求解 高考数列 问题时 ， 要注 意数学 思想的应用 。下 Ｓ 变形整理用 Ｓ 和 ｑ 表示 ， 使解答过程 大大简化 。 面举例说 明在数列运 算中的数 学思想方法。
一
二 、 数 思 想 函
、
整体思想
数列是一 种特 殊 的函数 。运 用 函数思 想处 理 数列 问
从 整体上考虑 问题 ， 往能 够避 免局部 运 算 的 困扰 ， 往 使 问题 得以迅速求解 。通过研 究问题 的整体形 式 、 体结 整 构， 达到快速解题 的 目的。
题， 往往能把握问题的本质 ， 使求解过程简捷 。 例 ２ 已知数列 ｛ 的通项 ％ ＝ｎ－Ｊ￣－ ｎ｝
ｓ №＋ 。 ＝
（。 ） 。— ｄ ｎ
，
＝ ｎ 萼２ ＋
故点（ ｓ） ， 在形
解析
要使
兰
：ｌ（ 一。 成 ｇｓ ）
（） １ （） ２
如） 一 ＋ （ ＜ ） 抛物线上， ， 。 ０的 ＝ 对称轴为 ｝。 ＝ 旦
若 ｐ＋ｑ为偶数 ， 当 ｎ： 则
为奇数 ， ｎ＝ 则 卫 点评
五、 方程 思 想
例 ３ 设等差数列 ｛ ） ％ 的首项 ｎ ０ 前 ｎ项和 为 ｓ ， ＞ ，
由递推公式求数列通项中的数学思想
由递推公式求数列通项中的数学思想成都市玉林中学 周先华递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。
在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。
另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。
因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
一．引入问题：已知数列{a n }满足a 1=1, 且a n+1 =3n a +1,求a n 。
分析一：归纳法。
由递推公式，可求出a 2=4，a 3=13，a 4=40。
则a 2-a 1=3=31，a 3-a 2=9=32，a 4-a 3=27=33。
由此猜测：a n -a n-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以a n-1-a n-2=3n-2，a n-2-a n-3=3n-3……，a 4-a 3=33，a 3-a 2=32，a 2-a 1=31，把上式子累加，得，a n -a 1=31+32+33+……+3n-1=，得a n =312n -。
分析二：构造法。
由a n+1 =3n a +1，得a n+1 +12=3（a n +12），即数列{a n +12}为一个公比为3的等比数列，则 a n +12=(1+12)·3n-1 =312n -。
分析三：迭代法。
a n =3a n-1+1=3(3a n-2+1)+1=32a n-2+3⨯1+1=…=3n-1a 1+3n-2 ⨯1+3n-3⨯1 +…+3⨯1+1=312n - 点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出a n 的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
例谈数列复习中数学思想的渗透
例谈数列复习中数学思想的渗透作者：卞维清来源：《中学教学参考·理科版》2012年第12期数列是高中数学的重要内容，在高考中的地位十分突出，是高考必考的内容之一，往往以压轴题的形式出现，数列部分的内容蕴含着丰富的数学思想方法，如果在数列这一章节的复习中，教师能注重数学思想方法的渗透，可使许多较复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生数学思维能力的目的.一、函数与方程思想的渗透数列的本质是函数，数列是函数的继续和延伸.如等差数列（公差不为零），它的通项公式是关于自然数n的一次函数，它的前n项和是关于自然数n的不含常数项的二次函数.在解决数列问题的过程中，如果能适时地运用函数思想，往往会事半功倍.【例1】已知数列，通项公式为，若为递增数列，求实数λ的取值范围.解析：由题意知对一切正整数n恒成立，化简可得2n+1+λ>0恒成立，因为2n+1的最小值为3，所以λ>-3.另解：由数列的通项公式，联想到二次函数，对称轴为x=-λ2，问题转化为二次函数在正整数集上为增函数，只要-λ2-3.【例2】设等差数列的前n项的和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有（）解析：本题可从数列的基本量和d入手，但运算繁琐.若从函数角度出发，把数列问题转化为函数问题来解决，则要简单得多.设（a，b为常数），则由题意可知（）对一切正整数k恒成立.化简得（-a）（-b）=0 对一切正整数k恒成立.则有-a=0，，-b=0，解得a=1，，或a=0，，或a=0，则有或或，则有-1，或，或注：本题还可通过特殊化思想来解决，可取k=1，k=2时等式成立，求出，然后检验证明.二、特殊到一般的思想的渗透由于数列是关于自然数的函数，特殊到一般（归纳，猜想）的思想是数列中常用的数学思想.在解决数列问题时，我们往往可以取这个数列的前几项进行研究，再归纳总结，导出一般结论，进一步明确解题思路.【例3】（1）已知数列，其中，且数列-为等比数列，求常数p；（2）设数列、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列}不是等比数列.解析：（1）由于数列-为等比数列，则它的前三项必成等比数列，记-，则有又-5p，-13p，-35p，所以（35-13p）（13-5p）（97-35p），解得p=2或p=3.检验：当p=2时，；当p=3时，-（均满足题意）.（2）要证明不是等比数列，只须证明它的前三项不成等比数列即可，即证设、的公比分别为p、q且p≠q.事实上，（），（）·（）（）.由于p≠q，，又、不为零，因此，故不是等比数列.注：本题如果采用等比数列的定义来解决，运算量较大.注意到一个数列“前三项成等比数列”是“这个数列为等比数列”的必要条件，从而联想到通过它的前三项是否成等比关系来解决.三、转化思想的渗透转化（化归）思想是数列中的一种重要思想.数列中常用的转化关系有：（n=1），--1（n≥2）（将“和”与“项”进行转化）；将其他数列转化为等差（等比）数列来解决等.【例4】数列满足：，求数列的通项公式.解析：∵，∴（）=2（）.∴数列为首项为2，公比为2的等比数列.∴，∴-1.注：原数列既非等差数列又非等比数列，求通项公式较困难，这时通过构造，可转化为一个等比数列轻松解决.高中阶段主要学习了等差、等比两种特殊数列，很多数列问题可最终转化为这两类数列来解决.形如：（q≠0）型的递推关系，均可采用上述方法进行化归.再比如用“错位相减”法求“等差数列乘等比数列”这一类数列和时，本质上就是转化为等比数列求和.【例5】已知数列前n项和为，对于任意自然数n满足：，且（1）求p的值；（2）证明：为等差数列.解析：（1）用特殊到一般思想，即，所以p=1或当p=1时，又，即（与条件矛盾，舍去）；当时，又，因为，所以p=12.（2）由（1）知，①所以-1=12（n-1）-1（n≥2）. ②①-②得--1=12-12（n-1）-1，即-12（n-1）-1，即（n-2）（n-1）-1（n≥2），③（将“和”与“项”的关系转化为“项”的关系）对于③式的处理有多种思想方法.方法1：由③得（n-3）-1=（n-2）-2 （n≥3），④③-④得（n-2）-（n-3）-1=（n-1）-1-（n-2）-2，即（n-2）（n-2）-2=（2n-4）-1（n≥3），即--1（n≥3），所以为等差数列.注：将③式中相邻两项关系转化为相邻三项的关系，利用等差中项法进行证明.方法2：由③式得，当n≥3时，-1=n-1n-2，所以；；…；--2=n-2n-3；-1=n-1n-2.将各式相乘可得-1，所以（n-1）（n≥3）. ⑤又，均符合⑤式，所以（n-1），用定义可证得为等差数列.注：通过“累积”法求出数列通项公式，然后利用定义加以证明.方法3：由③式得，当n≥3时，--1n-2，可得数列-1}从第二项起为常数列，所以n≥2时，-，即=（n-1）（下同方法2）注：此方法要求学生有一定的观察能力，能把递推关系转化为一个常数列来解决.四、递推思想的渗透递推公式是给出数列的一种常用方法，在很多数列问题中，往往给出数列的一种递推关系，然后求通项公式.递推公式的本质是由一项（或更多的项）推出它的下一项.【例6】已知数列中，，（n-1）-1（n≥2），求数列的通项公式.解析：由于条件中的递推关系较繁，可以先将这个递推关系进行化简.因为（n-1）-1（n≥2），所以-（n-2）-2（n≥3），两式相减得--1=（n-1）-1，即-1（n≥3）.所以当n≥3时，-1=n·（n-1）-2=n·（n-1）·（n-2）-3=n·（n-1）·（n-2）因为，所以（n-1）·（n-2）…3=n！2（n≥3），因为不符合上式，符合上式，所以（n=1），！2（n≥2）.注：化简后的递推式-1（n≥3）揭示了前后两项之间的关系，即知道了任一项都可求出它的后一项.因此我们采用递推的方法求出它的通项公式.文中的例5也可用递推思想求解，简解如下：n≥2时，-1+1=2·（-2+1）-2+2+1（-3+1）-=…=2n--2+2n-3+…+2+1=2n-1+2n--1.数列中蕴含的数学思想还有很多，这里就不一一举例了.总之，在复习数列这一内容时，教师不应该仅仅教给学生几个公式，应注意思想方法的渗透和总结，从而提高学生的数学素养和应试能力.。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数列中的数学思想
【 摘 要】 数 列是整个数学知识的重要知识组 成部分 ，除 了在 高等数学中数列应用广泛，在 中学 数 学 的 学 习 中， 学 生就 已经接 触 了 简单 的数 列 ，整 合 数 列 中所 体现 的数 学思 想 ，有 助 于提 高 学生 数 学 学习效率，同时也有助 于培养学生灵活的数学思维， 因此 ，初 中数 学教 师在 数 列教 学过 程 中，要 认 真 总 结数 列中的数学思想，为学生能够灵活运用数 学思 【 摘 要 】随着新 课 改在 全 （ ４）数列常常与不等式 内容 相结合。不等式 国各 大城 市 相 继 实施 ，相应 的对课 在 中学 数 学 学 习过 程 中 是 非 常重 要 的 知识 点 之 一 ， 堂教 学也 提 出 了更 高要 求 。初 中地 数 列 的题 型 与不 等 式 相 结 合往 往 能 够 提 高题 目的 难 理 是 学 生 对 地 理 形 成 一 个 清 醒 的 度 和深 度 ，这也 为 学 生 的 解 题带经济技 来 了困术 难 开发区第 ，因此 ， 二中学 认 知 ，形成 的地 理技能的一门 天津 天津必 备 马 媛 教 师在 讲 解 这部 分 知 识 的 时候 要 注 重 列举 典 型 的例 必修 课 。 因此 教 师在 新 课 改 下 必须 题 ，帮助学生体会 当数列与不等式相结合 的考题出 转 变 自己 的教 学观 念 ，寻 找课 堂创 想 和数 学 方 法解 决 实 际 问题 打 下 坚 实的 基 础 。本 文 现 时 ，要 掌握 运 用 放缩 法 求解 。 新 教 学 的有 效 途 径 ，激 发 学 生 学 习 主要 通过 列举 常见 的 习题介 绍 了数列 中的数 学思想 。 地 理 的 兴趣 ，使 学 生监 理 正 确 的人 例 如， 已 知 ＝ ，证 明：任 意 的 ０ 【 关键词 】 数列； 数学思想；中学 数学 生 观 、 环境 资源 观 以及 可 持 续 发展 ≥ 观 ，对 人 与 自然 环境 的 关 系有 一 个 中考 数 学 中 经 常会 出现 一些 找规 律 的 题 目，这 这里 的求解就可以根据放缩法的使用达到证 明 正 确 的 认识 。 类考题题 目新颖 、变化莫测，往往属于开放性题 目 目的 。 【 关键词 】 新课 改； 初 中地理； 的范 畴 ， 因此 ，很 多 中学 生 在遇 到 这 类 题 目的时 候 创 新 教 学 会 变 得 紧 张 、担 忧 ，进 而 影 响 了题 目的 正 常思 考 和 １ 作 答 。经 分 析 ，中考 数 学 中 出现 的找 规 律 题 目就 是 初 中 地 理 拥 数列原型，教师要善于分析这些数列题 目中所渗透 ｌ １ 的数 学 思 想 ，教 导 学生 运 用 数学 思 维 解 答 数列 题 目 ｉ 可 的技 巧 和 方 法 ，一 旦 中学 生 能 够有 效 把 握 这些 思 维 ｆ 士～ ］ 方 法 ，那 么其 中考 成绩 往往 会 取得 明显 的提 高 。 数 列 中所 包 含 着 函数 的 （ ５ ）数 列常常体现着分类讨论 的思想。分类 思 想 讨论往往在数学 中体现着严密 、谨慎的数学素养和 （ １ ）数 列 中体 现 着 函数 的 思 数 学 理 念 ，因此 在 数 列 的 学 习过 程 中 ，教 师 要 时 刻 想 。数 列 其 实 是 函数 的一 种 离 散 要 求学 生 关 注 数 列 最 重 要 的 … ｎ’的 范 围 ，往 往 在 式表达，往往 函数是具 有 自变量 求解 的过程中 ，会将 ｎ进行分类讨论 ，保证题 目的 和因变量共同作用产生的图形 ， 严密 与 正确 。 （ ６）数列常常体现着猜测 的思想。数学的各 而数列往往体 现了当把 自变量取 成 整 数 的 情 况 ，因此 在 中 学 教 学 种思维 中猜测思维 占据着非常重要的地位，这是 由 中要善于给学生渗透数列中所包 于 猜想 是 创 新 思 维 的源 泉 ，也 是 数 学 知识 最 终 的 根 含着的函数的思想。 本来源 ，没有猜想就没有后来我们现在学习的各种 例 如 ，在 求 解 一 些 数 列 题 目 数 学知 识 ，因 此 ，数 列 往 往 能够 促 进 中 学 生提 高 创 的 时 候 ，我 们 往 往 要 将 其 转 化 为 新 思维 。 函数 形 式 ，注 意 数 列 的 通 项 公 式 例 如 ，设各项均 为正数 的数列 ｛ ，其中它满 其 实 就 是 函数 表 达 式 ，而 数 列 的 足 如 下 两 点 ：ａ ｌ ＝ ２和 ＝ … ａ ｏ（ Ｎ ・ ） ，如 果 ａ ２ ＝ １ ，求 序 号 表 示 的 函数 的定 义 域 ， 当研 ａ ，ａ ４ ，并猜 想 ａ ２ ｃ ｏ ８ 的值 （ 不 需证 明 ）； 究数列 的单调性 、奇偶性等性质 解 ：由于 ８ ． １ ＝ ２ ， ａ ２ ＝ ２ ＿ ＝ ｑ ｄ ２ ＝ ２ ，吼＝ ａபைடு நூலகம்２ ａ ３ ＝ ２ 的 时候 ，往 往 将 数 列 转 化 为 函数 由此 有 Ｇ Ｉ ＝ ２ ‘ ， 口 ２ ＝ ２ （ ｒ ， ｑ＝ ２ （ ＿ ２ 】 ， ａ ４ ＝ ２ （ － ２ Ｐ 来研究。 故猜 想 】 的通 项 为 ＝ ２ （ ｅ Ｎ ’ ） 。 二 、研 究数 列所体现 的数 学思想 的重要意义 （ ２ ）数列中常常与极限相转 化 的思想 。数列中的 “ ｎ ”往往代 （ １ ）通 过研 究数列所体现 的数学思想 ，能 为 表着无 限个 自然数，这就表示数 教师的教学提供 明确的方向。教师在教学过程中， 仅仅是一个特殊 列 彰 显 着 极 限 的 含 义 ，因 此 ，学 明确 了重 点培 养 学 生 的 哪方 面 的 数学 思 维 意 识 的 目 圃 ｌ 生 在 求 解 数 列 的 题 目的 时 候 ，一 标 ，能 收 到意 想 不 到的 教学 成 果 。 （ ２）通过研究数列所体现 的数学 思想，大 大 定要注意把握数列求解可以转化 提高了学生学习数学热情。随着教师不 断训练 ，学 成为极限来求 。 （ ３） 数列 常 常体 现 了观察 与 构造 的数 学思 维 。 生 在认 识 数 列 的 同时 数 学 思维 提 高 ，与此 同时 ，直 因 此 教 师 在 教 学 ’ 与其说是构造或者观察 的数学思维 ，我们不妨更加 接激发 了学生学习数列的热情 ，让学生在上数学课 的 过 程 中必 须 把 简单地认 为数列能够锻炼学生的观察能力和构造性 时充满激情，有效地提高了课堂效率。 思 维 ，这 是 不 言 而 喻 的 ，因 为 在很 多 中学 的 找规 律 （ ３）通 过 研 究 数 列 所 体 现 的 数 学 思 想 ，让 学 的题 目中 ， 总是 开 放 性地 设 置很 多 的图形 或 者公 式 ， 生对数列有 了更深刻 的认识 ，为高等数学的学习打 需要学生通过 自己的观察来 自己总结 出相应的数列 下 扎实 的基础 。 以上所述 ，都 是根据笔 者在多年 中学数学 教 通项公式，这对于提高中学生的建构水平和空间想 学 第 一 线 工作 中 ，对 中学 数 列 的思 考 和 总结 。文 章 象 力 是 非常 有 帮 助的 。 例 如 ，在 用 圆圈 拼 图 的时 候 ，有 如 下 图 所示 的 通过列举简要例子的方式概括了中学数列学 习过程 规律 ： 中，所体现的基本数学思想 ，包括函数思想 、不等 式知识 、极限知识、分类讨论思想、猜测想象 、建 构思想等等，尽管如此，学生对于数列的认识远远 ０ ３ ０ ｊ 一． ｊ …ｒ 勺 不够 ，教师一定要继续 在平时的数学课堂上，为学 生补 充 大 量 的数 列 知 识题 目 ，提 高学 生 解答 数 列 题 ； ２
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想因为数列的通项公式、前n项和公式都是关于n的函数，所以一些数列问题可从函数的角度出发，运用函数思想来解答.相关的问题有：数列的单调性问题、求基本量问题、最值问题等.上述问题可利用数列所对应函数的特征、数列所对应函数的性质来解答.2.方程思想等差、等比数列都有5个基本量，运用方程思想可做到“知三求二”.在已知某些量的情况下，通过列方程或方程组求解其它量.此外，本章经常使用的待定系数法其实就是方程思想的体现.3.转化与化归思想本章的转化思想的运用，主要体现在把非特殊数列问题转化成特殊数列问题来解答，如：求递推数列的通项公式可通过构造转化成特殊数列求通项公式，非特殊数列的求和问题可转化成特殊数列的求和问题等.化归思想指的是把问题转化到研究对象最基础知识点上去解决，如：用等差、等比数列及等差、等比中项的定义，证明一个数列是等差或等比数列等.4.分类讨论思想本章的分类讨论思想主要体现在解决一些含参数列问题上，尤其是等比数列求和或相关问题时，若含参数，一定不要忽略对q=1的讨论.5.数形结合思想借助数列所对应函数的图象解答某些问题，会十分的直观、快捷.如：解答等差数列前n项和的最值问题，我们可结合二次函数的图象.6.归纳思想归纳思想是指由个别事实概括出一般性结论的数学思想.在本章中，根据数列的前若干项归纳数列的通项公式，或根据若干图形中子图形的个数归纳第n个图形中子图形的个数（其实也是求通项公式）都是运用归纳思想的典型例子.7.类比思想类比思想是指由一类对象具有某些特征，推出与它相似的某一对象也具有这些特征的数学思想，它的推理方式是由特殊到特殊的推理.等差数列和等比数列作为两类特殊的数列，有很多相似之处，比如，在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则有.通过类比可推导出很多有用的结论，发现很多有趣的性质.8.整体思想在研究数列（是等差或等比数列的前k项的和）时，就利用了整体思想，即把看作数列中的一项，依此类推，即可得出此数列的特征.首页上一页12下一页末页共2页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
数列教学中体现的几点数学思想
（ ） 于公式 的推导要 讲清 思路 和 方法 ； １ 对
（ ２）对 于 公 式 的综 合 运 用 要 注 意 结 合 具 体 例 子 加
映到 人 的意 识之 中 ， 过思 维活 动 而产 生 的结果 ． 是 经 它 对 数 学 事 实 与 数 学 理 论 的 本 质 认 识 ． 学 思 想 是 人 们 数 对 数 学 知 识 和 数 学 方 法 的 本 质 认 识 ，是 数 学 知 识 与 数 学 方 法 的 高 度 抽 象 与 概 括 ．对 数 学 规 律 的 理 性 认 识 范 畴 ， 哲学 的高度 看 ， 学思 想方 法 本质 上 是辩 证法 在 从 数 数 学 科 学 中 的 体 现 ， 思 维 方 法 与 实 践 方 法 的概 括 ． 是 属 于 哲 学 思 维 方 法 的范 畴 ． 中学 的数 学 思 想 主 要 有严 谨 完 整 的 函数 思 想 、 分 类 讨论 思 想 、 应 思 想 、 标 法思 想 、 的扩 充思 想 、 对 坐 数 恒
３ １严 谨 完 整 的 思 想 。
等 变形 思想 、 数转 换思 想 、 限思想 等． 形 极
１２数 学 思 想 、 学 观 点 、 学 方 法 之 间 的 关 系 ． 数 数
数 学 思 想 、 学 观 点 、 学方 法 三 者 密 不 可 分 ． 数 数 如 果 人 们 站 在 某 个 位 置 ，从 某 个 角 度 并 运 用 数 学 去 观 察 和 思 考 问题 ， 么 数 学 思 想 也 就 成 了 一 种 观 点 ． 对 于 那 而 数 学 方 法 来 说 ，思 想 是 其 相 应 的 方 法 的精 神 实 质 和 理 论 基 础 ， 法 则 是 实 施 有 关 思 想 的 技 术 手 段 ． 学 思 想 方 数 方 法 可 以概 括 为 三 个 方 面 ： 号 化 与 变 换 思 想 ， 合 与 符 集 对 应 思 想 及 公 理 化 与 结 构 思 想 ，三 者 构 成 数 学 思 想 方
高中数学数列问题中的数学思想
ｌｎ（１帆）剐一！＋！一．＋（一１）ｎ竺＋ｏ（矿），
Ｚ ３
ｎ
由矿＞１＋茗，石≠ｏ，可得ｅ１＞１叫，菇≠ｏ，从而当口＞÷时，
．厂’（菇）＜ｅ５—１＋２Ⅱ（ｅ１—１）＝ｅ１（ｅ。一１）（ｅ。一２ｎ），所以当戈Ｅ（０，
所以得到高中数学以下结论： 结论ｌ：∥≥ｌ慨，菇∈Ｒ； 结论２：ｌｎ（１慨）≤ｘ，戈＞一１． 例ｌ（２０１３年新课标全国卷２）已知函数 ，（菇）＝ｅ乙ｌｎ（菇＋，ｎ）．
那么ｍ可能有哪些取值？
当ｎ＝１时，ｎｌ＿１满足％＝２２－１，因此，惦２Ｌ１（ｎ∈Ⅳ）．
万方数据
解：从铲１人手，反向推算砚的值，共有以下８种情况
高中版十・７擞・７誓簟—簟圈豳
教
参
解法探究
２０１４年１月
数学分析观点下的高考导数试题探究
◎浙江省宁波市北仑明港高级中学顾静华 综观近几年高考试题，导数无疑成为整张试卷的压 轴题，其难度和广度通常令考生无从下笔，所以得分的情
（７）铲１ｊｎ５＝２ｊ舻÷（舍去）；
ｊ
（３）ｎ６－１ｊｎ５＝２ｊｎ４＿４ｊ叻＝８ｊｎ乒÷（舍去）；
（４）ｎ庐ｌ＝亭Ⅱ５－２ｊ嘶：４ｊ０３＿ｌｊｎ２＝２＝亭ｎｌ＝４；
（８）铲１ｊｎ５＝０（舍去）．
所以ｍ＝３２，５，４． 评析：如果本题从正面入手，计算烦琐，很多学生没 有毅力和时间来计算．因此遇到此类问题时不妨打破常 规思维．实行“逆反”策略从结论出发。往往能够化难为
（１）证明：数列｛‰广％｝是等比数列； （２）求出数列｛ｎ，ｌ｝的通项公式．
所以÷一三＝４．
％＋１‰
评析：根据已知函数求出反函数．再根据公差数列的
解：（１）由珥萨３‰ｌ一施碍珥件２一％ｌ＿２（‰厂％），
例析数学思想在数列中应用
例析数学思想在数列中的应用数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。
纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。
填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。
学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。
下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。
一、方程思想等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。
分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。
注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。
等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。
二、函数思想数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。
例2.已知a■=■，n∈n*，求{an}中最大项是第几项？分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈n*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈n*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。
注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。
怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。
高中数学数列问题中的数学思想
定 义 来 求 出 ｛ 去 ｝ 的 通 项 公 式 ， 从 而 得 出 ｛ ％ ） 的 通 项 公 式 ．
五、 逆 向 思 维 例５ 如果数列 ｆ ％ ｝ 满 足如下等式口 ｔ ： ｍ（ ｍ∈ Ｎ ） ， 而且
首项 ， ２ 为公 比的等 比数列．
（ ２ ） 由（ １ ） 可 以得至 Ｕ ％ ＋ 一 ％＝ ２ ， （ ｎ ∈Ｎ ） 当ｎ ≥２ 时， 有ａ ｎ ＝ （ ａ ． － ａ ｎ ＿ １ ） ＋ （ ａ １ 一 ） ＋ …＋ （ ０ １ ） ＋ １
、
函 数 方 程 思 想
例１ 已知等 差数 列 ｛ 的前 ｎ 项 和 为． ｓ ， 且 满 足Ｓ ：
前９ 项和ｓ 等于多少 ？
解： 根据等差数列ａ ２ ＋ ａ ｓ ＝ ａ ｌ ＋ ａ ９ ， 因为５ ９ ＝
．
Hale Waihona Puke ｍ， Ｓ ｍ ＝ ｎ （ ｎ ＃ｍ， ｎ ， ｍ∈ Ｎ ） ， 求 解： 由ｆ 为 等差数 列 ， 可设Ｓ ｎ ＝ Ａｎ ＋ Ｂ ｎ ， 则可 以得 到
用①一 ②得到Ａ（ ｍ２ ＿ ｎ ｚ ） 柏（ ｍ 一 ） ＝ — ｍ，
依据题意简化得到 （ ｍ ＋ ｎ ＿ ） ＋ Ｂ ＝ 一 １ ，
所 以Ｓ ｍ ￣ ＝ Ａ （ ｍ ＋ ｎ ） ２ ＋ Ｂ （ ｍ ＋ ｎ ） ＝ 一 （ ｍ ＋ ｎ ） ．
②
四、 函数 思 想
例４ 已 知，（ ） ： （ ＜ 一 ２ ） ， 设。 ： １ ， ：
当ｎ ＝ ｌ 时， ０ 。 ＝ ｌ 满 足ａ ． ＝ ２ ２ － １ ， 因此 ， ２ 一 ｌ （ ｎ ∈Ｎ ） ．
南 中 版 中・ 擞・ ？
教 参
解 法 探 究
求数列通项公式中的数学思想
解
由 ： j 得 ： ： 数 n
一
+ n
一
，
2
a
一
。
所 一
。
2，
以
列
{ a ：) 是 以
1
为 首 项 ，2
为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以
： 口
一
1+ (n 一 1)
即 、／／云a 2 2 二 二 =
扎一
l，
口。 一
秽'
。
一．
。
●磊* 例 3
已 知 数 列 {n 。 }的 首 项
a
一
。
3 通 ， 项 n 。 与 前 n
解
由 n一
薏岩 } 蒜 { 一
a 。 1- 6
得 i 再r a — 。+ 1
一
上
一
4 L 口。 十 上)
+
4
志
÷ 丢 丢 击 吉 ， 即 i
一
再
一
(i一ຫໍສະໝຸດ )．} ( 暑 丢) 六 1
于是i
一
一
玎虿 i
～
1
一
矿，
蒡卉 鬲! 即目口 ％。
一
+． ，，
型
兰：： ! 所 以 昕 ，．
I j f n。 ” 一
二
A
a
十
。
Bb + 。
C一
公式．
0 型通项
嚣-‘
i
* 例6
等知 {知 已 知 数 列
(‰口 。 }m中
n
一 。
一
， n …一 一
+ n 。
5，
求 数 列 {n 。 }的通 项 公 式 ．
高考数列问题中的数学思想方法浅探
孔
指导老师
张云标
（） １从今年起 的前 年， 该企 业不进 行技 术改 若 造的累计纯利 润为 Ａ 万元 ， 进行技术 改造后 的累计 纯利润为 Ｂ 万元 （ 须扣 除技术 改造 资金 ）求 Ａ 、 ， Ｂ 的表 达式 ． （） ２ 依上述预测 ， 从今 年起该 企业 至少 经过 多少 年， 进行技术改造后的 累计纯利润超过不进行 技术改 造后 的累计纯利润 ？ 解析 ： １依题意 ： ５０ ０ ＋（０ －４ ） （） Ａ ＝（ Ｏ —２ ） ５０ ０ ＋
知识 的 理 解 ．
【 ２ （ ０ ４牟 高考 福 建 （ 科） 某 企业 例 】 ２０ 理 卷） ２０ ０ ３年的纯利润为 ５０万元 ， ０ 因设备老 化等原 因， 企 业 的生 产能力将 逐年下 降， 若不 进行 技术改 造 ， 预测 从 今年起 每年比上 一年纯 利润减 少 ２ Ｏ万元 ． 年初 今 该企业一次性投入资金 ６ ０万元进 行技术改造 ， ０ 预测 在未扣除技术改造 资金的情 况下 ， 第 年 （ 今年 为第
１。 １ （ １ ５～ ｏ Ｏ ） ｏ ＂ １ｊ ｎ一 ＋ ０ Ｊ
Ｌ 厶 Ｊ
不妨令 ＝ （ ＋１ 一百 ） Ｄ Ｕ—ｌ ， Ｏ 则其 导 函数 ｙ ＝
２ ¨ ＞㈨
ｄ及 已知条件得方程组 ：
Ｉ】＋ ３２９．＇解… …组～： ｆ ６ ｄ＝（ｌｄ…此 程 得 ． ）２ 】ａ－ 方 ４ ＋ ４， ２， ： ｄ＝ ．ａ ＋ ｄ） 。 ｑ 、 ａ （
’
所以函数 — （ ＋１ 一 一１ ） ０在 （ ， 。 上 ｏ ＋。 ） 为增函数． 因此 ， １ ≤ ３时 ， ＋ １ 一 一１ ≤ １ 一 当 ≤ （ ） ０ ２
． ： ｎ 《 告 ｛一 ｆ 或 ｌ 号 刮 符 题 ，去 （ 合 意舍 ） 不
数列中蕴含的数学思想
数列中蕴含的数学思想
数列中蕴含的数学思想
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。
同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法。
在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。
数列中蕴含的数学思想如下：
一．函数思想
数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。
数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。
二．方程思想
数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三。
等差数列基本数学思想总结
等差数列基本数学思想总结等差数列是数学中一个非常基本的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在学习与应用等差数列的过程中，我们不仅能够锻炼我们的计算能力和逻辑思维，还能加深对数学思想的理解。
本文将对等差数列的基本数学思想进行总结。
首先，我们需要明确等差数列的定义。
等差数列是指数列中的相邻两项之间差值保持不变的数列。
换句话说，对于一个等差数列来说，从第二项开始，每一项都是前一项加上一个固定的常数。
这个常数称为公差，用d表示。
在进行等差数列的计算时，我们通常会遇到等差数列的前n项和的问题。
这时，我们可以运用等差数列的求和公式进行计算。
等差数列的求和公式是一个非常重要的数学公式，它可以将等差数列的前n项和表示成n的函数形式。
具体来说，等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是等差数列的首项，an是等差数列的第n项。
在理解了等差数列的基本概念之后，我们可以进一步研究等差数列的性质和特点。
首先，等差数列的项数是可以无限的，也就是说，等差数列中的元素可以无限延伸下去。
其次，等差数列中的每一项只依赖于前一项和公差，与其他项无关。
这意味着，我们可以通过已知的信息推导出等差数列的其他性质。
另外，在等差数列的应用中，我们还可以利用等差数列的性质解决一些实际问题。
比如，我们可以利用等差数列的求和公式来计算一些累加的问题。
在生活中，我们经常会遇到一些递增或递减的情况，比如存款的利息、车辆的速度、水龙头的水流等。
这些情况都可以用等差数列来建模和计算。
同时，等差数列还广泛应用于几何等差数列、等差数列的递推关系等数学概念的研究中。
总结起来，等差数列作为一种基本的数学概念，具有广泛的应用价值。
学习和应用等差数列的过程中，我们不仅可以提高我们的计算能力和逻辑思维能力，还能加深对数学思想的理解。
通过深入研究等差数列的性质和应用，我们可以将其扩展到更多领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
因此，熟练掌握等差数列的基本数学思想对于我们的学习和未来的发展都有着重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列中体现的数学思想
恩施市第一中学高二（11）班杨义内容摘要：数学思想犹如一把开启解题的大门，拥有它就能在解答数学问题中游刃有余。
能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。
在解题时如果能够充分运用数学思想方法，可以使很多数列问题获得直观、简捷、巧妙地解答。
关键词：数列函数方程整体分类讨论等价转化
在数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法，例如整体思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，等价转化思想，等等。
本文主要通过例题剖析来体现数列中的数学思想，下面就简单介绍数列中几种常见的数学思想。
1.整体思想
整体思想就是从整体着眼,把一些看起来很复杂，很繁琐的数学形式看成一个整体，看成一个元素，从而达到简捷地解题的目的.
例已知数列为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d.
分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，但是计算量较大,应考虑利用整体思想去解决,解法十分简捷。
解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为.
∵.
而
2.方程思想
方程思想就是通过设未知数建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例 在等比数列{}a n 中，已知a a 6424-=，a a 3564=，求{}a n 的前8项的和S 8.
解：a a a q q 64132124-=-=() （1） 由a a a q 3513264==() （2） 由（1）（2）得：
a q 138=±
将a q 138=-代入（1），得q 22=-（舍去） 将a q 138=代入（1），得q =±2.
当2=q 时，a 11=，S 8255=；当q =-2时，a S 18185=-=,. 3.函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
数列是一类特殊的函数,因此可以用函数的观点来认识和理解数列，这是解决数列问题的有效方法. 例 等差数列的前n 项和为
.已知
问数列的多少
项和最大?
分析:易知所给数列不是常数列,等差数列的前n项和是n的二次函数，且常数项为零,所以可利用函数思想研究的最值。
解法1:由得
,∴.
从而;
故前13项的和最大,其最大值为169.
解法2: ,的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由知最高点的横坐标为,即前13项的和最大.
4.分类讨论思想
我们在解答某些数学问题时，通常会遇到多种情况，此时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.. 例已知数列的前n项和，试求数列的前n 项和的表达式.
分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨．
解: 当n=1时,;
当n≥2时,
.
∴当1≤n≤9时,,当n≥10时,.从而
当1≤n≤9时,=
=;
当n≥10时,=
=
.
∴=
5.等价转化思想
等价转化是把未知解的问题转化成为同学们熟悉的或容易解决的问题的一种重要的思想方法，这是解决数列问题重要方法之一.
例等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?
分析:求的最大值有多种转化方法.本题可将满足的要求转化为公差d满足的要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果.
解设数列的公差为d，则最大
.
设的前k项和最大,则有,且,故有
.（*）
, .
如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是
的取值范围，（*）的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即的前3项和最大.
参考文献：
[1] 曲一线. 5年高考3年模拟. 2011 6 7.
[2] 贾鸿玉. 绿色通道. 2010 6 2。