不定方程及整数解
求不定方程的整数解(含答案)-
求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。
他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２ 设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。
（“希望杯”数学竞赛试题）例３ 已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题） 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
求不定方程整数解的方法浅析
求不定方程整数解的方法浅析摘要：第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作步骤：①想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； ②根据该变量的范围求出该变量的整数解；③分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：①注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设Λ≤≤≤z y x ”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“Λ,1,1,1≥≥≥z y x ”若要求是相异的正整数，则有“Λ,3,2,1≥≥≥z y x ”②利用基本不等式求变元范围，常见的如“()xy y x 42≥+”③分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围.④可利用二次方程有整数解的条件，即“0≥∆”，或更强点的 “∆ 为完全平方数”.常规应用：①一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；②在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值；③对于方程“02=++w vx ux （其中u,v,w 是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x 的方程有整数根的条件，即“0≥∆”， 或更强点的“∆ 为完全平方数”对其他变量进行估值； ④具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规 不等式进行估值，比如”转化为关于x+y 与xy 的表达式， 用()xy y x 42≥+等“例1：求不定方程()332y x y x +=+的正整数解.解： 方法1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设1≥≥y x ，则 ()()22332x y x y x ≤+=+1）当x=1时，经检验：()()1,1,=y x 不满足方程；2）当x=2时，经检验：()() 1,2,=y x 满足方程，()() 2,2,=y x 满足方程；3）当x=3时，经检验：()()1,3,=y x 不满足方程，()()2,3,=y x 不满足方程，()()3,3,=y x 不满足方程；∴综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为()()()(). 2,2 2,1 1,2,，，=y x 方法2：已知方程化为 ()()()222y xy x y x y x +-+=+令 t y x =+， 则即 t y x =+利用不等式：()xy y x 42≥+ 则： 1）当t=2时，此方程无正整数解；2） 当t=3时，2=y ， 1=y3） 当t=4时，2=y . ∴综上所述：不定方程的正整数解为()()()(). 2,2 2,1 1,2,，，=y x 例2：求不定方程019262=-++-y x yx yx 的整数解.解：方法1：已知方程可化为:019)1322=-+--y x y yx （, 则 此方程可看成关于x 的一元二次方程有整数解的情况∴ )19(4)1342---=∆y y y （=4（1-5y)则∆必是一个完全平方数，这里不妨设：∴512m k -= 由求根公式：1531+-=m x 故方程要有整数根，当且仅当5, 11 51=-=+m m 或经检验：64==m m 或符合题意当4=m 时，21=x ，3142=x ，3-=y 当6=m 时，7161=x ，42=x ，7-=y ∴综上所述：原方程的整数解为)7,4(),3,2(),--=y x （方法2：已知方程化为：x x y 21)3(2-=-分离y: 2)321--=x x y （ 事实上当y=0时，x=21 ,不合题意，则有： 1≥y ，即 1)3212≥--x x （ ∴2)321-≥-x x （ (*)i ）若,0≤x 则有：0)2(2≤+-x 无解ii ）若,0>x 由x 为整数则有1≥x , 则(*)式化为：∴ 6)4(2≤-x∴. 6, 5, 4, 2=x当 2=x 时，y=-3;当4=x 时，y=-7;当5=x 时，25-=y 不合题意舍去;当6=x 时，911-=y 不合题意舍去; ∴综上所述：原方程的整数解为)7,4(),3,2(),--=y x （ 2、同余分析法其一般操作步骤：①方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为 同余式；②由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达 到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强 的观察力！常规的取模原则：①能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模； ②由费马小定理有“)3(mod 3x x ≡”③频率较高者有模3，模4，模8.常规应用：①事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛 而方便的应用；②一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；③具体的：它能解决“Ax+By=C"型整数解问题.例1：求不定方程7x+19y=213的正整数解.解：方程两边同时7mod 得：两边同时乘以3：)7(mod 26-≡y,27 +=∴k y 代入原方程得： ∴ k x 1925-=k x 1925-= （其中k 为整数）令x>0,y>0, 得 ,027 >+k01925>-k ，∴ 192572-<<k∴k=0 ,1.∴方程的正整数解为()()().9,6, 2,25,=y x例2：证明：无整数解.证明： )16mod 151-1-16001599（≡≡=（*） 设x x x x 14321,,,,Λ是方程的整数解，1）若n x i 2=，则)16(mod 01644≡≡n x i ，2）若12+=n x i ，则)8(mod 12≡x i ，故182+=k x i ，从而)16(mod 111664)18224≡++=+=k k k x i （，)16mod 144144241 （≤+++∴x x x Λ与（*）式矛盾∴该方程无整数解.例3：求不定方程75-12=y x 的全部正整数解.解：i ）若75-12=y x ，则方程两边模4得：)4mod 31（≡，矛盾；ii ）若75-12=y x ，则方程两边模3，得：)3mod 11--（）（≡y ，∴y 为奇数若x>1,方程两边模8得：即)8mod 15（≡y ，又 )8mod 152（≡∴y 2，这与y 为奇数矛盾∴ 1=x ，从而1=y综上所述:原方程有唯一的整数解()() 1,1,=y x .3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的 方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法. 常规的次方法分为两类：①因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. ②分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是 将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部 分未知量.常规应用：①多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整 数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分 扎实；②具体的：它能解决“0=+++D Cy Bx Axy )0≠A （”型不定方程.例1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有m 俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为n 根据人数相等可列方程：)32,2( )1(122≤≥⋅-=+n m n m m ；整理为：)32,2( 0122≤≥=---n m m n mn ； 分析： 属于类型“0=+++D Cy Bx Axy )0≠A （”思路一（部分因式分解）：这就化成了例1：求不定方程()72+=+xy y x 的整数解解：分离变量：Θ x,y 为整数∴3)2-y （ ∴ 3 12±±=-，y ∴此方程的解为 （-1,3），（5,1），（1,5），（3，-1）。
第1讲 不定方程的整数解
第一讲 不定方程的整数解一、公式法不定方程解的通解定理：对于整数(),,,,1a b c a b =，设()00,x y 是方程ax by c +=的一组整数解，那么它的一切整数解为：()()00,,x y x bk y ak =+-，其中k 为任意整数.例1 求不定方程231x y +=的一切整数解.例2 求不定方程41022x y +=的一切整数解.二、变量代换法例3 求4521x y +=的一切整数解.例4 求74100x y +=的正整数解.例5 求不定方程12836100x y z ++=的一切整数解.例6、求方程2x y +=的正整数解.例7、一批参观者决定分乘几辆车，要使每车有同样的人数，每辆汽车至多乘32人. 起先每车乘22人，这时有1人坐不上汽车；开走一辆空车，那么所有的参观者刚好平均分乘余下的汽车. 问原有多少辆汽车，这批参观者有多少人？三、不等式法.例8、已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，若干只蟋蟀和蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？例9、求26551x y +=的正整数解.例10、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法例11、求方程n x y z ++=的正整数解，其中n 是正整数，,,x y z 各不相同.例12、证明：不可能有正整数,x y ，使得221111x xy y ++=四、因式分解法例13、证明：方程33311x y +=没有正整数解.例14、求方程26522xy x y +-=的整数解.五、奇偶性分析例15、2006能写成两个整数的四次方的和吗？如能，请举出实例，否则说明理由.例16、求方程1y x z +=的质数解.练习：1.用公式法与变量代换法两种方法求5713x y +=的整数解.2.用不等式控制法求3220x y +=的正整数解.3.求23220x y +=的正整数解.4.求满足不等式2210x xy y ++≤的正整数解(),x y .5.求不定方程2345x y z ++=的一切整数解.6.求不定方程7543x y z -+=的一切整数解.7、 求,,x y z ，使xyz zyx xzyyz ⋅=. 1、求满足11112x y -=且使y 最大的正整数解x . 8、 求()4419870xy x y -++=的正整数解.9、 求满足2243a ab b ++=的正整数,a b .10、 求方程()27x y xy +=+的整数解.11、 求方程()120x x y z +=+的质数解.12、 求方程1111n x y z u+++=的正整数解，其中n 是正整数，且x y z u >>>.。
与数列有关的不定方程的整数解问题初探
与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。
在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。
二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。
数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。
而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。
不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。
三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。
我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。
但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。
对于这种问题，我们可以采用分析的方法。
对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。
不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。
将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。
例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。
组合数不定方程整数解问题
组合数不定方程整数解问题
在数学中，组合数不定方程整数解问题是一个经典的问题，它
涉及到在给定条件下寻找满足特定要求的整数解。
这类问题通常涉
及到组合数的性质和整数方程的解法，需要运用数论和组合数学的
知识来解决。
一个经典的例子是“费马大定理”，它表述了当n大于2时，
不可能找到满足a^n + b^n = c^n的整数解。
这个问题横扫了数学
界数百年，最终由安德鲁·怀尔斯在1994年证明，成为了一个著名
的数学成果。
除了这个著名的问题，组合数不定方程整数解问题还涉及到一
些更加复杂的情况，比如在给定条件下寻找满足特定性质的整数解
的个数，或者寻找满足一定条件的整数解的范围等等。
解决这类问题通常需要灵活运用数论的知识，比如模运算、质
因数分解等，同时也需要掌握组合数学的方法，比如排列组合、递
推关系等。
数学家们通过精巧的证明和推理，不断地攻克这些难题，为数学研究和发展做出了重要贡献。
总之，组合数不定方程整数解问题是数学中一个充满挑战性和魅力的领域，它不仅涉及到数论和组合数学的知识，也需要解决者具备丰富的想象力和逻辑思维能力。
解决这类问题不仅能够深化对数学的理解，也有助于培养解决实际问题的能力。
希望更多的人能够对这类问题感兴趣，并为其解决贡献自己的智慧。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方 程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整 数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理 告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法， 找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根 的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等 式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的 方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。 具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的 特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求 解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。 首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。 然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法一、分情形讨论法分情形讨论法根据不同的系数情况进行分类，找出整数解的条件。
1.一次齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。
如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。
当A和B互质时，可通过贝祖等式（Bézout's identity）来求解。
贝祖等式表示为gcd(A,B) = Ax + By，其中x和y是整数解。
由贝祖等式可得到一组整数解。
然后根据一组特殊解，得到通解（general solution）。
2. 二次齐次不定方程Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0的整数解求法当A、B和C不全为0时，可通过判别式（discriminant）来判断是否存在整数解。
当判别式为完全平方数时，存在整数解；否则不存在整数解。
3.一次非齐次不定方程Ax+By=C的整数解求法当A和B不互质时，可通过A和B的最大公约数（gcd(A,B)）来判断是否存在整数解。
如果C是gcd(A,B)的倍数，则有整数解，否则无整数解。
当A和B互质时，可通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）求解。
首先利用一次齐次方程的解法得到一组特殊解，然后根据一组特殊解，得到通解。
二、裴蜀定理裴蜀定理是数论中的一个重要定理，也是求不定方程整数解的常用方法。
裴蜀定理的全称是裴蜀等式（Bézout's identity），它表明对任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a,b)。
1.判断是否存在整数解的条件当C是gcd(A,B)的倍数时，一次齐次不定方程Ax + By = C存在整数解；否则不存在整数解。
2.求解整数解的方法通过扩展的欧几里得算法（extended Euclidean algorithm），可以求出一组特殊解x0和y0。
关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
不定方程的整数解
不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。
如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。
对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。
不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。
不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。
1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。
分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。
当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。
所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。
2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。
分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。
当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。
所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。
3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。
分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。
将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。
当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。
所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。
4、余数分析余数的和等于和的余数。
例、求4x+5y=102的整数解。
关于几类不定方程的整数解
关于几类不定方程的整数解
1 关于不定方程的概念
不定方程是数学中最常见的一类方程，它可以定义为一个关于未知量的恒等式，该恒等式中含有未知量的一次或多次幂。
不定方程有一类特殊的整数解，这就是有限定义的整数解。
2 有限定义的整数解
有限定义的整数解是指对某个不定方程而言，它可以满足一定条件，使整数解有限，也就是可以找到有限数量的整数解。
有限定义的整数解也可以被认为是不定方程的特殊解。
3 特殊的方法求解有限定义的解
特殊的方法求解这种有限定义的不定方程的解，一种是采用取模方法，也就是取余数；另一种就是采用贝祖定理求解，即将不定方程转换为定向函数求解。
4 取模方法求解不定方程
取模方法求解不定方程时，首先需要从不定方程中得知有限定义的整数解的取值范围，然后可以根据取值范围将所有的可能的有限定义的整数解列出来，然后将每个可能的整数解代入不定方程，如果满足条件则可以证明该整数解即为方程的有限定义的整数解。
5 贝祖定理求解不定方程
贝祖定理是指将不定方程转换为定向函数求解，即将不定方程改写来形成定向函数和定向变量，然后用贝祖定理将其转换为定向函数求解。
贝祖定理的用法十分容易，使用贝祖定理求解不定方程不仅可以找出有限定义的整数解，也可以获得无限多的解，只要满足参数的条件即可。
6 总结
有限定义的整数解是指某个不定方程的特殊解，这些特殊的整数解可以用取模方法或贝祖定理进行求解，其中取模方法是一种重复性操作的简单方法，而且易于理解；而贝祖定理的用法十分简单，只要满足参数的条件，就可以获得不定方程的解，但不一定是有限定义的整数解。
二元二次不定方程的整数解
二元二次不定方程的整数解要求解二元二次不定方程的整数解，可以使用整数域上的一些求根方法。
一种常见的方法是使用整数参数法。
首先，我们假设x和y都为整数，即x = m和y = n，其中m和n都是整数。
将这些表达式代入方程中，我们得到一个仅含有m和n的二元二次方程：am² + bmn + cn² + dm + en+ f = 0。
使用例如绝对值法、分析法、母函数法等数学工具，我们可以找到该方程的一组整数解。
考虑方程的系数a、b和c，我们可以将它们分为以下几种情况来解决具体的整数解问题：情况一：当a、b和c都为奇数时，方程可能无整数解。
这是因为奇数加上奇数等于偶数，而方程中的dm + en项是一个奇数项（m和n都是整数），所以方程左侧是一个奇数，而不会等于0。
情况二：当a、b和c中有一个为偶数，而另外两个为奇数时，方程可能有整数解。
具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
如果方程中的三项dm + en + f都是偶数，那么方程也可能无整数解。
这是因为三个偶数相加等于一个偶数，而方程的左侧是一个奇数，与0不相等。
如果方程中至少有一项dm + en + f是奇数，那么方程可能有整数解。
我们可以通过遍历整数值来解决这个问题，找到方程的具体解。
情况三：当a、b和c中有两个为偶数，而另一个为奇数时，方程可能无整数解。
与情况二类似，具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
情况四：当a、b和c都为偶数时，方程可能有整数解。
具体的解法取决于方程的其他系数d、e和f。
以上是解决二元二次不定方程整数解的一些基本思路和方法。
在实际问题中，根据方程的具体形式和系数情况，我们可以结合以上方法进行具体的求解。
这个过程可能比较繁琐，需要综合运用数学知识和方法，因此需要耐心和细心进行推导和计算。
最后，解二元二次不定方程整数解是一个有挑战性的问题，也是数学中的一个重要研究领域。
在实际应用中，解决整数问题可以帮助我们理解和应用该方程模型，解决一些工程和科研问题。
专题7一元一次方程的不定方程与整数解 教学设计
专题7 一元一次方程的不定方程与整数解 教学设计教学目标1、进一步理解、掌握一元一次方程的相关概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解，能解决一元一次方程中含有字母的问题。
进一步渗透“转化”的思想方法和“分类讨论”的思想。
2、通过例习题练习，使学生有目的的梳理学过的知识，形成知识体系。
3、通过对本节内容的回顾与思考，让学生在学习的过程中获得成功的体验并培养归纳、总结以及语言的表达能力，增强学生学习数学的信心。
教学重点能够解决与一元一次方程有关的含参问题。
教学难点：理解参数所表示的意义。
考查形式：填空题、解答题教学过程一、复习引入1. 若011)1()2(2=+-++k x k x m 是关于x 的一元一次方程，则m= ，k= 。
2. 解方程：)1(32)]1(21[21)3(14.01.05.06.01.02.0)2(215123)1(-=--=+--+=--x x x x x x x 提醒：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax +b ＝0（a ，b 是常数且a ≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x ，且x 的指数是1，（2）x 的系数不等于0，（3）x 的指数高于一次的项系数是0．二、知识梳理当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax +b ＝0（a ，b 是常数且a ≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x ，且x 的指数是1，（2）x 的系数不等于0，（3）x 的指数高于一次的项系数是0．三、例题精讲1、已知方程解的情况求参数例1、已知方程323+=+ax x a 的解是x=4，求a 的值。
关于不定方程的整数解及其解数的讨论
关于不定方程的整数解及其解数的讨论
不定方程是一类方程，其解可能是无限多个或是无法求解。
求解不定方程时，需要了解不定方程的几大解法，熟悉其解数和整数解的概念。
一、不定方程的概念
不定方程是表达式未知量的一次方程，如果一个方程的解集不是一组数，只包含一个x，那么这个方程称为不定方程，其解可能是无限多个。
二、解不定方程的方法
1. 分解因式法：将不定方程拆分成简单的一元一次方程的组合，然后利用一元一次方程的求解方法来求解不定方程。
2. 集合求解法：使用集合求解法可以在不定方程中求出方程的多个解，通过把所有满足方程给出条件的值都组在一起，求出集合的全部元素来求解不定方程。
3. 对比法：也叫移项法，通过将方程的另一边的各项和原方程中的未知数的系数进行比较，合并相同项，然后生成一个新的一元一次方程，最后求出未知数的值来求解不定方程。
三、解数与整数解
1. 解数：一个不定方程通常包含有无限多个解，这些解就是不定方程的解数。
2. 整数解：如果不定方程的解含有整数，那么这个数就叫做不定方程的整数解。
求出不定方程的整数解，可以采取先求出不定方程的解，然后再从中求出整数解的方法。
四、总结
不定方程是一类方程，其解可能是无限多个或是无法求解。
求解不定方程时，需要了解不定方程的几大解法，熟悉其解数和整数解的概念。
不定方程的解数即为
解，而整数解是从解数中求出的整数，是不定方程的特殊解。
只有掌握了解不定方程的解法和求整数解的方法，才能够有效地求解不定方程。
关于不定方程整数解的求法
不定方程整数解求法
一、贝祖定理
贝祖定理又称贝祖重定理，是指在一般的多项式方程中，要求求
出该方程的多个整数的解。
这个定理指出，一定可以在多项式方
程中找到一个特定的整数解。
特别的，若多项式中的项数为２，
那么可以求出１个整数的解。
具体的，贝祖定理通过贝祖重根函數（Bazarenko Roots Function）来实现，它表示为：
B（x）=f（x）+f（-x）
其中，ｆ（x）就是要求解的多项式方程，－ｘ代表变换。
二、变量特征技巧
特征技巧是一种基于整数解的全局解法。
特征技巧以把多变量问
题转换为单变量问题为基础，采取基于变量特征技巧来解决不定
方程整数解。
具体步骤为：
1、计算多项式方程（即原问题中的不定方程）的最大位数。
2、取不定方程的最大位数的一半为特征值（c），即：
C=max{S}/2
3、计算 C 与多项式方程的各项乘积的最大位数，即：
S=max{S*C}
4、把多项式方程的每一项乘以（2^（ｓ-1））作为新变量，再根据新变量求解新的不定方程，即：
Y=2^（s-1） * 不定方程
5、根据贝祖定理，求出新不定方程的一组整数解，再根据特征值
c 与得出的解，解出不定方程整数解，即：
不定方程整数解=Y/2^（s-1） / c。
不定方程的整数解修改稿
一次不定方程的整数解讲稿序言 什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如 2x －y －1＝0，则：y ＝2x －1.分别令x ＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n 值. 我们可以列表说明：∴它的解有无穷多组：⎩⎨⎧==11y x ，⎩⎨⎧==32y x ，⎩⎨⎧==53y x ，⎩⎨⎧==74y x ，⎩⎨⎧==95y x ，……. 也就是说：2x －y －1＝0的所有的解（称为通解）为：y ＝2x －1. 注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k 代替x ，用n 代替y ，并且k 和n 只代表正整数，得到的答案是： 2k －n －1＝0的所有的解（称为通解）为：n ＝2k －1. n ＝1，3，5，7，9，….这个结论表明：如果k 取一切正整数1，2，3，…，那么n 表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）.请记住这个结论：n ＝2k －1表示所有的奇数. 又如 x －2y ＝300的解是：x ＝2y ＋300，每给出一个y 的值，就有一个x 的值与之对应.例如y ＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x 值，我们可以列表说明：∴它的解有无穷多个.又如 方程组⎩⎨⎧=++=++)2....(18023)1........(100z y x z y x ，(2)－(1) 消去一个未知数y 之后，就变形为一个二元一次方程：2y －z ＝80所以它的解也是不确定的．像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组．例1 有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个?…余…余…余分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数. 如果列方程组就是：求个正整数M ：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)3...(27)2...(25)1...(23z M y M x M 我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除，∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2，∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7 ×n 也可以被3、5、7整除，∴这个问题的特解107加上105n 之后，被3、5、7除，余数也是2；∴其通解是107＋105n .例2 现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个?…余…余…余分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2， 这个数可能是3和7的最小公倍数21的k 倍＋2，即21k ＋2：23，44，65，86，107，…中哪一个能被5除余3，就是它的特解.太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n ＋23＝105n ＋23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键．这就是《孙子算经》中的“物不知数”问题．原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？注：《孙子算经》是南北朝时一部重要的数学著作。
第十二讲：不定方程的整数解
上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻且排在7617之前的一个数.例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.2、求方程5x +6y =100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？（答案：最多答对12题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.（答案：⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如方程32=+y x ，或 方程组⎩⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。
不定方程的整数解公式
不定方程的整数解公式不定方程，听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实呀，它在数学世界里可是个很有趣的存在呢！咱们先来说说啥是不定方程。
简单来讲，不定方程就是未知数的个数多于方程个数的方程。
比如说，3x + 4y = 10 ，这里有两个未知数 x 和 y ，但只有一个方程，这就是不定方程。
那不定方程的整数解公式是啥呢？这可得好好琢磨琢磨。
就拿一个例子来说吧，假设咱们有不定方程 5x + 7y = 20 ，咱们想找到它的整数解。
首先，咱们对这个方程进行变形。
5x = 20 - 7y ，然后 x = (20 - 7y) / 5 。
这时候，为了找到整数解，咱们就得想想啦。
因为 x 要是整数，20 - 7y 就得是 5 的倍数。
那怎么才能是 5 的倍数呢？咱们可以一个个去试。
假设 y = 1 ，那么 20 - 7×1 = 13 ，不是 5 的倍数；再假设 y = 2 ，20 - 7×2 = 6 ，也不是5 的倍数；当 y = 3 时，20 - 7×3 = -1 ，还不是 5 的倍数。
一直试到 y = 5 时，20 - 7×5 = -15 ，是 5 的倍数啦，这时候 x = (-15) / 5 = -3 。
但是呢，咱们通常想要的是正整数解或者零解。
那继续往下试，当y = 0 时，x = 4 ，这就是一组整数解啦。
在找不定方程整数解的过程中，有时候可不容易，得有耐心，就像我之前教学生的时候，有个小家伙怎么都弄不明白，急得直挠头。
我就耐心地跟他一点点分析，引导他去尝试不同的数值，最后他终于搞懂了，那高兴的样子，让我也觉得特别有成就感。
再比如说不定方程 2x + 3y = 12 ，咱们同样可以通过变形和尝试来找到整数解。
2x = 12 - 3y ，x = (12 - 3y) / 2 。
假设 y = 0 ，x = 6 ；y = 1 ，x = 4.5 ，不是整数；y = 2 ，x = 3 ；y = 3 ，x = 1.5 ，不是整数；y = 4 ，x = 0 。
不定方程的整数解
解得３ｘｙ＝０８无整数解．同 （＋）２０ ，
经 现 察 ，粕，０＝ 一 ，） 方 程 ７＋ ｙ １ 一 组 特 解 ， 以 （ ｙ） （ ｌ２ 是 ４＝ 的 所
（ｏｙ） （ １ ｏ ２ ０ 是 方 程 ＋ １ ｏ 一 组特 解．所 以方 程 ＋ ，０ 一 ０ ，０ ） ＝ ４： ０ 的
Ａ Ｏ Ｂ Ｃ ３ Ｄ 无 穷 多 ． ．１ ． ．
倒当 ｙ时 方÷１ １ 的整解２ ， ４ ≤ ， 程 ＋ ＝ 正数．０ ≤ 求 ８ （７ ０
太原市初 中数学竞赛 ）
解 析 由题 意 可 知 １ 且 ≥ ＞， ≥ ＞ ．故 ＜ ＋ ＋ ｏ
倒３ 方 程 ２ ２ ２ ｏ 的所 有不 同的整 数解 共 有— — ＋ 什 ０７ ５
倒 １ 鸡 翁一 ， 钱 五 ， 值 鸡母 一 ， 钱 三 ， 值 鸡雏 三 ， 钱 一 ， 钱 值 百
买百鸡 ， 、 、 、 问鸡 翁 母 雏各几何 ？（ 隋代 的百钱买百鸡 问题 ）
解 析 设 鸡 翁 、 母 、 雏 的 数 目分 别 为 ｙｚ 由题 意 得 鸡 鸡 ，，．
方法 ．
ｙ ｌｚ ＝ ＋．代入 有２＋ ＝ ９７－ ， ％２＝ ９ ６ ￣ ＝ ｔ代入 有２２ ＝ ｚ ｌ １９ － 即ｘ ｚ １９．１ｘ２， ｘ － ｔｚ ＋
９ ８ ｇ ｚ ９ ８ ２ ２ ＝ ９ － ｔ ９ ．ｌ ＿ ９ — ｔ ｙ ９ ９ ２￣ ￣－ ．
所 以对 于任 意 整数ｔ方程 解 ，，） （ ，９ — ｔ９ ８ ２ ） ， ）ｚ＝ ９ ９２２ ９－ ｔ 有 ，
｛ ３ ＝ ｏ． ｌ＋ｒ ： ｏ ＇ 】 ５ ＋ ｘ
３
Ｉ
消－ ｚ ｘ ４ ＝ ０ ．因为 （ ， ） １ 所 以原 方程 Ｌ 得７ ＋ ｙ １０ － ７４ ＝ ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我们曾经学过一元一次方程，例如个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，0⎩0⎩
满足上式的整数解．
这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．
由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．
例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =⎧⎨=⎩
，则此方程的所有整数解可表示为：4514x k
y k =+⎧⎨=-⎩．
板块一 不定方程的整数解
中考要求
不定方程及整数解
【巩固】求3710725
x y
+=的整数解．
【巩固】求方程的整数解：⑴721571
x y
+=；⑵103905
x y
-=．【例2】求719213
x y
+=的所有正整数解．
【巩固】求方程5322
x y
+=的所有正整数解．
【巩固】求62290
x y
+=的非负整数解．
【例3】求23734
x y z
++=的整数解．
【巩固】求92451000
x y z
+-=的整数解．
【例4】求方程组
57952
35736
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
++=
⎩
的正整数解．
【例5】求不定方程2()7
x y xy
+=+的整数解. 【例6】求方程22
x y x xy y
+=-+的整数解.
【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程
44
23
ab bc ac bc +=⎧⎨
+=⎩ 的正整数(,,)a b c 的组数是（ ）.
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4
【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（ ）.
（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对
【例9】 求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数．
【例10】 求方程2245169x xy y -+=的整数解.
【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有
a b <及1b c +=.
板块二 证明不定方程无整数解
【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）
A.3150x y +=
B.9111x y -=
C.23423x y y z -=⎧⎨+=⎩
D.231223x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩
【例13】证明方程22
x y
-=无整数解.
257
【例14】(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数,x y使方程22
+-=成立。
32122
x xy y
【例15】求证：方程x y z u
x y z u
+=+没有各不相同的正整数解．
板块三不定方程的应用
【例16】某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分贷款，有多少种不同的方法？
【例17】大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
【例18】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分，问：小鸡至少被套中几次？
【例19】 把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后
一只猴子得不到5颗，那么，共有______只猴子，共有______颗花生．
【例20】 今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克.现要配制成浓度为7%
的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？
【例21】 甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；
如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
【例22】 有一种体育竞赛共含M 个项目，有运动员A B C 、、参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得1p 、
2p 、3p 分，其中1p 、2p 、3p 为正整数且123p p p ＞＞，最后A 得22分，B 与C 均得9分，B 在百米
赛中取得第一．求M 的值，并问在跳高中谁取得第二名？
【例23】 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
【例24】旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？
【例25】把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后
【例26
【例27
【例28
a满足
6。