第二章第十一节变化率与导数、导数的计算

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
返回
返回
[精析考题] [例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
2020 第二章第十一节变化率与导数、导数的计算
返回
返回
返回
返回
(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0处)) 的 切线的斜率．(瞬时速度就是位移函数
s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
解：(1)∵s＝8－3t2， ∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v ＝ΔΔst＝－6－3Δt.
返回
(2)定义法：质点在t＝1时的瞬时速度
v＝ lim x0
ΔΔst＝
lim
x0
(－6－3Δt)＝－6.
导数公式法：质点在t时刻的瞬时速度
v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.
当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
返回
[冲关锦囊]
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数f′(x0)＝ lim x0
Δy Δx.
返回
[精析考题]
[例2] (2019·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0
(g(x)≠0)．
返回
［理］四、复合函数的导数 设u=v（x）在点x处可导，y=f（u）在点u处可导，
则复合函数f［v（x）］在点x处可导，且f′（x）= f′（u）·v′（x） ，即y′x= y′u·u′x .
返回
返回
1．(2011·江西高考)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
2．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝
fx＋Δx－fx为f(x)的导函数．
lim
Δx→0
Δx
返回
二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax
f(x)＝ex
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx f′(x)＝ axlna f′(x)＝ ex
返回
解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)． 答案： A
返回
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
解析： y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案： B
1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则， 求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
返回
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
的解集为
()
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
返回
[自主解答] f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2xx＋1>0. ∵x>0，∴x>2.
[答案] C
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
返回
原函数 f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝ 1
xlna f′(x)＝ 1
x
返回
三、导数的运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； 2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．[gfxx]′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
返回
[自主解答] (1)因为ΔΔຫໍສະໝຸດ Baiduy＝fx＋ΔΔxx－fx
＝x＋ΔΔxx2－x2
＝x2＋2x·ΔxΔ＋x Δx2－x2＝2x＋Δx，
所以y′＝ lim x0
ΔΔxy＝
lim
x0
(2x＋Δx)＝2x.
返回
(2)Δy＝x＋4Δx2－x42＝－4xΔ2xx2＋x＋ΔxΔx2 ，
ΔΔxy＝－4·x22xx＋ ＋ΔΔxx2，
∴ lim x0
ΔΔxy＝
lim
x0
－4·x22xx＋ ＋ΔΔxx2＝－x83.
返回
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两 种方法)．
返回
返回
解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a2k)处的切线方程为 y－a2k＝2ak(x－ak)， 又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)， 所以ak＋1＝12ak，
返回
即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12， ∴a3＝4，a5＝1， ∴a1＋a3＋a5＝21.
答案： 21
返回
返回
() 返回
4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝13－8x＋ 2x2，且f′(x0) ＝4，则x0的值为________． 解析：∵f′(x)＝－8＋2 2x，∴－8＋2 2x0＝4. ∴x0＝3 2. 答案：3 2
返回
5．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴 的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则 a1＋a3＋a5的值是________．
A．1
B．2
C．e
D.1e
解析：由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝
e0＝1
答案：A
返回
2．(教材习题改编)某汽车的路程函数是 s(t)＝2t3－12gt2(g＝10
m/s2)，则当 t＝2 s 时，汽车的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
C．10 m/s2
D．－4 m/s2