第二章第十一节变化率与导数、导数的计算
《2.11变化率与导数、导数的计算》 教案
教学过程一、课堂导入1．从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右．3．命题切入点：在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查与解析几何结合的相关知识．二、复习预习导数的概念、几何意义及其运算是运用导数解决问题以及导数在实际生活中的应用的基础，虽然相关知识点的考查为A,B级，但是在许多综合题目中都会涉及本节知识点，需要学生在运用本节知识点理解题意的基础上进一步的运用导数。
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.三、知识讲解考点1 导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的导数一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，称其为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '．考点2 导函数当x 变化时，)(x f '称为)(x f 的导函数，则xx f x x f y x f x ∆-∆+='='→∆)()(lim)(000特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别，)(x f '是一个函数，)(0x f '是常数，)(0x f '是函数)(x f '在点0x 处的函数值．考点3 导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-．特别提醒：求函数)(x f y =在点),(00y x P 处的切线方程与求函数)(x f y =过点),(00y x P 的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为))((000x x x f y y -'=-，后者可能不只一条．考点4 几种常见函数的导数考点5 导数运算法则(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='； (3))()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '-'='，)0)((≠x g考点6 复合函数的导数(理)设函数)(x ϕμ=在点x 处有导数)(x ϕμ'='，函数)(μf y =在点x 的对应点μ处有导数)(μf y '='， 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且x x y y μμ'⋅'='四、例题精析【例题1】【题干】求下列函数的导数(1)y＝x＋x5＋sin xx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝cos 2xsin x＋cos x.【解析】(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin xx 2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .【例题2】【题干】求下列复合函数的导数：(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1；(3)y＝1(1－3x)4；(4)y＝x1＋x2.【解析】(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .(2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x21＋x 2 .【例题3】【题干】已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．【解析】(1)f′(x)＝1x＋1，则f′(x0)＝1x0＋1，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为y－f(x0)＝1x0＋1(x－x0)，即y＝xx0＋1＋x0＋2x0＋1.所以当x0＝1时，切线l的方程为x－2y＋3＝0.(2)当x＝0时，y＝x0＋2x0＋1；当y＝0时，x＝－x0－2.S△AOB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋2x0＋1·(x0＋2)＝(x0＋2)22 x0＋1，∴S△AOB ＝⎝⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.【例题4】【题干】若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.【答案】 π2【解析】∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2 ＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.四、课堂运用【基础】1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时，恒有f′(x)<0.2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于() A．0 B．－1C.12D．2解析：选C f′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝1 2.3．(2013·大庆模拟)已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为()A．1 B.1 eC.2e D.2e解析：选B从函数图象知在直线y＝kx与曲线y＝ln x相切时，k取最大值．y′＝(ln x)′＝1x ＝k，x＝1k(k≠0)，切线方程为y－ln 1k ＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－1k，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k＝－1，k＝1e.【巩固】4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：－45．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)【拔高】6．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B根据函数的求导公式知只有(1)正确．7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：218．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x 轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.课程小结1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．。
高中数学全程复习方略 2
(6)(ax)′=_a_x_l_n_a_(a>0)；
1
(7)(lnx)′=_x _；
1
(8)(logax)′=__x _l n_a _(a>0且a≠1).
【即时应用】
(1)y=x-5，则y′=______.
(2)y=4x，则y′=______.
(3)y=log3x，则y′=______.
(4)y= s i n ，则y′=______.
②方法一：
y′= (ex1)(ex1)(ex1)(ex1)
(ex1)2
=
ex(ex1)(ex1)ex (ex1)2
2ex (ex1)2.
方法二：∵y= exex1121ex21,
∴y′= 1 ( e,即x2y1′)=
2ex . (e x 1)2
【反思·感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运 算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.
( D ) 1
【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以直接求出切线斜率；
(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标；(3)求切线与直
线y=0和y=x的交点，进一步求面积.
【规范解答】(1)选B.
y′= cosx (sinxcosx)sinx(cosxsinx)
(sinxcosx)2
=
(sinx
f(x)g(x)f(x)g(x)
(3)[ f x ]′=______[_g_(x_)_]2______(g(x)≠0).
g (x )
【即时应用】
(1)y=x3+sinx，则y′=_______.
(2)y=x4-x2-x+3，则y′=_______.
(3)y=(2x2+3)·(3x-2)，则y′=_______. (4)f(x)= e x ，则f′(x)=_______.
变化率与导数、导数的计算
课堂互动讲练
【规律总结】 函数的导数与导 数值的区别与联系：导数是原来函数 的导函数，而导数值是导函数在某一 点的函数值，导数值是常数．
课堂互动讲练
考点二 导数的运算
1．运用可导函数求导法则和导 数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a， b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数y＝f(x)的结构和特 征； (2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导； (3)整理得结果．
三基能力强力
4．(教材习题改编)已知f(x)＝13 －8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝ ________.
5 2 答案： 2
三基能力强力
5．(2009年高考江苏卷改编)已知 点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过 点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0， 则点P的坐标为________． 答案：(－2,15)，(2，－9)
【思路点拨】 首先要判断已知 点是否在曲线上，再根据切线的斜率 即导数值列方程解决问题．
课堂互动讲练
【解】 (1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴点(2，－6)在曲线上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝3×22＋1＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)． 即y＝13x－32. 4分
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 10 分)已知函数 f(x)＝ ax－6 的图象在点 M(－1，f(－1))处的切 2 x ＋b 线方程为 x＋2y＋5＝0，求函数 f(x)的解 析式．
课堂互动讲练
解：由M(－1，f(－1))在x＋2y＋ 5＝0上得 －1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝ －2. －a－6 也即 ＝－2.① 4分 1＋b a(x2＋b)－2x(ax－6) f′(x)＝ ，由 2 2 (x ＋b) 1 f′(－1)＝－ 得 2
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
高考数学复习课件变化率与导数导数的运算课件理北师大版
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
6．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的
关系为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．
一个区别 曲线 y＝f(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的 切线的区别： 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝ f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切 点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
值记为f′(x)：f′(x)＝
，则f′(x)是关于x
的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
4．基本初等函数的导数公式 若f(x)＝c，则f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝ axln a ；
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)；
函数值y关于x的平均变化率为ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝fx0＋ΔΔxx－fx0，
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的
值，则这个值为函数y＝f(x)在x0点的导数，记为f′(x0)＝ x1l→imx0
[解答示范] (1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋2x－1，
x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)， (1分)
变化率与导数、导数的计算 (共31张PPT)
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
3x2sin x－x3－1cos x y′ = sin2x
考点一
导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．基本初等函数的导数公式 (xα)′＝αxα－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′ 1 1 ＝a ln a，(e )′＝e ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝x. xln a
'
(二)小题查验
判断正误
(1)sin
π π ′＝cos 3 3
(× ) (× )
(√ )
1 1 (2)若(ln x)′＝x，则x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
基础盘查三
导数四则运算法则
(一)循纲忆知
能利用导数的四则运算法则求解导函数．
知识小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 ( × )
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x； (3)y＝ cos x ； ex
课时变化率与导数导数的计算
第二章 函数、导数及其应用
2．导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝ y′ ＝
fx＋Δx－fx
liΔmx→0
Δx
.
【思考探究】 f′(x)与f′(x0)相同吗？ 提示： f′(x)与f′(x0)不相同；f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是 函数f′(x)在点x0处的函数值． 3．导数的几何意义
(2)Δy＝x＋4Δx2－x42＝－4xΔ2xx2＋x＋ΔxΔ2x，
ΔΔyx＝－4·x22xx＋＋ΔΔxx2，
∴liΔmx→0 ΔΔyx＝liΔmx→0 －4·x22xx＋＋ΔΔxx2＝－x83.
工具
第二章 函数、导数及其应用
求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、 商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析 函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于 不具备求导法则结构形式的要适当变形．
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
解析： y′＝(xcos x)′－(sin x)′
＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x
＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
.
工具
第二章 函数、导数及其应用
1．(2010·全国新课标卷)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为
()
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
解析： ∵点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，
高中数学变化率与导数 导数的计算讲义
3.1-3.2 变化率与导数 导数的计算一、导数的概念1、平均变化率：函数y ＝f(x)在x 0处的变化量△y ＝f(x 0＋△x)－f(x 0)与自变量的变化量△x ＝(x 0＋△x)－x 0的比：xy ∆∆＝x x f x x f ∆-∆+)()(00。
2、函数在x ＝x 0处导数的定义： 一般地，设函数y ＝f(x)在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0的附近改变量为△x 时，函数值的改变量为△y ＝f(x 0＋△x)－f(x 0)，如果△x 趋近于0时，平均变化率x y ∆∆＝x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于一个常数m ，即0lim →∆x xy∆∆＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00＝m ，这个常数m 叫做函数f(x)在点x 0处的瞬时变化率。
函数．．f(x)．．．．在点．．x ．0．处的瞬时变化率又称为函数．．．．．．．．．．．．y ．＝．f(x)．．．．在．x ．＝．x ．0．处的导数．．．．。
记作： f ˊ(x 0)或y ˊ｜0x x =，即： f ˊ(x 0) ＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00＝0lim x x →∆1212)()(x x x f x f --（1）、函数y ＝f(x)在x 0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x 0处可导。
（2）、函数y ＝f(x)在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则说函数f(x)在区间（a ，b ）可导。
3、导函数的定义：xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ˊ(x 0)表示一个确定的数值，即f ˊ(x 0)＝xyx ∆∆→∆lim 0。
当x 在区间（a ，b ）内变化时，f ˊ(x)便是x 的一个函数，我们称它为f(x)在（a ，b ）的导函数（简称导数）。
y ＝f(x)导函数有时记作y ˊ，即f ˊ(x) ＝y ˊ＝lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(。
(完整版)变化率与导数及导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
变化率与导数、导数的运算 课件
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1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
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角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
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5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
《变化率与导数》课件
五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数，几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割 线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势，凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率，可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率，右导数是函数在某点右 侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数
变化率与导数、导数的计算.
变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx＝li m Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．几种常见函数的导数3(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f xg x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2sin x 2．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．43．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0 4．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝ A.12 B ．－12 C.13 D ．－135．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[例1] (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e ；(5)y ＝x ＋x 2＋1.【互动探究】若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”，应如何求解？【方法规律】 导数的计算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．求下列函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x；(5)y ＝3－x ＋e 2x.[例2] (1)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝A ．－eB ．－1C ．1D ．e(2)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215(3)(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.【方法规律】 导数运算的两个技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误．1．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 014(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x1．导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．2．高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程； (3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围．[例3] (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．(2)(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.(3)(2013·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.(4)(2014·南京模拟)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求切线倾斜角的取值范围．先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．1．已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( ) A ．－3 B ．9 C ．－15 D ．－72．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1 3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示(三)导数几何意义应用的易误点[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[名师点评] 1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线的方程为________________．[全盘巩固]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．2cos 1－sin 1C ．cos 1－sin 1D ．1 2．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．23．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－84．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 5．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 26．(2014·抚州模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π7．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．8．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．9．(2014·延安模拟)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2；(3)y ＝x －sin x 2 cos x2；(4)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cosx .11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．[高频滚动]1．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③2．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3x －，x >2则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变化率与导数、导数的计算答案1.解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2；(3x )＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2.解析：选B ∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， 又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.3.解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2.∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 4.解析：选B ∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.5.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] [自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(5)y ′＝ln 2x ＋3′x 2＋1－ln 2x ＋3x 2＋1′x 2＋12＝2x ＋3′2x ＋3·x 2＋1－2x ln 2x ＋3x 2＋12＝2x 2＋1－2x 2x ＋3ln 2x ＋32x ＋3x 2＋12.解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝－12cos x ．解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin xx2＝x －32＋x 3＋sin x x2，y ′＝(x －32)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－－x－x2＝2－x2.(4)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(5)y ′＝12(3－x )－12(3－x )′＋e 2x (2x )′＝－12(3－x )－12＋2e 2x.[例2] [自主解答] (1)∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[]2xf′＋(lnx )′＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1. (2)因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2x －a 8＋[]x －a 1x －a 2x －a 8′·x ＝(x－a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[]x －a 1x －a 2x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.(3)令t ＝e x，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2.[答案] (1)B (2)C (3)2解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.∴f (x )＝cos x ＋x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π3＝12－π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.解析：选C f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x －cos x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x .故f n (x )是以4为周期的周期函数，又2 014＝503×4＋2，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x .[自主解答] (1)y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，故切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)∵f (x )＝ax 2－ln x ，则f ′(x )＝2ax －1x ，∴f ′(1)＝2a －1＝0，得a ＝12.(3)求导得y ′＝αxα－1，切线的斜率k ＝α，由点斜式得切线方程为y －2＝α(x －1)．∵切线经过原点(0,0)，∴－2＝α×(－1)，α＝2.(4)∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2.∵e x >0，∴e x＋1e x ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.[答案] (1)y ＝4x －3 (2)12 (3)2 (4)⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选C 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9，∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.解析：选A 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12. 解析：设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标为(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案： 2 [解题指导] 由于点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，通过直线与y ＝x 3相切求得切点坐标，然后再求a 的值．[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32.又点N 在切线上，所以有2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2.故切线方程为y ＝21x ＋32.答案：y ＝21x ＋321解析：选B ∵y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， ∴y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.3解析：选C 由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．4.解析：选A y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1.5解析：选C ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b 得b ＝ln 2－1.6.解析：选B 由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.7.解析：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：148.解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09.解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)10.解：(1)∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b ) sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .∵f ′(x )＝x cos x ，∴必须有⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0⇒a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.11解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2.∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 2＋1＝4，解得x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12.解：(1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝ －2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516.∴当a ＝54时，(ab )max ＝2516.[高频滚动]1解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水．所以一定正确的是①.2解析：选C 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确.。
变化率与导数及导数的计算
变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。
导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。
导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。
若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。
导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。
导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。
一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。
函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。
二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。
若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。
瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。
当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。
2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。
变化率与导数导数的计算
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的 变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的 最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼 茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度， 例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射 程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频 率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一 点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点 处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐 点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通 过两边取对数，转化为显函数进行求导 。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以 通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。
2-11第十一节 变化率与导数、导数的计算(2015年高考总复习)
2．函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx lim Δx 称函数f′(x)＝ Δx→0 函数有时也记作y′.
为f(x)的导函数，导
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3．基本初等函数的导数公式
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课 本 导 读 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 Δy fx0＋Δx－fx0 lim Δx lim ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处 Δx Δx→0 Δx→0 Δy 的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx＝ Δx→0 fx0＋Δx－fx0 lim . Δx
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x x 1 (3)∵y＝sin (－cos )＝－ sinx， 2 2 2 1 1 1 ∴y′＝(－ sinx)′＝－ (sinx)′＝－ cosx. 2 2 2 2x－1 (4)(理)y′＝(ln )′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－ 2x＋1 1 1 2 1)]′－[ln(2x＋1)]′＝ · (2x－1)′－ · (2x＋1)′＝ 2x－1 2x＋1 2x－1 2 4 － ＝ . 2x＋1 4x2－1
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当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
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[冲关锦囊]
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数f′(x0)＝ lim x0
Δy Δx.
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[精析考题]
[例2] (2019·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
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[精析考题] [例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则， 求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
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2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
2020 第二章第十一节变化率与导数、导数的计算
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(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0处)) 的 切线的斜率．(瞬时速度就是位移函数
s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
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原函数 f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝ 1
xlna f′(x)＝ 1
x
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三、导数的运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； 2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．[gfxx]′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
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解析：∵y′＝2x，∴在点(ak，a2k)处的切线方程为 y－a2k＝2ak(x－ak)， 又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)， 所以ak＋1＝12ak，
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即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12， ∴a3＝4，a5＝1， ∴a1＋a3＋a5＝21.
答案： 21
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2．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝
fx＋Δx－fx为f(x)的导函数．
lim
Δx→0
Δx
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二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax
f(x)＝ex
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx f′(x)＝ axlna f′(x)＝ ex
解：(1)∵s＝8－3t2， ∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v ＝ΔΔst＝－6－3Δt.
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(2)定义法：质点在t＝1时的瞬时速度
v＝ lim x0
ΔΔst＝
lim
x0
(－6－3Δt)＝－6.
导数公式法：质点在t时刻的瞬时速度
v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.
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[自主解答] (1)因为ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx
＝x＋ΔΔxx2－x2
＝x2＋2x·ΔxΔ＋x Δx2－x2＝2x＋Δx，
所以y′＝ lim x0
ΔΔy＝
lim
x0
(2x＋Δx)＝2x.
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(2)Δy＝x＋4Δx2－x42＝－4xΔ2xx2＋x＋ΔxΔx2 ，
ΔΔxy＝－4·x22xx＋ ＋ΔΔxx2，
A．1
B．2
C．e
D.1e
解析：由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝
e0＝1
答案：A
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2．(教材习题改编)某汽车的路程函数是 s(t)＝2t3－12gt2(g＝10
m/s2)，则当 t＝2 s 时，汽车的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
∴ lim x0
ΔΔxy＝
lim
x0
－4·x22xx＋ ＋ΔΔxx2＝－x83.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两 种方法)．
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() 返回
4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝13－8x＋ 2x2，且f′(x0) ＝4，则x0的值为________． 解析：∵f′(x)＝－8＋2 2x，∴－8＋2 2x0＝4. ∴x0＝3 2. 答案：3 2
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5．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴 的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则 a1＋a3＋a5的值是________．
(g(x)≠0)．
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［理］四、复合函数的导数 设u=v（x）在点x处可导，y=f（u）在点u处可导，
则复合函数f［v（x）］在点x处可导，且f′（x）= f′（u）·v′（x） ，即y′x= y′u·u′x .
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1．(2011·江西高考)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
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解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)． 答案： A
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3．函数y＝xcos x－sin x的导数为
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
解析： y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 答案： B
的解集为
()
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
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[自主解答] f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2xx＋1>0. ∵x>0，∴x>2.
[答案] C
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)