《算盘书》和斐波那契数1
斐波拉契数列(教师版)--高中数学
专题突破之--斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)3.通项公式：a n =151+52n-1-52n【常考性质】性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1性质3.平方性质：a n 2=a n a n +1-a n a n -1平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2=a n a n +1性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)n +1；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a na n +1<n -1n -2性质7.质数数量：每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；‧‧‧‧‧‧性质8.两倍数关系：a2n a n=a n -1+a n +1性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=12(a3n+2-1)性质10.a n+1+5-1 2a n是等比数列【两个重要关联】1.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：a1=C00=1a2=C01=1a3=C02+C11=1+1=2a4=C03+C12=1+2=3a5=C04+C13+C22=1+3+1=5a6=C05+C14+C23=1+4+3=8a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13‧‧‧‧‧‧a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)2.计数问题问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.【训练题组】一、单选题1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项【答案】C【解析】因为a1=a2=1，所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m=F m+1．即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．故选：B．利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021．故选：B．4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n的通项公式为a n=A⋅1+52n+B⋅1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125= .(x 表示不超过x的最大整数)()A. 10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列a n逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525∈-1,0，所以1+525∈11,12，故1+525=11．故选：B5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L2024．6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；a n+2=a n+1+a n，a n+1=a n+a n-1，a n=a n-1+a n-2，⋯⋯a3=a2+a1，相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.故选C．8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为F n+1=F n+2-F n，所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n=F n+1F n+2-F n F n+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．故选：B．9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n中，a n a n+2+a n+2a n+4称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n=()A.a n a n+5B.a2n+3C.a n+2a n+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n，则数列a n的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得a n为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以a n是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=673×3+2，所以数列a n的前2021项的和为673×2+2=1348．故选B．11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．故选：A．12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为a n+2=a n+1+a n，所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C．13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，∴a2+S n=a n+2，∴a n+2-S n=a2=1，∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，故选：C．由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．故选：C．根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1<log ana n+1<n-1n-2知答案为A.二、多选题1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()A.a7=13B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；设数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：ABC．根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()A.b7=21B.b1+b2+b3+b5+b7=51C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1D.b n-2+b n+2=3b n【答案】ACD【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，∴b6=13，b7=21，A正确;b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．故选ACD．3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696【答案】ABC【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 22020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0【答案】ABD 【解析】由题意得b n =π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 22019=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2020a 2021-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为a n，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()A.1010k=1a2k=a2021 B.S13=29a8C.2020k=1a k+2a k-a2k+1=0 D.S n=a n+2-1【答案】BCD【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，因此我们归纳、猜想1010k=1a2k=a2021-1，事实上，1010k=1a2k=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2021，故选项A错误;可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，归纳得到2020k=1(a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=a n+2-1，故选项D正确．6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a nB.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1D.4c n-c n-1=πa n-2⋅a n+1【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*，所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n4，故4c n-c n-1=4π⋅a2n4-π⋅a2n-14=πa2n-a2n-1=πa n-2⋅a n+1，故选项D正确，故选ABD．7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是A.M 2022=1B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1【答案】BC【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1=F n F n+1-F n F n-1，故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需143≤a<232，BC均符合要求．故选：BC．三、填空题1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列a n为斐波那契数列，数 满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n为斐波那契数列.已知数列a n 列b n的前12项和为86，则b1+b2=．满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n的前2022，则数列a n 项的和为．【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，∴数列{a n}是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=252×8+6，∴数列{a n}的前2022项的和S2022=252×9+8=2276．故答案为：2276．3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1．由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，所以③正确．当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．故答案为：①②③．根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式a n=151+52n-1-52n等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127．又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，所以a126a127的个位数字为4．故答案为：4．6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n.利用下图所揭示的F n的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F2022⋅F m中，m=．【答案】2020【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，所以F2022⋅F2021=F2021+F2020⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021=F2022⋅F m，所以F2022-F2021=F m，所以F2022=F2021+F m，由F2022=F2021+F2020，所以F m=F2020，所以m=2020，故答案为 2020．。
斐波那契数列
这个数正是有名的黄金分割数．
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数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地 联系在一起． 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来 的，如果它在其它方面没有应用，它就不会 有强大的生命． 发人深省的是，斐波那契数 列确实在许多问题中出现．
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自然界中的斐波那契数
黄金分割大量地出现在绘画艺术中，并形成 了黄金分割学派，其中包括达·芬奇、A.丢勒、G. 西雷特等许多画家． 15世纪和16世纪早期，几乎所有的绘画大师 都试图将绘画中的数学原理与数学和谐和主要目 的结合起来．米开朗琪罗、拉斐尔及其他许多艺 术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应 用于艺术．
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二、黄金分割
著名天文学家开普勒说： 几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定 理，一个是黄金分割．前者可以比作金矿，后者 可以比作珍贵的钻石矿．
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两千年前，希腊数学家考虑如下问题： 设线段 AB ，
A
• C
B
AB AC = . 在 AB 上找一点 C ， 使得 AC CB 令 x = AB = AC , 于是有 x = AC + CB = 1 + CB = 1 + 1 , AC CB AC AC x
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例如，画家波提切利的名作“维纳斯的诞生”
女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，花神、风神迎送左右的情形．画中也包 含了黄金分割． 21
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画家A.丢勒寻求将人体的形状归结为数学原理， 这在他的数以百计的素描中得到证明．
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。
本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21345589大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21345589144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。
仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。
2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。
从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。
数学有趣故事
数学有趣故事第一章：神奇的斐波那契数列在数学领域中，斐波那契数列是一个非常有趣的数列。
它的开始是0和1，然后每一个后续项都是前两个项的和。
所以，数列的开头是0、1、1、2、3、5、8、13、21......斐波那契数列最早是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在13世纪提出的，并在他的著作《算盘书》中首次出现。
但这个数列在古代的印度、波斯和阿拉伯等地区也有相似的数列。
斐波那契数列在西方和东方数学文化中都有重要的地位。
斐波那契数列有着许多有趣的特性和应用。
例如，该数列在自然界中会出现很多次。
例如，许多植物的花瓣数、蜂窝中六角形蜜蜂房的排列、贝壳螺旋形状等，都与斐波那契数列有关。
此外，在金融、计算机科学等领域中，斐波那契数列也有重要的应用。
第二章：神奇的黄金分割比例黄金分割比例是另一个有趣的数学概念。
黄金分割比例是指将一段分为两部分，使得整体与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例。
这个比例大约等于1.。
黄金分割比例在艺术、建筑和自然界中都有广泛的应用。
许多古代建筑物的比例采用了黄金分割比例，以求达到美学上的完美平衡。
著名的古希腊建筑师帕特农神庙的柱子之间的间距就是以黄金分割比例来计算的。
此外，黄金分割比例还在许多自然界中的事物中出现，例如海洋的贝壳、植物的分枝以及人体的身体比例等。
这个有趣而神秘的比例一直以来都吸引着数学家、艺术家和学者们的深入研究。
第三章：数字魔法数字魔法是一种有趣的数学游戏，可以用来娱乐和挑战思维。
在数字魔法中，你需要选择一些数字，然后按照特定的规则进行操作，最终得出一个特殊的结果。
例如，考虑以下操作：从一个三位数的数字中，从左到右每次取出一个数，然后再将这三个数相加。
然后，将得到的结果再次进行相同的操作，直到最终得到一个两位数的数字。
并且，这个两位数的数字对称，即十位数等于个位数。
让我们看一个例子：选择数字123，按照规则进行运算，有：1+2+3=66是一个一位数，所以得到的结果是6。
斐波那契与《算盘书》
制作人： 绪绍玲 1020510127
10级数转本2班
16.2斐波那契与《算盘书》
一、“生兔子问题”——斐波那契数列的由
来 斐波那契（Fibonacci,约1170~约1250），13世纪意大
利著名的数学家，生于比萨，早年随父亲经商，到北非 的布日伊（Bougie）受教育，从一位阿拉伯教师学习计 算，掌握了印度数码这一新的技术体系，后游历到埃及、 叙利亚、希腊、西西里、法国等地，掌握了不同国家和 地区的商业算数体系。1200年左右回比萨，潜心研究， 于1202年写成名著《算盘书》。斐波那契被誉为点燃西 方文艺复兴之火的第一个伟大的数学家，使西方数学开 始进入一个新时期。除了《算盘书》外，他的其他著作 还有《实用几何》（1220）、《平方数书》（1225）， 前者以欧几里得式的严谨和某种独创性熟练地处理了大 量的几何学和三角学的问题；后者专论二次丢番图方程， 也包括个别三次方程的求解，是当时数论的名作。
在解微分方程中也会类似地利用上述介绍的求解递推方程的方法。鲁卡 斯还把斐波那契数列用于研究素数的分布，得到一些有价值的结果。
由于斐波那契数列是一个十分奇特的数列，在18世纪创立的循环数理 论中，斐波那契数列数列成了主要的内容。1963年成立了斐波那契协 会，美国专门出版了一份季刊《斐波那契季刊》，专门登载有关这个 数列性质的最新发展，尽管斐波那契数列的通项公式和关于斐波那契 数列的一系列成果是后人得到的，但我们应该承认，这些数学成果都 起因于斐波那契数列在《算盘书》中的“生兔子问题”。 我们见过的：
5 1 2
0.618
事实上 ，
5 1 2
1 1 1 1 1
它的渐进分为
1 1 2 3 5 8 , , , , , , 1 2 3 5 8 13
斐波那契数列背后的故事
斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一组数字序列，起源于13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）的著作《算盘书》（Liber Abaci）。
这个数列的特点是每个数字都是前两个数字之和。
它的前几个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
斐波那契数列背后的故事与斐波那契在《算盘书》中提出的一个问题有关。
在书中，斐波那契提出了一个关于兔子繁殖的问题，以展示斐波那契数列的应用。
问题是这样的：假设一对刚出生的兔子，一个月后就可以生育，每对兔子每个月可以生下一对小兔子，并且新出生的小兔子出生后一个月就可以生育。
如果不考虑兔子的死亡，问一个月后会有多少对兔子？
斐波那契通过观察这个问题，得出了斐波那契数列的规律。
假设在第n个月时有Fn对兔子，根据题意可知，在第n个月的时候，每对兔子可以生下一对小兔子，而第n-1个月的时候已经有了Fn-1对兔子，再加上原本的Fn对兔子，总共就是Fn+Fn-1对兔子。
也就是说，第n个月的兔子对数等于第n-1个月和第n-2个月兔子对数之和。
这就是斐波那契数列的递推关系。
斐波那契数列因此被广泛应用于数学和自然科学中。
它在自然界中的出现也相当常见，比如植物的分枝、螺旋状的贝壳、蜂窝结构等等都能够观察到斐波那契数列的规律。
斐波那契数列背后的故事展示了数学在解决实际问题中的应用。
斐波那契通过一个关于兔子繁殖的问题，发现了这个有趣的数列，并由此推导出了它的递推关系。
这个故事也向人们展示了数学的智慧和美妙之处。
西方数学发展史
西方数学发展史以下是各个时期的简要概述：1.古希腊数学（公元前600年-公元500年）：o古典希腊时期是西方数学的黄金时代，伊奥尼亚学派的泰勒斯、毕达哥拉斯学派对数论和几何有重大贡献，比如毕达哥拉斯定理。
o欧几里得编写了《几何原本》，奠定了欧氏几何的基础，包括公理化方法。
o阿基米德在静力学与浮力原理、圆周率的计算等方面做出了杰出成就。
o阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究也对后世产生了深远影响。
2.中世纪数学（公元500年-1500年）：o在中世纪早期，欧洲数学的发展相对缓慢，但阿拉伯世界翻译并注解了大量的希腊数学著作，使得数学知识得以传承。
o中世纪晚期，欧洲开始出现复兴迹象，斐波那契的著作《算盘书》对商业计算和数学教育有着重要推动作用，他著名的“斐波那契数列”成为数论研究的一个经典课题。
3.文艺复兴与近代数学（1500年-1700年）：o文艺复兴时期，科学和艺术的繁荣带动了数学的发展。
笛卡尔发明了解析几何，将代数方法应用于几何问题，开辟了新的数学领域。
o帕斯卡和费马分别在概率论和数论方面做出了开创性的工作，如帕斯卡定律和费马大定理。
o牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分，这是数学史上的一个里程碑事件，为后续物理学和其他学科提供了强大的工具。
4.18世纪到现代数学（1700年至今）：o18世纪启蒙时代的数学家如欧拉、拉格朗日和高斯等人在分析学、数论、代数学等领域取得了众多突破。
o19世纪初，随着非欧几何的发现（如黎曼几何），数学逐渐脱离了纯粹直观和经验的束缚，更加抽象和严谨。
o近代数学分支繁多，群论、拓扑学、集合论、逻辑学等新兴领域纷纷崛起，计算机科学的发展也促进了离散数学和计算数学的繁荣。
5.19世纪：o伽罗华提出了群论，为代数学开辟了新的研究方向，解决了根式解代数方程的可能性问题。
o库默尔在数论中引入理想数概念，发展了解析数论的雏形。
o戴德金和康托尔分别在实数理论与集合论方面取得了革命性进展，其中康托尔创立了现代无限集合论，并提出了著名的连续统假设。
裴波那契数列
把一对老兔子用
表示，一对小兔子用
表示。
兔子繁殖有规律哟 啊
1月 1
2月 1
3月 2
4月 3
5月 5
6月 8
7月 13
8月 21
9月 34
10 月 55
11 月 89
12 月 144
数列规律： 数列规律： 即从第三项起，每一项都等于前两项之和。 即从第三项起，每一项都等于前两项之和。
首先将一对刚出生的小兔放到围墙里，一 个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一 对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。随着 时间的推移，小兔子长成大兔子并且继续繁殖。 假如一年内没有发生死亡，则一对小兔子在一 年内能繁殖成多少对兔子呢？（新生的小兔第 二个月变为成熟的兔子）
①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着 生，无死亡。
2、松果和菠萝一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排 列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针。仔细瞧瞧，顺 时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13。向日葵常 见的螺线数目为“21和34”还有螺线数目为“89和144”， 更大的甚至还有“144和233”。这些全都是裴波那契数列 中相邻两项的数值
3、如蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星 系内星球的分布等也是按照裴波那契螺旋排列的。 4、美国还于1963年创办了《裴波那契季刊》这一 数学杂志，定期发表一些与裴波那契数列有关系 的研究成果。
一个楼梯共有10台阶，我们规定上楼梯时，每次只能跨上 一个台阶或两个台阶。从地面到最上层共有多少种不同的 跨法？ • 提示： 如果只有一阶台阶，那么只有一种跨法， 如果只有两节台阶，那么只有两种跨法。即每次跨一级或 一次跨两级。 如果只有三节台阶，就有三种跨法。即每次跨一级或先跨 一级再跨两级或先跨两级在跨一级。 如果只有四节台阶，就有五种跨法。
关于费波那契数列
关于斐波那契数列1．斐波那契数列斐波那契（Fibonacci）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题。
有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。
月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。
所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”(Fibonacci Sequence)，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：它的第100项；第1000项是什么呢？100354224848179261915075a ；1000434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398733224711 61642996440906533187a 938298969649928516003704476137795166849228875 (209位数)怎样计算的呢？笔算或用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。
初中数学数学名师斐波那契
斐波那契斐波那契，L．(Fibonacci，Leonardo) 约1175年生于意大利比萨； 1250年卒于比萨．数学．斐波那契是波那契(Bonacci)家族的成员．这个家族在当时的比萨很有影响．斐波那契的父亲圭列尔莫(Guiliellmo)作为比萨共和国的官员，于1192年左右被派往布日伊(Bougie，今属阿尔及利亚)，管理比萨的商业侨民．斐波那契受过良好的教育．22岁时随父亲到布日伊，在那里学会了用印度数码计算．后来，又随父亲到埃及、叙利亚、希腊(拜占庭)、西西里和普罗旺斯旅行；他通过广泛的学习和认真的研究，熟练掌握了多种计算技巧．12世纪末，斐波那契回到比萨，在这里度过了四分之一个世纪．他在比萨著书立说，书中不仅用印度数码和方法进行计算，把它们应用于商业活动的所有领域，并且阐述了许多代数和几何问题．他的最重要成果表现在不定分析和数论方面，并远远超过了前人．大约1225年，斐波那契受到国王腓德烈二世(1194—1250)的召见，成为宫庭数学家．在保存下来的一份1240年的文件上写着：由于斐波那契曾向市民和官吏讲授计算方法，每年给予他薪金若干金磅．保存至今的斐波那契著作有5部：(1)《算盘书》(Liber abbaci，1202，1228)；(2)《实用几何》(Practica geometriae，1220，1221)；(3)《花》(Flos，1225)；(4)给帝国哲学家狄奥多鲁斯(Theodorus)的一封未注明日期的信；(5)《平方数书》(Liber quadra-torum，1225)．我们知道他还有其他著作，例如关于商业算术的《小方法》(Di minor guisa)．遗憾的是他对欧几里得《几何原本》第10卷的评述失传了，在该书中，斐波那契以其对无理量的数值处理取代了欧几里得的几何表示．邦孔帕尼(pagni)和利布里(Libri)曾编辑整理斐波那契的著作；G．康托尔(Cantor)、G．洛里亚(Loria)和A．П尤什克维奇(ЮшkeBИч)对斐波那契著作的基本原理作过仔细的探讨．1．《算盘书》这里的“算盘”(abacus)不是指古老的算盘或沙盘，而是指一般计算．从13世纪到15世纪，该书有过12种版本，但是，只有13世纪和14世纪初的3种版本是完整的．该书有15章，分四部分．第一部分，第1—7章．斐波那契首先讲述罗马数码和指算法，然后介绍印度数码，按照阿拉伯方式，个位“在前面”(在右边)，分数在整数的左边．此外，他引进了分数中间的那条横杠．计算方法是通过数值的例子讲授的，并且多用去九法核对结果(也常用去七法和去11法)．书中还给出把分数分解为单位分数的规则，引进了多种表示分数第二部分，第8—11章．这部分是与商人有关的问题，例如货物的价格、利润、物物交换、利息、工资、合股分红、货币兑换等．其中的“百鸡问题”，可能受到中国的影响．它实际是一个不定方程问题．第三部分，第12—13章．这部分内容最为广泛，包活许多怪题、难题．例如：(1)“水池问题”：一只蜘蛛每天沿水池的墙向上爬若干英尺，每天晚上往回爬若干英尺，问它多长时间能爬出来？(2)“兔和狗问题”：狗不仅往前追而且也往回跑；速度不是常数而是依算术级数增加的．问狗多长时间能追上兔？(3)“给与取问题”：有两个或多个人，他们中的一个向其他人中的一个或几个要一定数量的钱，并且知道此时这个人的钱和其他人的钱的比例，求原来的钱数．一个简单的例子是：x＋7=5(y-7)，y+5=7(x-5)．(4)“求钱数问题”：两个或多个人得到一笔钱，并且知道每个人的钱占总钱数的比例，求每个人的钱数．对于3个人，有如下的表达式：①x＋b=2(y＋z)，②y＋b=3(x+z)；③z+b=4(x+y)．这也是不定方程问题．还有一组更为广泛流传的问题，被称做“单独一个人不能买”，说的是：几个人中的任何一个，只有当他从别人手中得到一部分钱时，才能买到某件东西．这组题有各种变异，甚至可以涉及7个人．5匹马．以一个仅涉及3个人的问题为例，其方程可写为书中包含很多余数问题，例如求满足条件n≡1(mod 2，3，4，5和6)≡0(mod 7)的n．另外，斐波那契还提出了一个极为有趣的“兔子问题”，即：“由一对兔子开始，一年后可以繁殖成多少对兔子？”其中假定：“每对大兔每月能生产一对小兔，而每对小兔生长两个月就成大兔．”斐波那契在运用特殊的方法解决特殊问题方面，具有惊人的技巧；他还常常巧妙地引进辅助未知数．在其他场合，则使用一般的方法，如简单试位法，反演法，双试位法等．书中表明，斐波那契已注意到负数．他给出了诸如22＋(－9)＝22－9和－1＋11＝＋10的运算．第四部分，第14，15章．第14章依印度－阿拉伯算法讲授求平方根和立方根的数值方法，与现代的方法基本一致．他已懂得在被开方数/2a1．对于立方根第一个近似是虽然纳萨维(al－Nasawi)已经知道第一个近似，但进一步的近似则是斐波那契首先发现的．他在该章中实现了欧几里得无理量的完整的运算，并且对计算的正确性给出几何式的证明．第15章分3节．第1节讲比例及它们的各种变换．例如，在一个问题中给定：(1)6∶x ＝y∶9；(2)x＋y=21．从(1)得xy=54；然后利用《几何原本》第2卷第5个命题，得和 x-y=15．从而解得3和18．第2节先讲毕达哥拉斯定理的应用；然后是许多不同类型的问题，例如：给定32+42=25，解不定方程x2＋y2=25．此外容器内的水会溢出多少．第3节给出花拉子米的六种类型的二次方程：ax2=bx，ax2=c，bx=c，ax2＋bx=c，ax2＋c=bx和ax2＝bx+c；然后对它们作精确的数值计算．斐波那契在这里还讲到能归结为二次方程的高次方程，例如(1)y=10/x，(2)z=y2/x和(3)z2=x2＋y2被给定，就导至x8＋100x4=10000．当涉及几个未知数时，斐波那契以radix和res代表x和y，以pars 代表第三个未知数；有时，又把两个未知数的和定作res；对于x2，用quadratus，census 或avere表示；对于x3，用cubus表示；对于x4，用census decensu或censum census 表示，等等．常数项被称作numerus，denarius或dragma．2．《实用几何》这是斐波那契的第二部著作，在罗马、巴黎等地存有九个抄本．斐波那契在这部著作中不仅通俗地讲授量度问题，还讲了一些几何的证明方法．《实用几何》分8章，并冠以绪论．在绪论中解释基本概念以及在比萨流行的线段和面积的测量方法．第1章讲矩形的面积；第2章和第5章讲平方根和立方根．第3章为线段和平面图形(三角形、正方形、矩形、菱形、梯形、多边形和圆)的面积计算提供准确的证明；对于圆，采用阿基米得的96边多边形，π取3.141818…．此外，斐波那契还熟悉有凹角的四边形．该书中的许多问题导致二次方程，而这些二次方程可以利用典型的公式来解决．这些问题是以言辞表述的，例如，对于4x-x2=3，他表述为：如果从四边的和中减去该正方形的面积，则得3竿．在这里，斐波那契已经注意到了双解．顺着这样的思路，他给测量员以实际指导，而且讲了使用仪器的方法，例如求三角形田地的高的垂足和在山边上田地的投影的方法，还讲到测量山边上直线的水平投影的仪器．第4章讲曲面的剖分(来源于欧几里得的《论剖分》)．第6章讨论体积(包括正多面体的体积)．第7章讲物体(比如树)的高的计算方法，并且给出以三角形的相似性为基础的测量规则；在这里，角由象限仪测定．第8章讲从外接圆和内切圆的直径计算五边形和十边形的边，及其逆运算；还讲到从面积计算边．随后有两个不定方程：a2+5=b2和c2-10=d2．最后讲如何计算内接于等边三角形的长方形和正方形的边长(斐波那契用的是60进位制)．3．《花》这部著作是献给弗里德里克二世的，多是在宫庭举行数学竞赛时提出的问题．他给出方程x2+5=y2和x2-5=z2的解，并证明了三次方程x3＋2x2+10x=20的解不可能是整数，不可能是分数，也不可能是欧几里得的无理量(换句话说，没有能用直尺和圆规作出的根)；并且，他找到了一个准确到小数点后第10位的近似解x=1.36880810785(当时是以60进位制写出的)．我们不知道他是怎样得到这一结果的．4．给帝国哲学家狄奥多鲁斯的一封未注明日期的信该信的主题是“百鸡问题”．斐波那契在《算盘书》中曾讨论过这一问题．信中推演了解不定问题的一般方法．然后讲了一个几何问题：求作一个内接于等边三角形的正五边形．斐波那契通过二次方程得到解，这是早期将代数应用于几何的典型范例．该信以一个有五个未知数的线性问题结束；斐波那契没有逻辑地构造解，而只是给出一个机械的公式．5．《平方数书》这部关于不定分析的、有独创性的著作，使他成为丢番图(Diophantus)和P．de费马(Fermat)之间在数论方面的杰出数学家．该书撰于1225年．其主题是：求x2+5=y2和x2-5=z2这两个齐次方程的解．斐彼那契知道：从1开始，连续加奇数，所得和为平方数．对于奇数a，斐波那契还给出下述定理：如果(a2＋b2)为和(x2＋y2)是平方数，且a∶ b≠x∶y， a∶b≠ y∶x，则有等式(a2+b2)•(x2＋y2)=(ax+by)2+(bx-ay)2=(ay-bx)+(by-ax)2．然后，斐波那契引进一组特殊的数：(a＋b)为偶数时，n=ab•(a+b)(a-b)；(a＋b)为奇数时，n=4ab(a+b)(a-b)．他命名这样一个数为相含数(congruum)，并且证明：它必定能被24整除．他发现x2+h和x2-h能同时是平方数，仅当h是相含数．例如52＋24=72，52-24=12和102＋96=142，102-96=22对于a=5和b=4， h=720=5•122，于是得到平方数的两个差y2-x2=x2-z2=720．他确定2401-1681=1681-961，或492-412=412-312．以 122分之，得到斐波那契接着证明了数论中的一系列命题，例如：平方数不可能是相含数，x2+y2和x2-y2不可能同时是平方数，x4-y4不可能是平方数，等等．在这类问题中．斐波那契长期处于领先地位．纵观斐波那契的活动，应该说他在西方的数学复兴中起到了先锋作用，或者说他在东西方的数学发展中起到了桥梁作用．G．卡尔达诺(Cardano)在讲述斐波那契的成就时说：我们可以假定，所有我们掌握的希腊之外的数学知识都是由于斐波那契的存在而得到的，他在L．帕奇欧里(Pacioli)以前很久，就从印度和阿拉伯取得了这些知识．斐波那契对古代数学作了崭新的思考，并且独立地把它推向前进．在算术方面，他显示出计算上的高超才能，并把负量和零认作数．在几何上，他既具备欧几里得的严谨又懂得如何应用新的代数方法解几何问题．斐波那契的数学工作对后世有深远影响．特别值得一提的是：以《算盘书》中那个有趣的“兔子问题”为基础，后人得出著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…这个数列的特征是u1=u2=1，un=un-1+un-2(n≥3)．其通项为意外的结果．斐波那契数列有许多重要的性质和应用．例如，由于它便与黄金分割联系起来．1963年创刊的《斐波那契季刊》(TheFibonacci Quarterly)专门登载有关这个数列的最新发现．其中包括：(1)任何斐波那契数的平方与其两边的两个斐波那契数的乘积之差为1．(2)任何两个相继的斐波那契数的平方和(3)对于任何四个相继的斐波那契数A，B，C，D，下列公式成立：C2-B2=A×D．(4)最后一位数字，每60个数一循环；最后两位数字，每300个数一循环；最后三位数字，每1500个数一循环；最后四位数字，每15000个数一循环；最后五位数字，每150000个数一循环，等等．(5)每第三个数可被2整除，每第四个数可被3整除，每第五个数可被5整除，每第六个数可被8整除，等等．这些除数本身也构成斐波那契数列．尽管斐波那契数列的通项公式和关于斐波那契数列的一系列成果是后人得到的，但我们不能忘记：这些数学成果都起因于斐波那契在《算盘书》中提出的兔子问题．。
高中数学攻克斐波那契数列秘籍
【高中数学解题秘籍系列】————一篇文章攻克斐波那契数列斐波那契，公元 13 世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖”问题：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？ 斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1,1,2,3,5,8,13,21,34,......,其中从 第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列n a 满足：121,1a a ==且()213n n n a a a n --+=≥.这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.事实上，斐波那契数列{}n a 的通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但每一项又都不是无理数.斐波那契数列的意义不仅在于求解通项公式，许多问题甚至题目中丝毫不出现递推关系，但题目求解却蕴含斐波那契数列的思想，这些问题甚至包含了看似普通的代数甚至组合的问题，本文就以斐波那契数列为背景的试题做一展示，欢迎大家交流一、以斐波那契数列的概念为背景的命题例1. 如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 15 行的实心圆点的个 数等于________.【解析】从第二行开始，各行的实心圆点的个数依次 为1,1, 2, 3, 5,8,, 显然符合斐波那契数列的定义，第 15 行的实心圆点个数为第 14 个斐波那契数377, 其中从第三个数起样的一列数所组成的数列称为22015a ++是斐波那契数项.【解析】斐波那契数列总有a ⋯,(20152016a a =22015a +=220152015a ++22015a ++ 是斐波那契数列中的第2na a +=他在自己的著作 , 其中从第三个数起, 每一个数都等于它前面两个数的和. 那么 12015a a + 4252015,,,a a a -==20152016a a +=.2015a + 是斐波那契数列中的第 2016 斐波那契数列的奇数项之和: 21n a -+=例5. 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中, 可把其中一项分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和. “斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列中121,1,a a ==21(3)n n n a a a n --+=≥. 若2016a a =, 那么数列{}n a 的前2014项的和为________.【解析】由 11231342453201420152013,,,,,a a a a a a a a a a a a a a ==-=-=-=-可得:123201420142015220161 1.a a a a a a a a a ++++=+-=-=-故数列 {}n a 的前 2014 项的和为 1a -. 【性质3】斐波那契数列的前 n 项之和 12321n n n S a a a a a +=++++=-, 即211.ni n i a a +==-∑【性质4】连续二顶斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差, 是中间项的平方, 即211(2)n n n n n a a a a a n +--=≥.【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式12n n n a a a +++=的变形21n n n a a a ++=-或12n n n a a a ++=-进行裂项, 从而达到相消求和的目的.例6.(2021·T8联考)数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,n a ，称为斐波那契数列(Fibonacci sequence )，该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列" 在数学上，斐波那契数列可表述为121,a a == 12(3n n n a a a n --=+≥,*n ∈N )，设该数列的前n 项和为n S ，记 2023a m = ，则2021S =__________. (用m 表示) 【答案】1m - 【解析】法一：由12n n n a a a --=+, 得21n n n a a a ++=+, 即()*21n n n a a a n ++=-∈N .()()()()202132435420232022a a a a a a a a a +=-+-+-++-=2021202020202019a a a a +++ 3n a +=,,()f n =33(1)n n n a a ++-=47,2x -≤≤。
斐波那契数列
斐波那契数列姓名：林秋照学号：092312113比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲，1202年，莱昂纳多斐波那契向世人介绍了斐波那契数列，是为了解决“兔子繁殖问题”提出的。
斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔总数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；……依次类推可以列出下表：表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个序列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的，这个级数的通项公式，除了具有an+2=an+an+1的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√5 [（1/2+√5/2）^ n-（1/2-√5/2）^n](n=1,2,3.....）（√5表示根号5）这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。
即在较高的序列，两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割将接近黄金比例（1.618:1或1:0.618）。
例如：233/144，987/610、、、、斐波那契数列还有两个有趣的性质⒈斐波那契数列中任一项的平方数都等于兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;⒉任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差1.同样我们还可以有t阶斐波那契数列，通过递推数列a(n+t)=a(n+t-1）+a(n+t-2）+...+a(n），其中a⑴=a⑵=1，以及对于3-t<=n<=0，有a(n)=0.给出了t阶斐波那契数列的通项公式：[r^(n-1）（r-1）/((t+1）r-2t)]，其中r是方程x^{t+1}-2x^t+1=0的唯一一个大于1的正数根（可以看出r非常接近2）斐波那契数列（意大利语：Successione di Fibonacci)，又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列由0 和1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
这个数列的通项公式如何去求？特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x+=2，其根为特征根。
因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
斐波那契数列的由来
斐波那契数列的由来斐波那契数列是一串数字的序列，这个序列的定义其实很简单：前两个数字都是1，之后的每个数字都是前两个数字之和。
这个数列的由来可以追溯到公元1202年，当时一位叫斐波那契的意大利数学家写了一本名为《算盘书》的著作。
在这本书中，斐波那契详细介绍了一种关于增长率的数学模型。
斐波那契数列的由来始于斐波那契在书中提出的一个问题：假设有一对刚出生的兔子，它们一个月后就能生育，每个月都能生一对兔子。
而每对兔子出生后的一个月内都不能再次生育。
那么，每个月的兔子总数如何增长呢？斐波那契通过观察和推理，得出了一个惊人的结论：兔子的数量按照斐波那契数列的规律增长！也就是说，第一个月有1对兔子，第二个月也有1对兔子，第三个月开始，每个月的兔子总数都等于前两个月的总数之和。
这个发现让斐波那契非常兴奋，他开始研究这个数列的性质，发现它在自然界中随处可见。
例如，树叶的排列方式、植物的生长规律，甚至是螺旋线的形状等等，都与斐波那契数列有关。
斐波那契数列的由来和应用远远超出了斐波那契当初的预期。
如今，斐波那契数列在金融、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
例如，在金融领域，斐波那契数列被用来预测股市走势、计算利率等；在自然科学领域，斐波那契数列被用来研究动物群体的增长规律、植物的排列方式等；在计算机科学领域，斐波那契数列被用来解决各种问题，如优化算法、图像压缩等。
斐波那契数列的由来给我们带来了很多启示和思考。
它告诉我们，自然界中存在着很多隐藏的规律和模式，而数学是揭示这些规律和模式的有力工具。
通过研究斐波那契数列，我们可以更好地理解和解释世界的运行方式，从而为人类的发展和进步做出贡献。
斐波那契数列的由来是一个精彩的故事，它展示了人类对数学的探索精神和智慧。
正是这种探索精神和智慧，推动着人类不断前进，不断超越自我。
希望我们能继续保持这种精神，不断探索和创新，为人类的未来开辟更加美好的道路。
高三数学数列的概念选择题专项训练单元 易错题难题综合模拟测评检测试卷(1)
高三数学数列的概念选择题专项训练单元 易错题难题综合模拟测评检测试卷(1)一、数列的概念选择题1．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-答案：A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a答案：A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A3．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+答案：D解析：D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D.4．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019C ．11010D ．11009答案：C解析：C 【分析】由累乘法可求得2n a n=，即可求出. 【详解】11n n n a a n +=+，即11n na n a n +=+， 12321123211232121232n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n=， 20202120201010a ∴==. 故选：C.5．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．1n n a a +≥B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a答案：C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.6．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
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《算盘书》和斐波那契数列
扬州教育学院高邮校区 （225600） 查志刚 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,1175-1250），是中世纪最出色的数学家。
公元1175年，莱昂纳多出生在意大利比萨的商业中心，那时，许多意大利大商行在地中海区域的许多地方拥有仓库，他的父亲是比萨驻阿尔及利亚的商业代表，年轻的莱昂纳多被带到非洲北岸的布日伊（Bougie ）。
他父亲的职业早就唤起了这个小孩对算术的浓厚兴趣。
后来，他们旅行到了埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到了东方和阿拉伯的数学实践。
通过比较各国使用的算术，他认为阿拉伯数字和算法最先进，1202年，在他回到家里不久，发表了他的著名著作《算盘书》（Liber abaci ）。
这本书被欧洲各国选做数学教材，使用达两百年之久，在欧洲有着巨大的影响。
《算盘书》，这部著作共15章.，主要介绍算术和代数。
内容非常丰富，包括：新数字的读法和写法；整数和分数的计算方法；平方根和立方根的计算方法；线性和二次方程的用试位法和代数程序的解法等等。
他不承认方程的负根和虚根。
其中代数学部分是文字叙述的，另外书中给出了代数在实物交易、合股、比例法和测量几何上的应用。
这部书中所包括的一大批问题，成为后来好几百年中学者们进行数学研究的宝库。
《算盘书》中有一道非常出名而又十分有趣的问题，由于这个问题是以兔子繁殖为背景设计的，因而被人们称为“兔子问题”，问题的内容如下：
“有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙将一对兔子关在里面。
已知一对兔子每一个月可以生一对小兔，而一对小兔生下后的第二个月就又开始生小兔。
假如一年内兔子没有死亡，一对兔子一年内可繁殖成几对？”
从问题的叙述中可以看出，开始如果是1对小兔，一个月后变成了1对大兔，两个月后变成2对兔子（1对小兔，1对大兔），三个月后变成3对兔子（1对小兔，2对大兔），四个月后变成5对兔子（2对小兔，3对大兔），五个月后变成8对兔子（（3对小兔，5对大兔）......，有什么规律呢？我们可以多写出几项来观察， 1，1，2，3，5，8，13，21，34， (1)
不难发现，从第3项起，每一项都等于与它相邻的前两项之和，如2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，……，19世纪法国数学家敏聂给出了这一列数的通项公式：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F 25125151。
（其中251+与251-是方程012=--x x 的两个根），像数列（1），从第3项起，每一项都等于它的前两项之和的数列叫斐波那契数列，也称“兔子数列”，数列中的每一个数我们叫它斐波那契数。
斐波那契数列有许多奇妙的性质，在生物学上有着广泛的应用。
比如说，各种花的花瓣片数存在着奇特的规律，花瓣的数目是如下序列数字中的一个3，5，8，13，21，34，55，89。
例如，百合花的花瓣有三瓣；毛茛属植物有5瓣；许多翠雀属植物有8瓣；万寿菊有13瓣；紫菀属植物有21瓣，大多数雏菊有34、55或89瓣。
又如，数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。
在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。
这样，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，接下去是5枝、8枝、13枝。
把这些数排起来，恰好是“斐波那契数列”，生物学中把这一规律
称为“鲁德维格定律”，实际上就是斐波那契数列在植物学中的应用。
经过进一步研究，生物学家们还发现，雏菊花花蕊的隅形小花的排列是21：34，松果球则是5：8，而菠萝是8：13。
这些数字正好是“兔子数列”的相邻两数的比，因此它们的形状特别艳丽漂亮。
除此之外，人们还发现蜜蜂的繁殖、向日葵的花盘也遵循斐波那契数列的规律。
数学家们接着生物学家的工作继续研究“兔子数列”，发现了更为奇特的数字现象；相邻斐波那契数之比率：例如，34/55＝0.6182……竟越来越接近0.618034，这个数被数学家公认为黄金分割数，简称黄金比，它是一个更为奇妙的数。
建筑学家们早就懂得使用黄金比了。
在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比，因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观。
我们现在的窗户大小，一般都是按黄金比制成的。
在艺术领域里黄金比更为神奇。
众所周知的维纳斯女神像，她优美的身段可说是完美无缺，而她上下身的比正是黄金比。
芭蕾舞演员顶起脚尖，正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比。
在1483年左右完成的“圣久劳姆”画，作画的外框长方形也符合这个黄金比。
像二胡、提琴这样的弦乐器，当乐师们把它们的码子放在黄金比的分点上时，乐器发出的声音是最美丽动人的。
现在黄金比已广泛地为人类应用于各个领域。
我国最著名的数学家华罗庚先生，生前不畏邪恶势力，大胆把科学技术与生产实践相结合，他利用黄金比的优越性质，创造了举世闻名的优选法，人们也简称为“0.618法”。
他带领他的宣传小分队走遍了祖国各地，大小城市，在各行各业广泛宣传推广优选法，为我们国家创造了巨大的物质财富，为数学知识的普及和应用开辟了一条光辉的道路。
由于斐波那契数列在现实生活和科学研究都具有重要的价值，1963年，一些数学家自发地成立了斐波那契协会，同时还创办了《斐波那契季刊》。
在创刊的头3个年中，就发表了近1000页研究成果，1968年为了解决大量稿件积压的问题，竟出版了3期增刊。
直到今天，斐波那契数列仍被认为了数论中值得研究的题材。
“斐波那契数列”让我们在称颂造物主创造出了如此和谐、美好世界的同时，也让我们倍加感受到蕴藏在数学科学中的理性之美。
（全文2300字）
参考文献：
1、［美］H·伊夫斯著，欧阳绛译.数学史概论.太原：山西经济出版社，1986
2、解恩泽，徐本顺主编.世界数学家思想方法.济南：山东教育出版社，1994。