《算盘书》和斐波那契数1

《算盘书》和斐波那契数列

扬州教育学院高邮校区 （225600） 查志刚 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,1175-1250），是中世纪最出色的数学家。 公元1175年，莱昂纳多出生在意大利比萨的商业中心，那时，许多意大利大商行在地中海区域的许多地方拥有仓库，他的父亲是比萨驻阿尔及利亚的商业代表，年轻的莱昂纳多被带到非洲北岸的布日伊（Bougie ）。他父亲的职业早就唤起了这个小孩对算术的浓厚兴趣。后来，他们旅行到了埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到了东方和阿拉伯的数学实践。通过比较各国使用的算术，他认为阿拉伯数字和算法最先进，1202年，在他回到家里不久，发表了他的著名著作《算盘书》（Liber abaci ）。这本书被欧洲各国选做数学教材，使用达两百年之久，在欧洲有着巨大的影响。 《算盘书》，这部著作共15章.，主要介绍算术和代数。内容非常丰富，包括：新数字的读法和写法；整数和分数的计算方法；平方根和立方根的计算方法；线性和二次方程的用试位法和代数程序的解法等等。他不承认方程的负根和虚根。其中代数学部分是文字叙述的，另外书中给出了代数在实物交易、合股、比例法和测量几何上的应用。这部书中所包括的一大批问题，成为后来好几百年中学者们进行数学研究的宝库。

《算盘书》中有一道非常出名而又十分有趣的问题，由于这个问题是以兔子繁殖为背景设计的，因而被人们称为“兔子问题”，问题的内容如下：

“有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙将一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔，而一对小兔生下后的第二个月就又开始生小兔。假如一年内兔子没有死亡，一对兔子一年内可繁殖成几对？”

从问题的叙述中可以看出，开始如果是1对小兔，一个月后变成了1对大兔，两个月后变成2对兔子（1对小兔，1对大兔），三个月后变成3对兔子（1对小兔，2对大兔），四个月后变成5对兔子（2对小兔，3对大兔），五个月后变成8对兔子（（3对小兔，5对大兔）......，有什么规律呢？我们可以多写出几项来观察， 1，1，2，3，5，8，13，21，34， (1)

不难发现，从第3项起，每一项都等于与它相邻的前两项之和，如2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，……，19世纪法国数学家敏聂给出了这一列数的通项公式：

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F 25125151。（其中251+与251-是方程012=--x x 的两个根），像数列（1），从第3项起，每一项都等于它的前两项之和的数列叫斐波那契数列，也称“兔子数列”，数列中的每一个数我们叫它斐波那契数。

斐波那契数列有许多奇妙的性质，在生物学上有着广泛的应用。比如说，各种花的花瓣片数存在着奇特的规律，花瓣的数目是如下序列数字中的一个3，5，8，13，21，34，55，89。例如，百合花的花瓣有三瓣；毛茛属植物有5瓣；许多翠雀属植物有8瓣；万寿菊有13瓣；紫菀属植物有21瓣，大多数雏菊有34、55或89瓣。又如，数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。这样，第一年只有主干，第二年有2枝，第三年有3枝，接下去是5枝、8枝、13枝。把这些数排起来，恰好是“斐波那契数列”，生物学中把这一规律

称为“鲁德维格定律”，实际上就是斐波那契数列在植物学中的应用。经过进一步研究，生物学家们还发现，雏菊花花蕊的隅形小花的排列是21：34，松果球则是5：8，而菠萝是8：13。这些数字正好是“兔子数列”的相邻两数的比，因此它们的形状特别艳丽漂亮。除此之外，人们还发现蜜蜂的繁殖、向日葵的花盘也遵循斐波那契数列的规律。数学家们接着生物学家的工作继续研究“兔子数列”，发现了更为奇特的数字现象；相邻斐波那契数之比率：例如，34/55＝0.6182……竟越来越接近0.618034，这个数被数学家公认为黄金分割数，简称黄金比，它是一个更为奇妙的数。

建筑学家们早就懂得使用黄金比了。在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比，因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观。我们现在的窗户大小，一般都是按黄金比制成的。

在艺术领域里黄金比更为神奇。众所周知的维纳斯女神像，她优美的身段可说是完美无缺，而她上下身的比正是黄金比。芭蕾舞演员顶起脚尖，正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比。在1483年左右完成的“圣久劳姆”画，作画的外框长方形也符合这个黄金比。像二胡、提琴这样的弦乐器，当乐师们把它们的码子放在黄金比的分点上时，乐器发出的声音是最美丽动人的。

现在黄金比已广泛地为人类应用于各个领域。我国最著名的数学家华罗庚先生，生前不畏邪恶势力，大胆把科学技术与生产实践相结合，他利用黄金比的优越性质，创造了举世闻名的优选法，人们也简称为“0.618法”。他带领他的宣传小分队走遍了祖国各地，大小城市，在各行各业广泛宣传推广优选法，为我们国家创造了巨大的物质财富，为数学知识的普及和应用开辟了一条光辉的道路。

由于斐波那契数列在现实生活和科学研究都具有重要的价值，1963年，一些数学家自发地成立了斐波那契协会，同时还创办了《斐波那契季刊》。在创刊的头3个年中，就发表了近1000页研究成果，1968年为了解决大量稿件积压的问题，竟出版了3期增刊。直到今天，斐波那契数列仍被认为了数论中值得研究的题材。

“斐波那契数列”让我们在称颂造物主创造出了如此和谐、美好世界的同时，也让我们倍加感受到蕴藏在数学科学中的理性之美。（全文2300字）

参考文献：

1、［美］H·伊夫斯著，欧阳绛译.数学史概论.太原：山西经济出版社，1986

2、解恩泽，徐本顺主编.世界数学家思想方法.济南：山东教育出版社，1994