第四章 时变电磁场
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形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡 印廷矢量和坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电 磁场做功之间的相互联系。
09:41
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.3.1 电磁场能量密度和能流密度
电磁场的能量密度：
电磁场能量的空间分布用能量密度w来描述，它表示单位体积 中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和
09:41
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
采用复数方法表示时谐电磁场，可使得大多数时谐电磁场问题 的分析得以简化。
时谐场量的实数表示法（瞬时表示）
设
A( r , t )是一个以角频率
随时间 t 作正弦变化的场量，它与
实数表示法或 瞬时表示法
时间的关系可以表示成
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
不确定性产生原因：未规定 A 的散度。
09:41
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
洛伦兹规范条件的引入 由于在定义中矢量位函数仅仅确定了其旋度式，而没有确定散度 式，因此满足定义的矢量位函数有无限多个。为了使时变电磁场场量 和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件——规范条 件。 对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
B E ( A) E t t A (E )0 t A 令： ( E A ) ，可得 E ( ) t t A A(r , t ) : 矢量位 故： E ( t ) (r , t ) : 标量位 B A
公式中 E (t ), H (t ) 表达式应为场量的瞬时表达式
时变电磁场的平均坡应廷矢量
对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个 周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均， 用Sav 表示，即：
1 T 1 T Sav S (t )dt E (t ) H (t )dt T 0 T 0
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
Re[ Am (r )e jt e j (r ) ] Re[ A(r )e jt ] 式中： A(r ) Am (r )e j ( r )
时谐电磁场场量的复数表示法 在直角坐标系下，时谐电场可表示为：
E ex Ex ey Ey ez Ez Ex ( x, y, z , t ) Exm ( x, y, z ) cos[ t x ( x, y, z )] E y ( x, y, z , t ) E ym ( x, y, z ) cos[ t y ( x, y, z )] Ez ( x, y, z , t ) Ezm ( x, y, z ) cos[ t z ( x, y, z )] 式中： Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。 坡印廷矢量（能流密度矢量） ( E H ) dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此 E H 为一与能 量流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量.
S
坡印廷适量是描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
(E H )
1 1 2 2 (E H ) ( H ) ( E ) E J t 2 t 2 we wm 坡印廷定理微分形式 (E H ) E J t t
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
B 0, D 0
均匀无耗媒质中无源区域波动方程的推导：
dB E E ( H ) dt t 2 E 2 ( E ) E 2 t
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D t
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
2 E 2 ( E ) E 2 t 2 E 无源区电场 2 E 2 0 波动方程 t
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方 本章主要内容：
时变电场和磁场满足的方程——波动方程
时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
2、矢量位方向与电流元方向相同； 矢量位和标量位满足达朗贝尔方程，同时也须满足洛伦兹条件 从达朗贝尔方程可知：电荷是产生标量位的源，电流是产生矢量 位的源 动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊
坡印廷定理的物理意义
坡印廷定理积分形式
设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可 能通过边界 流出，或因对V中电荷做功而消耗，即 流出能量 减少量 = 流出量 + 消耗量
n
d - wdV dt V
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Σ
S dΣ
V
J EdV
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
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2 、由于时变场电场和磁场为统一整体，因此其对应的标量位 和矢量位也是一个统一的整体。 位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一 （A、） （A、 ） 个电磁场问题。
A A 为任意可微函数 t A ( A ) A 即 A A ( ) ( A ) t t t t
2 2 2t 2 2 A A J t 2
达朗贝尔方程
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
关于位函数和达朗贝尔方程的讨论
引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解：
原因：1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同；
定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）
S (t ) E (t ) H (t )
物理意义： 量传输方向的单位面积的电磁能量
瞬时坡印廷矢量
E
O
S
H
能流密度矢量
S 大小表示单位时间内通过垂直于能
S 方向即为电磁能量传输方向
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
关于坡印廷矢量瞬时形式的说明：
上式中坡印廷矢量为时间t的函数，表示瞬时功率流密度。
注：Sav 与时间t无关。
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.5 时谐电磁场
时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则
所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频
率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义 时谐场易于激励，工程上时谐电磁场应用最多。广播、电视和通信 等的载波都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频 率的时谐场的叠加。 由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式 的电磁波。
电磁场的能量流密度矢量：
电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况 用电磁场能量流密度(能流密度)S表示，其数值为单位时间垂直流过
单位面积的能量，方向为能量流动方向
09:41
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.3.2 坡应廷定理和坡印廷矢量
坡印廷定理的数学推导
D H J t H E E H B B D E t H t E J E t B D (E H ) H E E J t t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
2 H 2 H 2 0 t
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间 中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情 况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程 求解。
1 1 E (r ) 2 电场能量密度： we D (r ) E ( r ) 2 2 1 1 1 磁场能量密度：wm B(r ) H (r ) H (r ) 2 B (r ) 2 2 2 2 电磁场能量密度：w w w 1 E 2 H 2 e m 2
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.1 波动方程
波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量在空间中 传播时所遵循的规律。波动方程可由麦克斯韦方程组推出。
波动方程的建立（无源区）
在无源空间中，电荷和电流处处为零，即＝0，J＝0，电磁场满 足的麦克斯韦方程为
H
D B , E t t
A t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
引入洛伦兹规范条件，则方程简化为
( A ) 2 ( A) E (4.2.7) t t E H J E t 1 A J 1 t H A A ( A) 2 A J ( ) t t 2 A 2 A 2 J ( A ) (4.2.6) t t
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.2 电磁场的位函数
时变场位函数同时包括标量位和矢量位
4.2.1 矢量位和标量位
矢量位和标量位的定义
B 0 B A
说明： 1、时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数， 对应的矢量位和标量位也为时间和空间位置的函数。
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we wm V ( E H )dV V ( t t E J )dV d ( E H ) dS [ we dV wm dV ] E JdV S V V dt V d (We Wm ) ( E H ) dS E JdV S V dt
式中：A0为振幅、
( r )为初始相位，与坐标有关。
关于场量实数（瞬时）表示法的说明： 1、实数表示表征场量随时间、空间变化规律，具有实际物理意义。 2、实数表示时间、空间变量无法分离，数学上处理较复杂。
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
时谐场量的复数表示法 由复变函数，知：cos(t ) Re(e jt ) ，则：
x， y，z
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为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
由前面分析，电场各分量可表示为：
Ex Re( Exm e j[ t x ] ) Re( Exm e j t ) j [ t y ] j t E Re( E e ) Re( E e ) y ym ym j [ t z ] j t E Re( E e ) Re( E e ) zm zm z
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.3.1 电磁场能量密度和能流密度
电磁场的能量密度：
电磁场能量的空间分布用能量密度w来描述，它表示单位体积 中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
采用复数方法表示时谐电磁场，可使得大多数时谐电磁场问题 的分析得以简化。
时谐场量的实数表示法（瞬时表示）
设
A( r , t )是一个以角频率
随时间 t 作正弦变化的场量，它与
实数表示法或 瞬时表示法
时间的关系可以表示成
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
不确定性产生原因：未规定 A 的散度。
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第4章
时变电磁场
洛伦兹规范条件的引入 由于在定义中矢量位函数仅仅确定了其旋度式，而没有确定散度 式，因此满足定义的矢量位函数有无限多个。为了使时变电磁场场量 和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件——规范条 件。 对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
B E ( A) E t t A (E )0 t A 令： ( E A ) ，可得 E ( ) t t A A(r , t ) : 矢量位 故： E ( t ) (r , t ) : 标量位 B A
公式中 E (t ), H (t ) 表达式应为场量的瞬时表达式
时变电磁场的平均坡应廷矢量
对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个 周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。 平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均， 用Sav 表示，即：
1 T 1 T Sav S (t )dt E (t ) H (t )dt T 0 T 0
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
Re[ Am (r )e jt e j (r ) ] Re[ A(r )e jt ] 式中： A(r ) Am (r )e j ( r )
时谐电磁场场量的复数表示法 在直角坐标系下，时谐电场可表示为：
E ex Ex ey Ey ez Ez Ex ( x, y, z , t ) Exm ( x, y, z ) cos[ t x ( x, y, z )] E y ( x, y, z , t ) E ym ( x, y, z ) cos[ t y ( x, y, z )] Ez ( x, y, z , t ) Ezm ( x, y, z ) cos[ t z ( x, y, z )] 式中： Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。 坡印廷矢量（能流密度矢量） ( E H ) dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此 E H 为一与能 量流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量.
S
坡印廷适量是描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
(E H )
1 1 2 2 (E H ) ( H ) ( E ) E J t 2 t 2 we wm 坡印廷定理微分形式 (E H ) E J t t
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第4章
时变电磁场
将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
B 0, D 0
均匀无耗媒质中无源区域波动方程的推导：
dB E E ( H ) dt t 2 E 2 ( E ) E 2 t
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D t
电磁场与电磁波
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时变电磁场
2 E 2 ( E ) E 2 t 2 E 无源区电场 2 E 2 0 波动方程 t
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时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方 本章主要内容：
时变电场和磁场满足的方程——波动方程
时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
2、矢量位方向与电流元方向相同； 矢量位和标量位满足达朗贝尔方程，同时也须满足洛伦兹条件 从达朗贝尔方程可知：电荷是产生标量位的源，电流是产生矢量 位的源 动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的
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第4章
时变电磁场
4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊
坡印廷定理的物理意义
坡印廷定理积分形式
设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可 能通过边界 流出，或因对V中电荷做功而消耗，即 流出能量 减少量 = 流出量 + 消耗量
n
d - wdV dt V
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Σ
S dΣ
V
J EdV
E, H
V
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时变电磁场
电磁场与电磁波
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时变电磁场
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2 、由于时变场电场和磁场为统一整体，因此其对应的标量位 和矢量位也是一个统一的整体。 位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一 （A、） （A、 ） 个电磁场问题。
A A 为任意可微函数 t A ( A ) A 即 A A ( ) ( A ) t t t t
2 2 2t 2 2 A A J t 2
达朗贝尔方程
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
关于位函数和达朗贝尔方程的讨论
引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解：
原因：1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同；
定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）
S (t ) E (t ) H (t )
物理意义： 量传输方向的单位面积的电磁能量
瞬时坡印廷矢量
E
O
S
H
能流密度矢量
S 大小表示单位时间内通过垂直于能
S 方向即为电磁能量传输方向
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
关于坡印廷矢量瞬时形式的说明：
上式中坡印廷矢量为时间t的函数，表示瞬时功率流密度。
注：Sav 与时间t无关。
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
4.5 时谐电磁场
时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则
所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频
率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义 时谐场易于激励，工程上时谐电磁场应用最多。广播、电视和通信 等的载波都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频 率的时谐场的叠加。 由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式 的电磁波。
电磁场的能量流密度矢量：
电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况 用电磁场能量流密度(能流密度)S表示，其数值为单位时间垂直流过
单位面积的能量，方向为能量流动方向
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时变电磁场
4.3.2 坡应廷定理和坡印廷矢量
坡印廷定理的数学推导
D H J t H E E H B B D E t H t E J E t B D (E H ) H E E J t t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
2 H 2 H 2 0 t
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间 中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情 况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程 求解。
1 1 E (r ) 2 电场能量密度： we D (r ) E ( r ) 2 2 1 1 1 磁场能量密度：wm B(r ) H (r ) H (r ) 2 B (r ) 2 2 2 2 电磁场能量密度：w w w 1 E 2 H 2 e m 2
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时变电磁场
4.1 波动方程
波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量在空间中 传播时所遵循的规律。波动方程可由麦克斯韦方程组推出。
波动方程的建立（无源区）
在无源空间中，电荷和电流处处为零，即＝0，J＝0，电磁场满 足的麦克斯韦方程为
H
D B , E t t
A t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
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时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
引入洛伦兹规范条件，则方程简化为
( A ) 2 ( A) E (4.2.7) t t E H J E t 1 A J 1 t H A A ( A) 2 A J ( ) t t 2 A 2 A 2 J ( A ) (4.2.6) t t
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时变电磁场
4.2 电磁场的位函数
时变场位函数同时包括标量位和矢量位
4.2.1 矢量位和标量位
矢量位和标量位的定义
B 0 B A
说明： 1、时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数， 对应的矢量位和标量位也为时间和空间位置的函数。
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we wm V ( E H )dV V ( t t E J )dV d ( E H ) dS [ we dV wm dV ] E JdV S V V dt V d (We Wm ) ( E H ) dS E JdV S V dt
式中：A0为振幅、
( r )为初始相位，与坐标有关。
关于场量实数（瞬时）表示法的说明： 1、实数表示表征场量随时间、空间变化规律，具有实际物理意义。 2、实数表示时间、空间变量无法分离，数学上处理较复杂。
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电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
时谐场量的复数表示法 由复变函数，知：cos(t ) Re(e jt ) ，则：
x， y，z
09:41
为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章
时变电磁场
由前面分析，电场各分量可表示为：
Ex Re( Exm e j[ t x ] ) Re( Exm e j t ) j [ t y ] j t E Re( E e ) Re( E e ) y ym ym j [ t z ] j t E Re( E e ) Re( E e ) zm zm z