全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

课题全等三角形及三角形全等的条件

1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。

教学目的

2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。

教学内容

一、课前检测

1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．

2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________．

3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．

图（1）图（2）图（3）

4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________

5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．

6．不能确定两个三角形全等的条件是（）

A．三边对应相等B．两边及其夹角相等

C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等

7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（）

A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以

8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′

⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）

A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③

参考答案：1．△ADB△ADC2．ASA（或AAS）SSS3．9 cm12 cm11 cm4．∠ACB=∠DBC或AB=CD 5．△ACB AA S 6·D 7·D 8·A

二、知识梳理

知识要点：

要点1：全等三角形的概念及其性质

（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

要点2：全等三角形的判定

（1）两边及夹角对应相等SAS；（2）两角及夹边对应相等ASA；

（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS；（4）三边对就应相等SSS。

要点3：找全等三角形的对应边，对应角的方法

（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。

（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，

反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

要点4：寻找两个三角形全等的途径

（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点

①有两组对应角相等时；找

②有两组对应边相等时；找

③有一边，一邻角相等时；找

④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）

（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素

如图（一）中的AD，图（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。

图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。

图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

三、例题讲解：

例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：ACF BDE ∆≅∆。

. 思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

解答过程：AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中 AE BF

AC BD =⎧⎨

=⎩

∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠

AE BF =

∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)

解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路 例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。

思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

解答过程：延长AD 交BC 于F