清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

习题一

1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ；

3）],[~b a U X

； 4）)1,(~μN X .

解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X

B p ，

11223344555

11

1

55(1)

(,,,,)()(1)(1)i i

n

x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏

其中：5

1

15i i x x ==∑

2）对总体~()X P λ

11223344555

1

1

555

1

(,,,,)()!

!

i

x

n

i i i i i x

i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ

λ

λλ-==-==========

∏∏

∏

其中：5

1

15i i x x ==∑

3）对总体~(,)X U a b

55

11511

,,1,...,5 (,

,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩

∏∏

，其他

4）对总体~(,1)

X Nμ

()

()()

2

555

5/22

2

15

1

11

1

(,,)()=2exp

2

i

x

i i

i

i i

f x x f x x

μ

πμ

-

--

=

==

⎛⎫

==--

⎪

⎝⎭

∑

∏

2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.

解设(=0,1,2,3,4)

i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：

经验分布函数的定义式为：

()()()

(1)10,(),,=1,2,

,1,1,n k k k x x k

F x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，

据此得出样本分布函数：

200,

00.3,010.65,12()0.8,

230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪

⎪≤<⎨

≤<⎪⎪≤<⎪

≥⎩

图1.1 经验分布函数

3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：)如下：

组下

165 167 169 171 173 175 177

x

()

n F x

限

组上限167 169 171 173 175

177 179

人数3 10 21 23 22

11 5

试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.

解

图1.2 数据直方图

它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)

N.

4 设总体X的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的

样本，试确定常数k，使得满足9.0

)

(=

<

-k

X

Pμ.

解 (

)

- 5P X k P k μ⎫

⎪<=<⎪

⎭

()()

555 P k X k μ=-<-< 因k 较大，由中心极限定理

(0,1)X N ：

()

()()

-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-

(5)(1(5))

k k =Φ--Φ

()2510.9k =Φ-=

所以：()50.95k Φ=

查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=. 5 从总体2

~(52,6.3)X

N 中抽取容量为

36的样本，求样本均值

落在50.8到53.8之间的概率.

解 (

)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<

< ⎪⎝⎭

(0,1) 6.3X U N =

()()

50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293

P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）

6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.

解 设两个独立的样本分别为：1

10,

,X X 与115,,Y Y ，其对应的

样本均值为：X 和Y .