21.3二次函数表达式的确定

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求二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标,实际上是令二次函数中 的 y=0,求得 x 的值,这就是与 x 轴交点的横坐标.
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针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 5 题
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3.若抛物线 y=kx2-7x-7 和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( B ) A.k≥C.k>B.k≥- ,且 k≠0 D.k>- ,且 k≠0
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4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则方程 ax2+bx+c=0 的两根是
x1=-1,x2=3
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解:(1)因为小球是从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起,此时 v0=40,h0=0,所以 h 与 t 的关系为 h=-5t2+40t. (2)因为落地时 h=0,所以-5t2+40t=0,解得 t=8(s)或 t=0(舍去). (3)小球的高度为 35 m 时,h=35,解方程-5t2+40t=35,可得 t=1 或 7. (4)小球的高度大于 0,即小球在地面以上的时间,从图象上看出是在 x 轴上方的部分,即 0<t<8.
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解:(1)因为点 A(1,1)在二次函数 y=x2-2ax+b 的图象上,所以 1=1-2a+b,可得 b=2a. (2)根据题意,方程 x2-2ax+b=0 有两个相等的实数根, 所以 4a2-4b=4a2-8a=0,解得 a=0 或 a=2. 当 a=0 时,y=x2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0); 当 a=2 时,y=x2-4x+4=(x-2)2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0). 所以,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).
)
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把(-1,0)代入 y=ax2+x+c 得 a+c=1.
A
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3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是(
)
A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0 B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0 C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0 D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0
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针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 3 题
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2.抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系 【例 2】 我们知道,由于地球引力的作用,竖直上抛的物体上升到一定 高度后会随之下落.竖直上抛物体的高度 h(m) 与运动时间 t(s)的关系可以用公式 h=-5t2+v0t+h0 表示,其中 h0(m)是抛出时的高 度,v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被 以 40 m/s 的速度竖直向上抛起,小球的高度 h(m) 与运动时间 t(s)的关系如下图所示. (1)h 与 t 的关系是什么? (2)小球经过多少秒后落地? (3)当小球的高度为 35 m 时,求小球运动的时间. (4)在什么时间内,小球的高度大于 0?
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1.二次函数 y=x2+x-6 的图象与 x 轴交点的横坐标是( A.2 和-3 C.2 和 3 B.-2 和 3 D.-2 和-3
)
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A
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2.已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴的交点的横坐标为-1,则 a+c 的值为( A.1 B.-1 C.2 D.-2
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D
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4.二次函数 y=x2-mx+3 的图象与 x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到 m 的值是 .
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把点(1,0)代入 y=x2-mx+3,得 4-m=0,m=4.
4
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5.已知点 A(1,1)在二次函数 y=x2-2ax+b 的图象上. (1)用含 a 的代数式表示 b; (2)如果该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的 顶点坐标.
0 时,二次函数
= < ≥
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点;当 Δ y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有一个交点;当 Δ y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴没有交点;当 Δ y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有交点.
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0 时,二次函数 0 时,二次函数 0 时,二次函数
.
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1.二次函数与一元二次方程 【例 1】 已知抛物线对应的函数表达式为 y=x2-(2m-1)x+m2-m. (1)求证:此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点; (2)若此抛物线与直线 y=x-3m+4 的一个交点在 y 轴上,求 m 的值.
(1)证明:令 y=0,得 0=x2-(2m-1)x+m2-m,① ∵ Δ=[-(2m-1)]2-4(m2-m)=1>0, ∴ 方程①有两个不等的实数根. ∴ 此抛物线与 x 轴有两个不同的交点. (2)解:令 x=0,根据题意有 m2-m=-3m+4. 解得 m=-1+ 5或 m=-1- 5.
21.3
二次函数与一元二次方程
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1.一元二次方程 ax2+bx+c=0,当 Δ=b2-4ac≥0 时有实数根,这个实数根 就是对应二次函数 y=ax2+bx+c 的值等于 0 时 自变量 x 的一个值,即二次函
x 轴一个交点 的横坐标. 数的图象与 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ >