7.2常数项级数的审敛法(1)
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7-2数项级数的审敛法
·复习 1 级数的概念。
2 级数的敛散性。
3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。
一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。
我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课7-2 常数项级数的审敛法（一）一 正项级数及其审敛法定义 如果级数∑∞=1n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥，(1,2)n = ，那么称级数∑∞=1n n u 为正项级数．如果级数∑∞=1n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数∑∞=1n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞=1n n u 收敛于和S ，即lim n x S S →∞=，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：∑∞=1n n u 有界，因此可得如下结论：定理 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数∑∞=1n n u 发散，则当n →∞时，它的部分和数列n S →∞，即：1n n u ∞==+∞∑1 比较审敛法设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛.（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。
定义 当0p >时 ，11111123L L ppppn nn∞==+++++∑.称为 p －级数特别地：当1p =时，p －级数是调和级数11n n∞=∑。
常数项级数的审敛法112
1
p1
1 4p
( p 0) 的收敛性
]
1 np
而调和级数 n11n 发散
1 xp
dx
其部分和
3
1
p1
]
p11[
(n
[
n
n1
1 1)
1
p1
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
(完整版)高数知识汇总之级数,推荐文档
第七章 级数
7.1 常数项级数的概念与性质
7.1.1 常数项级数的概念
常数项级数：
a , a ,, a , 一般的，设给定数列 1 2
n
则该数列所有项相加所得的表达式
a1 a2 an 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；
其中第 n 项 an an ，即 an a1 a2 an
(a1 ak1 ) (ak11 ak2 ) (akn11 akn )
仍收敛，且其和不变。
注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级
数收敛。
推论 1：
若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。
性质 5：
若级数
n1
an
收敛，则
lim
n
an
0。
注意：
幂级数，其中 x0 是任意给定的实数， a0 , a1, a2 ,, an ,称为幂级数的系数。
当 x0 0 时，上式变为 an x n a0 a1x a2 x 2 an x n 。 n0
对应地，可以构造一个正项级数 | an | | a1 | | a2 | | an | 。 n1
绝对收敛判别法： 定理：
若级数 | an | 收敛，则级数 an 收敛。（绝对收敛的级数必收敛。）
n1
n1
定义：
设 an 为任意项级数， n1
⑴如果级数 | an | 收敛，则称级数 an 绝对收敛
n1
n1
n1
当 n N 时有 an Cbn C 0成立，则级数 an 收敛；如果级数 bn 发散，且当
n1
n1
n N 时有 an Cbn C 0成立，则级数 an 发散。 n1
比较审敛法的极限形式：设 an 和 bn 均为正项级数， lim an l ，那么
7.1 常数项级数的概念与性质
7.1.1 常数项级数的概念
常数项级数：
a , a ,, a , 一般的，设给定数列 1 2
n
则该数列所有项相加所得的表达式
a1 a2 an 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；
其中第 n 项 an an ，即 an a1 a2 an
(a1 ak1 ) (ak11 ak2 ) (akn11 akn )
仍收敛，且其和不变。
注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级
数收敛。
推论 1：
若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。
性质 5：
若级数
n1
an
收敛，则
lim
n
an
0。
注意：
幂级数，其中 x0 是任意给定的实数， a0 , a1, a2 ,, an ,称为幂级数的系数。
当 x0 0 时，上式变为 an x n a0 a1x a2 x 2 an x n 。 n0
对应地，可以构造一个正项级数 | an | | a1 | | a2 | | an | 。 n1
绝对收敛判别法： 定理：
若级数 | an | 收敛，则级数 an 收敛。（绝对收敛的级数必收敛。）
n1
n1
定义：
设 an 为任意项级数， n1
⑴如果级数 | an | 收敛，则称级数 an 绝对收敛
n1
n1
n1
当 n N 时有 an Cbn C 0成立，则级数 an 收敛；如果级数 bn 发散，且当
n1
n1
n N 时有 an Cbn C 0成立，则级数 an 发散。 n1
比较审敛法的极限形式：设 an 和 bn 均为正项级数， lim an l ，那么
常数项级数审敛法
4
1 例1 判 别 级 数 n2 n 的 敛 散 性 n 1 1 1 un n n 解: n2 2 1 1 而级数 2n 收 敛 级 数 n2n 收 敛 n 1 n 1 1 例 2 证明级数 是发散的. n 1 n( n 1)
例 3 讨论 P-级数
根据定理4可知:
当 0 x 1 时 , 级数收敛 ;
当 x 1 时 , 而当 级数发散 ;
x 1 时 , 级数 n 发散 .
n 1
21
2. 根值审敛法
定理5 设
n 1
n 为正项级数 , 且 lim un , 则 un n
(1) 当 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 1 时 , 级数发散 .
6
1 例4 判 别 级 数 (n 1)(n 2)的 敛 散 性 n 1
1 1 解 : un 2 ( n 1)(n 2) n 1 1 而级数 n2 收 敛 级 数 (n 1)(n 2)收 敛 n 1 n 1 1!2! n！ 例5 判 别 级 数 (2n)! 的 敛 散 性 n 3 1!2! n! n n! ( n 1)! 解 : un ( 2n)! ( 2n)！ ( 2n)! 1 1 2 （n 2）n 3) 2n ( n
N 0,当n N时，有 un 1 0
2 当n N时，un un un un ,
2 而 un收 敛 ， un收 敛
n N
n 1
n N
2 即 un收 敛 n1
8
(2)
un un1
1 ( un un1 ) 2
1 例1 判 别 级 数 n2 n 的 敛 散 性 n 1 1 1 un n n 解: n2 2 1 1 而级数 2n 收 敛 级 数 n2n 收 敛 n 1 n 1 1 例 2 证明级数 是发散的. n 1 n( n 1)
例 3 讨论 P-级数
根据定理4可知:
当 0 x 1 时 , 级数收敛 ;
当 x 1 时 , 而当 级数发散 ;
x 1 时 , 级数 n 发散 .
n 1
21
2. 根值审敛法
定理5 设
n 1
n 为正项级数 , 且 lim un , 则 un n
(1) 当 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 1 时 , 级数发散 .
6
1 例4 判 别 级 数 (n 1)(n 2)的 敛 散 性 n 1
1 1 解 : un 2 ( n 1)(n 2) n 1 1 而级数 n2 收 敛 级 数 (n 1)(n 2)收 敛 n 1 n 1 1!2! n！ 例5 判 别 级 数 (2n)! 的 敛 散 性 n 3 1!2! n! n n! ( n 1)! 解 : un ( 2n)! ( 2n)！ ( 2n)! 1 1 2 （n 2）n 3) 2n ( n
N 0,当n N时，有 un 1 0
2 当n N时，un un un un ,
2 而 un收 敛 ， un收 敛
n N
n 1
n N
2 即 un收 敛 n1
8
(2)
un un1
1 ( un un1 ) 2
常数项级数的审敛法 ppt课件
(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
常数项级数审敛法
反之，若 an 发散，则 bn 发散.
n1
n1
证明
(1) 设 bn
an bn ,
n1
且 sn a1 a2 an b1 b2 bn
即部分和数列有界
an收 敛. n1
(2) 设 sn (n ) 且 an bn ,
则 n sn 不是有界数列
bn发 散. n1
p
级
数
当 当
p p
1时 1时
, ,
收敛 发散
补充：积分审敛法
例２ 判定级数
1
的敛散性
n1 n 2n
解 由于
11 n 2n 2n (n 2)
而等比级数
1
n1 2n
收敛，由比较审敛法知原级数收敛．
例 3 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
(1) n1
n;
ln(1 1 )
(2) n1
n;
解
(1)
n 时，1 cos 1 n
～
1 2n2
而
1 收 敛 ， 故原级数收敛
n1 2n2
(2) n
时，ln(1
1)～ n
1 n
而
1发散，
故原级数发散
n1 n
注: ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用的等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
n!
(2) n1 10n ;
(1)若an与bn是同阶无穷小，则 an与 bn同敛散
常数项级数审敛法探讨
职业技术教育 的屡遭重创原因很多。首先 ，现阶段 经济水平 的低下 ，我 国的经济建设 发展不平衡 ，富裕地 区的职业技术教育 自然有较多 的发展机会 ，贫 困地 区 的职业技术教育举 步维艰 。职业技 术教育往往得 不到 所需 的“硬件 ”，教材 “软件 ”建设严 重滞后 。近些年 来 ， 政府 相继制定 了一 些相关 的法令 、规章 ，但这些法 令仍 然难 以令 职业 技 术教 育所 需 的物质 上 的扶 持得 到 保 障。其次 ，就业状 况不景气。中等职业技术学校辛辛苦 苦培养 出来 的大批 学生到 了人才市 场却发现 “英 雄无 用 武之地 ”，给社会 造 成 中等 职业 技术 教育无 能 的表 象 。任何 经济 的发展都离 不开具有专 门技 术 的中高级 技术 人才 ，职业技术 教育 的普及 、发 展和完善对 国家经 济的发展起着直接性作用 。众所周知 ，职业技术教育作 为德 国经 济发 展的“秘 密武 器”，使 德 国经济在 世界 范 围内一直遥遥领先 ，为世界各国所 瞩 目。我 国的职业技 术教 育要能在经济 建设 过程 中充分发挥 巨大 的推 动作 用 ，就要做好 以下几方面工作。
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
高数知识汇总之级数
第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。
级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。
常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q -当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。
注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。
常数项级数的审敛法
n= n =1
∞
(n + 1)(n + 4)
1
.
1 解 (1).un = > = , 2 n(n + 1) (n + 1) n + 1 1 1 1 (2).un = < = 2, (n + 1)(n + 4) n ⋅ n n
1 ∑n + 1发散 故原级数发散。 发散, 故原级数发散。 n=1
1 ∑ n 2 收敛 故原级数收敛。 收敛, 故原级数收敛。 n =1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、比较审敛法 、 2、比值审敛法 、 3、根值审敛法
0 ≤ un ≤ v n un = l (0 < l < +∞), (2) 极限形式 lim n→∞ v n u n +1 lim =ρ n→∞ u n
(1) 一般形式
lim n un = ρ
n→∞
11
比值审敛法失效, 注：ρ=1时,比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别 时 比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别.
1 的敛散性. 例8 判别级数 ∑ (2n − 1) ⋅ 2n 的敛散性 n=1
∞
un+1 解 lim n→ ∞ u n
1 (2n + 1) ⋅ 2(n + 1) = lim (2n − 1) ⋅ n = 1 = lim n → ∞ (2n + 1) ⋅ (n + 1) n→ ∞ 1 (2n − 1) ⋅ 2n
3、根值审敛法
判别级数的敛散性: 例9. 判别级数的敛散性
n
(1).∑
1 n ; (2).∑ n n =1 n n =1 3n-1
∞
(n + 1)(n + 4)
1
.
1 解 (1).un = > = , 2 n(n + 1) (n + 1) n + 1 1 1 1 (2).un = < = 2, (n + 1)(n + 4) n ⋅ n n
1 ∑n + 1发散 故原级数发散。 发散, 故原级数发散。 n=1
1 ∑ n 2 收敛 故原级数收敛。 收敛, 故原级数收敛。 n =1
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、比较审敛法 、 2、比值审敛法 、 3、根值审敛法
0 ≤ un ≤ v n un = l (0 < l < +∞), (2) 极限形式 lim n→∞ v n u n +1 lim =ρ n→∞ u n
(1) 一般形式
lim n un = ρ
n→∞
11
比值审敛法失效, 注：ρ=1时,比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别 时 比值审敛法失效 必须用其他的方法来判别.
1 的敛散性. 例8 判别级数 ∑ (2n − 1) ⋅ 2n 的敛散性 n=1
∞
un+1 解 lim n→ ∞ u n
1 (2n + 1) ⋅ 2(n + 1) = lim (2n − 1) ⋅ n = 1 = lim n → ∞ (2n + 1) ⋅ (n + 1) n→ ∞ 1 (2n − 1) ⋅ 2n
3、根值审敛法
判别级数的敛散性: 例9. 判别级数的敛散性
n
(1).∑
1 n ; (2).∑ n n =1 n n =1 3n-1
高数第三节：常数项级数的审敛法
n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛， 1） （1）若 ∑ | un | 收敛， 则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛， 发散， （2）若 ∑ | un | 发散， 而 ∑ un 收敛， ）
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散， 发散， 所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
（二）绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 考虑任意项级数
∞
∞
（1）该结论的逆命题不成立。 ）该结论的逆命题不成立。 （2）定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种 ） 有效方法。 有效方法。
【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法
则 n sn
vn发散. n 1
不是有界数列 定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1
且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数 的收敛性. n1 n 2
x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛
un n 1
收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,
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讨论
p
级数
1 n1 n p
的敛散性,
其中
p
为正的常数.
解
当 p 1时,
有
1 n
1 np
(n
1 , 2 ,
).
因为调和级数 1 发散, 则由比较判别法可知,
n1 n
p
1时,
p 级数
1 n1 n p
发散.
y
1 xp
当 p 1 时, 如图所示,
O 1 2 3 4x
p 级数从第2项到第n项的和为阴影部分台阶形的面积,
且该面积小于函数
f
(x)
1 xp
在 [1,n] 上的曲边梯形
面积, 于是有
Sn1n k2源自1 kpn1
k2
k1 k1 x pdx
n 1
1 1 x pdx
1 1 n1 p p 1 p 1
1 1 p , p1 p1
由定理7.2.1可知,
当
p
1时,
p 级数
1 n1 n p
收敛.
例如,级数
即正项级数的部分和数列单调增加.
定理7.2.1(正项级数收敛原理)正项级数收敛 的充分必要条件是它的部分和数列有上界.
证明:设级数 为un 正项级数, n1
因此部分和数列 sn单 调递增.
pp35 准则3
于是,若 s有n 上界,则根据单调有界数列 必有极限,
可知极限
lim
n
s存n 在,从而
收敛un .
(3) 当 时1 ,级数可能收敛,也可能发散.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 注意: 当 时1 比值审敛法失效;
如
p 级数
1 n1 n p
,
对于 p 的任意给定值, 都有
1
lim un1 n un
lim
n
(n
1) 1
p
1
np
而当
p
1时,
n1
1 np
收敛,
当
p
1时,
1 n1 n p
6n 5
(4) n1 (3n 2)(2n 1)(n 1)
收敛
1
(5) n1 nn n
发散
(6) n1 sin 3n
收敛
定理7.2.4. （比值审敛法 达朗贝尔判别法)
设 为un 正项级数,且
n1
则
lim un1 u n
n
(其中
允许 为
)
(1) 当 时1 ,级数收敛；
(2) 当 时,级数发散；
常用于比较的级数: 几何级数, p-级数, 调和级数
例3 判别下列级数的敛散性：
1
(1) sin； (2) n1 n
1
.
tan2
π
n1
n
sin
解 (1) lim n 1,
n 1
n
而调和级数
n1
发n1 散,
所以原级数发散.
(2) 当 n 时， tan,π则～ π
nn
，tan2
π n
～
π n
2
即
有 n
的部vn 分和分别为 与 s,则n
n1
sn u1 u2 L un v1 v2 L vn n
于是,根据定理7.2.1,
若v收n 敛,则
有 n上 界,从而
有上sn界 ,
n1
推得u收n 敛.若 n1
发u散n ,则
n1
无上s界n ,
从而 n无 上界,推得 发v散n .
n1
例1
发散,
故当 时1 比值审敛法失效.
例4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
1
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 收1 敛. n1 n!
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
设 un与 vn为两个正项级数,且
n1
n1
lim un l, n vn
则 (1) 若 0 l ,则二级数有相同的敛散性;
(2)若 l ,0则当 收敛vn 时,可得
n1
(3) 若 l ,则当 发散vn时,可得
n1
收敛;un
n1
发散. un
n1
定理 7.2.3 表明， 无穷级数收敛与否最终取决于级数一般项趋
n1 10
(n ),
故级数
n1
1发n0!n散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
而级数
n1
n收12 敛.
故级数
1收敛.
n1 2n (2n 1)
7.2 常数项级数的审敛法(1)
正项级数及其审敛法
1.定义
各项都非负的级数,通常称为正项级数. 各项都非正的级数,通常称为负项级数. 正项级数、负项级数统称为保号级数. 设级数 u1 u2 L un L 是一个正项级数， 由 un 0 ( n 故1, 2有,L )
sn1 sn un1 sn ( n 1, 2,L )
则(1) 当 时1,级数收敛；
n1
若Sn无 上界,则
lim
n
s,n从 而 有
发散. un
n1
定理7.2.2. (比较审敛法) 设两个正项级数 un
n1
和 v满n 足 un vn (n 1，2，L )
n1
则 (1)由
收vn敛,可推出
n1
(2)由 发un散,可推出
n1
收敛un； n1
发散vn. n1
证明：设级数 与un n1
练习2—pp185.8.用比值审敛法判定下列 级数的敛散性.
2n 2
(1)
n1
2n
n!
(2) n1 3n
(3)
n1
n3
sin
2n
2n n!
(4)
n1
nn
收敛 发散 收敛 收敛
定理7.2.5. 根值审敛法(柯西判别法)
设 为un正项级数,且 n1
lim n
n
un
(其中
允许 为
)
n1
，n12
是1收敛的;级数
n1 n n
是发 散1 的.
n1 n
例2 判别级数
1 的敛散性.
n1 n(n 1)
解 因为
1 1 , n 1,2, n(n 1) n 1
且
1
1 发散.
n1 n 1 n2 n
由比较判别法知, 原级数发散.
定理7.2.3. （比较审敛法的极限形式）
tan2 π
lim
n
n π 2
1
,而级数
n1
收nπ 敛2 ，
n
所以原级数 tan收2 敛π .
n1
n
练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限 形式判定下列级数的敛散性.
1
(1) n1 3n 2
发散
2
(2)
3n
n1
4
收敛
n2 1
(3)
n3
n1
4
发散
练习1—pp184.7.用比较审敛法或其极限 形式判定下列级数的敛散性.
于零的速度，即无穷小量阶的大小.
例2 中， 一般项 1 与 1 为等价无穷小量, n(n 1) n
由 1 发散, 得
1
发散.
n1 n
n1 n(n 1)
方法： 通过无穷小量的等价关系, 简化 un 的通项 un ,
n1
进而利用已知级数的敛散性判别.
比较审敛法的不便: 需要有一个已知敛散性的级数作为比较的对象.