2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
天河区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）A ．9.6B ．7.68C ．6.144D ．4.91522． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个3． 已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣24． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 23＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 25－y 2＝1 D.x 22－y 24＝1 5． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14 B ．12C ．D ．6． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）A B ． C 或 D ．27． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）A ．4+2iB ．20+10iC ．4﹣2iD ．8． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A ．BC D9． 函数y=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．012．如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．14．设函数f （x ）=，①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．16．当0,1x ∈（）时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．17．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin2，则该数列的前16项和为 ．18．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ▲ ． 三、解答题19．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形．21．（本小题满分16分）给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．24．（本小题满分13分）椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点M ，点M 在x 轴的上方．当0m =时，1||2MF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且12123MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．天河区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x， 结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．故选：C ．2． 【答案】B【解析】解：a ※b=12，a 、b ∈N *，若a 和b 一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a ，b ）有4个；若a 和b 同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a ，b ）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B3． 【答案】B【解析】解：向量，向量与平行，可得2m=﹣1．解得m=﹣． 故选：B ．4． 【答案】【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即|6b |b 2＋a2＝1，又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，∴E 的方程为x 25－y 2＝1，故选C.5． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'222()x x a f x x++=，因为函数2()2ln 2f x a x x x=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒成立，10,4a ∴∆≤∴≥，故选A. 1 考点：导数与函数的单调性． 6． 【答案】C 【解析】考点：余弦定理． 7． 【答案】A【解析】解：∵z=2﹣i ，∴====，∴=10•=4+2i ，故选：A ．【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．8． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 60224S bc A bc bc ====，所以4bc =，又1b =，所以4c =，又由余弦定理，可得2222202cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =0sin sin sin sin sin 603a b c a A B C A ++===++，故选B ．考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c aA B C A++=++是解答的关键，属于中档试题．9． 【答案】A【解析】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选A10．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1=，∴=，，可得e=．故此双曲线的离心率为：．故选D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．11．【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．12．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．二、填空题13．【答案】（﹣3，21）．【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系数法可得，解得x=3，y=6．∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．∴S9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．【答案】 ≤a ＜1或a ≥2 ．【解析】解：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，若函数h （x ）=2x﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．15．【答案】15(,)43-16．【答案】[2e,)-+∞【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2e 1xx ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e xx h x x+-=，()()()211e 'x x x h x x-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()211e '0x x x h x x-+-=>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．17．【答案】 546 ．【解析】解：当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k+1=a 2k ﹣1+1，数列{a 2k ﹣1}为等差数列，a 2k ﹣1=a 1+k ﹣1=k ；当n=2k （k ∈N *）时，a 2k+2=2a 2k ，数列{a 2k }为等比数列，．∴该数列的前16项和S 16=（a 1+a 3+...+a 15）+（a 2+a 4+...+a 16） =（1+2+...+8）+（2+22+ (28)=+=36+29﹣2 =546．故答案为：546．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）． 设点P 的坐标为（x ，y ）化简得x 2+3y 2=4（x ≠±1）．故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2=4（x ≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）根据题意，得；该旋转体的下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，其表面积为S=×4π×2×2=8π，或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；（2）由已知S=××2×sin135°=1，△ABD因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．21．【答案】（1）2a=（2）a≥2（3）两个零点．【解析】试题分析：（1）开区间的最值在极值点取得，因此()f x在1=x处取极值，即(1)0f=′，解得2a=，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：（1） ()2af x x x=-′由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 6m x x x x =--+所以())()1222221x m x x x x=--==′ ………12分当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分3241-e)(1+e+2e )(=0em e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，∴，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的方程为=1．（Ⅱ）设直线MN 的方程为x=ty+1，（﹣），代入椭圆，化简，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，∴，，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），又F 1（﹣1，0），F 2（1，0），则直线F 1M ：，令x=4，得P （4，），同理，Q （4，），∴=||=15×||=180×||，令μ=∈[1，），则=180×，∵y==在[1，）上是增函数，∴当μ=1时，即t=0时，（）min =．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．23．【答案】【解析】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，∴A1O==，…（2分）∴+AD2=AA12，∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A（0，0，），…（6分）1设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），∵=，=（1，m+1，0），且取z=1，得=．…（8分）又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面A1ADD1．不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）由题意得==，…（12分）解得m=1或m=﹣3（舍去）．∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由直线:1l x my =-经过点1F 得1c =，当0m =时，直线l 与x轴垂直，21||2b MF a ==，由21c b a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2212x y +=． （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，120,0y y >>，由12//MF NF 知12121122||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===.联立方程22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=，解得y =∴1y =，同样可求得2y =， （11分） 由123y y =得123y y =3=，解得1m =， 直线l 的方程为10x y -+=． （13分）。
2018-2019学年天河区高一上学期数学期末考
天河区2018-2019年第一学期期末联考试题高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,3S =，{}4T =，则()U S T ⋃等于（ ）．A ．{}2,4B ．{}4C ．∅D ．{1,34}，2． 已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若//a b ，则a b +=（ ）．A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()3,1-D ．()3,13． 已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）．A ．19-B ．9-C ．19D ．94． 设2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，432b =，21log 3c =，则（ ）．A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5． 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于下列哪个区间（ ）．A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()5,66． 已知角α的终边经过点(4,3)P -，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）．A ．17-B ．17C ．37D ．477． 已知函数()()sin (,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则()f x 的解析式是（ ）．第2页，共23页A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8． 若两个非零向量a ，b 满足22b a ==，23a b +=，则a ，b 的夹角是（ ）．A ．6πB ．3π C ．2π D ．π9． 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯(弦⨯矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算)173．，所得弧田面积约是（ ）．A ．16平方米B ．18平方米C ．20平方米D ．25平方米10．偶函数()()f x x R ∈满足：()()520f f -==，且在区间[]0,3与[)3,+∞上分别递减和递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（ ）． A ．()()(),52,25,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()(),52,02,5-∞-⋃-⋃C ．()()522,5--⋃．D ．()()()5,20,25,--⋃⋃+∞11． 已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）．AB ．CD．12．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且45AM AB =，23AN AD =，连接AC 、MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）．A ．35B ．37C ．411D ．413. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()()lg 1f x x =+的定义域是______．14．已知()1cos 3θπ+=-，则sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．15．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则实数a 取值范围是______．16．函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；④由2sin2y x =图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知向量()1,0a =，()1,1b =．（1）若22c =，且c b ⊥，求向量c 的坐标；（2）2AB a b =-，BC a mb =+，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值．第4页，共23页18．已知函数()21mx n f x x +=+是定义在R 上的奇函数，且()225f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用定义法证明．19．已知函数()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）先列表，并用描点法作出函数()f x 在[]0,4π上的简图．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0125．万元和05．万元，如图：（1）分别写出两类产品的收益(y 万元)与投资额(x 万元)的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21．已知()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值；（3）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．第6页，共23页22．已知函数()221(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]1,1-上有最大值4和最小值0．设()()g x f x x=．（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式()0f x k x -⋅≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021xxf k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2018-2019学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1． 设全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,3S =，{}4T =，则()U S T ⋃等于（ ）．A ．{}2,4B ．{}4C ．∅D ．{1,34}，【答案】A【解析】解：全集{1,U =2，3，4}，集合{},3S l =，{}4T =， (){}{}{}2,442,4U S T ∴⋃=⋃=．故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题． 2． 已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若//a b ，则a b +=（ ）．A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()3,1-D ．()3,1【答案】A【解析】解：//a b ； 210x ∴--=；12x ∴=-；1,12a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；1,12a b ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭．故选：A ．根据//a b 即可得出12x =-，从而得出1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这样即可求出a b +的坐标．考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3． 已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）． A ．19-B ．9-C ．19D ．9第8页，共23页【答案】C【解析】解：函数()2log ,03,0x x xf x x >⎧=≤⎨⎩，211log 244f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．由已知得211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，从而()124f f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4． 设2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，432b =，21log 3c =，则（ ）．A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】解：()2510,13a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4321b =>，21log 03c =<，则c a b <<． 故选：D ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5． 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于下列哪个区间（ ）．A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()5,6【答案】B【解析】解：函数()ln 26f x x x =+-()140f =-<， ()2ln240f =-< ()3ln3ln10f =>=，()()230f f ∴<，∴函数的零点在()2,3上，故选：B ．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6． 已知角α的终边经过点()4,3P -，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）．A ．17-B ．17C ．37D ．47【答案】B【解析】解：角α的终边经过点()4,3P -， 3tan 4α∴=-，则3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+． 故选：B ．由角α的终边经过点.()4,3P -.，利用任意角的三角函数定义求出tan α的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tan α的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tan α的值是解本题的关键．7． 已知函数()()sin (,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则()f x 的解析式是（ ）．第10页，共23页A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x xππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】解：根据图象判断：周期514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，2A =，22πωπ∴==， 12sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1232k ππϕπ∴+=+，k z ∈， 26k πϕπ∴=+，k z ∈，2πϕ<， 6πϕ∴=．()2sin 6f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选：A ．根据图象可得周期2T =，2A =，利用周期公式可求ω，利用12sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭及ϕ的范围可求ϕ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8． 若两个非零向量a ，b 满足22b a ==，23a b +=，则a ，b 的夹角是（ ）．A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】D【解析】解：根据题意，设a ，b 的夹角是θ， 又由22b a ==，且23a b +=. ， 则222(2)449a b a a b b +=+⋅+=， 即()1412cos 169θ+⨯+=， 解可得cos 1θ=-. ， 则θπ=； 故选：D ．根据题意，设a ，b . 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得222(2)449a b a a b b +=+⋅+=，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯(弦⨯矢+矢2)，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算()3173≈．，所得弧田面积约是（ ）．A ．16平方米B ．18平方米C ．20平方米D ．25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：23AOB π∠=，弧长为4π米， 4623OA ππ∴==在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，116322OD AO ==⨯=， 可得：矢633=-=， 由3sin6333AD AO π=⋅=⨯=，第12页，共23页可得：弦223363AD ==⨯=，所以：弧田面积1(2=弦⨯矢+矢()221)63339345202=⨯+=+≈．平方米． 故选：C ．在Rt AOD 中，由题意4OA =，6DAO π∠=，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10．偶函数()()f x x R ∈满足：()()520f f -==，且在区间[]0,3与[)3,+∞上分别递减和递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（ ）． A ．()()(),52,25,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()(),52,02,5-∞-⋃-⋃C ．()()522,5--⋃．D ．()()()5,20,25,--⋃⋃+∞【答案】B【解析】解：根据题意，()()000x x f x f x <⎧⋅<⇒>⎨⎩或()00x f x >⎧<⎨⎩，等价于求函数()y f x =的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数()()f x x R ∈满足()()520f f -==， 则()()()()52520f f f f =-=-==，且()f x 在区间[]0,3与[)3,+∞上分别递减与递增， 其草图为：即()2,5x ∈. 函数图象位于第四象限，()(),52,0x ∈-∞-⋃-函数图象位于第二象限．综上：()0x f x ⋅<的解集为：()()(),52,02,5-∞-⋃-⋃， 故选：B ．偶函数关于y 轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数()f x 的图象，再由()0xf x <得到x 与()f x 异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11． 已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ，则tan2α=（ ）．A ．3B ．3±C ．3D ．3±【答案】C【解析】解：锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2222cos sin cos sin αααα∴+=-，2cos sin 2αα∴-=，平方可得11sin22α-=，1sin22α=． cos sin αα>，04πα∴<<，2α∴还是锐角，故23cos21sin 2αα=-=， 则sin23tan2cos2ααα==， 故选：C ．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得2cos sin αα-=，1sin22α=，判断 04πα<<，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且45AM AB =，23AN AD =，连接AC 、MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）．A ．35B ．37C ．411D ．413. 【答案】C第14页，共23页【解析】解：45AM AB =，23AN AD =，()53534242AP AC AB AD AM AN AM AN λλλλλ⎛⎫∴==+=+=+ ⎪⎝⎭，三点M ，N ，P 共线． 53142λλ∴+=， 411λ∴=， 故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20．0分） 13．函数()()lg 1f x x =+的定义域是______． 【答案】(]1,1- 【解析】解：由题意， 可令1010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得11x -<≤，∴函数()()lg 1f x x =+的定义域是(]1,1-故答案为：(]1,1-．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14．已知()1cos 3θπ+=-，则sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】79-【解析】解：()1cos 3θπ+=-，1cos 3θ∴=， 227sin 2cos22cos 11299πθθθ⎛⎫∴+==-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：79-根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[)1,-+∞【解析】解：由()0g x =得()f x x a =--， 作出函数()f x 和y x a =--的图象如图： 当直线y x a =--的截距1a -≤，即1a ≥-时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点， 故实数a 的取值范围是[)1,-+∞， 故答案为：[)1,-+∞．由()0g x =得()f x x a =--，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16．函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线1112x π=对称；第16页，共23页②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；④由2sin2y x =图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1132sin 2122f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，为最小值，可得图象C 关于直线1112x π=对称，故①正确； 由22sin 03f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故②正确； 由5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即有()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，故③正确；由2sin2y x =图象向右平移3π个单位长度可以得到2sin23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故④错误．故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70．0分） 17．已知向量()1,0a =，()1,1b =．（1）若22c =，且c b ⊥，求向量c 的坐标；（2）2AB a b =-，BC a mb =+，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：()1设(),c x y =； c b ⊥，且22c =；0c b x y ∴⋅=+=①，228x y +=②；①②联立得，{22x y =-=，或{22x y ==-；()()2,2,2,2c ∴=--或；()()221,1AB a b =-=-，()1,BC a mb m m =+=+；A 、B 、C 三点共线；//AB BC ∴；10m m ∴++=；12m ∴=-．【解析】()1可设(),c x y =，根据c b ⊥及即可得出0x y +=①，228x y +=②，①②联立即可求出x ，y ，22c =即得出向量c 的坐标；()2可先求出()()1,1,1,AB BC m m =-=+，根据A 、B 、C 三点共线可得出//AB BC ，从而得出10m m ++=，解出m 即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18．已知函数()21mx n f x x +=+是定义在R 上的奇函数，且()225f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用定义法证明． 【答案】解：()1根据题意，()225f =函数()21mx n f x x +=+是定义在R 上的奇函数，则()001nf ==，则0n =， 又由，则()2222125m f ==+，解可得1m =， 则()21xf x x =+， ()2由()1的结论，()21xf x x =+在()0,1上为增函数， 证明：1201x x <<<， 则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++又由1201x x <<<，第18页，共23页则()120x x -<，()1210x x ->，则有()()120f x f x -<，则函数()f x 在()0,1上为增函数． 【解析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()001nf ==，则0n =，又由()2222125m f ==+，解可得m 的值，将m 、n 的值代入函数的解析式，计算可得答案； ()2根据题意，设1201x x <<<，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19．已知函数()2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）先列表，并用描点法作出函数()f x 在[]0,4π上的简图． 【答案】(本题满分为12分) 解：()()1f x 的最小正周期为2412T ππ==；(4⋯分) 令3222262x k k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得：284433k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，可得单调递减区间为：284,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ()2列表如下：连线成图如下：【解析】()1利用正弦函数的图象和性质即可求出()f x 的最小正周期与单调减区间；()2列表如下，作出它在[]0,4π上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数()sin y A x ωϕ=+的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0125．万元和05．万元，如图：（1）分别写出两类产品的收益(y 万元)与投资额(x 万元)的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？第20页，共23页【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：(0)y kx x =>， 由题知，当1x =时，0125y =．，则0125k =．，即0125y x =．，投资股票类风险型产品的收益满足函数：0)y k x =>， 由题知，当1x =时，05y =．，则05k =．，即， (Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x 万元()020x ≤≤，则投资股票类风险型产品20x -万元，0y =由题知总收益)01250020y x x =+≤≤．，令0t t ≤≤，则220x t =-，()222115101252005(2)38228y t t t t t =-+=-++=--+．．，当2t =，即16x =时，3(max y =万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x 万元()020x ≤≤，则投资股票类风险型产品20x -万元．这时可以构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21．已知()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （3）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围． 【答案】解：()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-， ())2cos cos 1f x a b x x x ∴=⋅=+-2cos 2cos 1x x x =+-cos22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 72666x πππ∴≤+≤， 1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值2，最小值1-； ()2若()085f x =，则082sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 04sin 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 03cos 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，00001cos2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦314525⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭()()32sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 令1122262k x k πππωππ-+≤+≤+，k z ∈， 可得，22233k k x ππππωωωω-+≤≤+ 令0k =可得，233x ππωω-≤≤， ()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，在区间2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数， 233ππω∴≥，解可得，102ω<≤． 【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()1由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的性质可求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值；第22页，共23页()2若()085f x =，可求02sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合同角平方关系可求0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由00cos2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求解 ()3由()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭进行比较可求． 本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22．已知函数()221(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]1,1-上有最大值4和最小值0．设()()g x f x x =．（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式()0f x k x -⋅≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】解：()1函数()2221(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[]1,1-上是减函数，故()1314g a b -=++=，()110g b a =+-=，解得1a =，0b =；()2由()0f x k x -⋅≥即为22210x x kx -+-≥， 即为21(1)k x≤-在0x >恒成立， 由21(1)0x-≥，当且仅当1x =时取得最小值0， 所以k 的取值范围是(],0-∞；()3方程()2213021x k f k k -+⋅-=-可化为： ()()221|2321|120x x k k --+-++=，210x -≠，令21x t -=，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠， 方程()2213021k k f k k -+⋅⋅-=-有三个不同的实数解， ∴由21x t =-的图象知，()()()2231200t k t k t -+++=≠，有两个根1t 、2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =．记()()()22312h t t k t k =-+++，则()()012010h k h k =+>⎧⎪=-<⎨⎪⎩，或()()01201023012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩， 0k ∴>．【解析】()1由函数()2(1)1g x a x b a =-++-，0a >，所以()g x 在区间[]1,1-上是减函数，故()14g -=，()10g =，由此解得a 、b 的值；()2不等式可化为21(1)k x≤-在0x >恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得k 的取值范围；()3方程()()()22213021|2321|12021x x x k f k k k k -+⋅-=⇒--+-++=-，()210x -≠，令21x t -=，则()()()2231200t k t k t -+++=≠，构造函数()()()22312h t t k t k =-+++. ，通过数形结合与等价转化的思想即可求得k 的范围．本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
2018-2019学度广州天河区高一上年末数学试卷(含解析解析).doc.doc
2018-2019学度广州天河区高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题1、〔5分〕设全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，A＝｛1，2｝，B＝｛2，3，4｝，那么A∩〔∁UB〕＝〔〕A、｛1，2，5，6｝B、｛1，2，3，4｝C、｛2｝D、｛1｝2、〔5分〕直线x﹣y＋3＝0的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、150°3、〔5分〕以下函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是〔〕A、f〔x〕＝2xB、f〔x〕＝log xC、f〔x〕＝D、f〔x〕＝﹣x｜x｜4、〔5分〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，那么异面直线AD与BC1所成角为〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°5、〔5分〕直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x﹣3y＋4＝0，假设l1与l2的交点在y轴上，那么C的值为〔〕A、4B、﹣4C、±4D、与A有关6、〔5分〕设a＝40.1，b＝log30.1，c＝0.50.1，那么〔〕A、a》b》cB、a》c》bC、b》a》cD、b》c》a7、〔5分〕圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，那么实数a的值是〔〕A、﹣4B、﹣3C、﹣2D、﹣18、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔〕A、3πB、4πC、2π＋4D、3π＋49、〔5分〕函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、10、〔5分〕过点A〔3，5〕作圆〔x﹣2〕2＋〔y﹣3〕2＝1的切线，那么切线的方程为〔〕A、x＝3或3x＋4y﹣29＝0B、y＝3或3x＋4y﹣29＝0C、x＝3或3x﹣4y＋11＝0D、y＝3或3x﹣4y＋11＝011、〔5分〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，那么此球的体积等于〔〕A、πB、πC、πD、8π12、〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足：①f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0；②f〔x ﹣2〕＝f〔﹣x〕，③在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，那么函数f〔x〕与函数g〔x〕＝的图象在区间【﹣3，3】上的交点个数为〔〕A、5B、6C、7D、8【二】填空题13、〔5分〕函数y＝ln〔1﹣2x〕的定义域是、14、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f〔f〔﹣4〕〕＝、15、〔5分〕假设直线〔a＋1〕x＋ay＝0与直线ax＋2y＝1垂直，那么实数a＝、16、〔5分〕α，β是两个平面，m，n是两条直线，那么以下四个结论中，正确的有〔填写所有正确结论的编号〕①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③假设a∥β，m⊂α，那么m∥β；④假设m⊥n、m⊥α，n∥β，那么α⊥β【三】解答题17、〔10分〕平面内两点A〔8，﹣6〕，B〔2，2〕、〔Ⅰ〕求过点P〔2，﹣3〕且与直线AB平行的直线l的方程；〔Ⅱ〕求线段AB的垂直平分线方程、18、〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点、〔1〕求证：PC∥平面BDE〔2〕求三棱锥P﹣CED的体积、19、〔12分〕函数f〔x〕＝2x＋2ax〔a为实数〕，且f〔1〕＝、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕判断函数f〔x〕的奇偶性并证明；〔3〕判断函数f〔x〕在区间【0，＋∞〕的单调性，并用定义证明、20、〔12分〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点、〔1〕求证：平面APM⊥平面BB1C1 C；〔2〕试判断直线BC1与AP是否能够垂直、假设能垂直，求PB的长；假设不能垂直，请说明理由、21、〔12分〕半径为的圆C，其圆心在射线y＝﹣2x〔x《0〕上，且与直线x ＋y＋1＝0相切、〔1〕求圆C的方程；〔2〕从圆C外一点P〔x0，y〕〕向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有｜PM｜＝｜PO｜，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标、22、〔12分〕a∈R，函数f〔x〕＝log2〔＋a〕、〔1〕假设f〔1〕《2，求实数a的取值范围；〔2〕设函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，讨论函数g〔x〕的零点个数、2016－2017学年广东省广州市天河区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题1、〔5分〕设全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，A＝｛1，2｝，B＝｛2，3，4｝，那么A∩〔∁UB〕＝〔〕A、｛1，2，5，6｝B、｛1，2，3，4｝C、｛2｝D、｛1｝【解答】解：∵全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，B＝｛2，3，4｝，∴∁UB＝｛1，5，6｝，又∵A＝｛1，2｝，∴A∩〔∁UB〕＝｛1｝，应选：D、2、〔5分〕直线x﹣y＋3＝0的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、150°【解答】解：设直线x﹣y＋3＝0的倾斜角为θ、由直线x﹣y＋3＝0化为y＝x＋3，∴tanθ＝，∵θ∈【0，π〕，∴θ＝60°、应选C、3、〔5分〕以下函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是〔〕A、f〔x〕＝2xB、f〔x〕＝log xC、f〔x〕＝D、f〔x〕＝﹣x｜x｜【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，应选：D、4、〔5分〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，那么异面直线AD与BC1所成角为〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A〔〕，D〔0，0，0〕，B〔，0〕，C1〔0，，1〕，＝〔﹣〕，＝〔﹣，0，1〕，设异面直线AD与BC1所成角为θ，那么cosθ＝＝＝、∴θ＝30°、∴异面直线AD与BC1所成角为30°、应选：A、5、〔5分〕直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x﹣3y＋4＝0，假设l1与l2的交点在y轴上，那么C的值为〔〕A、4B、﹣4C、±4D、与A有关【解答】解：直线2x﹣3y＋4＝0与y轴的交点〔0，〕，代入直线Ax＋3y＋C＝0，可得4＋C＝0，解得C＝﹣4、应选B、6、〔5分〕设a＝40.1，b＝log30.1，c＝0.50.1，那么〔〕A、a》b》cB、a》c》bC、b》a》cD、b》c》a【解答】解：∵a＝40.1》1，b＝log30.1《0，0《c＝0.50.1《1，∴a》c》B、应选：B、7、〔5分〕圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，那么实数a的值是〔〕A、﹣4B、﹣3C、﹣2D、﹣1【解答】解：圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0即〔x＋1〕2＋〔y﹣1〕2＝2﹣2a，故弦心距d＝＝、再由弦长公式可得2﹣2a＝2＋4，∴a＝﹣2，应选：C、8、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔〕A、3πB、4πC、2π＋4D、3π＋4【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S＝2×π＋〔2＋π〕×2＝3π＋4，应选：D9、〔5分〕函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、【解答】解：函数在〔0，＋∞〕上单调递增、因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为、应选D、10、〔5分〕过点A〔3，5〕作圆〔x﹣2〕2＋〔y﹣3〕2＝1的切线，那么切线的方程为〔〕A、x＝3或3x＋4y﹣29＝0B、y＝3或3x＋4y﹣29＝0C、x＝3或3x﹣4y＋11＝0D、y＝3或3x﹣4y＋11＝0【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：〔2，3〕；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，那么切线方程为：kx﹣y﹣3k＋5＝0，由点到直线的距离公式可得：＝1解得：k＝，所以切线方程为：3x＋4y﹣29＝0；当切线的斜率不存在时，直线为：x＝3，满足圆心〔2，3〕到直线x＝3的距离为圆的半径1，x＝3也是切线方程；应选A、11、〔5分〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，那么此球的体积等于〔〕A、πB、πC、πD、8π【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，∴AA1＝∴AA1＝2，∵BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，△ABC外接圆的半径R＝1，∴外接球的半径为＝，∴球的体积等于＝π，应选：C、12、〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足：①f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0；②f〔x ﹣2〕＝f〔﹣x〕，③在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，那么函数f〔x〕与函数g〔x〕＝的图象在区间【﹣3，3】上的交点个数为〔〕A、5B、6C、7D、8【解答】解：由f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0，可得函数f〔x〕的图象关于点M〔1，0〕对称、由f〔x﹣2〕＝f〔﹣x〕，可得函数f〔x〕的图象关于直线x＝﹣1对称、又在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，可得图象：进而得到在区间【﹣3，3】上的图象、画出函数g〔x〕＝在区间【﹣3，3】上的图象，其交点个数为6个、应选：B、【二】填空题13、〔5分〕函数y＝ln〔1﹣2x〕的定义域是｛x｜x《｝、【解答】解：根据题意：1﹣2x》0∴x《故答案为：｛x｜x《｝14、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f〔f〔﹣4〕〕＝3、【解答】解：∵f〔x〕＝，∴f〔﹣4〕＝〔〕﹣4﹣7＝9，f〔f〔﹣4〕〕＝f〔9〕＝＝3、故答案为：3、15、〔5分〕假设直线〔a＋1〕x＋ay＝0与直线ax＋2y＝1垂直，那么实数a＝0或﹣3、【解答】解：当a＝0时，两条直线方程分别化为：x＝0，2y＝1，此时两条直线垂直，因此a＝0满足条件、当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•〔﹣〕＝﹣1，此时a＝﹣3、综上可得：a＝0或﹣3、故答案为：0或﹣3、16、〔5分〕α，β是两个平面，m，n是两条直线，那么以下四个结论中，正确的有②③〔填写所有正确结论的编号〕①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③假设a∥β，m⊂α，那么m∥β；④假设m⊥n、m⊥α，n∥β，那么α⊥β【解答】解：①假设m∥α，n∥α，那么m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，那么m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③、【三】解答题17、〔10分〕平面内两点A〔8，﹣6〕，B〔2，2〕、〔Ⅰ〕求过点P〔2，﹣3〕且与直线AB平行的直线l的方程；〔Ⅱ〕求线段AB的垂直平分线方程、【解答】解：〔Ⅰ〕因为，…〔2分〕所以由点斜式得直线l的方程4x＋3y＋1＝0…〔4分〕〔Ⅱ〕因为AB的中点坐标为〔5，﹣2〕，AB的垂直平分线斜率为…〔6分〕所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23＝0…〔8分〕18、〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点、〔1〕求证：PC∥平面BDE〔2〕求三棱锥P﹣CED的体积、【解答】证明：〔1〕连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE、解：〔2〕∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵S△PDE＝＝＝，∴三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED ＝VC﹣PDE＝＝＝、19、〔12分〕函数f 〔x 〕＝2x ＋2ax 〔a 为实数〕，且f 〔1〕＝、 〔1〕求函数f 〔x 〕的解析式；〔2〕判断函数f 〔x 〕的奇偶性并证明；〔3〕判断函数f 〔x 〕在区间【0，＋∞〕的单调性，并用定义证明、 【解答】解：〔1〕∵f 〔x 〕＝2x ＋2ax 〔a 为实数〕，且f 〔1〕＝、 ∴f 〔1〕＝2＋2a ＝、得2a ＝，即a ＝﹣1， 那么函数f 〔x 〕的解析式f 〔x 〕＝2x ＋2﹣x ； 〔2〕f 〔﹣x 〕＝2﹣x ＋2x ＝﹣〔2x ﹣2﹣x 〕＝f 〔x 〕， 那么函数f 〔x 〕是偶函数、〔3〕设0≤x 1《x 2，f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕＝﹣﹣＋＝〔﹣〕〔1﹣〕＝〔﹣〕，∵y ＝2x 是增函数，∴﹣《0，当x 》0时，》1，那么﹣1》0，∴f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕《0，即f 〔x 1〕《f 〔x 2〕，函数f 〔x 〕是增函数、20、〔12分〕如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，CAB ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝，M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点、 〔1〕求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；〔2〕试判断直线BC 1与AP 是否能够垂直、假设能垂直，求PB 的长；假设不能垂直，请说明理由、【解答】证明：〔1〕∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点、∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面APM，∴平面APM⊥平面BB1C1 C、解：〔2〕以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B〔0，2，0〕，C1〔2，0，〕，A〔0，0，0〕，设BP＝t，〔0〕，那么P〔0，2，t〕，＝〔2，﹣2，〕，＝〔0，2，t〕，假设直线BC1与AP能垂直，那么，解得t＝，∵t＝》BB1＝，∴直线BC1与AP不能垂直、21、〔12分〕半径为的圆C，其圆心在射线y＝﹣2x〔x《0〕上，且与直线x ＋y＋1＝0相切、〔1〕求圆C的方程；〔2〕从圆C外一点P〔x0，y〕〕向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有｜PM｜＝｜PO｜，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标、【解答】解：〔1〕圆的半径为，设圆心C〔a，﹣2a〕〔a《0〕，∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，∴a＝﹣1、∴圆心C〔﹣1，2〕、那么圆的方程为：〔x＋1〕2＋〔y﹣2〕2＝2；〔2〕点P〔x0，y〕，那么PO＝，PM＝，由｜PM｜＝｜PO｜，得2x0﹣4y＋3＝0，PM＝PO＝＝＝＝、当时，PM＝、因此，PM的最小值为、△PMC面积的最小值是：＝、此时点P的坐标为〔，〕、22、〔12分〕a∈R，函数f〔x〕＝log2〔＋a〕、〔1〕假设f〔1〕《2，求实数a的取值范围；〔2〕设函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，讨论函数g〔x〕的零点个数、【解答】解：〔1〕假设f〔1〕《2，那么log2〔1＋a〕《2，即0《1＋a《4，解得：a∈〔﹣1，3〕；〔2〕令函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】＝0，那么f〔x〕＝log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，即＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5，即〔a﹣4〕x2＋〔a﹣5〕x﹣1＝0，①当a＝4时，方程可化为：﹣x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，此时＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝3，满足条件，即a＝4时函数g〔x〕有一个零点；②当〔a﹣5〕2＋4〔a﹣4〕＝0时，a＝3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，此时＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝2，满足条件，即a＝3时函数g〔x〕有一个零点；③当〔a﹣5〕2＋4〔a﹣4〕》0时，a≠3，方程有两个根，x＝﹣1，或x＝，当x＝﹣1时，＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝a﹣1，当a》1时，满足条件，当x＝时，＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝2a﹣4，当a》2时，满足条件，综上可得：1《a≤2时，函数g〔x〕有一个零点；a》2且a≠3且a≠4时函数g〔x〕有两个零点；。
广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
广东省中山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.已知a，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：a，，若，对A，，若，则；，则；，则，故A错误；对B，若，则；若，则；若，则，故B错误；对C，a，，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，在R上递增，可得，故D正确．故选：D．讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用在R上递增，即可判断D．本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．3.设等比数列的公比是q，则”是“数列是为递增数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若，时，递减，数列单调递增不成立．若数列单调递增，当，时，满足递增，但不成立．“公比”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4.不等式的解集是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：不等式等价于如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为，故选：A．原不等式等价于把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5.在等差数列中，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，且，得，即，．故选：B．由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求．本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程的正跟，即有，可得，又，所以．即b是a，c的等比中项．故选：B．通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．7.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为A. eB.C.D.【答案】C【解析】解：设切点坐标为，，，切线的斜率是，切线的方程为，将代入可得，，切线的斜率是；故选：C．设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．8.若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，；又函数有极大值和极小值，；故或；故选：B．由题意求导；从而化函数有极大值和极小值为；从而求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9.已知平面内有一个点，的一个法向量为1，，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，0，，，故不在平面内；同理可得：选项B，，，故在平面内；选项C，2，，，故不在平面内；选项D，，，故不在平面内；故选：B．由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．本题考查平面法向量的定义，属基础题．10.设数列的前n项和为，且，为常数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：数列的前n项和为，且，，为常数列，由题意知，，当时，，从而，，当时上式成立，．故选：B．由题意知，，当时，，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．11.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面；若，则P、A、B、C共面．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于，若，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，正确；对于，若，则，这里系数，A、B、C、D不共面，错误；对于，若，则，所以P、A、B、C共面，正确．综上所述，正确的命题序号是，共3个．故选：C．在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由，能判断P、A、B、C四点共面．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题．12.已知函数，，对任意存在使，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则，令，可得，则，．显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为，故选：D．令，则，令，可得，利用导数求得取得最小值．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则取得最大值时的最优解为______【答案】【解析】解：画出约束条件的可行域，如图：由得：，显然直线过时，z最大，所以最优解为：故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，则点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，，．因此的最小值为．故答案为：2．平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，可得点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案．本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10米到位置D，测得，则塔AB的高是______米【答案】【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．16.记为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：设正项等比数列的公比为，，，，可得：解得．则，当且仅当时取等号．的最小值为8．故答案为：8．设正项等比数列的公比为，由，可得，可得：解得可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列为单调递增数列，，其前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列其前n项和为，若成立，求n的最小值．【答案】解：，可得时，，相减可得，即为，数列为单调递增数列，即，可得，为首项为1，公差为2的等差数列，可得；，可得前n项和为，即，解得，即n的最小值为10．【解析】由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C；若，求面积的最大值．【答案】解：，由正弦定理可得：．，．．由余弦定理可得：，可得，当且仅当时取等号．面积的最大值．【解析】利用正弦定理与和差公式即可得出．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点A，B在直径上，点C，D在半圆周上，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】解：连接OC，设，则，其中，，当且仅当，即时，S取最大值900；取时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．设圆柱底面半径为r，高为x，则，解得，，其中；，令，得；因此在上是增函数，在上是减函数；当时，取得最大值，取时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为．【解析】设，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；用x表示出圆柱的底面半径，得出体积关于x的函数，判断的单调性，得出的最大值．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．求E的方程；设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．【答案】解：由题意得，，，则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，．的方程为；证明：设直线PQ的方程为，代入，得．设，，则，．．不可能为直角．【解析】由题意得，，则，可得M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明不可能为直角．本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．21.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【答案】证明：连接MD，FD．四边形BDEF为菱形，且，为等边三角形．为BF的中点，．，，又D是AC的中点，．平面平面，平面平面BDEF，平面ABC，平面BDEF．又平面BDEF，．由，，，平面AMC；解：设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，0，，1，．，，，．设平面AEF，平面BCF的法向量分别为，．由．解得．取，．又由解得．取，．．平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．【解析】连接MD，FD，可得为等边三角形又M为BF的中点，得，进一步求得，再由面面垂直的性质可证平面AMC；设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键，是中档题．22.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ0)'/>，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．Ⅱ令，原问题等价于在区间上恒成立，可见，要想在区间上恒成立，首先必须要，而，另一方面当时，，由于，可见0'/>，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，成立，故原不等式成立．综上，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为【解析】Ⅰ当时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数的单调性；Ⅱ利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。
天河区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 底面为矩形的四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（）A ．36πB ．48πC ．60πD ．72π2． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a+2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163． 函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（2，0）D ．（0，2）4． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．5． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（）A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 36． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种 7． 若a ＜b ＜0，则（ ）A ．0＜＜1B ．ab ＜b 2C ．＞D ．＜8． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，4]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（4，+∞）9． 已知偶函数f （x ）=log a |x ﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f （a+1）与f （b+2）的大小关系是（ ）A ．f （a+1）≥f （b+2）B ．f （a+1）＞f （b+2）C ．f （a+1）≤f （b+2）D ．f （a+1）＜f （b+2）10．在中，，，，则等于（ ）ABC ∆b =3c =30B =A B ．C D ．211．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21i i -A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．14．下列命题：①集合的子集个数有16个；{},,,a b c d ②定义在上的奇函数必满足；R ()f x (0)0f =③既不是奇函数又不是偶函数；2()(21)2(21)f x x x =+--④，，，从集合到集合的对应关系是映射；A R =B R =1:||f x x →A B f ⑤在定义域上是减函数．1()f x x=其中真命题的序号是．15．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．16．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是 ． 17．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ． 18．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．A BC D 三、解答题19．（本小题满分10分）已知函数．()2f x x a x =++-（1）若求不等式的解集；4a =-()6f x ≥（2）若的解集包含，求实数的取值范围．()3f x x ≤-[]0,120．（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变C 2sin cos 10ρθρθ+=1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩α换后得到曲线．32x x y y '=⎧⎨'=⎩2C （1）求曲线的参数方程；2C （2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．M 2C M C21．已知函数f （x ）=cos （ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为；（1）求f （x ）的对称轴方程和单调递增区间；（2）求f （x ）的最大值、最小值，并指出f （x ）取得最大值、最小值时所对应的x 的集合．22．（本小题满分12分）设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.（1）当a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．23．在数列中，，，其中，．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．24．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．天河区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，又V 四棱锥P －ABCD ＝S 矩形ABCD ·PO 13＝abR ≤R 3.1323∴R 3＝18，则R ＝3，23∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.2． 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，即有a 82=4a 8，解得a 8=4（0舍去），即有b 8=a 8=4，由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．故选：D ．3． 【答案】D【解析】解：令x=0，则函数f （0）=a 0+3=1+1=2．∴函数f （x ）=a x +1的图象必过定点（0，2）．故选：D ．【点评】本题考查了指数函数的性质和a 0=1（a ＞0且a ≠1），属于基础题．4． 【答案】D【解析】解：设函数y=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣lnx ，求导数得=当时，y ′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y ′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．5．【答案】D【解析】解：若a＞0＞b，则，故A错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题7．【答案】A【解析】解：∵a＜b＜0，∴0＜＜1，正确；ab＜b2，错误；＜＜0，错误；0＜＜1＜，错误；故选：A．8．【答案】A【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．9．【答案】B【解析】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选B．10．【答案】C【解析】考点：余弦定理．11．【答案】B【解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B12．【答案】B【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）| }将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题二、填空题13．【答案】 38 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=32，故答案为：3814．【答案】①②【解析】试题分析：子集的个数是，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③为偶函数，故错误.2n ()241f x x =-对于④没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.0x =考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是个；对于2n奇函数来说，如果在处有定义，那么一定有，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要0x =()00f =根据定义，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合中任意一个()()()(),f x f x f x f x -=-=-A 元素在集合中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1B 15．【答案】 4 【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．故答案为：4．16．【答案】 ．【解析】解：0. = + +…+==，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础． 17．【答案】 ．【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，∴试验发生包含的事件数6，∵方程x 2+ax+a=0 有两个不等实根，∴a 2﹣4a ＞0，解得a ＞4，∵a 是正整数，∴a=5，6，即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键． 18．【答案】 27 【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题． 三、解答题19．【答案】（1）；（2）.(][),06,-∞+∞ []1,0-【解析】试题分析：（1）当时，，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得4a =-()6f x ≥解集为；（2）等价于，即在上(][),06,-∞+∞ ()3f x x ≤-23x a x x ++-≤-11x a x --≤≤-[]0,1恒成立，即.10a -≤≤试题解析：（1）当时，，即或或，4a =-()6f x ≥2426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩4426x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩解得或，不等式的解集为；0x ≤6x ≥(][),06,-∞+∞ 考点：不等式选讲．20．【答案】（1）（为参数）；（23cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩【解析】试题解析：（1）将曲线（为参数），化为1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩α，由伸缩变换化为，221x y +=32x x y y '=⎧⎨'=⎩1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入圆的方程，得到，211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222:194x y C ''+=可得参数方程为；3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩考点：坐标系与参数方程．21．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，∴ω=2，f （x ）=cos （2x+）．令2x+=k π，求得x=﹣，可得对称轴方程为 x=﹣，k ∈Z ．令2k π﹣π≤2x+≤2k π，求得 k π﹣≤x ≤k π﹣，可得函数的增区间为，k ∈Z ．（2）当2x+=2k π，即x=k π﹣，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为1．当2x+=2k π+π，即x=k π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值为﹣1．∴f （x ）取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣，k ∈Z}；f （x ）取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．22．【答案】（1）158⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎭，，．【解析】试题分析：（1）由于122a -==⇒()14127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）由()()274144227lg 241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<A ．设()44lg lg 128a g x x a =+A ，原命题转化为()()1012800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．考点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得158x <；第二小题利用数学结合思想和转化思想，将原命题转化为()()1012800g a g <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎭ ，，．23．【答案】【解析】【知识点】数列综合应用【试题解析】（Ⅰ），，．（Ⅱ）成等差数列，，即 ，，即．，．将，代入上式， 解得．经检验，此时的公差不为0．存在，使构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）,又，令．由，，……，将上述不等式相加，得，即．取正整数，就有24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…∴椭圆方程为：．…（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…则，于是…又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．∴…由m≠0得：又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…设原点O到直线的距离为d，则∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．。
天河区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
5 2 【 解 析 】 f x 1 lnx a ， 因 为 f x 在 0，e 上 是 增 函 数 ， 即 f x 0 在 0，e 上 恒 成 立 ，
22．全集 U=R，若集合 A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}， （1）求 A∪B，（∁UA）∩（∁UB）； （2）若集合 C={x|x＞a}，A⊆C，求 a 的取值范围．
第复数字的三位数． （1）若 x=5，其中能被 5 整除的共有多少个？ （2）若 x=9，其中能被 3 整除的共有多少个？ （3）若 x=0，其中的偶数共有多少个？ （4）若所有这些三位数的各位数字之和是 252，求 x．
三、解答题
19．将射线 y= x（x≥0）绕着原点逆时针旋转 （Ⅰ）求点 A 的坐标； （Ⅱ）若向量 =（sin2x，2cosθ）， =（3sinθ，2cos2x），求函数 f（x）= • ，x∈[0， ]的值域． 后所得的射线经过点 A=（cosθ，sinθ）．
20．（本题 12 分）如图， D 是 Rt BAC 斜边 BC 上一点， AC （1）若 BD 2 DC 2 ，求 AD ； （2）若 AB AD ，求角 B .
二、填空题
13．若 x、y 满足约束条件 2x－y＋2 ≥ 0 ，z＝3x＋y＋m 的最小值为 1，则 m＝________． x＋y－2 ≤ 0 14．如图，在棱长为的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，点 E , F 分别是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧 面 BCC1 B1 内一点，若 AP 1 平行于平面 AEF ,则线段 A 1 P 长度的取值范围是_________.
10．圆 x y 2 x 2 y 1 0 上的点到直线 x y 2 的距离最大值是（ A． B． 2 1 C．
天河区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1B ．y=lnxC ．y=x 3D ．y=|x|2． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A． B． C．1: D(1 4． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）5． 已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)86． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．已知，，那么夹角的余弦值（ ）A．B．C ．﹣2D．﹣8． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-9． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④10．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sinC A =（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥A．2︰3 B．4︰3 C．3︰1 D．3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．11．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．12．若函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（2，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（2，+∞）二、填空题13．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前16项和为．14．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是．15．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为．16．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．17．函数f（x）=的定义域是．18．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为0e ktP P-=（P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.三、解答题19．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．20．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．22．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题)设，且，则的最小值为（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．（I）求C的值；（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．24．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．天河区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．故选D2．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．3．【答案】D【解析】考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 4． 【答案】A【解析】解：∵f （0）=﹣2＜0，f （1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（0，1）． 故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．5． 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则314t <<，由1324x +=，可得14x =，由213x =，可得3x =（负舍），即有121113,422x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭.故本题答案选C.考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.6． 【答案】 B【解析】解：∵①若m ∥l ，m ⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l ⊥α，故①正确； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α或l ⊂α，故②错误； ③如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 平面ABB 1A 1∩平面ABCD=AB ， 平面ABB 1A 1∩平面BCC 1B 1=BB 1， 平面ABCD ∩平面BCC 1B 1=BC ， 由AB 、BC 、BB 1两两相交，得：若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n 不成立，故③是假命题； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则由α∩γ=n 知，n ⊂α且n ⊂γ，由n ⊂α及n ∥β，α∩β=m ， 得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，故命题④正确． 故选：B ．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7． 【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos ＜＞===﹣，故选：A ．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．8． 【答案】C【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n-，选C ．9． 【答案】D【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ． 10．【答案】C【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．11．【答案】C【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．12．【答案】A【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）故选：A．二、填空题13．【答案】546．【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)=+=36+29﹣2=546．故答案为：546．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【答案】（﹣3，0）．【解析】解：由题意，a≥0时，x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，∴a≥0，不符合题意；﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．故答案为（﹣3，0）．15．【答案】．【解析】解：不等式组的可行域为：由题意，A（1，1），∴区域的面积为=（x3）=，由，可得可行域的面积为：1=，∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与与坐标原点连线的斜率大于1的概率为：=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．16．【答案】【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，则截面为即截去一个三棱锥其体积为：所以该几何体的体积为：故答案为：17．【答案】 {x|x ＞2且x ≠3} ．【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x ＞2且x ≠3 故答案为：{x|x ＞2且x ≠3}18．【答案】15【解析】由条件知5000.9ekP P -=，所以5e 0.9k-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，于是000.729ektP P -=，∴315e0.7290.9e ktk --===，所以15t =小时.三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2|∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，∵a﹣2b+c=m=1，∴，当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．22．【答案】【解析】AB23．【答案】【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，∴sinC=cosC，∴tanC==，由三角形内角的范围可得C=；（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4a2=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）∴△ABC的面积S=absinC==24．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．…（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，得，令z=1，得=（t，﹣t，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，…即=，解得t2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
天河区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =2． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f ′（x 0）＜0 B ．f ′（x 0）=0C ．f ′（x 0）＞0D ．f ′（x 0）的符号无法确定3． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABC D4． 如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）6． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞C ．D ．)+∞7． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a 8． 函数f （x ）=log 2（3x ﹣1）的定义域为（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞） 9． 已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 10．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）11．设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2 【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．12．若tan α＜0，则（ ）A ．sin α＜0B ．cos α＜0C ．sin αcos α＜0D ．sin α﹣cos α＜0二、填空题13．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．14．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．16．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．17．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．18．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．三、解答题19．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）求证：函数存在极小值；（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.20．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是243x ty t=-+⎧⎨=⎩（为参数）.（1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()323131,02f x x a x ax a =+--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]0,x p ∈时，有()11f x -≤≤； （3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．24．已知函数f （x ）=x 3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x ≥0时，不等式xe x +m[f ′（x ）﹣a]≥m 2x 恒成立，求实数m 的取值范围．天河区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】试题分析：对于A ，x y e =为增函数，y x =-为减函数，故x y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.2． 【答案】 A【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），∴，∴存在x 1＜a ＜x 2，f '（a ）=0，∴，∴，解得a=，假设x 1，x 2在a 的邻域内，即x 2﹣x 1≈0．∵，∴，∴f （x ）的图象在a 的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正， ∴x 0＞a ，又∵x ＞x 0，又∵x ＞x 0时，f ''（x ）递减，∴．故选：A ．【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．3． 【答案】B 【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B 。
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
天河区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（）A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，h（x）﹣④C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④ 2．已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（）A．{5，8}B．{4，5，6，7，8}C．{3，4，5，6，7，8}D．{4，5，6，7，8}3．如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（）A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为﹣3D．减函数且最大值为﹣34．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）6．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．27．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④；⑤．A．①③B．①③④C．②④D．②⑤8．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．9．已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t+（1﹣t），若∠ACD=60°，则t的值为（）A．B．﹣C．﹣1D．10．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）12．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ）A ．2B ．﹣2C ．8D ．﹣8二、填空题13．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线上x C y e ：＝一点，直线经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．20l x y c ：＋＋＝14．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ． 15．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．16．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．17．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．18．（sinx+1）dx 的值为 ．三、解答题19．根据下列条件求方程．（1）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．20．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？21．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：AE=EB；（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．22．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q 为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．23．双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．24．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．天河区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．故选：D．【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．2．【答案】C【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．故选C3．【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．4．【答案】D【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．5．【答案】C【解析】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．6．【答案】B【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，可得：，可得a2=b2，c=a，e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．7．【答案】D【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故选D．8．【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．9．【答案】A【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；∴；即；解得．故选：A．【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．10．【答案】A【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．11．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．12．【答案】B【解析】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．二、填空题13．【答案】－4－ln2【解析】点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。
广州市高二数学上册期末试卷2套含详细答案选择填空有解析
目录第一套：广东省广州市南沙区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测理科数学试题第二套：广东省广州市白云区2018-2019学年高二上学期期末数学试卷（理科）广东省广州市南沙区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡一并交回.一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1．（5分）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，）B．（﹣，1] C．[﹣1，）D．（﹣，0]2．（5分）2cos2﹣1=（）A． B．﹣C．D．﹣3．（5分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A． B．9 C． D．34．（5分）“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（5分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离7．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢P为：∀x∈R，x2+x ﹣1≥0B．若“P且Q”为假命题，则P，Q均为假命题C．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A． 1 B．0 C．﹣1 D．﹣39．（5分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7 B．10C．6 D．8 10．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）11．（5分）如图所示，向量，，在由单位长度为1的正方形组成的网格中，则•（）=．12．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．14．（5分）已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5．若存在两项a m ，a n 使得=2a 1，则+的最小值为．。
19-20学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A. a n =n−1n+2(n ∈N ∗) B. a n =n−12n+1(n ∈N ∗) C. a n =2(n−1)2n−1(n ∈N ∗)D. a n =2n2n+1(n ∈N ∗)2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人在第四天和第五天共走了( )A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里3. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1<0；命题q ：∃x ∈R ，x 2>2x ，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬p ∧¬q4. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 85. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c−bc−a =sinAsinC+sinB ，则B =( )A. π6B. π4C. π3D. 3π46. 直线l 1，l 2平行的一个充分条件是( )A. l 1，l 2都平行于同一个平面B. l 1，l 2与同一个平面所成的角相等C. l 1平行于l 2所在的平面D. l 1，l 2都垂直于同一个平面7. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. 20(√2+√6)海里/小时B. 20(√6−√2)海里/小时C. 20(√6+√3)海里/小时D. 20(√6−√3)海里/小时8. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sℎ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )A. 158B. 162C. 182D. 329. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC|=2|BF|，|AF|=4，则p 的值为A. 1B. 2C. 3D. 410. 在三棱锥D −ABC 中，AC =BC =BD =AD =√2CD ，且线段AB 的中点O 恰好是三棱锥D −ABC 的外接球的球心．若三棱锥D −ABC 的体积为4√33，则三棱锥D −ABC 的外接球的表面积为 ( )A. 64πB. 16πC. 8πD. 4π11. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a >−1B. a <−1C. a ≥−1D. a ≤−112. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为3√7的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则此双曲线的标准方程可能为( )A.x 23−y 2=1B. x 2−y 23=1C.x 23−y 26=1D.x 26−y 23=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线x 22−y 24=1的焦点到渐近线的距离为______．14. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．15. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．16. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(−1)n (a n +1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2017=________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }为等差数列，a 7−a 2=10，且a 1,a 6,a 21依次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =225，求n 的值．18. 在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sinA −sinB)=(c −b)(sinB +sinC)．(1)求角C 的值；(2)若a =4b ，求sinB 的值．19.已知命题，命题．(Ⅰ)分别求p为真命题，q为真命题时，实数m的取值范围；(Ⅱ)当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数m的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=−1的距离相等，记点P的轨迹为C．(1)求C得方程；(2)设点A在曲线C上，x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，满足AEED =CFFD=12，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，BD′=8√53．(1)证明：D′F⊥BH；(2)求BD′与平面ACD′所成的角的正弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2√3，离心率为12，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0)．(1)求椭圆C的方程；(2)求y0的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题．观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．解：观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=2(n−1)2n−1(n∈Z∗).故选C．2.答案：C解析：由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程．本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题．解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a1(1−1 26 )1−12=378，解得：a1=192，∴a4=192×123=24,a5=192×124=12，∴此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选C．3.答案：B解析：本题考查复合命题的判定，为基础题．先判断命题p，q的真假，再根据复合命题的真假表进行判断．解：命题p:x 2−x +1=(x −12)2+34>0，所以命题为假命题， 所以¬p 为真命题；命题q ：当x =3时，32>23， 所以命题q 为真命题， 所以¬q 为假命题 所以¬p ∧q 为真命题． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查等差数列公式的求法及应用以及等差数列求和公式的应用，是基础题．利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差． 解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选C ．5.答案：C解析：解：已知等式利用正弦定理化简得：c−bc−a =ac+b ，即c 2−b 2=ac −a 2， ∴a 2+c 2−b 2=ac ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，∵B 为三角形的内角， ∴B =π3． 故选：C ．已知等式右边利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cos B ，将得出的关系式代入求出cos B的值，即可确定出B的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．6.答案：D解析：本题考查判断两条直线平行的方法，平面的基本性质及推论等基础知识，考查空间想象能力，属于基础题．解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错；对于B：l1与l2还可能为相交或异面直线，故B错；另外，对于选项C，l1与l2不一定平行，故C错；对于选项D，根据直线与平面垂直的性质定理，D正确．故选D．7.答案：B解析：解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，MNsin30∘=20sin105∘．MN=20×12√2+√64=10(√6−√2)海里∴货轮航行的速度v=10(√6−√2)12海里/小时故选：B由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得MNsin30∘=20sin105∘，代入可求MN，进一步利用速度公式即可本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．8.答案：B解析：本题考查由三视图求面积、体积.关键是由三视图还原原几何体是中档题．由三视图还原原几何体可知该几何体为直五棱柱由两个梯形面积求得底面积代入体积公式得答案．解：由三视图还原原几何体如图，，该几何体为直五棱柱底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S五边形ABCDE =12(4+6)×3+12(2+6)×3=27．高为6，则该柱体的体积是V=27×6=162．故选B．9.答案：B解析：本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．解：如图，过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，G为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，则∠DCA=30°，∴|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=8−4=4，∴|GF|=|CF|2=2，即p=|GF|=2，故选B．10.答案：B解析：本题考查三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．依题意，由三棱锥D−ABC的体积为4√33，求得球的半径，即可求得结果．解：设棱锥D−ABC的外接球的半径为R，由球心O恰好是线段AB的中点，得AC⊥BC，AD⊥DB，由AC=BC=BD=AD=√2CD，所以AC=BC=BD=AD=√2CD=√2R，AB⊥OD，AB⊥OC，所以OC=OD=CD=R，即三角形DOC为正三角形，AB⊥面DOC，所以V D−ABC=13SΔDCO×AB=13×√34R3×2R=4√33．解得：R=2，所以三棱锥D−ABC的外接球的表面积为．故选B.11.答案：B解析：解：若命题p：∀x∈R，x2+2x−a>0为真命题，则△=4+4a<0，解得：a<−1，故选：B若命题p：∀x∈R，x2+2x−a>0为真命题，则△=4+4a<0，解得实数a的取值范围．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，函数恒成立问题，难度中档．12.答案：B解析：本题考查的是双曲线的几何性质以及运算求解能力和化归转化的数学思想，属于中档题． 根据(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得到|F 2F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，且，然后由余弦定理得到|AF 1|=3c 和双曲线的定义得a ：b =1：√3，结合选项即可得到答案． 解：由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可知|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，且，在△AF 1F 2中，由余弦定理得，解得|AF 1|=3c ，由双曲线的定义得3c −2c =2a ， ∴e =ca =2，则a ：b =1：√3， ∴双曲线的标准方程可能为 x 2−y 23=1．故选B ．13.答案：2解析：本题考查的是双曲线的简单性质，属基础题，求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可； 解：双曲线x 22−y 24=1的一个焦点(√6,0)，一条渐近线方程为：y =√2x ， 双曲线x 22−y 24=1的焦点到渐近线的距离为：√2·√6√2+1=2，故答案为2．14.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB =45求出sin B ，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB =45，∴B 为锐角，∴sinB =35， ∵AC =6，C =π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC ， ∴635=√22，∴AB =5√2．故答案是5√2．15.答案：13解析：此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，是中档题． 利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决． 解：如图，∵ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ， 由 AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 ( DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅( CB ⃗⃗⃗⃗⃗ − CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6， 得 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗ − DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得− ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得 1 3 CD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ，∴cosC =13， 故答案为：13．16.答案：−1007解析：本题考查了分类讨论方法、分组求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．a n+1=(−1)n(a n+1)，可得a2n+1=a2n+1，a2n=−a2n−1−1.因此a2n+1+a2n−1=0，a2n+2+ a2n=−2.利用分组求和即可得出．解：∵a n+1=(−1)n(a n+1)，∴a2n+1=a2n+1，a2n=−a2n−1−1．∴a2n+1+a2n−1=0，a2n+2+a2n=−2．∴S2017=a1+(a3+a5)+⋯+(a2015+a2017)+(a2+a4)+⋯+(a2014+a2016)=1+0−2×504=−1007．故答案为−1007．17.答案：解：(1)设数列{a n}的公差为d，因为a7−a2=10，所以5d=10，解得d=2．因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a62=a1a21，即(a1+5×2)2=a1(a1+20×2)，解得a1=5.所以a n=2n+3．(2)由(1)知b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)，所以b n=12(12n+3−12n+5)，所以，由n5(2n+5)=225，得n=10．解析：本题考查等差数列的通项公式和等比中项性质，考查裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12(12n+3−12n+5)，运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．18.答案：解：(1)在△ABC中，因为a(sin A−sin B)=(c−b)(sin B+sin C)，由正弦定理，得a(a−b)=(b+c)(c−b)，即a2+b2−c2=ab．由余弦定理c2=a2+b2−2abcos C，得cos C=12．因为0<C<π，所以C=π3；(2)(解法1)因为a=4b及a2+b2−c2=ab，得c2=16b2+b2−4b2=13b2，即c=√13b.由正弦定理，得，所以sin B=√3926．(解法2)由正弦定理，得sin A=4sin B．由A+B+C=π，得sin(B+C)=4sin B．因为C=π3，所以12sin B+√32cos B=4sin B，即7sin B=√3cos B．因为sin2B+cos2B=1，解得sin2B=352．在△ABC中，因为sin B>0，所以sin B=√3926．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了正，余弦定理解三角形的应用，属于中档题;(1)根据题目条件，由正弦定理得到a2+b2−c2=ab，由余弦定理得到cos C=12，因为0<C<π，所以C=π3；(2)因为a=4b及a2+b2−c2=ab，得到c=√13b，由正弦定理即可得到sin B=√3926．19.答案：解：(1)∃x∈[2,8]，，m≥−1log2x，又x∈[2,8]时，−1log2x ∈[−1,−13]，∴p为真命题时，m≥−1．∵∀x∈R,4mx2+x+m≤0，∴m<0且Δ=1−16m2≤0，∴q为真命题时，m≤−14．(2)∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有{m ≥−1m >−14解得m >−14；当p 假q 真，有{m <−1m ≤−14解得m <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，m <−1或m >−14．解析：(1)分别求出命题p 为真命题，命题q 为真命题，m 的取值范围； (2)通过讨论“p 真，q 假”或“p 假，q 真”的情况，得到不等式组，解出即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为动点P 到点F(1,0)的距离和它到直线x =−1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线． 设C 的方程为y 2=2px ，则p2=1，即p =2． 所以C 的轨迹方程为y 2=4x ； (Ⅱ)设A(m 24,m)，则B(m 24+2,0)，所以直线AB 的斜率为k=m−2=−m2．设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为y=−m2x+b，由{y2=4xy=−m2x+b，得my2+8y−8b=0，由Δ=64−4⋅m⋅8b=0，得b=−2m，所以y=−4m ，所以点D(4m2,−4m)，当m24≠4m2，即m≠±2时，直线AD 的方程为y−m=m+4mm24−4m2(x−m24)，整理得y=4mm2−4(x−1)，所以直线AD 过点(1,0)，当m24=4m2，即m=±2时，直线AD 的方程为x=1，过点(1,0)，综上所述，直线AD过定点(1,0)．解析：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(Ⅰ)由动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=−1的距离相等，可得动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，由已知求得p，则抛物线方程可求；(Ⅱ)设A(m24,m)，则B(m24+2,0)，可得直线AB的斜率为k.进一步由判别式法求得AB方程，求得D的坐标，分情况写出直线AD的方程，分析得答案．21.答案：证明：(1)由菱形性质得AC⊥BD，OB=12BD=4，由勾股定理得OC=OA=2，又已知AEED =CFFD=12，∴AC//EF，∴EF⊥BD，∴EF⊥BH，由OH=13OD，得BH=163，D′H=DH=83，又BD′=8√53，∴BD′2=BH 2+D′H 2，∴BH ⊥D′H ，∴BH ⊥平面D′EF ，∴D′F ⊥BH ．解：(2)由(1)得直线BD ，EF ，HD′两两相互垂直，如图，以H 为坐标原点，分别以HF 、HD 、HD′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则H(0,0，0)，A(−3,−43,0)，C(3,−43,0)，D′(0,0，83)，B(0,−163,0)，BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,163,83)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,43,83)，CD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,43,83)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD′的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +43y +83z =0n⃗ ⋅CD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +43y +83z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,−2,1)， 设BD′与平面ACD′所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×8√53=35．∴BD′与平面ACD′所成的角的正弦值为35．解析：(1)推导出AC ⊥BD ，AC//EF ，从而EF ⊥BD ，EF ⊥BH ，再推导出BH ⊥D′H ，从而BH ⊥平面D′EF ，由此能证明D′F ⊥BH ．(2)以H 为坐标原点，分别以HF 、HD 、HD′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD′与平面ACD′所成的角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：(1)由题意可得：2b =2√3，c a =12，又a 2=b 2+c 2，联立解得b =√3，a =2，c =1. ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2) 当斜率存在时，设直线MN 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 中点T(x′,y′)，把y =k(x −1)代入椭圆方程，得到方程(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k +3，x 1x 2=4k 2−124k +3，x′=4k 24k +3，y′=k(x′−1)=−3k4k 2+3，所以MN 的中垂线的方程为y −y′=−1k (x −x′)，令x =0，得y 0=1k x′+y′=k4k 2+3=14k+3k，当k>0时，4k+3k ≥4√3，则y0∈(0,√312]；当k<0时，4k+3k ≤−4√3，则y0∈[−√312,0),当斜率不存在时，显然y0=0，当k=0时，MN的中垂线为y轴.综上，y0的取值范围是[−√312,√312]．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴长为2√3，且离心率为12，可得b=√3,，ca=12，又a2=b2+c2，联立解得即可．(2)当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得y0=0.当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k(x−1)(k≠0)，与椭圆方程联立化为(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，线段MN的中点为Q，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得，可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．。
天河区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
天河区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ）A ．S 10B ．S 9C ．S 8D ．S 72． 一个骰子由六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ）1~6A ．6B ．3C ．1D ．23． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（）ABD 4． 已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a 5． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为（）A ．89B ．76C ．77D ．356． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ）A ．1或﹣3B ．﹣1或3C ．1或3D ．﹣1或﹣37． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．B ．C ．D ．144,144ππ144,36ππ36,144ππ36,36ππ8． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（）A ．45B ．90C ．120D ．3609． 函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）A ．B ．C ．πD ．2π10．直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=011．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）AB ．12C ．12- D．12．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．±2C ．或3D ．1或2二、填空题13．已知，则不等式的解集为________．,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî2(2)()f x f x ->【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．15．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．16．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．17．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为 ． 18．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ． 三、解答题19．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）ABC D20．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角AC 边长为BC 边长的,C θ=()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.试用和表示；θa S （2）若恰好当时，S 取得最大值，求的值.60θ= a21．已知直线l 1：（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 1：ρ2﹣2ρcos θ﹣4ρsin θ+6=0．（1）求圆C 1的直角坐标方程，直线l 1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．22．已知F1，F2分别是椭圆=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，且|PF1|=4，PF1⊥PF2．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求点P的坐标．23．若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求ω及m的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．24．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由． 天河区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0，∴=8（a 8+a 9）＜0，=17a 9＞0，∴a 8＜0，a 9＞0，∴公差d ＞0．∴S n 中最小的是S 8．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2． 【答案】A 【解析】试题分析：根据与相邻的数是，而与相邻的数有，所以是相邻的数，故“？”表示的数是，1,4,31,2,51,3,5故选A ．考点：几何体的结构特征．3． 【答案】C 【解析】考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得()2122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，解得3πϕ=，从而()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116x x π+=-，从而()121133f x x ππ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭．4． 【答案】A【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a ＜c ＜1，b=20.5＞1，∴b ＞c ＞a ，故选：A ．5． 【答案】C【解析】解：因为a 1=1，a 2=2，所以a 3=（1+cos 2）a 1+sin 2=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k+1=[1+cos 2]a 2k ﹣1+sin 2=a 2k ﹣1+1，即a 2k+1﹣a 2k ﹣1=1．所以数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ．当n=2k （k ∈N *）时，a 2k+2=（1+cos 2）a 2k +sin 2=2a 2k ．所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ．该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77故选：C ． 6． 【答案】A【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠，解得 a=﹣3，或a=1．故选：A ． 7． 【答案】D 【解析】考点：球的表面积和体积．8． 【答案】B【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．9．【答案】C【解析】解：函数y=2sin2x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，则函数的最小正周期为=π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．10．【答案】C【解析】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l 将圆x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．11．【答案】D【解析】=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30=．考点：余弦的两角和公式.12．【答案】D【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此时当x=时，函数取极大值；当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x ≤8时，2＜≤4，则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|），此时当x=6时，函数取极大值c ．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c ）共线，∴=，解得c=1或2．故选D ．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f （x ）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键． 二、填空题13．【答案】(-【解析】函数在递增，当时，，解得；当时，，()f x [0,)+¥0x <220x ->0x -<<0x ³22x x ->解得，综上所述，不等式的解集为．01x £<2(2)()f x f x ->(-14．【答案】 ．【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力． 15．【答案】49【解析】解：==7a 4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解． 16．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<-考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.17．【答案】 6 ．【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，∴2x ﹣y+m=0，即y=2x+m ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m ，由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．由，解得，代入2x ﹣y+m=0得m=6．即m 的最大值为6．故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m 的几何意义结合数形结合，即可求出m 的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．18．【答案】 （ 1，±2） ．【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a 2+2=，求得a=±2∴点P 的坐标为（ 1，±2）故答案为：（ 1，±2）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．三、解答题19．【答案】C 【解析】20．【答案】（1） （2）21sin 212cos a S a a θθ=⋅+-2a =+【解析】试题解析：（1）设边，则，BC x =AC ax =在三角形中，由余弦定理得：ABC ，22212cos x ax ax θ=+-所以，22112cos x a a θ=+-所以，211sin 2212cos a S ax x sin a a θθθ=⋅⋅=⋅+-（2）因为，()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθθ+--⋅=+-'⋅，()()2222cos 121212cos a a a a a θθ+-=⋅+-令，得0S '=022cos ,1a a θ=+且当时，，，0θθ<022cos 1a aθ>+0S '>当时，，，0θθ>022cos 1a a θ<+0S '<所以当时，面积最大，此时，所以，0θθ=S 0060θ=22112a a =+解得2a =因为，则1a >2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。
人教A版2019-2020学年广东省广州市天河区高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期数学期末考试试卷一、选择题1．数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）A．56只B．65只C．55只D．66只3．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2＝0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则cos B＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）A．l1，l2都平行于同一平面B．l1，l2与同一平面所成的角相等C．l1，l2都垂直于同一平面D．l1平行于l2所在的平面7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15°的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（）A．海里/分B．2海里/分C．海里/分D．海里/分8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158 B．162 C．182 D．3249．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x10．四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．11．以下几种说法①命题“∃a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有﹣一个零点”为真命题②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题③“x2+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”等价于“对于x∈[1，2]，有（x2+2x）min≥（ax）”max④△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．其中说法正确的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．双曲线的焦点到渐近线的距离为．14．在△ABC中，AB＝1，，，则∠C＝．15．已知三棱锥A﹣BCD每条棱长都为1，点E，G分别是AB，DC的中点，则＝．16．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*，且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S2020＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}中，a5﹣a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值．18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C+c sin A．（1）求A；（2）若，求△ABC面积的最大值．19．已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB 的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．21．如图1，在矩形ABCD中，，，点E、P分别在线段DC、BC上，且，”，现将△AED沿AE折到△AED'的位置，连结CD'，BD'，如图2．（1）证明：AE⊥D'P；（2）记平面AD'E与平面BCD'的交线为l．若二面角B﹣AE﹣D'为，求l与平面D'CE 所成角的正弦值．22．已知椭圆C：x2+2y2＝36．（1）求椭圆C的短轴长和离心率；（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，由此写出此数列的一个通项公式．解：所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为（﹣1）n，故此数列的一个通项公式是．故选：B．2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）A．56只B．65只C．55只D．66只【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，则数列{a n}成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的个数解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6所以{a n}的通项公式：为a n＝6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2＝0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．解：对于命题p：∵y＝lnx与y＝2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；即∃x0∈R，使lnx0＝2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；对于命题q：当x＝3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；综上，为真命题的是C．故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则cos B＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由诱导公式，三角形内角和定理化简已知等式可得a cos＝b sin A，又由正弦定理可得a sin B＝b sin A，可得cos＝sin B，利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cos B﹣1＝0，结合B的范围解方程即可得解．解：∵，∴a sin＝a cos＝b sin A，又∵由正弦定理，可得：a sin B＝b sin A，∴cos＝sin B，可得：cos2＝sin2B，可得：＝1﹣cos2B，∴2cos2B+cos B﹣1＝0，∴解得：cos B＝，或﹣1，∵B∈（0，π），∴cos B＝．故选：B．6．直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）A．l1，l2都平行于同一平面B．l1，l2与同一平面所成的角相等C．l1，l2都垂直于同一平面D．l1平行于l2所在的平面【分析】依据题中条件，逐一分析各个选项，考查由此选项能否推出直线l1∥l2，可以通过举反例排除某些选项．解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错．对于B：l1与l2还可能为相交或异面直线，故B错．对于选项C，根据直线与平面垂直的性质定理，C正确．另外，对于选项D，l1与l2不一定平行，故D错．故选：C．7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得B处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15°的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（）A．海里/分B．2海里/分C．海里/分D．海里/分【分析】△ABC中，利用正弦定理求得AC的值，再计算海轮的航行速度．解：△ABC中，AB＝20，∠ACB＝90°﹣30°﹣15°＝45°，∠B＝180°﹣45°﹣（90°+15°）＝30°，由正弦定理得，＝，AC＝＝＝10；所以海轮的航行速度为v＝＝（海里/分）．故选：D．8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158 B．162 C．182 D．324【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即＝27，高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝162．故选：B．9．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BE|，∴∠DCA＝30°∴|AC|＝2|AD|＝8，∴|CF|＝8﹣4＝4，∴|PF|＝＝2，即p＝|PF|＝2，∴所以抛物线方程为：y2＝4x，故选：C．10．四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量求出BD＝2，由此能求出该四面体的体积．解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），E（，0），设D（0，0，t），＝（﹣1，0，t），＝（，0），∵异面直线AD与BE所成角为θ，且cosθ＝，∴cosθ＝＝＝，解得t＝2，∴该四面体的体积：V＝＝＝．故选：A．11．以下几种说法①命题“∃a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有﹣一个零点”为真命题②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题③“x2+2x≥ax在x∈[1，2]恒成立”等价于“对于x∈[1，2]，有（x2+2x）min≥（ax）”max④△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充要条件．其中说法正确的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由函数零点与方程根的关系判断①；写出命题的逆否命题并判断真假判断②；举例说明③错误；在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义判断④．解：①，当a＞0时，方程ax2+2x﹣1＝0的判别式△＝4+4a＞0，函数f（x）＝ax2+2x﹣1有两个零点，故①错误；②，命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题为：“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x+y＝3”为真命题，则原命题是真命题，故②正确；③，a＝2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min＝3＜2x max＝4，故③错误；④，在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sin A＞sin B．若a＞b，由正弦定理得sin A＞sin B，充分性成立．若sin A＞sin B，则正弦定理得a＞b，必要性成立．∴“a＞b”是“sin A＞sin B”的充要条件，即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故④正确．∴说法正确的序号为②④．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．x2＝1 B．C．D．【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c＝5a，4c＝5b，即可得到所求方程．解：若（+）•＝0，即为若（+）•（﹣+）＝0，可得2＝2，即有|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝﹣，cos∠AF2F1＝﹣＝，化为3c＝5a，即a＝c，b＝c，可得a：b＝3：4，a2：b2＝9：16．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．双曲线的焦点到渐近线的距离为．【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．解：由双曲线，得焦点坐标为F（±4，0），渐近线方程为y＝，不妨取焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为．则焦点到渐近线的距离为d＝．故答案为：2．14．在△ABC中，AB＝1，，，则∠C＝．【分析】直接利用正弦定理的应用求出结果．解：在△ABC中，AB＝1，，，利用正弦定理得：，解得sin C＝．由于0＜C＜π，故：C＝或（不合题意，舍去）故C＝．故答案为：15．已知三棱锥A﹣BCD每条棱长都为1，点E，G分别是AB，DC的中点，则＝．【分析】利用向量的加减法运算把用表示，再由向量的数量积运算得答案．解：如图，∵＝＝＝，∴＝（）＝＝．故答案为：﹣．16．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*，且，记S n为数列{b n}的前n项和，则S2020＝．【分析】由等式两边同除以n（n+1），结合等差数列的定义和通项公式可得a n＝n2，＝n cos，计算可得每隔6项的和都为3，计算可得所求和．解：a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），可得﹣＝1，即有＝1+n﹣1＝n，可得a n＝n2，＝n cos，则b1＝﹣，b2＝2×（﹣）＝﹣1，b3＝3×1＝3，b4＝4×（﹣）＝﹣2，b5＝5×（﹣）＝﹣，b6＝6×1＝6，b7＝﹣，b8＝8×（﹣）＝﹣4，b9＝9×1＝9，b10＝10×（﹣）＝﹣5，b11＝11×（﹣）＝﹣，b12＝12×1＝12，…，可得每隔6项的和都为3，则S2020＝3×336+2017×（﹣）+2018×（﹣）+2019×1+2020×（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}中，a5﹣a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为S n，若，求n的值．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简可得S n，解方程可得k．解：（1）设数列{a n}的公差为d，因为a5﹣a2＝6，所以5d＝10，解得d＝2，因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以，即，解得a1＝5，所以a n＝2n+3；（2）由（1）知，所以，所以＝，由＝，得n＝15．18．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C+c sin A．（1）求A；（2）若，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可求cos A＝sin A，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解．解：（1）由正弦定理可得：sin B＝sin A cos C+sin C sin A，∴sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝sin A cos C+sin C sin A，∵sin C≠0，∴cos A＝sin A，又A∈（0，π），∴．（2）∵，由余弦定理可得，，又a2+c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．所以，所以面积最大为．19．已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）由（2m﹣1）（m﹣4）＞0即可求得m的取值范围；（2）若命题q为真，则恒成立，列关于m的不等式组求得m的范围，再由p真q假或p假q真分别求得m的范围，取并集得答案．解：（1）若命题p为真命题，则（2m﹣1）（m﹣4）＞0，解得m或m＞4．即m的取值范围是或m＞4；（2）若命题q为真，则恒成立，则，即m＞1．∵命题p、q一真一假．∴当p真q假时，得；当p假q真时，1＜m≤4．∴实数m的取值范围是或1＜m≤4．20．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB 的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．【分析】（1）运用抛物线的定义可得所求轨方程；（2）设A（x0，y0），由抛物线的定义可得|AF|，求得B的坐标，直线AB的斜率，设出平行于直线AB的方程，联立抛物线方程，由相切的条件：判别式为0，可得D的坐标，直线AD的斜率和方程，进而判断结论．解：（1）由题意可得动点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，准线为x＝﹣1的抛物线y2＝4x；（2）由题设A（x0，y0），则|AF|＝x0+1，又|AF|＝|FB|，故B（x0+2，0），令平行于AB的直线l：y＝kx+m，则，∴A（k2，﹣2k），代入y2＝4x，得（kx+m）2＝4x，整理k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0（*）∴△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，∴km＝1，∴，所以（*）可以化为∴，，∴，∴，∴，∴，过定点F（1，0），当k2＝1时，AD：x＝1也过点F（1，0），故直线AD过点F（1，0）．21．如图1，在矩形ABCD中，，，点E、P分别在线段DC、BC上，且，”，现将△AED沿AE折到△AED'的位置，连结CD'，BD'，如图2．（1）证明：AE⊥D'P；（2）记平面AD'E与平面BCD'的交线为l．若二面角B﹣AE﹣D'为，求l与平面D'CE 所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AE⊥OD，AE⊥OP，AE⊥OD'，AE⊥OP，从而AE⊥平面POD'，由此能证明AE⊥D'P．（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，根据二面角定义得到．在平面POD'内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标，利用向量法能求出l与平面D'CE所成角的正弦值．解：（1）证明：先在图1，在Rt△ADE中，由，，得，在Rt△PCD中，由，，，得，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，则∠PDC＝∠DAE，∴∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，OD'∩OP＝O，∴AE⊥平面POD'，则AE⊥D'P．（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，再根据二面角定义得到．在平面POD'内过点O作底面垂线，O为原点，分别以OA、OP、及所作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，E（﹣1，0，0），Q（﹣11，0，0），C（﹣3，4，0），＝（﹣11，1，﹣），＝（﹣2，4，0），＝（1，﹣1，），设平面D'EC的一﹣个法向量为＝（x，y，z），由，取y＝1，得＝（2，1，﹣）．∴l与平面D'CE所成角的正弦值为：|cos＜＞|＝＝．22．已知椭圆C：x2+2y2＝36．（1）求椭圆C的短轴长和离心率；（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．【分析】（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为，即可得出短轴长及其离心率．（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，此时T（2，0），可得|TM|＞|TP|．当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2），代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出．解：（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为∴a＝6，，故短轴长为，（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，此时T（2，0），∴|TM|＝4，|TP|＝2，∴|TM|＞|TP|，当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2）代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，∴（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，令M（x1，y1），N（x2，y2）则，，此时＝（x1﹣4，y1），＝（x2﹣4，y2），∴•＝（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝＝＝＝．∴∠MPN＞90°，点P在以MN为直径的圆内部．所以|TM|＞|TP|，综上所述，|TM|＞|TP|．。
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2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题p ：x R ∀∈，210x +>，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∀∈，2010x +> B ．0x R ∃∈，2010x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∀∈，2010x +≤【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤,故选B.【考点】命题否定 全称命题 特称命题2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】 抽取人数为：6805017600680720⨯=++.故选：B . 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.3．双曲线22134y x -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =B ．y x =C ．34y x =?D ．43y x =±【答案】A【解析】直接根据渐近线公式得到答案. 【详解】曲线22134y x -=的渐近线方程是：2y x =±.故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，属于简单题. 4．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题 【答案】C【解析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误； 若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.5．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-v v，且ka b +v v 与2a b -v v 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15C ．35D ．75【答案】D【解析】由ka b +r r 与2a b -r r互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-r r r r ,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r求解即可.【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-r rr r ,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒=. 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 6．已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和 【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S 中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和， 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．31-B ．32C ．434- D ．34【答案】A【解析】计算阴影图形边长为232-，面积为1683-. 【详解】易知阴影部分图形为正方形，其边长为：4sin4cos23233ππ-=，故阴影部分面积为()22321683=-168331162p -==-. 故选：A . 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力.8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB 5aC ．aD 3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++±，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=o，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=o ．【考点】异面直线上两点间距离,空间想象能力．9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )A ．130B ．140C ．133D ．137【答案】C【解析】由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×10=0.05，频数为5人 则100﹣110分的频率为0.018×10=0.18，频数为18人 110﹣120分的频率为0.03×10=0.3，频数为30人 120﹣130分的频率为0.022×10=0.22，频数为22人 130﹣140分的频率为0.015×10=0.15，频数为15人 140﹣150分的频率为0.010×10=0.05，频数为10人而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人 ∴分数不低于133即为优秀， 故选C ．点睛：由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示频率比上组距，组距为10，计算频率时需要让纵坐标乘以10,不然很容易做错，属于基础题．10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点1F 、2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率是67，则2C 的离心率是（ ） A ．67B ．76C ．65D ．3【答案】C【解析】根据题意得到12224242PF a a c =-=+=，得到12a c =+，22a c =-，167c a =计算得到答案. 【详解】不妨设椭圆1C ：2222111x y a b +=，双曲线2C ：2222221x y a b -=，则14PF =，故12224242PFa a c =-=+=，故12a c =+，22a c =-.1C 的离心率是67，即167c a =，故1212,14,10c a a ===，故22126105c e a ===. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.11．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112x m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-.故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过原点O 作直线与双曲线交于A 、B 两点，点M 为双曲线上异于A 、B 的动点，且直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，若双曲12k k ⋅=（ ） AB ．3CD ．2【答案】D【解析】化简得到222212x y a a-=，设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，得到()22222y n x m -=-，计算斜率化简得到答案.【详解】双曲线的离心率为3，即3c a =，故2b a =，即222212x y a a-=. 设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，故222212x y a a -=，222212m n a a -=， 两式相减得到：()22222y n x m -=-，故2212222y n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅==-+-. 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．将一个质量均匀的骰子先后投掷2次，观察向上的点数，则两数之和是5的概率是______. 【答案】19【解析】共有36种情况，满足条件的有四种情况，得到概率. 【详解】一共有6636⨯=种情况，满足条件的有()()()()1,4,2,3,3,2,4,1四种情况，故41369p ==. 故答案为：19.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x =______.【答案】3【解析】根据中位数相等得到5y =，再根据平均值相等得到答案.【详解】甲组的中位数为65，乙组的中位数也是65，故5y =. 乙组的平均值为：5961656778665++++=，故5662657074665x +++++=，故3x =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了中位数和平均数，意在考查学生的计算能力.15．已知动圆M 与直线2y =相切，且与定圆()22:31C x y ++=外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______. 【答案】212x y =-【解析】M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，得到答案. 【详解】设动圆半径为r ，则M 到直线2y =的距离为r ，1MC r =+，故M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，即212x y =-.故答案为：212x y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，意在考查学生对于抛物线定义的理解.16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.【答案】143【解析】如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .1//PM BC ，1BC ⊂平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ， PM PQ P =I ，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.1CC ⊥平面ABCD ，RQ ⊂平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ RQ Q =I .故RQ ⊥平面PQC ，QC ⊂平面PQC ，故RQ QC ⊥.故22551099CR RQ QC =+=+=，2210414993PR RC CP =+=+=. 故答案为：143.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4.（1）求该抛物线的标准方程.（2）过点()1,1M 的直线交该抛物线于,A B 两点，如果点M 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.【答案】（1）28y x =；（2）43y x =-.【解析】（1）根据抛物线定义得到4p =，得到答案.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，故4k =，得到答案. 【详解】（1）抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4，故4p =，故28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，故2118y x =，2228y x =，两式相减得到：()()()1212128y y y y x x +-=-，即1284k y y ==+，故直线方程为：()41143y x x =-+=-. 【点睛】本题考查了抛物线方程，点差法求直线，意在考查学生的综合应用能力.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且SD AD =，E 是SA 的中点.（1）求证：//SC 平面BED ；（2）求直线SA 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，证明//OE AC 得到答案.（2）以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，计算平面BED 的法向量为()1,1,1n =-r，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，易知O 为AC 中点，E 是SA 的中点，故//OE AC ，OE ⊂平面BED ， 故//SC 平面BED .（2）如图所示，以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 设1AD =，故()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,0,1S ，()1,1,0B ，11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面BED 的法向量为(),,n a b c =r ，故00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩uu u v v u u u v v ，即011022a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 取1x =-，则()1,1,1n =-r ，()1,0,1AS =-u u u r.故6cos ,32n AS n AS n AS⋅===⋅⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，故直线SA 与平面BED 所成角的正弦值为6.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+ (2)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位:百万元)与x ，y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:ˆˆy bxa =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) 【答案】(1)0.850.6y x =+;(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解析】（1）由表中数据先求得,x y .再结合公式分别求得ˆˆ,ba ,即可得y 关于x 的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入20.05 1.4z y x =--中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值. 【详解】（1）由表中数据和参考数据得:2345645x ++++==, 2.534 4.5645y ++++==,因而可得()52110ii x x =-=∑,()()518.5i i i x x y y =--=∑,再代入公式计算可知()()()1218.5ˆ0.8510niii nii x x yy bx x ==--===-∑∑, ∴ˆˆ440.850.6a y bx=-=-⨯=, ∴0.850.6y x =+.（2）由题意,可知总收入的预报值ˆz 与x 之间的关系为:2ˆ0.050.850.8z x x =-+-, 设该区每个分店的平均利润为t ,则zt x=, 故t 的预报值ˆt与x 之间的关系为0.880ˆ0.050.850.0150.85t x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭,当且仅当805x x=时取等号,即4x =或4x =-（舍） 则当4x =时,ˆt取到最大值, 故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A 、C 的点，2AB BC ==，90ABC ∠=o ，1160BB C ∠=o .（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若二面角1A BC M --为30o ，求AM 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）42AM =【解析】（1）证明1AB B C ⊥，11B C BC ⊥得到答案.（2）以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，平面1ABC 的法向量为()10,3,1n =-u r ，平面1MBC 的法向量为2623,1222n m ⎛⎫ ⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭u u r ，计算夹角得到答案. 【详解】（1）90ABC ∠=o ，平面11BCC B ⊥平面ABC ，故AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故1AB B C ⊥.四边形11BCC B 为菱形，故11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，故1B C ⊥平面1ABC .（2）设D 为11B C 中点，易知DB BC ⊥，故DB ⊥平面ABC . 以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，故()2,0,0A ，()0,0,0B ，()10,1,3C ，222,,022M m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1ABC 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，故11100n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v ，即111030x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取11z =，故()10,3,1n =-u r.设平面1MBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，故2210n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v ， 即222222202230m x my y z ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，取11z =，故262,3,122m n m ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎭u u r . 故12243cos ,22n n n ==⨯u r u u ru u r ，故2433n =u u r ，解得425m =，即425AM =.【点睛】本题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21．设椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的一个焦点为()2,0-，且椭圆E 过点(2M ，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的最大值，若不存在说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）存在2283x y +=，max AB =【解析】（1）根据2c =，且22421a b +=，解得答案. （2）设切线方程为y kx m =+，根据垂直得到223880m k --=，故222813m r k ==+，得到2283x y +=，AB =0k =和0k ≠和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：2c =，且22421a b +=，解得228,4a b ==，故标准方程为：22184x y +=.（2）假设存在圆222x y r +=满足，当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+.22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，故()222124280k x knx m +++-=. ()()()22222216412288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>.12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()()222222212121212222841212k m k m y y kx m kx m k x x kn x x m m k k -=++=+++=-+++222812m k k-=+. OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=，故2222228801212m m k k k--+=++，即223880m k --=. r =222813m r k ==+，故2283x y +=.当直线AB斜率不存在时，根据对称性不妨取A ⎝⎭，B ⎝⎭， 满足OA OB ⊥u u u r u u u r .综上所述：存在2283x y +=使题目条件成立.||AB =====当0k =时，AB =； 当0k ≠时，AB ==≤2214k k =，即2k =±时等号成立； 当斜率不存在时，易知3AB =； 综上所述：AB 的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可；（2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. 【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1， 直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.（2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 则点P的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，||OQ ==Q的极坐标为3π,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故线段PQ的长为22=. 【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.。