人教版高中数学选修4-4 教案【第1节】平面直角坐标系
高中数学教案 选修4-4教案 第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系
平面直角坐标系第一课时1.平面直角坐标系教学目的：知识目标：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力目标：体会坐标系的作用教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定二、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?变式训练1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
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四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
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0002页 0066页 0118页 0187页 0243页 0338页
引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
人教课标版高中数学选修4-4第一讲-坐标系一-平面直角坐标系教案
人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系教案考纲要求 备考指津1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标． 2．掌握坐标平面内点的坐标特征． 3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O 称为原点，水平的数轴叫x 轴(或横轴)，竖直的数轴叫y 轴(或纵轴)，整个坐标平面被x 轴、y 轴分割成四个象限． 2．各象限内点的坐标特征点P (x ，y )在第一象限x ＞0，y ＞0；点P (x ，y )在第二象限x ＜0，y ＞0；点P (x ，y )在第三象限x ＜0，y ＜0； 点P (x ，y )在第四象限x ＞0，y ＜0.3．坐标轴上的点的坐标的特征 点P (x ，y )在x 轴上y ＝0，x 为任意实数； 点P (x ，y )在y 轴上x ＝0，y 为任意实数；点P (x ，y )在坐标原点x ＝0，y ＝0.考点二 特殊点的坐标特征1．对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )．2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x 轴：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴：横坐标相同，纵坐标不同．3．各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．考点三 距离与点的坐标的关系1．点与原点、点与坐标轴的距离(1)点P (a ，b )到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，即|b |；点P (a ，b )到y 轴的距离等于点P 的横坐标的绝对值，即|a |.(2)点P (a ，b )到原点的距离等于点P 的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即a 2＋b 2.2．坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝x12＋y12.考点四函数有关的概念及图象1．函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2．常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．3．函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．4．函数图象的画法(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．考点五函数自变量取值范围的确定确定自变量取值范围的方法：1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．1．在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为()．A．(2,3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)3．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为__________．4．函数y＝1x－2的自变量x的取值范围是__________．5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间内，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是()．6．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s.起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y (m)与时间t (s)的函数图象是( )．一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】 在平面直角坐标系中，若点(2x ＋1，x －2)在第四象限，则x 的取值范围是( )．A ．x ＞－12B ．x ＜2C ．x ＜－12或x ＞2D ．－12＜x ＜2 解析：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x －2<0，解得－12＜x ＜2. 答案：D掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特征，构造不等式(组)是解决此类问题的常用方法．在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，|n |)一定在( )．A ．第一象限或第二象限B ．第一象限或第三象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限二、距离与点坐标的关系【例2】 如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A 点坐标为(2，－1)，则△ABC 的面积为__________平方单位．解析：利用数轴得出B 点坐标为(4,3)，C 点坐标为(1,2)，然后利用割补法，结合点的坐标与距离的关系求出△ABC 的面积．答案：5图形的割补法是解决有关图形面积的常用方法，需要同学们在解题时合理地利用图形进行巧妙分割，此类题型的解法往往不唯一．三、函数图象的应用【例3】 如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．答案：C利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．四、函数自变量取值范围的确定【例4】 函数y ＝x ＋2x －2的自变量x 的取值范围是( )． A ．x ≥－2且x ≠2 B ．x ＞－2且x ≠2 C ．x ＝±2 D ．全体实数解析：要使函数有意义，必须同时满足二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为零，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，解得x ≥－2且x ≠2. 答案：A求函数自变量的取值范围，往往通过解不等式或不等式组来确定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础，同时要学会这种转化的思想方法．1．(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P (－3,5)关于y 轴的对称点的坐标为( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)2．(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s ，下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( )．3．(2011广东湛江)如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为(4,0)，点B 的纵坐标是－1，则顶点A 的坐标是( )．A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2,1)4．(2011内蒙古呼和浩特)函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围为__________． 5．(2011江苏盐城)有六个学生分成甲、乙两组(每组三个人)，分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60 km 的博物馆参观，10分钟后到达距离学校12 km 处有一辆汽车出现故障，接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生，同时第二批学生步行12 km 后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇，当第二批学生到达博物馆时，恰好已到原计划时间．设汽车载人和空载时的速度分别保持不变，学生步行速度不变，汽车离开学校的路程s (千米)与汽车行驶时间t (分钟)之间的函数关系如图所示，假设学生上下车时间忽略不计．(1)汽车载人时的速度为__________km/min ；第一批学生到达博物馆用了__________分钟．(2)求汽车在回头接第二批学生途中(即空载时)的速度．(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04 km ，汽车载人时和空载时速度不变，问能否经过合理的安排，使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能，请简要说出方案，并通过计算说明；如果不能，简要说明理由．1．如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( )．A ．(5,2)B ．(－6,3)C ．(－4，－6)D ．(3，－4)2．若点P (a ，a －b )在第四象限，则点Q (b ，－a )在( )．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．如图是中国象棋棋盘的一部分，若在点(1，－1)上，在点(3，－1)上，则的坐标是( )．A．(－1,1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－2,2)4．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()．5．点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是__________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是__________．6．已知一条直线l平行于x轴，P1(－2,3)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，且P1，P2的距离为4，则P2的坐标为__________．7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(3,4)，求顶点B的坐标．9．在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.A 3.(3，－2) 4.x ≠2 5.C 6.C规律方法探究变式训练 A 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.x ＞－35．(1)1.2 50 (2)1.8 km/min(3)解：能够合理安排．方案：从故障点开始，在第二批学生步行的同时出租车先把第一批学生送到途中放下，让他们步行，再回头接第二批学生，当两批学生同时到达博物馆，时间可提前10分钟． 理由：设从故障点开始第一批学生乘车t 1分钟，汽车回头时间为t 2分钟，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1.2t 1＋0.2(t 1＋t 2)＝48，0.2(t 1＋t 2)＋1.8t ＝1.2t 1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝32，t 2＝16. 从出发到达博物馆的总时间为：10＋2×32＋16＝90(分钟)，即时间可提前100－90＝10(分钟)．模拟预测1．D 2.A 3.D 4.C 5．(1，－2) (－1，－2) 6.(2,3)或(－6,3)7．y ＝152x (0＜x ＜10) 8．(8,4) 9．解：(1)先将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A ′B ′C ′(或先平移再旋转也可)．(2)D (0，－2)，E (－4，－4)，F (2，－3)．S △DEF ＝6×2－12×4×2－12×2×1－12×6×1＝4.。
人教版高中选修4-4一平面直角坐标系课程设计
人教版高中选修4-4一平面直角坐标系课程设计一、设计目的本次课程设计旨在通过对一平面直角坐标系的学习和掌握，使学生能够熟练运用一平面直角坐标系解决各种数学问题，同时锻炼学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、设计内容本次课程设计共分为五个部分，分别为：一、一平面直角坐标系的基本概念；二、一元二次方程的图像和性质；三、直线与圆的位置关系；四、正多边形的坐标和对称性；五、三角函数的概念和性质。
2.1 一平面直角坐标系的基本概念本部分主要介绍一平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、坐标和坐标系等概念，同时讲解如何在一平面直角坐标系中表示点、线段、向量等数学概念，并通过实例演示如何计算两点之间的距离、点到直线的距离等问题。
2.2 一元二次方程的图像和性质本部分主要介绍一元二次方程的图像和性质，包括一元二次方程的标准式、顶点式和根式等，以及如何利用一平面直角坐标系表示一元二次方程的图像。
同时，通过实例演示如何求解一元二次方程的顶点、轴、对称轴等问题，培养学生分析和解决问题的能力。
2.3 直线与圆的位置关系本部分主要介绍直线与圆的位置关系，包括直线与圆的相离、相切和相交等情况，同时演示如何利用一平面直角坐标系求解直线与圆的位置关系的问题。
通过实例演示，培养学生观察和判断几何关系的能力，提高学生的实际应用能力。
2.4 正多边形的坐标和对称性本部分主要介绍正多边形的坐标和对称性，包括正三、四、五边形等多边形的坐标和对称性特点。
同时通过实例演示如何在一平面直角坐标系中表示正多边形的顶点和对称轴等问题，培养学生分类和归纳问题的能力。
2.5 三角函数的概念和性质本部分主要介绍三角函数的概念和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、周期、对称性和图像等特性。
同时，演示如何利用一平面直角坐标系表示三角函数图像和解决三角函数的应用问题。
通过实例演示，培养学生掌握三角函数的基本技能，并锻炼学生的抽象思维和推理能力。
三、教学方法本次课程设计采用传统教学法与探究式教学法相结合的教学方法。
人教版选修4-4教案新部编本【第1节】平面直角坐标系
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校第一部分坐标系第 1 节：平面直角坐标系教课目的：1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的地点的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；领会坐标系的作用。
教课要点：领会直角坐标系的作用。
教课难点：能够成立适合的直角坐标系,解决数学识题。
讲课种类：新讲课教课模式：启迪、引诱发现教课.教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：情境 1：为了保证宇宙飞船在预约的轨道上运转，并在按计划达成科学观察任务后，安全、正确的返回地球，从火箭升空的时辰开始，需要随时测定飞船在空中的地点机器运动的轨迹。
情境 2：运动会的开幕式上经常有大型集体操的表演，此中不停变化的背景图案是由看台上座位摆列齐整的人群不停翻着手中的一本画布组成的。
要出现正确的背景图案，需要弊端不一样的画布所在的地点。
问题 1：怎样刻画一个几何图形的地点？问题 2：怎样创立坐标系？二、学生活动学生回首刻画一个几何图形的地点，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P 都能够由唯一的实数x 确立2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确立了胸怀单位和这两条直线的方向，就成立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点 P 都能够由唯一的实数对（ x,y）确立。
3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确立了胸怀单位和这三条直线方向，就成立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由唯一的实数对（x,y,z）确立。
三、解说新课：1、成立坐标系是为了确立点的地点，所以，在所建的坐标系中应知足：随意一点都有确立的坐标与其对应；反之，依照一个点的坐标就能确立这个点的地点2、确立点的地点就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例 1 选择适合的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的极点。
2014年人教A版选修4-4课件 1.平面直角坐标系
问题2. 上述思考充分体现了坐标法的思想. 其结 果有如下的两种表述, 各种表述由哪几个元素确定? 你认为各种表述有什么意义? 表述 1: 巨响位于 P(-680 5, 680 5 ) 处. 表述 2: 巨响位于信息中心北偏西45, 相距信息 中心 680 10 米处. 表述 1 用 x、y 的坐标这两个元素确定位置. 表述 2 用相对于信息中心的方位角和距离这两个 元素确定位置. 表述 1 便于书面和图纸上的标注. 这样的表述在 语言的传递中缺了坐标系, 点的坐标就显得无意义. 表述 2 便于语言传递和描述, 是相对于参照位置 的描述, 易于理解和想像.
O 设点 C 的坐标为 C (x, y), 由中点坐标求得 E ( x , y ), F ( c , 0). 2 2 2 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 代入坐标整理得 2x2+2y2+2c2-5cx=0. (A) F B x
O F B 设点 C 的坐标为 C (x, y), 2+c2=5a2, y x c 例 1. 已知△ ABC 的三边 a , b , 满足 b 由中点坐标求得 E ( , ), F ( , 0). 2 上的中线 2 2, 建立适当的平 BE, CE 分别为边 AC , AB 由 b2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系. 代入坐标整理得 解: 以△ ABC 的顶点 A= 为原点 , AB 所在直线 2+2y2 2x +2c2-5cx 0. y 为 x 轴, 建立平面直角坐标系 . x y C BE = ( - c, ), 2 2 则各点的坐标为 c E CF = ( x , y ), A(0, 0), B(c, 20), 2 y x c O(A) F B x 则 BE CF = ( - c )((xx )设点 C 的坐标为 C , y ), 2 2 2 y2 x c 1 2 2 由中点坐标求得 E F ).) = 0, = - (2 x( 2 +,2 2 y ), +2 c(2 - ,50 cx 4 2+c2=5a2 得 |AC|2+|AB|2=5|BC|2, 由 b ∴BF 与 CE 互相垂直. 代入坐标整理得 (请同学们用斜率试一试) 2x2+2y2+2c2-5cx=0.
人教A版高中数学选修4-4 1-1-1 平面直角坐标系 导学案
信息中心·O·CB··A观测点观测点观测点1.1.1 平面直角坐标系【学习目标】1.理解平面直角坐标系的意义，掌握在平面直角坐标系中描述点或线的方法. 2．掌握坐标法解决几何问题的方法步骤. 3.体会坐标系的作用.【重点难点】重点：建立坐标系解决几何问题的方法步骤.难点：应用坐标法解决问题.一．课前预习阅读教材42~P P 的内容，体会平面直角坐标系在解决实际问题和几何问题中的作用，并自主解决下列问题：1. 到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？并求其轨迹方程。
2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹和轨迹方程.3.求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标. 二．课堂学习与研讨 （一）合作探索声响定位问题某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到信息中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）设发出响声的位置为P ，正东、正西、正北方向 三个观测点分别为C B A ,,，阅读上面材料并 回答下列问题：由上述可知响声的位置就是 和 的交点3.建立适当的坐标系，通过推理、计算求得响声的位置P 距离信息中心O 为 ； 方向在信息中心的 . （二）知识梳理1.建立坐标系解决几何问题的方法步骤：（1）建立平面直角坐标系 （2）设点（点与坐标的对应） （3）列式（方程与坐标的对应） （4）化简 （5）说明2.根据几何特点建立适当的平面直角坐标系的规则是： （1）如果图形有对称中心，可以选择 为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择 为坐标轴； （3）使图形上的 点尽可能地在坐标轴上. 例题分析例1．已知△ABC 的三边c b a ,,满足，2225a c b =+,BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.练习2. 教材 习题1.1 3 课堂归纳小结(1)利用坐标法可以把平面几何问题转化为代数问题，以代数运算代替几何证明；对于某些几何问题，用坐标法有明显的优势；(2)建立直角坐标系要尽可能选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上. 达标检测A 基础巩固1．原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为（ ） A. 20x y += B.240x y +-= C. 250x y -+=D .230x y ++=2. 直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长是 .3．已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=，则以A 为端点的两边所在直线的方程分别是 .B 提升练习4.圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=，则F 的值是 （ ）A.-B.3 D.3-5．若直线y x b =+与曲线x =则实数b 的取值范围是 .拓展延伸与巩固6．课本习题1.1 第2题已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知4=BC ，点A 到直线l 的距离为3，求ABC ∆的外心的轨迹方程.。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
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2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨]
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x
轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解 决问题． [证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系． 设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
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[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
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x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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建立平面直角坐标系的原则
2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 1.1 平面直角坐标系教案 新人教A 版选修4-41．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ，y ′＝μ·y μ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P ′(x ′，y ′)是变换后的点的坐标，P (x ，y )是变换前的点的坐标．1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？ 【提示】 ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x 轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上． 2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】 如图，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线段PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则M 的横坐标x 与N 的纵坐标y 对应的有序实数对(x ，y )即为点P 的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中，变换φ将点P (x ，y )变换到P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.【思路探究】 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A ，B ，C ，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】 法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)， 设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E (b 2，c2)，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)． 法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |.求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】 法一 以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，所以|AD |2＋|BD |2＝a ＋b 24＋c 24＋a －b 24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)，|AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)． 法二 延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．2012奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示， 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)．∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A 、B 、C 的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．已知某荒漠上有两个定点A 、B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？ (2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C 、D ，由围墙总长为8 km 得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 面积最大，则C 、D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋332·－8132－－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813km.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′(－3，12)，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A (13，－2)．于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′(－3，12)，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，所以y ′＝x ′，即y ＝x 为所求．(4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F 1(5,0)，F 2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λy ′＝μy μ，则点的坐标与曲线的方程的关系为若将例题中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x 2＝18y ，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】 设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2. (*)又M ′(x ′，y ′)在曲线x 2＝18y 上，∴x ′2＝18y ′ ① 将(*)代入①式得(3x )2＝18×(12y )．即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝1，抛物线x 2＝y 的焦点为F (0，1)．准线方程为y ＝－14.在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.【思路探究】 区分原方程和变换后的方程――→待定系数法设伸缩变换公式―→代入变换后的曲线方程―→与原曲线方程比较系数．【自主解答】 将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ，代入上式．得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即(λ3)2x 2＋(μ2)2y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ32＝1，μ22＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2.所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .因此，先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.1．求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得．2．解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式．在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y ＝2sin x4变换为正弦曲线y ＝sinx .【解】 将变换后的曲线的方程y ＝sin x 改写为y ′＝sin x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ，代入y ′＝sin x ′，∴μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较与原曲线方程的系数，知 ⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，1μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x 4的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14倍，得到曲线y ＝2sin x ；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得正弦曲线y ＝sin x .(教材第8页习题1.1，第5题)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，求曲线C 的方程，并画出图象．(xx·郑州调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝14y 后，曲线C变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【命题意图】 本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换． 【解】 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y216＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示).1．点P (－1,2)关于点A (1，－2)的对称点坐标为( ) A ．(3,6) B ．(3，－6) C ．(2，－4) D ．(－2,4)【解析】 设对称点的坐标为(x ，y )， 则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 【答案】 B2．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D. 【答案】 D3．将点P (－2,2)变换为点P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x y ′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝2y【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－6y ′＝1与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2代入到公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy中，有⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ－，1＝μ·2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.【答案】 C4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x y ′＝3y后的曲线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，∴点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线． 【答案】 A2．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【解析】 |AB |＝－2＋－2＝2，|BC |＝－2＋－2＝5，|AC |＝－2＋－2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝12yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝13y【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ＋3y ＝6上，∴2x ′＋3y ′＝6，则2λx ＋3μy ＝6.因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较，∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012.后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】∵P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0122 013，y ′＝2 0132 012.代入x ′y ′＝k ，得k ＝x ′y ′＝－1. 【答案】 －16．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________．【解析】 取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－2,0)、C (2,0)、D (0,0)．设A (x ，y )，则|AD |＝x 2＋y 2.注意到A 、B 、C 三点不能共线，化简即得轨迹方程：x 2＋y 2＝9(y ≠0)．【答案】 以BC 的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC 与圆的两个交点) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1；(2)x 29＋y 28＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.①(1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示．(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 24＝1变成椭圆x 2＋y 22＝1，如图(2)所示．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 9.图1－1－1学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1 ①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意)．∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)．|AC |＝25，|BC |＝4.所以当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令． 教师备选10．已知A (－1,0)，B (1,0)，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，在圆C 上是否分别存在一点P ，使|PA |2＋|PB |2取得最小值与最大值？若存在，求出点P 的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．【解】 假设圆C 上分别存在一点P 使|PA |2＋|PB |2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA |2＋|PB |2＝2(|PO |2＋|AO |2)＝2|PO |2＋2，可见，当|PO |分别取得最小值和最大值时，相应地|PA |2＋|PB |2分别取得最小值与最大值．设直线OC 分别交圆C 于P 1，P 2，则|P 1O |最小，|P 2O |最大，如图所示．由已知条件得|OC |＝32＋42＝5，r ＝2， 于是|P 1O |＝|OC |－r ＝5－2＝3， |P 2O |＝|OC |＋r ＝5＋2＝7，所以|PA |2＋|PB |2的最小值为2×32＋2＝20，最大值为2×72＋2＝100. 下面求P 1，P 2的坐标：直线OC 的方程为y ＝43x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x .x －2＋y －2＝4，消去y 并整理得25x 2－150x ＋9×21＝0， ∴(5x －9)(5x －21)＝0，解得x 1＝95，x 2＝215，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝95，y 1＝125，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝215，y 2＝285.∴P 1(95，125)，P 2(215，285)为所求．2019-2020年高中数学 1.1 弧度制教案1 新人教A 版必修4教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的..通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程： 一、问题情境：1．复习：角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为 二、学生活动：探究：30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比。
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
人教A版高中数学选修4-4第一讲1.1平面直角坐标系教案
⼈教A版⾼中数学选修4-4第⼀讲1.1平⾯直⾓坐标系教案平⾯直⾓坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作⽤，掌握坐标法的解题步骤，会运⽤坐标法解决实际问题与⼏何问题.⼀、温故⽽知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹⽅程.回顾：⼆、重点、难点都在这⾥【问题1】：某信息中⼼接到位于正东、正西、正北⽅向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到⼀声巨响，正东观测点听到巨响的时间⽐它们晚4s.已知各观测点到中⼼的距离都是1020m.试确定巨响发⽣的位置.（假定声⾳传播的速度为340m/s ，各观测点均在同⼀平⾯上.）练⼀练：3．相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s.已知声速为340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4．有三个信号检测中⼼A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千⽶，C 在B 的北偏西300，相距4千⽶.在A 测得⼀信号，4秒后B 、C 同时测得同⼀信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千⽶/秒）.课前⼩测典型问题【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满⾜2225a c b=+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建⽴适当的平⾯直⾓坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、懂了，不等于会了5．选择适当的坐标系，表⽰边长为1的正三⾓形的三个顶点的坐标.6．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平⽅和为26，求点M 的轨迹.7．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.8．求证：三⾓形的三条⾼线交于⼀点.四、试试你的⾝⼿呀9．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直⾓三⾓形的顶点C 的轨迹⽅程是 . 10．已知A （-3，0），B（3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则点M 的轨迹⽅程是 .11．已知B 村位于A 村的正西⽅向1公⾥处，原计划经过B 村沿着北偏东600的⽅向埋设⼀条地下管线m.但在A 村的西北⽅向400⽶处，发现⼀古代⽂物遗址W.根据初步勘察的结果，⽂物管理部门将遗址W 周围100⽶范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？技能训练变式训练五、你有什么收获？写下你的⼼得应该记住的内容：重点内容：个⼈⼼得：12．在体育场排练团体操，甲、⼄两名同学所在位置的坐标分别为（2，1）、（3，2），丙同学所在位置的坐标为),5(a .若这三名同学所位置是在⼀条直线上，则a 的值为．13．到两坐标轴距离相等的点的轨迹⽅程是．14．已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是．本课⼩结七、记下你的疑惑4.1.1—第⼀课【问题1】解：巨响在信息中⼼的西偏北450⽅向，距离m 10680处，．【问题2】解：BE 与CF 互相垂直，解答见课本第4页. 1．轨迹是线段AB 的垂直平分线，轨迹⽅程是x y -=；2．轨迹是双曲线的左⽀，轨迹⽅程是)3(116922-<=-x y x ；本课质疑3．爆炸点在以A 、B 为焦点的双曲线上，双曲线⽅程为122990026010022=-y x ；4．点P 位于点A 的北偏东300，相距10千⽶的位置；5．答案不唯⼀.对于图（1），)23,0(),0,21(),0,21(C B A -；对于图（2），)23,21(),0,1(),0,0(C B A ；6．点M 的轨迹是以这两个定点的中点为圆⼼，2为半径的圆； 7．)31,3(),2,21(--； 8．如图，以AB 所在直线为x 轴，边AB 上的⾼CD 所在直线为y 轴建⽴直⾓坐标系.设),0(),0,(),0,(c C b B a A -，则bck a c k BC AC -==,.∵AC BE BC AD ⊥⊥,，∴c a k c b k BEAD -==,，∴直线AD 、BE 的⽅程分别为)(),(b x cay a x c b y --=+=，联⽴解得0=x .所以AD 、BE 的交点H 在y 轴上.因此，三⾓形的三条⾼线交于⼀点；9．)0(422≠=+y y x；10．)0(14922≠=-y y x ； 11．如图，以A 为原点，正东⽅向和正北⽅向分别为x 轴和y 轴的正⽅向建⽴直⾓坐标系，则A （0，0），B （-1000，0），)2200,2200(-W .由于直线m 的⽅程是010003=+-y x ，于是点W 到直线m 的距离为100)625(100>--=d ，所以埋设地下管线m 的计划可以不修改；12．4； 13．0=-y x ；14．（4，2）.。
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第一部分坐标系
第1节：平面直角坐标系
教学目标：
1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学重点：体会直角坐标系的作用。
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运
动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需
要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
三、讲解新课：
1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
变式训练
如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置
例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?
变式训练
1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程
2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,2
1tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程
例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点
（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）
变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考 通过平面变换可以把曲线14
)1(9)1(2
2=-++y x 变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．平面直角坐标系的意义。
2. 利用平面直角坐标系解决相应的数学问题。
六、课后作业：。