二维黎曼流形上蒙日-安培方程解的一个估计
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ｎ（ ｘ， Ｙ ） Ｚ＝ Ｚ— ｚ一 ， ｙ ］ ｚ，
ｆ ｄ ｅ Ｈ＝ ｉ ｎ 力
Ｌ Ｍ ＝０ ｏ ｎ ａ
（ １ ）
为 黎曼 联 络 ，
的严格 凸解 ， 且 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｄ １ １ ， 的特 征值介 于
２
（ ）为 光 滑 的 切 向 量 场 空 间 ，对 Ｖ ， Ｙ ， Ｚ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４—１ １— ２ ６
５ ４
哈尔滨师范大学 自然科 学学报
２ ０ １ ５年 第 ３ １ 卷
ｕ是 方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ ＝ １的严 格 凸解 ，（ ｕ ｊ ｉ ）是 正 定
Ｄ２ ｕ 的， ｊ ￣Ｏ ｄ ｅ ｔ
＿ ＿
—
２ｕ１ ２ １ Ｕ ２ ．
“
，
Ｏｕｋ ｔ
（ ３ ）
Ｏ ｄｅ ｔ Ｄ
—
２
我们 将证 明在 中有 如下 不等 式 ：
２
— — — 一 ＝ ： １ １ ２ ｕ２ ２＋ １ １ ／ ￥ ２ ２ ２— ２ ２Ｍ１ ２ ｕ１ １ ２ ２ ： ｏ ０ ． ‘
～
ｕ
＋
ｉ ， Ｊ ＝１
∑ｕ ≥０
（ ２ ）
表Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｄ Ｍ的行 列式 ， 现 有关 蒙 日 一安 培方 程 的研究 有大 量 的文献 ，参 见 文 献 ［ ３ ］ ．近 期， Ｃ ｈ ｅ ｎ ， Ｍａ ， Ｓ ｈ ｉ … 研 究 了 欧 氏空 间 中 满 足 齐 次Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值条件 的椭 圆型蒙 日 一安 培方 程
即有
ｌ １ １ ｕ ２ ２＋ ｌ １ ２ ２ １ ＝ ０ ，
（ ４ ）
２
由上述微分不等式及最大值原则 ， 在 边
界上 达 到最大 值．为 了证 明（ ２ ） 式 在任 意 。∈力
处成立 ， 可 以在 处 选 取 光 滑 的标 准 正 交 标 架 ∑ ｅ “， ｅ 使 得 Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 ｕ ０ ． （ ０ ） （ １≤ ｉ ， － 『 ≤２ ）
中图分类 号 ： Ｏ １ ８ ６ ． １ ２ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３— ０ ０ ５ ３—０ ３
令ｅ 一， ｅ 是 任 意 局 部 标 架 场 ，记 ｇ ＝ｇ （ ｅ ，
０ 引言
椭圆偏微分方 程是一类非 常重要 的偏微分 方程 ， 其解的水 平集 的凸性 问题是微分几何 学 中的一个重要方面 ， 参见文献 ［ ２ ］ ．蒙 日 一安培
． 对 ｃ ， ∈ｃ （ ） ， 记Ｄ ｕ是 “的
梯度 ， Ｄ ２ ｕ 是 的 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ 矩阵， Ｍ＝ （ ）
一
，
为方便计算简记 Ｖ ， ｕ＝ｕ ， Ｖ ｉ ｉ Ｉ ｔ ＝Ｍ
它具有一般形式 ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ＝ ｆ（ ） ， 其 中ｄ ｅ ｔ Ｄ ｕ 代
方 程是 最 重 要 的完 全 非 线 性 偏 微 分 方 程 之 一 ，
ｅ ｊ ） ， ＝ ＝ｇ
， ＝
一
， 记 尺（ ｅ ， ｅ １ ） ｅ ｉ ＝
Ｒ ｅ ｉ ， Ｒ 删 ＝Ｒ （ ｅ ｉ ， ｅ ｊ ， ｅ ， ｅ ｛ ） ＝ｇ （ Ｒ（ ｅ ｋ ， ｅ １ ） ｅ ｆ ， ｅ ｉ ）
ｌ ｕ：０ ０ ｎ ａ
’
∑Ｒ 棚 ．
口
通过给定 的辅助函数 ， 使其在边界达到最大值 ， 并 得到 了在 欧 氏空 间 中蒙 日 一安 培 方 程 水平 集 的高斯曲率 和平均曲率的上界估计 ， 将利用 文 献［ １ ］ 中的辅助函数 ， 推广其 中的部分结果到黎
曼 流形 上．
因此
对 方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ 。 ＝／ ２ ＂ １ １ Ｍ ２ ２ 一ｕ １ ２ ２：１ 两边 求导 数得 ：
ｄ ｅ ｔ ＤＺ ｕ Ｏ
窭 ０ ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ｕ 一 ２ “ ＝
２ｕ，
— —
— —
： “ｌ ｌ １ ２ ２＋ ｌ 】 ２ ２ ｌ一２ ｌ—ｚ １ ２ Ｕ ｌ ２ ｌ ： ｕ’ ０，
２ 主 要 结 论
定理 １ 设（ ， ｇ ）是 二维 常曲率黎 曼流 形， 其截面曲率 Ｋ ＝ ≤０ ， 为 上的有界光 滑 凸 区域 ， 若 是 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 问题
１ 预 备 知识
设（ “ ， ｇ ）是 黎 曼 流 形 ， Ｗ∈ （ Ｍ）定义
邢庆 贺
（ 哈尔滨师范大学）
【 摘 要 】主要介绍在二维常 曲率黎 曼流形 中， 对 于蒙 日一 安培方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ Ｍ ：１的 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 问题 ，给 出与 解有 关 的一个辅 助 函数 ‘ ｐ 在 边界 达到 最 大值 ． 【 关键词 】蒙 日一 安培 方程； 黎曼流形 ； 曲率
ｒ ｄ ｅ ｔ Ｄ ＝ １ ｉ ｎ
引理 令 （ ， ｇ ） 是截曲率 Ｋ ｓ 。 ＝ 的空 间形式 ， 有：
Ｒ币 Ｙ ８＝ Ｅ （ ｇ ｇ Ｂ ８ 一ｇ 磕 ｇ 鲫 、 ） ，
Ｍ 卿 一兄脾 “ ，
ｕ ＝ Ｈ 一 ２ ∑ Ｒ ｅ 诺 ＋∑Ｒ 删 ＋ ０ ８
第３ １ 卷
哈尔滨师范大学 自然源自文库学学报
ＮＡＴ ＵＲＡ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣＥ Ｓ Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｉ Ｎ ＮＯＲＭＡ Ｌ Ｕ ＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ １ 。 Ｎ ｏ ． ３ ２ ０ １ ５
第 ３期
二 维 黎 曼 流 形 上 蒙 日 一安培 方 程解 的一个 估 计
和 之 间 ， 则 函 数 ＝ 薹 ０ — ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ｕ 一 ２ ｕ
证 明 令 Ｄ ｕ＝ （ Ｍ ） ， （ ｕ ）＝ （ ｕ ） ～，由
在 ａ 力 的边 界上 达到 最大值 ．
Ｒ（ ｘ， ｙ ， Ｚ， ） ＝ｇ （ Ｒ（ Ｚ， ） Ｙ ， ）为 曲 率 张 量．
ｆ ｄ ｅ Ｈ＝ ｉ ｎ 力
Ｌ Ｍ ＝０ ｏ ｎ ａ
（ １ ）
为 黎曼 联 络 ，
的严格 凸解 ， 且 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｄ １ １ ， 的特 征值介 于
２
（ ）为 光 滑 的 切 向 量 场 空 间 ，对 Ｖ ， Ｙ ， Ｚ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４—１ １— ２ ６
５ ４
哈尔滨师范大学 自然科 学学报
２ ０ １ ５年 第 ３ １ 卷
ｕ是 方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ ＝ １的严 格 凸解 ，（ ｕ ｊ ｉ ）是 正 定
Ｄ２ ｕ 的， ｊ ￣Ｏ ｄ ｅ ｔ
＿ ＿
—
２ｕ１ ２ １ Ｕ ２ ．
“
，
Ｏｕｋ ｔ
（ ３ ）
Ｏ ｄｅ ｔ Ｄ
—
２
我们 将证 明在 中有 如下 不等 式 ：
２
— — — 一 ＝ ： １ １ ２ ｕ２ ２＋ １ １ ／ ￥ ２ ２ ２— ２ ２Ｍ１ ２ ｕ１ １ ２ ２ ： ｏ ０ ． ‘
～
ｕ
＋
ｉ ， Ｊ ＝１
∑ｕ ≥０
（ ２ ）
表Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｄ Ｍ的行 列式 ， 现 有关 蒙 日 一安 培方 程 的研究 有大 量 的文献 ，参 见 文 献 ［ ３ ］ ．近 期， Ｃ ｈ ｅ ｎ ， Ｍａ ， Ｓ ｈ ｉ … 研 究 了 欧 氏空 间 中 满 足 齐 次Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值条件 的椭 圆型蒙 日 一安 培方 程
即有
ｌ １ １ ｕ ２ ２＋ ｌ １ ２ ２ １ ＝ ０ ，
（ ４ ）
２
由上述微分不等式及最大值原则 ， 在 边
界上 达 到最大 值．为 了证 明（ ２ ） 式 在任 意 。∈力
处成立 ， 可 以在 处 选 取 光 滑 的标 准 正 交 标 架 ∑ ｅ “， ｅ 使 得 Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 ｕ ０ ． （ ０ ） （ １≤ ｉ ， － 『 ≤２ ）
中图分类 号 ： Ｏ １ ８ ６ ． １ ２ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３— ０ ０ ５ ３—０ ３
令ｅ 一， ｅ 是 任 意 局 部 标 架 场 ，记 ｇ ＝ｇ （ ｅ ，
０ 引言
椭圆偏微分方 程是一类非 常重要 的偏微分 方程 ， 其解的水 平集 的凸性 问题是微分几何 学 中的一个重要方面 ， 参见文献 ［ ２ ］ ．蒙 日 一安培
． 对 ｃ ， ∈ｃ （ ） ， 记Ｄ ｕ是 “的
梯度 ， Ｄ ２ ｕ 是 的 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ 矩阵， Ｍ＝ （ ）
一
，
为方便计算简记 Ｖ ， ｕ＝ｕ ， Ｖ ｉ ｉ Ｉ ｔ ＝Ｍ
它具有一般形式 ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ＝ ｆ（ ） ， 其 中ｄ ｅ ｔ Ｄ ｕ 代
方 程是 最 重 要 的完 全 非 线 性 偏 微 分 方 程 之 一 ，
ｅ ｊ ） ， ＝ ＝ｇ
， ＝
一
， 记 尺（ ｅ ， ｅ １ ） ｅ ｉ ＝
Ｒ ｅ ｉ ， Ｒ 删 ＝Ｒ （ ｅ ｉ ， ｅ ｊ ， ｅ ， ｅ ｛ ） ＝ｇ （ Ｒ（ ｅ ｋ ， ｅ １ ） ｅ ｆ ， ｅ ｉ ）
ｌ ｕ：０ ０ ｎ ａ
’
∑Ｒ 棚 ．
口
通过给定 的辅助函数 ， 使其在边界达到最大值 ， 并 得到 了在 欧 氏空 间 中蒙 日 一安 培 方 程 水平 集 的高斯曲率 和平均曲率的上界估计 ， 将利用 文 献［ １ ］ 中的辅助函数 ， 推广其 中的部分结果到黎
曼 流形 上．
因此
对 方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ 。 ＝／ ２ ＂ １ １ Ｍ ２ ２ 一ｕ １ ２ ２：１ 两边 求导 数得 ：
ｄ ｅ ｔ ＤＺ ｕ Ｏ
窭 ０ ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ｕ 一 ２ “ ＝
２ｕ，
— —
— —
： “ｌ ｌ １ ２ ２＋ ｌ 】 ２ ２ ｌ一２ ｌ—ｚ １ ２ Ｕ ｌ ２ ｌ ： ｕ’ ０，
２ 主 要 结 论
定理 １ 设（ ， ｇ ）是 二维 常曲率黎 曼流 形， 其截面曲率 Ｋ ＝ ≤０ ， 为 上的有界光 滑 凸 区域 ， 若 是 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 问题
１ 预 备 知识
设（ “ ， ｇ ）是 黎 曼 流 形 ， Ｗ∈ （ Ｍ）定义
邢庆 贺
（ 哈尔滨师范大学）
【 摘 要 】主要介绍在二维常 曲率黎 曼流形 中， 对 于蒙 日一 安培方程 ｄ ｅ ｔ Ｄ Ｍ ：１的 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 问题 ，给 出与 解有 关 的一个辅 助 函数 ‘ ｐ 在 边界 达到 最 大值 ． 【 关键词 】蒙 日一 安培 方程； 黎曼流形 ； 曲率
ｒ ｄ ｅ ｔ Ｄ ＝ １ ｉ ｎ
引理 令 （ ， ｇ ） 是截曲率 Ｋ ｓ 。 ＝ 的空 间形式 ， 有：
Ｒ币 Ｙ ８＝ Ｅ （ ｇ ｇ Ｂ ８ 一ｇ 磕 ｇ 鲫 、 ） ，
Ｍ 卿 一兄脾 “ ，
ｕ ＝ Ｈ 一 ２ ∑ Ｒ ｅ 诺 ＋∑Ｒ 删 ＋ ０ ８
第３ １ 卷
哈尔滨师范大学 自然源自文库学学报
ＮＡＴ ＵＲＡ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣＥ Ｓ Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｉ Ｎ ＮＯＲＭＡ Ｌ Ｕ ＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ １ 。 Ｎ ｏ ． ３ ２ ０ １ ５
第 ３期
二 维 黎 曼 流 形 上 蒙 日 一安培 方 程解 的一个 估 计
和 之 间 ， 则 函 数 ＝ 薹 ０ — ｄ ｅ ｔ Ｄ ２ ｕ 一 ２ ｕ
证 明 令 Ｄ ｕ＝ （ Ｍ ） ， （ ｕ ）＝ （ ｕ ） ～，由
在 ａ 力 的边 界上 达到 最大值 ．
Ｒ（ ｘ， ｙ ， Ｚ， ） ＝ｇ （ Ｒ（ Ｚ， ） Ｙ ， ）为 曲 率 张 量．