二维黎曼流形上蒙日-安培方程解的一个估计

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黎曼流形的曲率、拓扑与M(？)bius特性研究

黎曼流形的曲率、拓扑与M（？）bius特性研究黎曼流形的曲率、拓扑与M（？）bius特性研究引言：在数学中，黎曼流形是一种高度抽象而复杂的几何结构。

它是一种具有曲率的拓扑空间，被广泛应用于不同领域的物理学和数学中。

本文将讨论黎曼流形的曲率特性，以及其与拓扑和M （？）bius特性之间的关系。

1. 黎曼流形的定义与性质黎曼流形是一种光滑流形（即可通过连续光滑函数进行描述的拓扑空间），其每一点都是一个具有内积结构的切空间。

黎曼流形上的度量定义了其内积结构，使得我们能够在其上定义曲率和距离的概念。

2. 黎曼流形的曲率特性黎曼流形的曲率描述了其局部和整体的几何性质。

曲率张量是一种度量曲率的工具，它包含了关于切矢量场的信息。

通过计算曲率张量的分量，我们可以获得流形上的曲率曲率标量，它反映了流形的整体曲率特性。

3. 黎曼流形的拓扑特性拓扑学是研究空间性质在变换下的不变性的学科。

黎曼流形的拓扑特性描述了其在不考虑度量的情况下的形状和连接性质。

黎曼流形上的拓扑理论包括如同相空间的包含、同伦变换和维数等概念。

拓扑性质决定了流形的基本结构和性质，并且在一定程度上影响了流形的曲率特性。

4. 黎曼流形与M（？）bius特性之间的关系M（？）bius特性是指流形上存在单面曲面的能力。

黎曼流形具有某种特殊的曲率和拓扑性质，可以导致其具有M（？）bius特性。

具体来说，曲率会影响流形上的切矢量场的变化，从而影响了是否存在单面曲面。

而拓扑性质则决定了流形上是否存在分支覆盖（Branched cover），进而影响了M（？）bius特性。

5. 黎曼流形的应用黎曼流形在物理学和数学中有广泛的应用。

在物理学中，黎曼流形被用来描述时空的弯曲性质，如广义相对论中的引力。

在数学中，黎曼流形被用于研究微分几何、拓扑学以及数学物理等领域。

其应用涉及到曲率的计算、拓扑的变换以及M（？）bius特性的探究等方面。

结论：黎曼流形是一种兼具曲率和拓扑性质的抽象几何结构。

黎曼猜想

黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多 “证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。
内容
黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程 ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
黎曼ζ函数 ζ(s)是级数表达式
在复平面上的解析延拓。
之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为这一表达式只适用于复平面上 s的实部 Re(s) > 1的区域（否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓”这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为：
谢谢观看
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。
当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于 critical line上。即黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2的直线上（Re(s)表示复数s的实数部分）。

vekua方程

vekua方程
《Vekua方程》是一个令人惊讶的数学发现，它激发了广泛的研究，将数学和物理融合在一起。

Vekua方程，又被称为“黎曼方程”，是一种无逆问题方程，与逆解决相关的任何问题都能得出正确的结论。

该方程的发现1968年由伊梅尔维库亚（Ivan Vekua）提出，它的发
现给物理学家和数学家带来了更多的工作机会。

Vekua方程是一个双重微分方程，它可以描述两维物理场结构间的变化，包括电磁场和磁场，以及更复杂的场结构。

该方程具有很强的数学形式化且可靠性，能有效的描述物理的实际状态。

给出一定的初始条件后，通过Vekua方程可以计算物理场的时空变化。

维库亚方程的出现，使物理学家和数学家能够更好的理解复杂的物理系统，更精确的描述物理现象，从而推动物理研究的发展。

例如，在研究电磁场方面，维库亚方程可以用来解释磁性和X射线行为，从而探索电磁学中未知的物理现象。

此外，维库亚方程还可以用于研究几何学和流体力学，比如求解地形的高程变化和液体的流动特性等。

Vekua方程的发现对物理学和数学领域都有重大而深远的影响，使人们对物理学的理解更加全面。

此外，它还为物理学家和数学家提供了更多的机会，来进行更复杂、更准确的研究。

它也是研究发展物理技术领域的重要工具，应用广泛，为现代物理学技术做出了巨大贡献。

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Riemann 猜想漫谈 (十七)-word文档

Riemann 猜想漫谈 (十七)作者：卢昌海三十.监狱来信在前面各节中，我们介绍了数学家们在证明Riemann猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。

这些尝试有些是数值计算，它们虽然永远也不可能证明Riemann猜想，却有可能通过发现反例而否证Riemann猜想——当然，迄今为止并未有人发现反例；有些则是解析研究，它们具有证明Riemann猜想的潜力，但迄今为止距离目标还很遥远。

如果小结一下的话，那么这两类尝试虽然很不相同，却都可以被归为直接手段，因为它们的目标都是Riemann猜想本身。

既然这两类直接手段都遇到了困难，那我们不妨来问这样一个问题：除这些直接手段外，还有没有别的手段可以帮我们研究Riemann猜想，或至少带给我们一些启示呢？答案是肯定的。

事实上，Riemann猜想虽然是一个极为艰深的难题，但这种长时间无法解决的难题在科学上是并不鲜见的。

科学家们对付这种难题的大思路其实很简单，那就是直接手段行不通时，就采用间接手段。

当然，大思路虽然简单，具体采取什么样的间接手段，可就大有讲究了。

一般来说，常用的间接手段有两类：第一类是研究与原问题相等价的问题——那样的问题一旦被解决，原问题自然也就解决了[注一]；第二类则是研究与原问题相类似、但却更简单的问题——这类手段虽不能解决原问题，却有可能带给我们启示。

更重要的是，在原问题实在太艰深时，这类手段往往比其它手段更具可行性。

就目前我们对Riemann猜想的了解而言，它看来是属于那种“原问题实在太艰深”的情形，因此我们要介绍的间接手段是“往往比其它手段更具可行性”的第二类间接手段。

这类手段在科学研究中有着广泛的应用。

比如物理学家们遇到很困难的三维空间中的问题时，往往转而研究二维、一维，甚至零维空间中与原问题相类似的问题。

又比如生物学家们从事一些不宜在人体上作尝试的研究时，往往转而用动物作为研究对象。

最近比较热门的用凝聚态体系模拟基础问题的做法，也是第二类间接手段的例子[注二]。

Riemann 猜想漫谈 (十八)

Riemann 猜测漫谈 (十八)卢昌海“山寨版〞Riemann猜测这枚坚果该从哪里啃起呢？为了彰显将科普进展到底的决心，让我们从中小学算术啃起吧！这并不是搞笑，在它背后其实有一段小小的故事——一段与美苏冷战有关的故事。

故事发生在半个多世纪前的1957年。

那一年，苏联先于美国将一颗人造卫星送入了近地轨道，迈出了航天时代的第一步。

这一在太平年代可以令全人类共同自豪的成就，由于发生在冷战时期，带给美国的乃是宏大的震动和反思。

作为反思的结果之一，美国初等教育界兴起了一场以革新教材为主旨的所谓“新数学〞运动(NewMath)，试图“从娃娃抓起〞，加强教育、奋起直追。

在这场运动中，许多本来晚得多才讲述的内容被参加到了中小学教材中，其中包括公理化集合论(axiomaticsettheory)、模算术(modulararithmetic)、抽象代数(abstractalgebra)、符号逻辑(symboliclogic)等[注一]。

这种“拔苗助长〞般的革新不仅远远超出了普通中小学生的承受才能，甚至也超出了一局部中小学老师的教学才能，因此只尝试了几年就被放弃了。

不过对我们来说，这场“小跃进〞式的“新数学〞运动却是一个很好的幌子，让我们可以声称从中小学算术开场本节的科普，因为我们将要介绍的“山寨版〞Riemann猜测，可以从“新数学〞当中的一种——模算术——说起。

模算术的一个典型的题目是：如今时钟的时针指向7，请问8小时之后时针指向几？这个题目与“7+8=?〞那样的传统小学算术题的差异，就在于时钟上的数字是以12为周期循环的，从而不存在大于12的数字。

这种带有“周期〞的算术题就是典型的模算术题目，它通常被表述为“7+8=?(mod12)〞，其中的“(mod12)〞表示以12为周期，而这周期的正式名称叫做“模〞(modulus)，模算术之名因此而来[注二]。

模算术是数论中一种很有用的工具，数学大腕Euler、Joseph-LouisLagrange(1736-1813)、Legendre等人都使用过，但对它的系统研究那么要归功于Gauss。

难题制造者——黎曼

难题制造者——黎曼
白苏
【期刊名称】《智慧数学》
【年(卷),期】2014(000)004
【摘要】提出“黎曼猜想”这道大难题的人是德国数学家波恩哈德·黎曼，他曾受到高斯、狄利克雷、雅可比等数学界大腕的教育和影响，在数学领域作出了划时代的贡献。

我们暂时把那道超难的题目放一放，先来看一看黎曼研究的稍微简单的东西。

【总页数】4页(P22-25)
【作者】白苏
【作者单位】
【正文语种】中文
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5.应用黎曼-斯蒂尔杰斯积分证明黎曼第二积分中值定理
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首位获得“菲尔兹奖”的华人数学家

首位获得“菲尔兹奖”的华人数学家丘成桐，国际著名数学家，祖籍广东省蕉岭县文福镇。

1949年出生于广东省汕头市，同年随父母到香港。

父亲曾在香港香让学院及香港中文大学的前身崇基学院任教。

父教母慈，童年的丘成桐无忧无虑，成绩优异。

但在他14岁那年，父亲突然辞世，一家人顿时失去经济来源。

尽管丘成桐不得不一边打工一边学习，但他仍然以优异成绩在1966年考入香港中文大学。

1969年初，刚刚从美国加利福利亚大学伯克利分校取得学位的萨拉夫博士，来到香港中文大学执教。

丘成桐的杰出才能及表现给萨拉夫留下了深深的印象。

在萨拉夫的推荐下，伯克利分校录取丘成桐为博士研究生，并授予IBM奖学金。

于是，丘成桐放弃中文大学学士学位，提前退学，于1969年秋到伯克利。

他的导师是著名微分几何学家陈省身。

70年代左右的加州大学伯克利分校是世界微分几何的中心，云集了许多优秀的几何学家和年轻学者。

在陈省身教授的亲自指导下，丘成桐于1971年获博士学位。

丘成桐取得博士学位后，在应邀前往普林斯顿高等研究院访问的一年中，他结识了许多年轻的世界一流数学家，包括著名的美国数学家费弗曼。

丘成桐在这里受益匪浅，他完成了两篇论文，一篇是关于保形变换的，另一篇是关于常平均曲率子流形的，分别发表在《微分几何杂志》与《美国数学杂志》上。

1972年秋，年仅23岁的丘成桐应邀来到纽约大学石溪分校担任副教授，又完成了几篇论文。

其中至今仍具影响的是与劳森合作的关于标量典率与群作用关系的文章。

在1973年美国数学会举行的微分几何大会上，丘成桐做了三个学术报告，以卓越的能力和杰出的贡献，向数学界显示了自己在微分几何领域的领先水平。

这一年是丘成桐数学事业上十分重要的一年，他完成了题为《完备黎曼流形上调和函数》的著名论文，用他自己的话说，这篇文章是他数学生涯的转折点。

丘成桐教授的第一项重要研究成果是解决了微分几何的著名难题——卡拉比猜想，从此名声鹊起。

这一猜测是由著名几何学家卡拉比在1954年的国际数学家大会上提出的。

数学百家：波恩哈德·黎曼

波恩哈德· 黎曼
数学百家
昆明学院数学系
主要成就
（3）、黎曼猜想与素数定理
黎曼 ζ函数， 6‧‧‧等点的值)的实数部份是½ 。黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数，ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。，非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-
黎曼ζ函数的零点与素数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为素数分布的谐波。将黎曼ζ函数代为更一般的L-函数，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零点的实部必等于。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。
黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图，也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿着临界线s = it + 1/2，t 由0到34
波恩哈德· 黎曼
数学百家
昆明学院数学系
黎曼ζ函数
黎曼ζ函数：

黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数
ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在
任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = −2, s = −4, s = −6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。
波恩哈德· 黎曼
数学百家
昆明学院数学系
黎曼猜想证明历史

黎曼1859年在他的论文Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。 1896年，雅克.阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。

黎曼流形上薛定谔方程的harnack估计

黎曼流形上薛定谔方程的harnack估计
弗里德曼-黎曼流形（Friedman-Lamann Manifold）是描述数学模型中理想对象的极佳工具。

它由欧几里德空间中的超平面组成，具有模型张成、自变性、可逆性等本质特征。

在薛定谔方程的研究当中，利用黎曼流形作为该方程的求解空间，估计了黎曼流形上薛定谔方程的Harnack估计（Harnack Estimate），帮助解决了许多薛定谔方程的深层次研究问题。

薛定谔方程研究中，利用黎曼流形拓宽了求解薛定谔方程问题的思路选择。

其中，更新估计的有效工具是Harnack估计（Harnack Estimate），其相关性则能够有效提升求解过程的效率和精度。

有关Harnack估计的广泛研究及其对薛定谔方程的有效应用，可以追溯至20世纪中叶以来其开创者Harnack所介绍的双曲几何和几何分析。

Harnack估计在黎曼流形上的证明，利用的理论基础是称作马尔可夫过程的概率流形上的随机尝试，该要素极大地增强了估计偏微分方程残差的精度。

回顾薛定谔方程在马尔可夫过程的概率曲面上进行Harnack估计：首先，根据黎曼流形上双曲几何的定义，确定了方程的估计数值范围；其次，借助统计分布的性质，构建并利用随机变量来检验结果，反复比较、修正估计值；最后，结合前述双曲几何和统计概率分析要素，验证薛定谔方程在黎曼流形上的最优估计值，从而提升解决数学模型问题的效率和精度。

Harnack估计在黎曼流形上的研究为薛定谔方程以及该方程涉及的种种问题的真实化求解提供了借鉴和参考。

它的出现使薛定谔方程的多元变量研究问题形成一种有效的解决思路，为对薛定谔方程进行深层次研究打下了坚实的理论基础。

monge ampere方程

Monge-Ampere方程是一个具有严格数学背景的方程，它在数学和物理学的各个领域都有着重要的应用。

本文将从Monge-Ampere方程的起源和定义、数学性质、在几何学、流体力学和其他领域的应用等几个方面对其进行详细介绍。

1. 起源和定义Monge-Ampere方程最初由数学家Gaspard Monge和André-Marie Ampère在18世纪末提出。

它最初是作为微分几何中的一个概念被引入的，后来逐渐在数学分析、偏微分方程和凸几何等领域得到了广泛的研究和应用。

在数学上，Monge-Ampere方程通常被定义为一个二阶偏微分方程，具体形式为det(D^2u) = f(x,u, Du)，其中u是未知函数，D^2u是u 的Hessian矩阵，f是已知函数，x是自变量。

Monge-Ampere方程的解通常需要满足一定的边界条件和初始条件。

2. 数学性质Monge-Ampere方程在数学上具有许多重要的性质。

它是一个非线性偏微分方程，相对于线性方程来说，其性质更加复杂。

Monge-Ampere方程常常涉及到凸几何和优化问题，因此在实际应用中通常需要对其进行数值计算。

Monge-Ampere方程的解通常能够提供有关函数的凸性和曲率等重要信息。

3. 几何学应用Monge-Ampere方程在几何学中有着重要的应用。

在微分几何中，Monge-Ampere方程常常出现在研究曲率流和凸曲面的问题中。

另外，它还可以被用来描述黎曼度量的特征和流形的几何特性，对于研究几何结构和流形的拓扑性质具有重要的意义。

4. 流体力学应用Monge-Ampere方程在流体力学中也有着重要的应用。

在黏性流体的研究中，Monge-Ampere方程可以用来描述流体的速度场和压力分布，从而帮助研究流体的运动规律和稳定性条件。

另外，在近似流体力学和计算流体力学中，Monge-Ampere方程的数值解法也被广泛地应用于模拟和预测流体的运动情况。

【教育资料】Riemann 猜想漫谈 (十六)学习精品

Riemann 猜想漫谈 (十六)作者：卢昌海二十七.Levinson方法Selberg的临界线定理表明Riemannζ函数临界线上的零点在全体非平凡零点中所占比例大于零。

那么这个比例究竟是多少呢？Selberg在论文中没有给出具体的数值。

据说他曾经计算过这一比例，得到的结果是5%-10%[注一]。

另外，中国数学家闵嗣鹤(1913-1973)在牛津大学留学(1945-1947)时，曾在博士论文中计算过这一比例，得到了一个很小的数值。

这些结果或是太小，或是没有公开发表，在数学界鲜有反响。

总的来说，Selberg的结果更多地是被视为是一种定性的结果——即首次证明了位于临界线上的零点占全体非平凡零点的比例大于零。

有关这一比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的、并且引人注意的进展。

这一进展是由美国数学家NormanLevinson(1912-1975)做出的。

Levinson小时候家境非常贫寒，父亲是鞋厂工人，母亲目不识丁且没有工作，但他在十七岁那年成功地考入了著名的高等学府麻省理工学院(MassachusettsInstituteofTechnology，简称MIT)。

在MIT的前五年，Levinson在电子工程系就读，但他选修了几乎所有的数学系研究生课程，并得到了著名美国数学家NorbertWiener(1894-1964)的赏识。

1934年，Levinson转入了数学系。

这时Levinson的水平已完全具备了获取数学博士学位的资格，于是Wiener帮他申请了一笔奖学金，让他去Hardy所在的剑桥大学访问了一年。

次年，Levinson返回MIT，立即拿到了博士学位。

Levinson在学术生涯的早期先后经历了美国的经济大萧条及麦卡锡主义(McCarthyism)的盛行，几次面临放弃学术研究的窘境，但最终还是幸运地度过了难关。

Levinson在Fourier变换、复分析、调和分析、随机分析、微分及积分方程等领域都做出过杰出贡献。

世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪

世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪——梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误福州原创物理研究所2019年8月20日，美国科学出版集团旗下的《数学快报》（Mathematics Letters）发表福州原创物理研究研究所所长梅晓春的文章《黎曼Zeta函数方程的不一致性问题》。

梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误，黎曼猜想被证伪。

当今世界最大的数学难题，“黎曼猜想”问题被彻底解决。

黎曼猜想是数论中的一个著名问题，由德国数学家黎曼在1859年提出。

黎曼猜想被看成是近代数论的基石，它断言黎曼Zeta函数的所有零点都落在复平面a=1/2的点上。

黎曼猜想的证明非常困难，一百六十年以来，世界上有数不清的数学家前赴后继，试图证明或证伪黎曼猜想，但都没有成功。

梅晓春的文章证明黎曼的原始论文中存在四个基本错误，因此黎曼猜想不可能成立，实际上是没有意义的。

由此可以解释为什么黎曼猜想的证明是如此的困难，因为这个猜想的数学函数方程的本身就是错误的。

1900年在巴黎召开的世界数学大会上，被称为“数学界无冕之王”的德国数学家希尔伯特提出23个著名的数学难题，为二十世纪的数学研究定下基调，黎曼猜想问题位列其中。

到了二十世纪末，这些问题的大部分都被解决，只剩下少数几个进入二十一世纪，黎曼猜想就是其中的一个。

为了推进二十一世纪的数学发展，美国克莱因数学研究所在2000年又提出七个数学难题，并为每个问题的解决悬赏一百万美元，称为千禧年数学问题。

黎曼猜想是其中的一个，而且是希尔伯特遗留问题中唯一入选的一个。

黎曼猜想问题是如此的著名，可以用以下例子来说明。

有人曾问希尔伯特：如果你死去千年后复活，最想知道的是什么。

希尔伯特回答说：我想知道黎曼猜想被证明还是被证伪了。

美国数学家蒙哥马利则表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数数学家想要的将会是黎曼猜想的证明。

二维黎曼问题的数值计算

二维黎曼问题的数值计算二维黎曼问题（2D Riemann Problem）是一类基于黎曼问题的数值计算方法，用于求解二维守恒型方程组的初始值问题。

它是一种常用的流体动力学和波动方程数值计算方法。

二维黎曼问题的数值计算步骤如下：1.确定初始条件：首先，需要知道二维守恒型方程组的初始条件，包括密度、速度、压力等参数。

这些初始条件可以是给定的，也可以根据特定的问题通过初始条件求解得到。

2.构造Riemann问题：将初始条件扩展为一个Riemann问题，其中在一个有限区域内，分界面将初始条件分为左右两个状态。

这个界面称为Riemann问题的分界面。

3.求解Riemann问题：通过求解所构造的Riemann问题，可以得到分界面处的左右两个状态的解。

4.进行数值计算：根据初始条件、Riemann问题的解，使用适当的数值计算方法进行离散化和迭代计算。

常用的数值方法包括有限差分、有限体积、有限元等。

5.扩展到整个区域：通过扩展和平衡方程，将初始条件和计算得到的结果扩展到整个计算区域。

6.进行时间步进：根据所选择的计算方法和时间步进策略，进行迭代计算，逐步推进时间和空间，得到时间上的解。

通过上述步骤，二维黎曼问题的数值计算可以得到方程组在二维空间上的解。

这种方法适用于多种守恒型方程组，如Euler方程、Navier-Stokes方程等，用于模拟流体力学、气体动力学、弹性波传播等问题。

需要注意的是，不同的数值计算方法和模型选择会对计算结果产生影响，因此在实际应用中要根据问题的特点选择合适的数值计算策略和模型。

数值计算中还需要关注稳定性、准确性和计算效率等因素，并进行后续的结果验证和分析。

一般伪黎曼空间中的极大类空子流形

第38卷第6期西南师范大学学报(自然科学版)2013年6月V o l.38N o.6J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J u n.2013文章编号:10005471(2013)06003005一般伪黎曼空间中的极大类空子流形①杨慧章,龙瑶,李薇红河学院数学学院,云南蒙自661100摘要:通过计算R i c c i张量长度平方的拉普拉斯算子,得到了伪黎曼流形上的一个S i m o n s型积分不等式,运用该不等式推广了已有的相关结果.关键词:伪黎曼流形;拉普拉斯算子;R i c c i张量中图分类号:O186.13文献标志码:A设N n+p(c)(c>0)是n+p维具有常截曲率c的黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p中的n维子流形.用S表示M n的第二基本形式模长的平方,H表示M n的平均曲率.Aα为关于法向量eα的第二基本形式,Rβγ为关于法向量eβ和eγ的法曲率,Q为R i c c i张量.文献[1]研究了黎曼流形中的极小子流形,得到了S i m o n s 型积分不等式:定理A[1]若M n为N n+p(c)(c>0)的紧致极小子流形,则有ʏ2ðα,β(n c-Sα) AαAβ 2-2ðα,β,γ RβγAα 2-ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.设N n+p p是指标为p的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p中的n维黎曼流形,即N n+p p的类空子流形.若H=0,则称M n是极大的.本文运用文献[1]的方法,将积分不等式推广到伪黎曼流形,得到了如下推广的S i m o n s型不等式:定理1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0(1)其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.若伪黎曼流形的曲率张量满足ði R i j k l,i=0,则称该伪黎曼流形具有调和曲率张量,继而得到R i c c i曲率是C o d a z z i张量,即R i j,k=R i k,j.显然,M n具有调和曲率张量这一条件比R i c c i曲率平行这一条件弱.由定理1得到下面的推论:推论1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα 2+ ∇Q[]2d Vɤ0(2)其中等号成立当且仅当p=1时,M n具有调和曲率张量;pȡ2时,hγm i㊃hαi j l=0.当N n+p p为常曲率伪黎曼流形时,文献[2]证得:定理B[2]设N n+p p(c)是截面曲率为常数c(cȡ0)的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p(c)①收稿日期:20111112Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:国家自然科学基金(11161020);云南省教育厅科研基金(2012C199);红河学院科研基金一般项目(10X J Y121).作者简介:杨慧章(1982),女,云南昆明人,讲师,主要从事微分几何的研究.的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则M n 是全测地的.定理C [2] 设N n +p p (-c )是截面曲率为常数-c (c >0)的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (-c )的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则0ɤS ɤnp c .定义N 为N =2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α 2(3)其中㊃为模,N 与标架的选取无关.将定理B ㊁定理C 进行推广,可得到:定理2 设N n +p p (c )是截面曲率为常数c 的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )的n 维紧致极大类空子流形.若N =0,则(i )当c ȡ0时,M n 是全测地的;(i i )当c <0时,若0ɤS <-n pc ,则M n 是全测地的.定理3 设N n +11(c )是截面曲率为常数c 的n +1维伪黎曼流形,M n 为N n +11(c )中的R i c c i 曲率平行的紧致极大类空超曲面,则有(i)M n 为全测地的;(i i )M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中M r 1,M n -r 2分别为r ,n -r 维常曲率流形,c 1=n r c ,c 2=n n -rc .定理4 设M n 是de S i t t e r 空间S n +11(c )中具有调和黎曼曲率张量的紧致极大类空超曲面,则M n 是全测地的.1 预备知识设N n +p p (c )为具有常数截曲率c 的n +p 维连通伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )中的n 维黎曼流形,选取N n +p p上的局部正交标架场{e A },使得限制在M n 上,{e i }与M n 相切.{e α}为M n 上的法向量场,{ωA }为{e A }的对偶标架场,其中A 是满足1ɤA ɤn +p 的自然数,则N n +p p上的度量为d s 2=ðAεA ω2A =ðni =1ω2i-ðn +pα=n +1ω2α.于是Nn +pp(c)上的结构方程为:d ωA =ðBεB ωA B ɡωB ωA B +ωB A =0(4)d ωA B =ðC εC ωA C ɡωC B -12ðC ,DK A B C D ωC ɡωD (5)K A B C D =c εA εB (δA C δB D -δA D δB C )(6)其中A ,B ,C ,D 是1到n +p 之间的自然数.限制在M n 上有ωα=0 ωαi =ðjh αi j ωj h αi j =h αji (7)d ωi =ðjωi j ɡωj ωi j +ωji =0(8)d ωi j =ðkωi k ɡωk j -12ðk ,lR i jk l ωk ɡωl (9)R i j k l =c (δi k δj l -δi l δj k )-ðα(h αi k h αj l -h αi l h αjk )(10)还有d ωα=ðβωαβɡωβ ωαβ+ωβα=0(11)d ωαβ=ðγωαγɡωγβ-12ði ,jR αβi j ωi ɡωj (12)R αβi j =ðl (h αi l h βj l -h αj l h βi l )(13)其中R i j k l ,R αβi j ,K A B C D 分别是M n 的曲率张量㊁法曲率张量和N 的曲率张量.h =ðαh αe α=ðα,i ,jh αi j ωi췍ωj 췍13第6期杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.e α是M n 的第二基本形式,记M n 的第二基本形式h 的模长平方为S ,则S = h 2=ðα,i ,j(h αi j )2.用h αi j k 和h αi j k l 分别表示h αi j 的一阶和二阶共变导数的分量,则ðkhαi jk ωk =d h αi j -ðkh αj k ωk i -ðkh αi k ωk j +ðβh βi jωβα(14)则M n的C o d a z z i 方程和R i c c i 恒等式分别为h αi j k -h αi k j =0(15)h αi j k l -h αi j l k =ðmh αi m R m j k l +ðmh αj m R m i k l +ðβh βi j R αβk l (16)M n的R i c c i 曲率张量为R i j =ðkR i k j k =(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk (17)其中H α=1n ðni =1h αi i 是Mn的平均曲率的分量.定义R i c c i 曲率张量的共变微分为R i j l ωl=d R i j -R m j ωm i -R i m ωm j(18)如果对任意i ,j ,k 都有R i j k =0,则称M n的R i c c i 曲率是平行的.由(14),(15)式得Δh αi j =ðkh αkk i j +ðk ,m(h αm i R m k j k +h αm k R m i j k )+ðβ,k h βk i R αβj k =n H αi j -n c H αδi j -ðn H βh αi m h βm j -ð2h αk m h βk i h βm j +ðh αk m h βm k h βi j +ðh αi mhβm k h βk j+ðh αj m h βk i h βk m +n c h αi j(19)由(16)式及M n 的极大性,有ΔR i j =Δ[(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk ]=-n h αi j ΔH α-2n H αk h αi j k -n Δh αi j H α+h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl (20)2 定理的证明定理1的证明由于M n 为N n +p p中的极大类空子流形,由(18),(19)式及M n 的极大性得12ΔR 2i j =R 2i j ,k +R i j ΔR i j =R 2i j ,k +[(n -1)c δi j +h γi n h γn j ](h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl )=R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c h γi n h γn j h αi l h αj l -4h γi n h γn j h αi l h αk m h βk jh βm l +2h γi n h γn j h αi l h αk m h βm k h βj l +2h γi n h γn j h αi l h αj m h βm k h βk l +2h γi n h γn j h αi l h αl m h βk j h βk m +2h γi n h γn j h αi l k h αj l k =R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c t r (A αA αA γA γ)+2h γi n h γn j h αi l k h αjl k +2t r (A γA γA αA β)t r (A αA β)+2t r [(A αA α)(A βA γ-A γA β)(A γA β-A βA γ)]+t r [(A αA βA β-A βA βA α)(A γA γA α-A αA γA γ)](21)令S αβ=ði ,j(h i j αh i j β)=t r (A αA β),则S αβ是p ˑp 对称矩阵.因此,可以选取适当的{e α}使其对角化,即对任意α,β,有S αβ=S αδαβ,那么一定有S =ðαS α.令S αβ为M n 关于法向量{e α}和{e β}的法曲率,Q 为R i c c i 张量,则(21)式可化为12ΔR 2i j =R 2i j ,k +(n -1)c Δ(h αi l )2+2(h γi n h αi l k )(h γn j h αjl k )+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA 2Q -QA α2+2ðα,β(n c +S α)A αA β(22)由M n的紧致性和极大性,对(22)式两边作积分,有2ðα,β(n c +S α) A αA β2+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α []2d V ɤ023西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中等号成立当且仅当p =1时,R i j ,l =0;p ȡ2时,对任意的α,γ,有h γm i ㊃h αi jl =0.推论1的证明若M n 为具有调和曲率的极大类空子流形,则R i j k -R i k j =ðm ,α(h αi m j h αk m -h αi m k h αjm )=0(23)由C o d a z z i 方程ðm ,α(h αi jm h αm k -h αi k m h αm j )=0(24)轮换指标,得到ðm ,α(h αjk m h αm i -h αji m h αm k )=0(25)再一次轮换指标得ðm ,α(h αk i mh αm j -h αk jm h αm i )=0(26)由式(24),(25),(26),得到ðm ,αh αm ih αm j k =0,结合定理1得到了推论1的结果.若M n的法丛平坦,即法曲率R αβ=0,又因M n 是极大的类空子流形,所以由(1)式有N =0;反之不成立.所以条件N =0弱于法丛平坦.定理2的证明当N =0时,若对c >0,或者对c <0且0ɤS <-n pc ,有ðαβ(n c +S α) A αA β2ȡ0由(1)式,得到S =0.所以M n 是全测地的.为了证明定理3,我们需要用到下面的引理:引理1 设M n 是N n +11中的紧致极大类空超曲面,则(1)当c ȡ0时,M n 是全测地的;(2)当c <0时,若S =-n c ,则M n 局部等距于黎曼直积M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中c 1,c 2为常数.证由(9)和(19)式及M n 的极大性,得12ΔS =ði ,j ,k h 2i j k +ði ,jh i j Δh i j =ði ,j ,k h 2i j k +n ði ,jh i j H i j +ði ,j ,k ,m h i j h im Rm k jk +ði ,j ,k ,m h i j hkm R m i jk =ði ,j ,k h2i jk +S (S +n c )(27)由M n 的紧致性,对(27)式两边积分,有ʏði ,j ,k [h 2i jk +S (S +n c )]d V =0.当c ȡ0时,有ʏS (S +n c )d V =0,因此S =0,即M n 是全测地的;当c <0时,由M n 的紧致性及S =-n c 知h i j k =0,即M n 的第二基本形式平行.借鉴文献[3]的方法,选取适当的局部标架,使得h i j =0(i ʂj ),因此h i jk =0,在(13)式中令下标i =j ,得到0=ðkh i i k ωk =d h i -2ðkh ik ωk j =d h i 从而h i 为常数.由(13)式有0=ðkh i k ωk j -ðkh j k ωk i =(h i -h j )ωi j当h i ʂh j 时,ωi j =0,由(8)式知0=d ωi j =ðkωi k ɡωk j +ðk ,lh i k h j l ωk ɡωl -c ωi ɡωj =(h i h j -c )ωi ɡωj即当h i ʂh j 时,h i h j -c =0.令h 1= =h r =λ,且λʂh j ,r +1ɤj ɤn .由于M n 不是全测地的,且ðih i =n H =0,所以有h r +1= =h n =c λ=μ.考虑两个分布ω1= =ωr =0和ωr +1= =ωn=0,由ωi j =0(i ʂj )及(7)式和F r o b e n i u s 33第6期杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.43西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷定理知,这两个分布是可积的,M n局部上分解成黎曼积M1ˑM2.由h i h j-c=0及0=ði h i i=rλ+(n-r)μS=ði h2i i=rλ2+(n-r)μ2=-n c,μ2=-r n-r c.那么M r1(c1)和M n-r2(c2)的截曲率分别为c1=n r c和c2=n n-r c.所以得到λ2=-n-rr cM n局部等距于黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理3的证明若M n的R i c c i曲率平行,即R i j,l=0,由(1)式有(n c+S)t r(A A A A)=0.显然,若c>0,则S=0;若c<0,则有S=0或S=-n c.当S=-n c时,由引理1知,M n局部等距于两个常曲率空间的黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理4的证明由于M n具有调和的黎曼曲率,由(2)式有ʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0(28)而d eS i t t e r空间S n+11(c)的截曲率c>0,由(28)式显然有0ɤʏ(n c+S)S2d Vɤʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0所以ʏ(n c+S)S2d V=0,故有S=0,即M n是全测地的.参考文献:[1]陈六新,郭震,李同柱.一个新的S i m o n s型不等式[J].西南师范大学学报:自然科学版,2003,28(4):533-535.[2]I S H I HA R A T.M a x i m a l S p a c e-L i k eS u b m a n i f o l d so f aP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eo fC o n s t a n tC u r v a t u r e[J].M i c h i g a nM a t hJ,1988,35(3):345-352.[3] C H E R NSS,D OC M,K O B A Y A S H I S.M i n i m a l S u b m a n i f o l d s o f a S p h e r ew i t hS e c o n dF u n d a m e n t a l F o r mo f C o n s t a n tL e n g t h[M].B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1970:59-75.[4]夏云伟,纪楠.空间形式中具有调和黎曼曲率的超曲面的刚性[J].西南大学学报:自然科学版,2007,29(6):40-42.[5]沈学文.D e S i t t e r空间中的类空子流形的整体拼挤定理[J].西南师范大学学报:自然科学版,2004,29(2):186-188.O n M a x i m a l S p a c e-L i k e S u b m a n i f o l d s i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eY A N G H u i-z h a n g, L O N G Y a o, L I W e iC o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,H o n g h eU n i v e r s i t y,M e n g z i Y u n n a n661100,C h i n aA b s t r a c t:B y c a l c u l a t i n g t h eL a p l a c i a no f t h e s q u a r eo f t h e l e n g t ho fR i c c i t e n s o r,an e wS i m o n s i n t e g r a l i n e q u a l i t y i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l dh a s b e e no b t a i n e d a n d s o m e r e l a t e d r e s u l t s g e n e r a l i z e d. K e y w o r d s:P s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l d;L a p l a c i a n;R i c c i t e n s o r责任编辑廖坤Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

黎曼流形的计算理论

黎曼流形的计算理论黎曼流形的计算理论是数学中一门重要且复杂的理论。

黎曼流形是一种具有黎曼度量的光滑流形，它在微分几何、数学物理以及机器学习等领域有着广泛的应用。

本文将对黎曼流形的计算理论进行深入探讨，旨在帮助读者更好地理解和应用这一理论。

黎曼流形是黎曼几何的基础概念之一，它是一种曲率连续且可以进行内积运算的空间。

在黎曼流形上，我们可以定义黎曼度量，这是一种在每个切空间上都定义了内积结构的对称二次型。

黎曼度量可以用来衡量流形上的长度、角度和曲率，从而为我们提供了丰富的几何信息。

在计算理论中，黎曼流形的概念被广泛运用。

在优化问题中，很多优化算法都是基于黎曼流形上的。

以黎曼梯度下降算法为例，它是一种在黎曼流形上定义的梯度下降算法，可以高效地优化在流形上定义的目标函数。

黎曼流形上的梯度计算和更新规则与欧几里得空间上的梯度下降有所不同，这是因为在流形上存在非平凡的几何结构。

除了优化算法，黎曼流形还在统计学习中扮演着重要的角色。

在标量数据集上，我们通常将数据看作欧几里得空间中的向量，但是在一些数据具有内在几何结构的情况下，我们可以把数据看作嵌入在黎曼流形上的点。

通过在黎曼流形上定义合适的距离度量和核函数，我们可以设计出更加有效的机器学习算法，例如支持向量机在黎曼流形上的扩展。

黎曼流形的计算理论不仅仅局限于优化和机器学习，它还涉及到微分几何、数学物理等多个领域。

在微分几何中，我们可以通过黎曼度量定义黎曼联络，进而推广了黎曼流形上的测地线、李导数等基本概念。

在数学物理中，黎曼流形的曲率和联络与广义相对论、场论等物理理论有着密切的联系，它们为描述时空的曲率和引力场提供了数学基础。

总之，黎曼流形的计算理论是一个广泛且充满挑战的领域，它涉及到数学的多个分支，并在现代科学和工程中扮演着重要的角色。

通过深入理解和应用黎曼流形的计算理论，我们可以更好地解决各种复杂的实际问题，推动数学和科学的发展。

希望本文能为读者提供一些启发和帮助，引起大家对这一领域的兴趣和思考。

微分几何(第一课)

有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。

课程的主要内容

本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，主要内容有：（1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和 Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。（2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。（3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。

为黎曼空间Lp^n＋p中紧致类空子流形上的积分不等式

为黎曼空间Lp^n＋p中紧致类空子流形上的积分不等式张德燕;韩丽【摘要】设Lp^n＋p是截面曲率KL满足条件KL≥a（a是实数的伪黎曼空间，M^n（n≥2）是Lp^n＋p中的紧致类空子流形。

本文得到了M^n上Laplacian 算子的第一特征值的两个积分不等式。

%Let Lp^n+p be a Pseudo-Riemannian space with sectional curvature KL satisfy KL≥a,LetM^n(n≥2)be compact space-like submanifold in Lp^n+p .we obtain two integral inequalities for the first eigenvalue λ1 of Laplacian on M^n.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2012(028)005【总页数】5页(P27-31)【关键词】类空子流形;第一特征值;平均曲率【作者】张德燕;韩丽【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O186.12用记赋予度量的空间.当p≥1时，称为伪黎曼空间.特别地，被称为Lorentz空间.当Lorentz空间的截面曲率为常数c时，称为Lorentz空间型，记为特别地，当c>0，称之为de Sitter空间，记为中的超曲面Mn被称为类空超曲面，如果在Mn上的诱导度量是正定的.如果Lorentz空间的曲率张量的协变导数KABCD,E=0，则称为局部对称Lorentz空间.常曲率空间中黎曼子流形上的Laplacian算子的第一特征值已有不少研究结果（参见文［1］、［2］、［3］）.特别，［3］中得到了：若Mn是欧氏空间Rn+1中具有非负Ricci曲率的浸入超曲面，则有λ1≤其中R是Mn的数量曲率，是Mn的第二基本形式模长平方，λ1是 Mn上Laplacian算子的第一特征值.同时得到了球面空间Sn+1( c)中紧致子流形的第一特征值与其第二基本形式模长平方所满足的关系：文［4］得到了双曲空间中具有有界平均曲率的非紧黎曼子流形的第一特征值的一个下界估计.设表示截面曲率KL满足条件KL≥ a（a是实数）的伪黎曼空间，本文将讨论中紧致类空子流形上Laplacian算子的第一特征值，得到下面的主要结果：定理1设Mn( n≥2)是中的紧致类空超曲面，其上Laplacian算子的第一特征值为对应的光滑特征函数为f.记和 H分别是Mn上的第二基本形式模长平方和平均曲率.令k=， A表示沿en+1方向上的形状算子，记k˜是∇f在标架下的非零分量的个数，且记则进而，若为常数，则定理2设Mn( n≥2)是中的紧致类空子流形，其上Laplacian算子的第一特征值为对应的光滑特征函数为f.记 H是Mn的平均曲率，则有进而，若H为常数，则设表示截面曲率满足条件≥ a（a是实数）的伪黎曼空间，Mn是的n 维连通浸入紧致类空子流形.在上选取局部伪黎曼正交标架场即使得限制在Mn上时，是Mn的切标架场，是的法标架场（这里及后文我们均约定：1≤i, j,…≤ n, n+1≤α,β,…≤ n+ p ）.记h 为Mn的第二基本形式，则其中是Mn在eα方向上的形状算子.熟知Mn的Gauss方程为由（1）式得令f: M→是Mn上的光滑函数，则有如下Bochner公式［5］记I 是Mn上的单位算子，对任意的t∈，我们有［6］因此，若则特别地，在（5）式中令便有定理1的证明由（6）式得结合（3）式，并在Mn上应用Stokes定理，得由（2）式得我们选取适当的标架使得由（8）式得对任意固定的指标i ，注意到假设条件不失一般性设µ1=…=µk= 0，于是有不失一般性，设∇f 在标架{e1,…, en+1}表示下的前k0个分量不为零，结合（9）式和（10）式，得到设∆f=−λ1f，并将（11）式代入（7）式，得到若为常数，显见定理2的证明同定理1证明的开始部分，仍然成立（7）式.由于这里的余维数p≥1，我们需要重新估计Ric(∇ f,∇ f).为此，选取适当的正交标架场，使得平均曲率向量场利用Gauss方程我们进行如下估计设∆f=−λ1f，并将（12）式代入（7）式，得到特别地，若H为常数，由（13）式容易看出.定理2证毕.【相关文献】［1］YANG P C，YAU S T.Eigenvalue of the Laplacian of compact Riemannian surfaces and minimal submanifolds［J］.Ann Scuola Norm Pisa CISci，1980（7）：55-63.［2］LEUNG P F.On the consecutive eigenvalue of the Laplacian of a compactminimalsubmanifold in a sphere［J］.JAustral Math Soc，1991（50）：409-426.［3］CAIK R.Firsteigenvalue of submanifolds in Euclidean space［J］.Internat JMath&Math Sci，2000（1）：43-48.［4］CHEUNG L F，LEUNG P F.Eigenvalue estimates for submanifolds with bounded mean curvature in the hyperbolic space［J］.Math Z，2001（236）：525-530. ［5］BERGER M，GAUDUCHON P，MAZET E.Le spectre d'unevariétéRiemanniene.Lecture Note in Math［M］.Berlin：Springer，1971：194-195. ［6］BARROSA.Applicationsof Bochner formula tominimal submanifold of the sphere ［M］.JGeom Phy，2002（44）：196-201.。

GAN和蒙日-安培方程理论

GAN和蒙日-安培方程理论会议邀请了许多AI领域的知名学者，例如1. Tomaso Poggio: One of the pioneers in computational neural scence and neural computation. Many important work on the foundation of learning, vision and intelligence etc. Early work with Marr and Crick (who discovered double helix structure of DNA) lead to understanding of fly’s visual system.2. Naftali Tishby: Information theorist, work mostly on machine learning theory. Proposed information bottleneck theory of deep learning.3. Eric Xing: Research interested in probabilistic graphical model, Bayesian inference and deep learning. Started an important area of research in machine learning -- distance metric learning in his 2002 NIPS paper. Has PhD in Biology and CS (under Michael I Jordan and Richard Karp). Recently started a highly successful startup Pettum (a distributed machine learning platform attracting several series of investments with a total funds over $100M).4. Yi Ma: Research interests in computer vision, object detection, and machine learning. His work on the mathematical theory of scene reconstruction from image sequences won the Marr prize (the highest prize in computer vision).5. Alan Yuille: An important figure in the computational and statistical modeling of imaging. Work with Songchun Zhu onimage parsing won the Marr prize.6. Yingnian Wu: An important figure in the computational and statistical modeling of imaging. Won the Marr prize honorable metion twice: work with Songchun Zhu on texture modeling, and on deformable template.7. Johannes Schmidt-hieber: Young statistician, but known for his deep statistical work on the inter-layer sparsity theory on the deep neural network. Frequent invited speaker to premier statistical conferences or workshops (I met him at the 2018 Columbia Statistics workshop).等很多著名专家学者。

黎曼假设

内涵概述2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。

每个问题的奖金均为100万美元。

其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。

黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。

具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。

即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。

内容方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。

这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。

在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。

著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

理论形成来源几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。

除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。

）1730年，欧拉在研究调和级数：Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。

(1)时，发现：Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/ p)^-1。

(2)其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。