希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform,HHT)

希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）

0 前言

传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。

希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。

1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。

1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。

1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。

HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成：

第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。

第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。

简单说来，HHT处理非平稳信号的基本过程是：首先，利用EMD方法将给定的信号分解为若干IMF，这些IMF是满足一定条件的分量；然后，对每一个IMF进行Hilbert变换，得到相应的Hilbert谱，即将每个IMF表示在联合的时频域中；最后，汇总所有IMF的Hilbert谱就会得到原始信号的时间-频率-能量分布，即Hilbert谱。

在HHT中，为了能把复杂的信号分解为简单的单分量信号的组合，在进行EMD方法时，所获得的IMF 必须满足下列两个条件：

1）在整个信号长度上，一个IMF的极值点和过零点数目必须相等或至多只相差一点。

2）在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为零，也就是说IMF的上下包络线对称于时间轴。

满足上述两个条件的IMF 就是一个单分量信号。

连续时间信号)(t x 的Hilbert 变换)(ˆt x 定义为：

τττπτττππd t x d t x t t x t x ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=*=)(1)(11)()(ˆ.

2 HHT 理论

经验模态分解（Empirical Mode Decomposition ，EMD ）

对于给定的信号，Huang 所介绍的EMD 方法是：

（1）首先找到信号的极大值和极小值，用三次样条插值拟合上下包络线)(t u 和)(t v ，计算上下包络线在每一点上的平均值，从而获得一平均值曲线1m ，即2/)]()([1t v t u m +=；

（2）设分析信号为)(t x ，用)(t x 减去平均值)(1t m ，即11)(m t x h -=.

如果，1h 满足IMF 的两个条件，那么1h 就是)(t x 的第一个IMF 分量；否则，将1h 作为原始信号，重复（1）（2），得上下包络的平均值11m ，再判断11111m h h -=是否满足IMF 的两个条件；若不满足，重复循环k 次，得到k k k m h h 1)1(11-=-，直到k h 1满足IMF 的两个条件。记1c 为信号)(t x 经EMD 得到的第1个IMF 分量。

其中，有两种不同的筛分停止标准：

①类似柯西收敛准则的()()

∑∑

=-=--=T

t k T

t k

k k h h h SD 021102111；当k SD 小于一个预定值时，筛选停止。 ②筛分次数预先选定，在s 次连续筛选内，当零点数和极点数相等或最多相差一个，筛选过程将停止。困难：如何设定筛选次数？

（3）将1c 从)(t x 中分离出来，得到11)(c t x r -=；

将1r 作为原始数据，重复（1）～（3），得到)(t x 的第2个IMF 分量2c ；重复循环n 次，得到信号)(t x 的n 个IMF 分量，则有

n n

i i r c t x +=∑=1

)(

式中n r 称为残余分量，分解结束时是一个恒定值或单调函数，代表信号的平均趋势。

上面的分解过程可以解释为尺度滤波过程，每一个IMF 分量都反映了信号的特征尺度，代表着非线

性非平稳信号的内在模态特征。

Hilbert 谱分析（Hilbert Spectrum Analysis ，HSA ）

获得了信号的IMF 分量以后，即可对每一阶IMF 做Hilbert 变换；设)(t c i 的Hilbert 变换为)(ˆt c i ，则有

τττπτττππd t c d t c t t c t c i i i i ⎰⎰+∞∞+∞∞-=-=*=--)(1)(1

1

)()(ˆ

从而，信号)(t x 的解析信号（analytic signal ）为

)()()(ˆ)()(t j i i i i i e t a t c

j t c t z θ=+= 这里)(ˆ)()(22t c t c t a i i i +=，即瞬时振幅；⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=)()(ˆ)(t c t c arctg t i i i θ，即瞬时相位。

解析信号的极坐标形式反映了Hilbert 变换的物理含义：它通过一正弦曲线的频率和幅值调制获得局部的最佳逼近。

根据瞬时频率的定义，IMF 分量的瞬时频率为

dt t d t i i )()(θω=，dt t d t f i i )(21)(θπ=. 于是，⎰==+=T i i dt t j i t j i i i i e t a e t a t c j t c t z 0)()()()()(ˆ)()(ωθ.

对每一阶IMF 作Hilbert 变换，并求出相应的解析函数的幅值谱和瞬时频率，从而原始信号)(t x 可以表示为

∑∑

∑∑====⎰====n i dt j i n i n i n

i t j i i i i i e t a e t a t z t c t x 1111)()(Re )(Re )(Re )()(ωθ

其数学表达式反映了HHT 是FT 的一种扩展形式。

上式反映了信号幅值、时间和瞬时频率之间的关系。信号的幅值可表示为时间、瞬时频率的函数),(t H ω，从而获得信号幅值的时间、频率分布——Hilbert 谱，即

∑

=⎰=n i dt j i i e t a t H 1

)(),(ωω 进而，对时间积分可获得信号的Hilbert 边际谱

⎰=T dt t H h 0),()(ωω.

),(t H ω描述了信号的幅值在整个频率上随时间和频率的变化规律；

而)(ωh 描述了信号在每个频率上的总振幅（或能量）。

3 HHT 的优点