中考数学规律性问题归纳

初中数学规律性问题归纳•【教学目标】 理解并掌握规律探究性问题的方法 •【重点难点】 理解并掌握规律探究性问题的方法 •【基础知识】专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例， 通过观察、类比、归纳，发现题目 所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、 文字的 表述、 题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、 分析数据，处理信息的能 力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题 。

解题策略和解法精讲规律 探索型问 题是指在一定条件下， 探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的 问题，它往往给出了一组变化了的数、 式子、图形或条件， 要求学生通过阅读、 观察、 分析、 猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题 能力， 观察、联想、归纳能力， 以及探究能力和创新能力． 题型可涉及填空、 选择或解答． •【例题讲解】（一 ） 与数与式有关的规律探究性问题 例 1 一组按规律排列的式子：－ _________ ，第 n 个式子是 （n 为正整数 ）． b 20 b 2 a a b 52，3n－b 8 b 11 b 3，b 4，⋯ （ab ≠0），其中第 7 个式子是 aa ［解析］ 第 7个式子是－ b a 7，第 n 个式子是 （－1）n a n .观察给出的一列数，发现这一列数的分母 a 的指 数分别是 1、2、3、4、⋯，与这列数的项数相同，故第 7 个式子的分母是 a 7，第 n 个式子的分母是 a n ；这 一列数的分子 b 的指数分别是 2、 5、8、11、⋯，这一组数首项为 2，从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于 3，第 n 项应为 2＋3（n －1）＝3n －1.故第 7个式子的分子是 b 3× 7－ 1＝b 20，第 n 个式子的分子是 b 3n －1； 特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第 7 个式子的符号为 n 负，第 n 个式子的符号为 （ －1） .例 2 小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪[解析 ] 从表格中能看出所得分数为从上图中，我们能看出这一组数的增幅不相等，但是增幅以 二次函数．设挪动 n 颗珠子时 （n 为大于 1的整数 ）, 所得分数为 y n ＝ an 2＋bn ＋c ，4a ＋ 2b ＋ c ＝5，由题意得 9a ＋ 3b ＋ c ＝11， 16a ＋4b ＋c ＝19，－1 为手的示意图，在各个手指间标记字母 A ，B ，C ，D.请你按图中箭 头所指方向 （即 A →B →C →D →C →B →A →B →C →⋯的方式 ），从 A 开始数连续的正整数 1， 2，3，4，⋯，当 数到 12 时，对应的字母是 ； 当字母 C 第 201 次出现时，恰好 数到的数是 ；当字母 C 第 2n ＋ 1 次出现时 （n 为正整数 ） ， 恰好数到的数是 （ 用含 n 的代数式表示 ） ．[解析 ] 通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现 .12除以6 刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，∴最后一个字母应该是 B. 当字母 C 第 201动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：分时，则挪动的珠子数为 按表中规律，当所得分数为 71 （n 为大于 1 的整数 ）, 所得分数为颗； 当挪动 n 颗珠子时（用含 n 的代数式表示 ）． a ＝1， 解得 b ＝ 1，c ＝－ 1，∴y n ＝ n 2＋ n － 1. 令 y n ＝ 71，解得n ＝ 例3如图Z22 的幅度在增加，∴所得分数是挪动珠子数的 5、11、19、29、⋯8.次出现时，由于每组字母中 C 出现两次，则这组字母应该出现 100 次后还要加一次 C 字母 出现，而第一个 C 字母在第三个出现，∴ 100×6＋3＝603.当字母 C 第 2n ＋1 次出现时，则 这组字母应该出现 2n 次后还要加一次 C 字母出现，∴应该是 n×6＋ 3＝6n ＋ 3.例 4 如图 Z2－ 2所示，已知 Rt △ ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，过直角顶点 C 作CA 1⊥AB ，垂足为 A 1，再过 A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为 C 1，过 C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为 A 2， 再过 A 2作 A 2C 2⊥ BC ，垂足为 C 2，⋯， 这样一直作下去， 得到了一组线段 CA 1，A 1C 1，C 1A 2， A 2C 2，⋯， A n C n ，则 A 1C 1＝ _4 2n_____ ， A n C n ＝ __6·5 __________ ． ［解析］ 在Rt △ ABC 中， AC ＝ 6，BC ＝ 8，利用勾股定理得 AB ＝ 10，可由△ A 1CA ∽△ CBA 计24 ab 96 4 2n 算得CA 1＝ 5 （也可由 Rt △ ABC 斜边上的高 h ＝ c 求得），同理可求A 1C 1＝ 25，A n C n ＝6·5 .例5例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A （0，4），点B 是 x 轴正半轴上的整点，记△ AOB 内部（不包括边界 ）的整点个数为 m. 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 ______ ；当点 B 的横坐标为 4n （n 为正整数 ）时， 示 ） ． ，再找出点 B 的横坐标与△ AOB 内部（不不包括边界3或 4；学生通过在试卷上精确作图，能够发现当 n ＝1 时，点 B 的横坐标为 4，此时 m ＝3；当n ＝2时，点 B 的横坐标为 8，此时 m ＝9；当 n ＝3时，点 B 的横坐标为 12，此时 m边界 ）的整点 m ＝3 m ＝1）， 点，∴当 m ＝3 时，点 B 的横坐标的所有可能＝15.我们能够发现 3、9、15为首项为 3，公差为 6 的等差数列，很容易能够得到 6n －3. 此类题解答的关键是先练后想，通过精确作图，列出关于两个变量变化情况的表格，再通过寻找数式规律得到解答．例 6 在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图 Z2－ 4所示，点 A 的坐标为（1， 0），点 D 的坐标为（0，2）．延长 CB交 x轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1交 x轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1⋯按这样的规律进行下去，第 3 个正方形的面积为 _____________________________________________________________________________________ ；第n个正方形的面积为______ （用含 n 的代数式表示）.［解析］ 观察图形可知，正方形都相似，△ A 1B 1A 2∽△ A 2B 2A 3， 这些三角形的三边比等于 1∶2∶ 5，可求出 A 1B 1∶AB ＝2∶ 3. 同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于 3∶2，∵第 1个正方形的面积为 5，∴ 2 个正方形的面积为 5(23)2，第 3 个正方 以平面直角坐标系为载体的规律探究性问题，体现了“数”与“形”的完美结 系中研究几何图形， 实现线段长度和点的坐标的正确转换是关键， 要注自变化的规律以及两者之间的关系．解决问题的方法与前两种类型一致．例 7 在下表中， 我们把第 i 行第 j 列的数记为 a i ，j ( 其中 i ，j 都是不大于 对于表中的每个数 a i ，j 规定如下：当 i ≥j 时，a i ，j ＝1；当 i<j 时， ＝1时，a i ，j ＝a 2，1＝1.按此规定， a 1，3＝ ____________________________________________ ；表中的 25个数中，共有 _______ 个 1； 计算 a 1，1·a i ，1＋ a 1，2· a i ，2＋a 1，3·a i ，3＋a 1，4·a i ，4＋a 1，5·a i ，5 的值为 ___________定义新运算是指用一种新的运算符号或表达式表示一种新的运算规则，解决此类题的关形的面积为，第 n 个正方形的面积为 5 32［解析］ a 1，3＝ 0；按照 上的五个数， 方格中排序可知 从而可知 为要正确理解新定义的算式含义， 转化为一般将数值代入算式中， 再把它 ，满足[达标检测 ]A 组1..对于任意两个实数对（ a ， b ）和（ c ， d ），规定：当且仅当 a ＝c 且 b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“ ”：（ a ，b ） （c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）（p ，q ）=（5，0），则 p ＝，q ＝．2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 正方形 A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2B 1、A 3B 3C 3B 2, ⋯ ,按如图所示的方式放置. 点 A 1、A 2、A 3, ⋯和 B 1、B 2、B 3, ⋯分别在直线 y=kx+b 和 x 轴上. 已知 C 1（1, -1）, C 732（ 7, 3 ）, 则点 A 3的坐标是 . 22图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ 4、若 x 是不等于 1 的实数，我们把 1 称为 x 的差倒数，如 2的差倒数是 1 1， 1的1 x 1 21 1 1差倒数为 ，现已知 x 1 1 ， x 2是 x 1的差倒数， x 3 是 x 2的差倒数， x 4 是 x 3的1 （ 1）2 13第2题 3、将边长分别为 1、 2、 3、 4 19、20 的正方形置于直角坐标系第一象限，如 第3差倒数，⋯⋯，依次类推，则 x 2012 = ▲5、观察图给出的四个点阵， s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第 n 个点阵中的点的个数 s为（）A.3n ﹣ 2B.3n ﹣ 1C.4n+1D.4n ﹣ 3B 组6、如图所示，直线 y ＝x ＋ 1与y 轴相交于点 A 1，以 OA 1为边作正方形 OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝ x ＋ 1相交于点A2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2， 记作第二个正方形； 同样延长 C 2B 2 与直线 y ＝x ＋1 相交于点 A 3，再以 C 2A 3 为边作正方 形 C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形； ⋯ ，依此类推， 则第 n 个正方形的边长为 ______________________________ ．设 S S 1 S 2 ⋯ S n ，则 S= ______________________ （用含 n 的代数式表示，其中n为正整数 ）。