菲克定律应用

1扩散动力学方程一一菲克定律

1.1菲克第一定律 1.1.1宏观表达式

1858年，菲克（Fick ）参照了傅里叶（Fourier ）于1822年建立 的导热方程，建立定量公式

在t 时间内，沿x 方向通过x 处截面所迁移的物质的量 m 与x 处

分布

的浓度梯度成正比：

C m A t x 即如

D （_C ）

Adt

x

根据上式引入扩散通量概念，则

1 . 1 1

1

1

有:

(7-1)

图7-1扩散过程中溶质原子的

( C-C)

繞扩ft 石

原始状畚

盘蚌#态

式(7-1)即菲克第一定律。

式中J 称为扩散通量，常用单位是mol / ( cm 2 s);

散原子面密度分别为n 1和n 2,若n 1=巳，则无净扩散流。

假定原子在平衡位置的振动周期为 T 则一个原子单位时间内离 开相对平衡位置跃迁次数的平均值，即跃迁频率

为

丄

(7-2)

由于每个坐标轴有正、负两个方 向，所以向给定坐标轴正向跃迁的几率 是

1

。

6

设由平面I 向平面2的跳动原子通 量为J 12，由平面2向平面1的跳动原

模型

-C 浓度梯度； x

D 扩散系数，它表示单位浓度梯度下的 通量，单位为 cm 2/s 或 m 2 / s ； 负号表示扩散方向与浓度梯度方向相 反见图7-2。

1.1.2微观表达式

微观模型：

设任选的参考平面1、平面2上扩

图7-2溶质原子流动

的方向与浓度降低的方

向相一致

图7-3 一维扩散的微观

子通量为J 21

(见图7-3)，贝卩由式(7-5)、式(7-6)得

式(7-8)反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系，是扩散 系数的微观表达式。

三维情况下，对于各向同性材料(D 相同)，则

C C C

/-7 C\

J J x J y J z D(i j k ) D C

(7-9)

XXX

式中： i j k 为梯度算符。

x x x

对于各向异性材料，扩散系数 D 为二阶张量，这时，

J 12

1 6n

i

1 6n

2

(7-3)

注意到正、反两个方向，则通过平面

J i

J 12 J 21

而浓度可表示为

1沿x 方向的扩散通量为

(7-5)

(7-6)

式(7-6)中的1表示取代单位面积计算,

表示沿扩散方向的跳动距离

J 1

C 1

C 2

1

6(6 C 1)

2

dC dx

式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式，其中

dC

D

(7-7)

dx

J x D 11D 12D 13 J y D 21 D 22 D 23 J z

D 31 D 32 D 33

x

（7-10）

对于菲克第一定律，有以下三点值得注意：

（1）式（7-1）是唯象的关系式，其中并不涉及扩散系统内部原 子运动的微观过程。

（2）扩散系数反映了扩散系统的特性，并不仅仅取决于某一种 组元的特性。

（3）式（7-1）不仅适用于扩散系统的任何位置，而且适用于扩 散过程的任一时刻。其中，J 、D 、卫可以是常量，也可以是变量，

x

即式（7-1）既可适用于稳态扩散，也可适用于非稳态扩散。 1.2菲克第二定律

当扩散处于非稳态，即各点的浓度随时间而改变时，利用式（7-1） 不容易求出C （x,t ）。但通常的扩散过程大都是非稳态扩散，为便于求 出C （x,t ），菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微分方程式。

1.2.1 一维扩散

x C x C

如图7-4所示，在扩散方向上取体积元

Ax, J x和J x x分别表示流入体积元及流出体

积元的扩散通量，则在t时间内，体积元中

扩散物质的积累量为

m (J x A J x x A) t图7-4扩散流通过微小体

则有m J x J x x 积的情况

xA t x

当x、t > 0时，有C J

t x

将式（7-1）代入上式得

C(D--) (7-11)

t x x

如果扩散系数D与浓度无关, 则式（7-11）可写成

C2C

t D 2

x

(7-12)

般称式（7-11）、式（7-12）为菲克第二定律。

122三维扩散

（1）直角坐标系中

C C C

—(D ) (D ) (D )

x x y y z z

当扩散系数与浓度无关，即与空间位置无关时,

(7-13)

D( 2C 2C

2

y 2C 2 z

7 P[—(r t r

(7-17) (3)球坐标系中

r sin d ，则有:

(7-18)

(7-14) 或简记为:

D 2C

(7-15)

式中：2

2

—为Laplace 算符。

(2)柱坐标系中

通过坐标变换

rC

°s

，体积元各边为dr ，rd ，dz ， r si n

则有:

C 1

{ (rD t r r (7-16)

CO

r

D C C (

) (rD )}

r

z z

对柱对称扩散，且 D 与浓度无关时有

通过坐标变换

r sin rsin r cos

cos

sin ，体积元各边为 dr rd ，

1 sin

(Dsin

C) —-2C} ・2 2 J

sin