第十章 微扰论

体系能量的二级近似 ，等等
(0) n
(1) n
(2) n
体系状态的零级近似（未受扰 时的状态） 体系状态的一级近似
体系状态的二级近似，等等
将(2)、(5)、(6)式代入(1)式，比较两边的同级项相等， 可得各级近似下的方程：
(Hˆ 0
E(0) n
)
(0) n
0
(7)
(Hˆ 0
E(0) n
)
(1) n
Hˆ
'
(0 k
)
微扰矩阵元
(21)
（二）2级近似
根据(12)式，能级k的2级微扰近似：
E(2) k
(0) k
Hˆ
'
(1) k
(0) k
Hˆ
'
n
' Hnk '
(0)
E(0) k
E(0) n
n
n
' Hnk '
E(0) k
E(0) n
(0) k
Hˆ
'
(0) n
利用微扰算符的厄米性：
Hkn'=
(0) m
Hˆ 0
E (0)
(0)
n
k
a(1) n
(0) (0)
m
n
n
n
E (1) (0) (0)
k
m
k
(0) m
Hˆ
'
(0) k
a E (1) (0) nn
E (0) (0)
(0)
m
n
k
a(1) n
(0) (0)
m
n
n
n
E (1) (0) (0)
k
mk
(0) m
Hˆ
级近似其精度就足够了。如果一级能量近似H'kk=0 就需要求二级近似，但态矢求到一级近似即可。
③ 用微扰论处理问题时, 要恰当地选取H0, 在有的 问题中H0与H' 的划分是很显然的, 但在有的问题中 要根据如何使计算简化来决定H0与H' 的划分，同 时还要兼顾计算结果的可靠性。
④ 如能级简并，微扰公式 (25)、(26)式不再适用, 需要用另外的办法来处理（§3简并定态微扰论）。 因为微扰适用条件(27)式无穷大
H0表象基矢的封闭性
将(23)式代入(9)式，并利用(13)、(19)、(22)式，可 得结果：
(2) k
n
'{
j
'
[
E(0) k
Hnj H jk
En(0
)
][
E(0) k
E(0) j
]
Hnk Hkk
[
E(0) k
Hale Waihona Puke BaiduE(0) n
]2
}
(0) n
1
2
n
'
Hnk 2
[
E(0) k
E(0) n
]2
微扰适用条件(27)式表明：
（1）微扰矩阵元 Hnk '
=
(0) n
Hˆ
'
(0 k
)
要小 ；
（2）|Ek(0) – En(0)| 要大，即能级间距要宽。
例如：氢原子体系能量（能级）与量子数n2成反 比，即
En = -μe4 /2 2n2 ( n = 1, 2, 3, ...) 若计及电子自旋和轨道相互作用，可将其视为 微扰，此时就需要计算体系能级En的微扰修正 （即各级近似等）。由上式可见，当n大时，能 级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能 级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n 小）的修正。
Hnk '
E(0) k
E(0) n
（五）非简并微扰论的应用举例
例1：电介质的极化 在没有外加电场时，各项同 性介质中的荷电粒子（电荷q）在平衡位置附近振动，
可视为简谐振动。当沿+x方向施加一均匀电场 ，
则介质将在电场作用下产生极化现象。
1. 有外场时荷电粒子（电谐振子）的Hamilton量：
Hˆ h2 d 2 1 2 x2 q x 2 dx2 2
(0) k
Hˆ
'
(0) n
(0) n
Hˆ
'
(0) k
Hnk' Hnk'*
最后得到
E ( 2) k
n
' Hnk ' 2
E(0) k
E(0) n
(22)
态矢量的二级近似
(2) k
仿照其一级近似的推导，即
令
(2) k
(0) n
a (0) (2)
nk
(2) (0) nn
n
n
(23)
E(0) (0)
n
n
(1) n
E(1) n
(0) n
Hˆ
'
(0) n
E (0) (0) (1)
n
n
n
E (1) n
(0) n
Hˆ
'
(0 n
)
再次使用(10)式，得到
E (1) n
(0) n
Hˆ
'
(0 n
)
(11)
类似地，以
(0) n
左乘(9)式，并利用(10)式得
E(2) n
(0) k
(24)
带' 的求和表示求和时，n=k及j=k的项须摒弃。
综上，在二级近似下的k能级本征值和本征态分别为：
Ek
E(0) k
E (1) k
E(2) k
...
E(0) k
H kk
'
n
' Hnk ' 2
E(0) k
E(0) n
...
(25)
k
(0) k
(1) k
(2) k
...
(0) k
以下约定：波函数的各高级近似和零级近似均正交
(0) ( s)
n
n
0,
s 1, 2, ...
(10)
以
(0) n
左乘(8)式，并利用(10)式得
(0) n
Hˆ 0
(1) n
E (1) n
(0) n
Hˆ
'
(0 n
)
Hˆ 0
(0) n
(1) n
E(1) n
(0) n
Hˆ
'
(0) n
n
' Hnk '
E(0) k
E(0) n
(0) n
+
n
'{
j
'
[ Ek( 0 )
H
nj
H
jk
En(0) ][Ek(0)
E
( j
0)
]
Hnk Hkk
[ Ek( 0 )
E(0) n
]2
}
(0) n
1 2
n
'
H
nk
2
[Ek(0) En(0) ]2
(0) k
...
(26)
(25)、(26)式中的微扰矩阵元
(1) k
' Hnk '
(0)
n
E(0) k
E(0) n
n
(19)
上式中 ' 表示对n求和时，n=k的项必须摒弃。
n
综上，在一级近似下的k能级本征值和本征态分别为：
Ek
E(0) k
Hkk
'
(20)
k
(0) k
n
' Hnk '
(0)
E(0) k
E(0) n
n
其中
Hnk ' =
(0) n
(0)
n
n
（精
确解）求微扰后体系的 En、 n （近似解）。
为了明显表示出微扰的微小程度，暂时将其写为：
Hˆ Hˆ (1) (4)
其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ 的函数而将其展开成λ的幂级数(微扰级数)：
En
E(0) n
E (1) n
E (1) k
(0) k
Hˆ
'
(0) k
(13)
H' 的平均值
下面计算波函数的一级近似。
因为H0厄米，其本征函数
(0) n
正交、归一、完备，
故可将一级微扰近似波函数
(1) k
按
(0) n
展开
(1) k
a(1) (0)
n
n
n
(14) （H0表象）
(14)式代入(8)式（先将其中的脚标nk）
(0) n
Hˆ
'
(1) n
LLLLL
(12)
束缚定态微扰法的一般步骤
求解(7)式得到
E 、 (0) (0)
n
n
代入(11)式，
计算
E(1) n
解(9)式，
得到
(2) n
代入(12)式，
得到
E(2) n
解(8)式，
得到
(1) n
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
L
(5)
n
(0) n
（x 谐振子偏离平衡位置的位移）
将Hamilton量分成H0 + H' 两部分，只要电场 不太
大，上式最后一项很小，可看成微扰。
Hˆ 0
h2
2
d2 dx2
1 2
2 x2
Hˆ q x
未受扰Hamilton 微扰
微扰法求问题的近似解分成两类:
（1）体系Hamilton量不是时间的显函数—定态
问题
—— 定态微扰论（第10章）
（2）体系Hamilton量显含时间—状态之间的跃 迁问题 —— 含时微扰论（第11章）
（二）束缚定态微扰体系的基本方程
设体系的Hamilton量不显含时间t，则能量本征
值方程
Hˆ n En n
'
(0) k
利用H0本征态的正交归一性，得
其中
(
E(0) m
E(0) k
)am(1)
E(1) k mk
Hmk
'
(15)
H' 在H0表象的矩阵表示
Hmk
'
=
(0) m
Hˆ
'
(0 k
)
(16) 微扰矩阵元
(
E(0) m
E(0) k
)am(1)
E(1) k mk
Hmk
'
(15)
若m ＝ k，则
E (1) k
第十章 微 扰 论
本章要求
1. 掌握束缚定态（非简并和简并情况）微 扰理论。
2.了解原子在外电场中的能级分裂— 斯 塔克效应(定态微扰理论的应用) 。
第十章 微 扰 论
教学内容
§1 束缚定态微扰论 §2 非简并定态微扰论 §3 简并定态微扰论 §4 氢原子的Stark效应
§1 束缚定态微扰论
（一）引言
(1)
若H 可以分成两部分：
Hˆ Hˆ 0 Hˆ '
(2)
其中H0所描写的体系可以精确求解，即其本征方程
Hˆ 0
(0) n
E (0) (0)
n
n
(3)
可精确求解或已有已知解。 H0 称为体系的未受扰 Hamilton量，与之相比，H' 是一个小量，视为加 于H0上的微扰（其确切定义见§2分析）。
若没有微扰（ H' =0），则H就是H0，能量本征
值En和本征态 n
就是
E 、 (0)
(0)
n
n
；微扰的引入使得
体系的能级由
E(0) n
变为En，即能级发生移动（如图）
E(0) 4
E4
E(0) 3
E3
E(0) 2
E2
E(0) 1
E1
图1：受微扰后能级的移动
微扰论的目的就是利用受扰前的
E 、 (0)
前几章使用量子力学的基本理论解决了一些简 单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。
然而，对于大量的实际物理问题，体系的 Hamilton量通常比较复杂，Schrödinger方程少有 精确解。因此，在处理复杂的实际问题时，往往 采用合适的近似求解方法。
(Hˆ 0
E(0) k
)
a(1) (0)
n
n
n
以
(0) m
左乘上式，得
(
E (1) k
Hˆ
')
(0) k
Hˆ a E a (0)
m
0
(1) (0)
n
n
(0) (0)
m
k
(1) (0)
n
n
n
n
(0) m
E (1) (0)
k
k
(0) m
Hˆ
'
(0) k
a(1) n
（四）讨论
① 在一级近似下，能级k的本征态：
k
(0) k
n
' Hnk '
E(0) k
E(0) n
(0) n
其展开系数 Hnk '
E(0) k
E(0) n
反比于未受扰体系的
能级间隔，因此计算一级近似时只需取靠近
E(0) k
的几项即可，无需计算无限多项。
② 对满足适用条件(27)式的微扰问题，通常只求一
Hkk
'
(0) k
Hˆ
'
(0 k
)
此即为(13)式。
若m ≠ k，则
a(1) m
Hmk '
E(0) k
E(0) m
,
mk
(17)
根据(10)式的约定，
(0) (1)
k
k
(0) k
a(1) (0)
n
n
0
n
a(1) k
0
(18)
(17)、(18)两式代入(14)式，得到波函数的一级近似：
H k' k、H n' k、H n' j、H
'
jk
均可由(16)式计算。
（三）微扰理论适用条件
(25)、(26)两式的级数展开式必须收敛，为此需：
Hnk '
E(0) k
E(0) n
1,
nk
(27)
这就是§1开始时提到的关于H' 视为小量的明确表示 式。当这一条件被满足时，(25)、(26)两式通常可给 出相当精确的结果。
(1) n
(2) n
L
(6)
§2 非简并定态微扰论
假设未受微扰时，体系的能级
E(0) n
(n 1, 2,...)
不简并，取定某一能级
E(0) k
进行计算，则与之相
应的本征态唯一确定：
(0) k
（式(7) 解出或已有结果）
下面计算能量和波函数的各级微扰近似。
（一）1级近似 根据(11)式，能级k的1级微扰近似为：
(
E (1) n
Hˆ
')
(0) n
(8)
(Hˆ 0
E(0) n
)
(2) n
(
E (1) n
Hˆ
')
(1) n
+E (2) (0)
n
n
(9)
LLLLL
其中(7)式和(3)式一样，代表零级近似下(未受扰)体 系的能量本征方程，可以精确求解。
(7) ~ (9)式是束缚定态微扰体系的基本方程，是微 扰法的基础。
常用的近似方法：微扰论, 变分法, 绝热近似, 准经典近似等。
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天 体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就 是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的 二级效应。
例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由 于其它行星的影响，需要对轨道予以修正。在这种 情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球 作为二体系统，求出其轨道(无视扰动，可精确求 解)，然后研究这个轨道受其它行星的影响（视为 小扰动）而发生的变化。
E 2 ( 2) n
L
n
(0) n
(1) n
2
(2) n
L
得到E和 n 的级数展开后，为简单计再将抹去：
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
L
(5)
n
(0) n
(1) n
(2) n
L
(6)
E (0) n
体系能量的零级近似（未受扰 时的能量）
E (1) n
体系能量的一级近似
E ( 2) n