工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第6章 圆轴扭转
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π× 80 3 17 ⎞ ⎛ × 10 −9 ⎜1 − ( ) 4 ⎟ = 2883 N·m 16 20 ⎠ ⎝
习题 6－6 图
τ 套 max =
Mx Wp 2
T2 ≤ 60 × 10 6 ×
∴
Tmax ≤ T2 = 2883 N·m = 2.88 ×10 3 N·m
4
6－7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2，且 R1/R2 =n；二者所承受的外加扭转力偶矩分 别为 Mes 和 Meh。若二者横截面上的最大剪应力相等，试证明：
该轴的扭转强度是安全的。
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8
3
习题 6－5 图
解：1． τ 1 max =
Mx T T 3 × 10 3 × 16 = = = = 70.7 MPa WP WP π π× 0.06 3 d3 16
A1
2． M r =
∫
ρ ⋅ τdA =
∫
r
0
ρ⋅
2πM x r 4 Mx ρ ⋅ 2πρ d ρ = ⋅ 4 Ip Ip
Mr r4 r4 1 2π 2π 16r 4 15 = = = = 16 × ( ) 4 = = 6.25% 4 4 Mx 16 4I p 60 d d π 4⋅ 32 Mx T = 3． τ 2 max = =75.4MPa Wp 1 4⎞ π d3 ⎛ ⎜1 − ( ) ⎟ 16 ⎝ 2 ⎠
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 6 章) 范钦珊 唐静静
2006-12-18
1
第 6 章 圆轴扭转
6－ 1 扭转剪应力公式 τ ( ρ ) = M x ρ / I p 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 解：τ ( ρ ) = M x ρ I p 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。
16 M x
3 π d1
=
16 M x
3 π D2 (1 − α 4 )
即
d1 = (1 − α 4 ) 3 D2
1
（a）
二者重量之比
W1 A1 d2 = = 2 1 2 W2 A2 D2 (1 − α )
（b）
式（a）代入式（b） ，得
W1 (1 − α 4 ) = W2 1−α2
2 3
所以，正确答案是
6－2 两根长度相等、 直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后， 轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ 1 max 和 τ 2 max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。 （A） τ 1 max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1 max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ 1 max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ 1 max ＜ τ 2 max 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ 1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1 max > τ 2 max 。因此，正确答案是 C 。 6－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1 的实心圆轴与内、外径分别为 d2 、
该轴的扭转强度是安全的。
7
6 － 12 功率为 150kW 、转速为 15.4r/s( 转 / 秒 ) 的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=90mm，d3=75mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
习题 6－12 图
Me
解： （1）求外力偶矩
取直径为 11.1mm。 6 － 10 钢 质 实 心 轴 和 铝 质 空 心 轴 ( 内 外 径 比 值 α=0.6) 的 横 截 面 面 积 相 等 。 [τ ]钢 = 800 Mpa， [τ ]铝 = 50 Mpa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩? 解：设钢质轴截面积为 A，直径为 d；铝质轴截面积为 A’，外径为 D； 根据题意有 A＝A’，即 πd 2 πD 2 (1 − α 2 ) = 4 4 d 得到 D= 1−α 2 钢质轴承受之扭矩为： M x =
D2 (α = d 2 / D2 ) 的空心圆轴，二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有
如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A） (1 − α 4 ) 3 2 ； （B） (1 − α 4 ) 3 2 (1 − α 2 ) ； （C） (1 − α 4 )(1 − α 2 ) ； （D） (1 − α 4 ) 2 3 /(1 − α 2 ) 。 解：由 τ1 max = τ 2 max 得
τ max ( BC ) =
M xBC M xBC 1171 = = 3 πd 2 WP2 π × 50 ×10−3 16 16
(
)
3
= 47 ⋅ 7 MPa
2. 确定轴内最大相对扭转角 ϕ max
ϕ max = ϕ AB + ϕ BC
= = M xAB l2 M xBC l1 + GI P1 GI P2 2936 × 700 ×10−3 × 32 80.4 ×109 × π × 70 × 10-3
式中， M x = M e = 1kN ⋅ m = 1 × 10 6 N ⋅ m
IP =
πd 4
32
代入上式求得 τ A
32 6 = 1 × 10 × 50 = 20.4MPa 4 π 50 4 32
=
π 50 4
剪应变
γA =
τA
G
=
20.4 = 0.248 × 10 −3 3 82 × 10
（2）最大剪应力
τ max
M = x WP
6
WP =
πd 3
16
τ max = 1 × 103 = 40.7MPa π 50
16
单位长度相对扭转角：
θ=
dϕ M x 1 × 10 6 × 32 = = = 0.01987rad/m = 1.14 D / m dx GI P 82 × π 50 4
6 －9
已知圆轴的转速 n=300 r／min，传递功率 450 马力，材料的 [τ ] =60 MPa，
2R
M es
TS
M es
R2 R1
TS
M
Th eh
Th M eh
习题 6－7 图
M es 1 − n2 = M eh 1 + n2
解：因为长度和质量相等，所以面积也相等。于是有 2 2 π R0 =π ( R2 − R12 ) （a） （b）
τ max =
M es M es = 3 πd R3 π⋅ 0 16 2
M xAB = M e1 + M e2 = 1765 + 1171 = 2936 N ⋅ m
τ max ( AB ) =
M xAB M xAB 2936 = = πd13 π × 70 × 10-3 WPAB 16 16
(
)
3
= 43.6 MPa
BC 段：
M xBC = M e1 = 1171 N ⋅ m
Δτ ( ) − τ 1 max τ 1 α4 2 = 2 max = = = = 6.67% 4 1 15 τ τ 1 max 1−α 1 − ( )4 2 1
4
6－6 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD，在 D 处二者无接 触，而在 C 处焊成一体。轴的 A 端承受扭转力偶作用，如 图所示。已知轴直径 d＝66 mm，轴套外直径 D＝80 mm， 厚度 δ ＝6 mm；材料的许用剪应力
习题 6－11 图
解： （1）求外力偶矩
M x = 9.55
P 6 = 9.55 = 1.91kN ⋅ m 30 n
（2）按强度条件求轴的直径
M x = Me ，
α=
69 = 0.775 89
τ max
Mx 16 × 1.91 × 10 6 = = = 21.6MPa ≤ [τ ] WP π × 89 3 (1 − 0.775 4 )
(
)
4
+
1171× 500 × 10−3 × 32 80.4 × 109 × π × 50 × 10-3
(
)
4
= 1.084 ×10−2 + 1.187 ×10−2 = 2.271×10−2 rad
6—5 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩 Me=3 kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大剪应力； 2．轴横截面上半径 r＝15 mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉 r=15 mm 以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比。
16 M x 3 16 × 10.53 × 10 6 = = 96.3 π [τ ] π × 60
（3）按刚度条件求轴的直径
θ=
Mx ≤ [θ ] GI P
[θ ] = 1D / 2m =
π
180 × 2 × 10 3
rad/mm
6
D≥4
32M x 32 × 10.53 × 10 6 =4 = 110.6mm Gπ [θ ] 82 × 10 3 π [θ ]
G=82GPa。要求在 2m 长度内的相对扭转角不超过 1°，试求该轴的直径。 解： （1）求外立偶矩
M x = 7.02
P 450 = 7.02 = 10.53kN ⋅ m n 300
（2）按强度条件求轴的直径
Mx ≤ [τ ] WP
所以
16 M x ≤ [τ ] ， πD 3
Mx = Me
D≥3
M x = 9.55
P 150 = 9.55 = 1.55 × 10 6 N ⋅ mm n 15.4 × 60
（2）按强度条件求轴的直径
M x = Me ，
最小直径为 d 5 ， 则
WP =
πd 5 3
16
τ max
M x 16 × 1.55 × 10 6 = = = 28.8MPa ≤ [τ ] WP π × 65 3
D 。
6－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1＝1765N·m，Me2＝ 1171 N·m，材料的切变模量 G＝80.4 GPa，求：
2
1．轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2．轴内最大相对扭转角 ϕ max 。
Me1
Me2
习题 6－4 图
解：1. 确定最大剪应力 AB 段：
M eh π(2 R2 ) 3 (1 − n 4 ) 16
τ max =
（c）
由（b） 、 （c）二式，得
M es R3 = 3 0 4 M eh R2 (1 − n )
（d）
由（a）式有
2 2 R0 = R2 − R12
将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：
3 3 3 2 M es ( R2 − R12 ) 2 (1 − n 2 ) 2 (1 − n 2 ) 2 1− n2 = = = 3 = M eh R2 (1 − n 4 ) 1− n4 (1 − n 2 )(1 + n 2 ) 1 + n 2
6－8 图示圆轴的直径 d=50mm，外力偶矩 M e = 1kN ⋅ m ，材料的 G=82GPa。试求： (1) 横截面上 A 点处( ρ A = d / 4 )的剪应力和相应的剪应变；(2)最大剪应力和单位长度相对扭转 角。
Me
Me
习题 6－8 图
解： （1）A 点的剪应力
5
τA =
Mx ρ IP
[τ ]＝60 MPa。求：结构
所能承受的最大外力偶矩。 Mx T1 ≤ 60 × 10 6 解： τ 轴 max = W = 3 π d p1 16
T1 ≤ 60 × 10 6 × π× 66 3 × 10 −9 = 3387 N·m 16 T2 = ≤ 60 × 10 6 3 d ⎛ π 68 4 ⎞ ⎜1 − ( ) ⎟ 16 ⎝ 80 ⎠
πd 3
16
× 80
铝质轴承受之扭矩为： M ' x = 两者之比为：
πD 3 (1 − α 4 )
16
× 50
Mx (1 − α 2 ) 3 / 2 × 80 = = 0.941 M 'x (1 − α 4 ) × 50 所以，铝质空心轴承受较大扭矩。
6－11 化工反应器的搅拌轴由功率 P=6kW 的电动机带动，转速 n=0.5r/min，轴由外径 D=89mm、 壁厚 t=10mm 的钢管制成， 材料的许用剪应力 [τ ] = 50 Mpa。 试校核轴的扭转强度。
习题 6－6 图
τ 套 max =
Mx Wp 2
T2 ≤ 60 × 10 6 ×
∴
Tmax ≤ T2 = 2883 N·m = 2.88 ×10 3 N·m
4
6－7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2，且 R1/R2 =n；二者所承受的外加扭转力偶矩分 别为 Mes 和 Meh。若二者横截面上的最大剪应力相等，试证明：
该轴的扭转强度是安全的。
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3
习题 6－5 图
解：1． τ 1 max =
Mx T T 3 × 10 3 × 16 = = = = 70.7 MPa WP WP π π× 0.06 3 d3 16
A1
2． M r =
∫
ρ ⋅ τdA =
∫
r
0
ρ⋅
2πM x r 4 Mx ρ ⋅ 2πρ d ρ = ⋅ 4 Ip Ip
Mr r4 r4 1 2π 2π 16r 4 15 = = = = 16 × ( ) 4 = = 6.25% 4 4 Mx 16 4I p 60 d d π 4⋅ 32 Mx T = 3． τ 2 max = =75.4MPa Wp 1 4⎞ π d3 ⎛ ⎜1 − ( ) ⎟ 16 ⎝ 2 ⎠
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 6 章) 范钦珊 唐静静
2006-12-18
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第 6 章 圆轴扭转
6－ 1 扭转剪应力公式 τ ( ρ ) = M x ρ / I p 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 解：τ ( ρ ) = M x ρ I p 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。
16 M x
3 π d1
=
16 M x
3 π D2 (1 − α 4 )
即
d1 = (1 − α 4 ) 3 D2
1
（a）
二者重量之比
W1 A1 d2 = = 2 1 2 W2 A2 D2 (1 − α )
（b）
式（a）代入式（b） ，得
W1 (1 − α 4 ) = W2 1−α2
2 3
所以，正确答案是
6－2 两根长度相等、 直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后， 轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ 1 max 和 τ 2 max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。 （A） τ 1 max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1 max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ 1 max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ 1 max ＜ τ 2 max 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ 1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1 max > τ 2 max 。因此，正确答案是 C 。 6－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1 的实心圆轴与内、外径分别为 d2 、
该轴的扭转强度是安全的。
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6 － 12 功率为 150kW 、转速为 15.4r/s( 转 / 秒 ) 的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=90mm，d3=75mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
习题 6－12 图
Me
解： （1）求外力偶矩
取直径为 11.1mm。 6 － 10 钢 质 实 心 轴 和 铝 质 空 心 轴 ( 内 外 径 比 值 α=0.6) 的 横 截 面 面 积 相 等 。 [τ ]钢 = 800 Mpa， [τ ]铝 = 50 Mpa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩? 解：设钢质轴截面积为 A，直径为 d；铝质轴截面积为 A’，外径为 D； 根据题意有 A＝A’，即 πd 2 πD 2 (1 − α 2 ) = 4 4 d 得到 D= 1−α 2 钢质轴承受之扭矩为： M x =
D2 (α = d 2 / D2 ) 的空心圆轴，二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有
如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A） (1 − α 4 ) 3 2 ； （B） (1 − α 4 ) 3 2 (1 − α 2 ) ； （C） (1 − α 4 )(1 − α 2 ) ； （D） (1 − α 4 ) 2 3 /(1 − α 2 ) 。 解：由 τ1 max = τ 2 max 得
τ max ( BC ) =
M xBC M xBC 1171 = = 3 πd 2 WP2 π × 50 ×10−3 16 16
(
)
3
= 47 ⋅ 7 MPa
2. 确定轴内最大相对扭转角 ϕ max
ϕ max = ϕ AB + ϕ BC
= = M xAB l2 M xBC l1 + GI P1 GI P2 2936 × 700 ×10−3 × 32 80.4 ×109 × π × 70 × 10-3
式中， M x = M e = 1kN ⋅ m = 1 × 10 6 N ⋅ m
IP =
πd 4
32
代入上式求得 τ A
32 6 = 1 × 10 × 50 = 20.4MPa 4 π 50 4 32
=
π 50 4
剪应变
γA =
τA
G
=
20.4 = 0.248 × 10 −3 3 82 × 10
（2）最大剪应力
τ max
M = x WP
6
WP =
πd 3
16
τ max = 1 × 103 = 40.7MPa π 50
16
单位长度相对扭转角：
θ=
dϕ M x 1 × 10 6 × 32 = = = 0.01987rad/m = 1.14 D / m dx GI P 82 × π 50 4
6 －9
已知圆轴的转速 n=300 r／min，传递功率 450 马力，材料的 [τ ] =60 MPa，
2R
M es
TS
M es
R2 R1
TS
M
Th eh
Th M eh
习题 6－7 图
M es 1 − n2 = M eh 1 + n2
解：因为长度和质量相等，所以面积也相等。于是有 2 2 π R0 =π ( R2 − R12 ) （a） （b）
τ max =
M es M es = 3 πd R3 π⋅ 0 16 2
M xAB = M e1 + M e2 = 1765 + 1171 = 2936 N ⋅ m
τ max ( AB ) =
M xAB M xAB 2936 = = πd13 π × 70 × 10-3 WPAB 16 16
(
)
3
= 43.6 MPa
BC 段：
M xBC = M e1 = 1171 N ⋅ m
Δτ ( ) − τ 1 max τ 1 α4 2 = 2 max = = = = 6.67% 4 1 15 τ τ 1 max 1−α 1 − ( )4 2 1
4
6－6 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD，在 D 处二者无接 触，而在 C 处焊成一体。轴的 A 端承受扭转力偶作用，如 图所示。已知轴直径 d＝66 mm，轴套外直径 D＝80 mm， 厚度 δ ＝6 mm；材料的许用剪应力
习题 6－11 图
解： （1）求外力偶矩
M x = 9.55
P 6 = 9.55 = 1.91kN ⋅ m 30 n
（2）按强度条件求轴的直径
M x = Me ，
α=
69 = 0.775 89
τ max
Mx 16 × 1.91 × 10 6 = = = 21.6MPa ≤ [τ ] WP π × 89 3 (1 − 0.775 4 )
(
)
4
+
1171× 500 × 10−3 × 32 80.4 × 109 × π × 50 × 10-3
(
)
4
= 1.084 ×10−2 + 1.187 ×10−2 = 2.271×10−2 rad
6—5 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩 Me=3 kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大剪应力； 2．轴横截面上半径 r＝15 mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉 r=15 mm 以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比。
16 M x 3 16 × 10.53 × 10 6 = = 96.3 π [τ ] π × 60
（3）按刚度条件求轴的直径
θ=
Mx ≤ [θ ] GI P
[θ ] = 1D / 2m =
π
180 × 2 × 10 3
rad/mm
6
D≥4
32M x 32 × 10.53 × 10 6 =4 = 110.6mm Gπ [θ ] 82 × 10 3 π [θ ]
G=82GPa。要求在 2m 长度内的相对扭转角不超过 1°，试求该轴的直径。 解： （1）求外立偶矩
M x = 7.02
P 450 = 7.02 = 10.53kN ⋅ m n 300
（2）按强度条件求轴的直径
Mx ≤ [τ ] WP
所以
16 M x ≤ [τ ] ， πD 3
Mx = Me
D≥3
M x = 9.55
P 150 = 9.55 = 1.55 × 10 6 N ⋅ mm n 15.4 × 60
（2）按强度条件求轴的直径
M x = Me ，
最小直径为 d 5 ， 则
WP =
πd 5 3
16
τ max
M x 16 × 1.55 × 10 6 = = = 28.8MPa ≤ [τ ] WP π × 65 3
D 。
6－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1＝1765N·m，Me2＝ 1171 N·m，材料的切变模量 G＝80.4 GPa，求：
2
1．轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2．轴内最大相对扭转角 ϕ max 。
Me1
Me2
习题 6－4 图
解：1. 确定最大剪应力 AB 段：
M eh π(2 R2 ) 3 (1 − n 4 ) 16
τ max =
（c）
由（b） 、 （c）二式，得
M es R3 = 3 0 4 M eh R2 (1 − n )
（d）
由（a）式有
2 2 R0 = R2 − R12
将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：
3 3 3 2 M es ( R2 − R12 ) 2 (1 − n 2 ) 2 (1 − n 2 ) 2 1− n2 = = = 3 = M eh R2 (1 − n 4 ) 1− n4 (1 − n 2 )(1 + n 2 ) 1 + n 2
6－8 图示圆轴的直径 d=50mm，外力偶矩 M e = 1kN ⋅ m ，材料的 G=82GPa。试求： (1) 横截面上 A 点处( ρ A = d / 4 )的剪应力和相应的剪应变；(2)最大剪应力和单位长度相对扭转 角。
Me
Me
习题 6－8 图
解： （1）A 点的剪应力
5
τA =
Mx ρ IP
[τ ]＝60 MPa。求：结构
所能承受的最大外力偶矩。 Mx T1 ≤ 60 × 10 6 解： τ 轴 max = W = 3 π d p1 16
T1 ≤ 60 × 10 6 × π× 66 3 × 10 −9 = 3387 N·m 16 T2 = ≤ 60 × 10 6 3 d ⎛ π 68 4 ⎞ ⎜1 − ( ) ⎟ 16 ⎝ 80 ⎠
πd 3
16
× 80
铝质轴承受之扭矩为： M ' x = 两者之比为：
πD 3 (1 − α 4 )
16
× 50
Mx (1 − α 2 ) 3 / 2 × 80 = = 0.941 M 'x (1 − α 4 ) × 50 所以，铝质空心轴承受较大扭矩。
6－11 化工反应器的搅拌轴由功率 P=6kW 的电动机带动，转速 n=0.5r/min，轴由外径 D=89mm、 壁厚 t=10mm 的钢管制成， 材料的许用剪应力 [τ ] = 50 Mpa。 试校核轴的扭转强度。