上海复旦附中2017-2018学年高一上学期期末数学试题
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期-数学
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分 考试时间：100分钟 所有答案都写在答题纸相应位置上） 一、填空题（每题4分，共48分）1．函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________。
2．设函数()2211222+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩x x f x x x x x ，若()3=f x ，则=x __________。
3．已知幂函数()α=f x x 是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 。
请写出一个满足条件的α的值，α=__________。
4．函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1-=f x __________ 5．函数()212log 23=--y x x 的递增区间是__________6．函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 的图像与函数3log =-y x 的图像关于直线__________对称。
7．已知5log 3=a ，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________。
8．方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________。
9．若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10．若函数()232622⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩xx ax x f x x 的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________。
11．已知函数()10lg 0⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，若方程()=f x a 有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 。
则1234+++x x x x 的取值范围为__________。
12．已知函数⑴()3ln =f x x ；⑵()231=+f x x ；⑶()3=x f x e ；⑷()3=f x x。
2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．6.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a >-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x 的最小值为__________11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A .4 B.6 C.8 D.915.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1 B.2 C.3 D.416.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0 B.{S }=1且{T }=1 C.{S }=2且{T }=2 D.{S }=2且{T }=3三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________【答案】{1,2}-【分析】先求出集合B ，再求出U C B ，最后求出U A C B ⋂．【详解】由题意得{}{}2|0,1B x x x ===，∴()()(),00,11,U C B ∞=-⋃⋃+∞，∴{}1,2U A C B ⋂=-．故答案为{}1,2-．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的逆命题为“如果0a >且0b >，那么0a b +>”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________【答案】[4,14]-【分析】分别求出集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}(){}{}22|23|14|4A y y x x y y x y y ==--==--=≥-，{}{}{}22|213|(1)14|14B y y x x y y x y y ==-++==--+=≤，∴[]4,14A B ⋂=-．故答案为[]4,14-．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于简单题．4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________【答案】13a >【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设{}1|,|12322A x a x a B x a x a ⎧⎫=≤≤+=-<<+⎨⎬⎩⎭，∵“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，∴A B ，∴1232121322a a a a a a ⎧⎪-<+⎪-<⎨⎪⎪+<+⎩，解得13a >，∴实数a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn 图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．【答案】4【详解】根据M ∪N ⊆{a ，b ，c}而M 中没有c 元素，所以N 集合中一定要有c 元素，可能有a,b 元素且N 为非空集合，所以N 可以为{c}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}共4个．故答案为46.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________【答案】2【分析】由题意得不等式()()2213160ax a x -+-+≥的解集为[]2,1-，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数()f x =的定义域为[]2,1-，∴不等式()()2213160a x a x -+-+≥的解集为[]2,1-，∴2,1x x =-=是方程()()2213160a x a x -+-+=的两个根，∴()()()()2241616013160a a a a ⎧---+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，整理得2223203100a a a a ⎧--=⎨+-=⎩，解得2a =．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a 的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】()2,1--【分析】将函数解析式变形为()230x m x y +---=，然后令20x +=且30x y ---=，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由()123y m x m =-+-变形得()230x m x y +---=，解方程组2030x x y +=⎧⎨---=⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的图象过的定点的坐标为()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为(,)(,)0kf x y g x y +=（k 为参数）的形式，则以方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解为坐标的点即为定点．8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________【答案】(3,1)-【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令()224f x x kx k k =+++-，则有()10f <，解不等式可得所求范围．【详解】令()224f x x kx k k =+++-，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴()21140f k k k =+++-<，即2230k k +-<，解得31k -<<，∴实数k 的取值范围为()3,1-．故答案为()3,1-．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a>-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【分析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）若a b >，c d >，则a c b d +>+，因此a d b c ->-，即（1）正确；（2）若22a x a y >，根据不等式性质，可得x y >；即（2）正确；（3）若1a =，1b =-，满足a b >，但不满足11a b a>-；（3）错误；（4）若110a b <<，则0b a <<，因此()20ab b b a b -=-<，即2ab b <；故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x的最小值为__________【答案】2【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵2x <，∴20x ->．由题意得2254(2)11==(2)+2222x x x x x x x -+-+-≥=---，当且仅当122x x-=-，即1x =时等号成立．∴2542x x x-+-的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________【答案】3m <-【分析】12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3，故有m<-3，由此求得m 的取值范围．【详解】∵()2f x x =-，不等式()()3f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，∴12m x x <+--对任意实数x 恒成立，又12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴123x x +--≥-，∴3m <-，∴实数m 的取值范围是(),3-∞-．故答案为(),3-∞-．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出12x x +--的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________【答案】22t 【分析】先根据条件求出()2t x a b t -<<+-；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a b t +=，最后结合不等式的知识可求出22a b +的最小值．【详解】∵A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴()x a b t a b -+-<+，∴()a b x a b t a b --<-+-<+，解得()2t x a b t -<<+-．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴()220a b t +-=，∴a b t +=．∵222a b ab +≥，∴()()22222222a ba b ab a b t +≥++=+=，∴2222t a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴22a b +的最小值为22t ．故答案为22t ．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到a b t +=这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】若1122a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“1122a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件；若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b b a a -=-，所以1122a b a b =成立，所以“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件.综上，“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A.4B.6C.8D.9【答案】D【分析】根据y 的值求出相应的x 的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由2215x +=，解得x =；由22119x +=，解得3x =±．所以函数的定义域可为}}{}{}{}{},3,,3,,3,----{}}{}3,3,3,3,3,3---，共9种情况．故选D ．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x 的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x ²，∴f(x+1)>(x+1)²>x ²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C ．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当()2f x x >成立时，总可以推出()()211f x x +>+成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0B.{S }=1且{T }=1C.{S }=2且{T }=2D.{S }=2且{T }=3【答案】D【详解】∵2()()(),f x x a x bx c =+++当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2b x =-，只要b ≠﹣2a ，()0f x =就有2个根；当b =﹣2a ，()0f x =是一个根当240b c -<时，()0f x =只有一个根；当240b c ->时，()0f x =只有二个根或三个根；当a =b =c =0时{S }=1，{T }=0当a ＞0，b =0，c ＞0时，{S }=1且{T }=1当a =c =1，b =﹣2时，有{S }=2且{T }=2故选：D 三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.【答案】11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，进而可得答案【详解】存在11,8M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足条件．理由如下：若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，①当10m -=，即=1m 时，由320x -=，解得23x =，满足题意．②当10m -≠，由A 有且仅有一个元素得()10Δ=9+81=0m m -≠-⎧⎨⎩，解得18m =-．综上可得=1m 或18m =-，∴所有的m 的值组成的集合11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB =时，总造价最低为132000元.【分析】设AB 的长为x 米，进而得到宽BC 为200x 米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB 的长为x 米，则宽BC 为200x 米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200y x x x =+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000x x=++12000≥+132000=，当且仅当4502x x=，即15x =时等号成立．所以当净水池的长15AB =米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞-⋃-，当1a >-，[31,1]B a a =---+，当1a =-，{2}B =，当1a <-，B =∅；（2）(,0)[3,)-∞⋃+∞.【分析】（1）解不等式得出集合A 、B ；（2）根据A∩B=B 得出B ⊆A ，讨论B=∅和B≠∅时，求出满足条件的实数a 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()(](]2236|0|0,21,311x x x x A x x x x ⎧⎫+-⎧⎫--=≤=≤=-∞-⋃-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭．当10a +<，即1a <-时，B =∅；当10a +=，即1a =-时，{}2B =；当10a +>，即1a >-时，{}[]|12131,1B x a x a a a a =--≤+≤+=---+．（2）∵A B B ⋂=，∴B ⊆A ．①当1a <-时，B =∅，满足B ⊆A ；②当1a =-时，{}2B =，满足B ⊆A ；③当1a >-时，[]31,1B a a =---+，由B ⊆A 得31113a a -->-⎧⎨-+≤⎩或12a -+≤-，解得20a -≤<或3a ≥，又1a >-，∴10a -<<或3a ≥．综上可得0a <或3a ≥，∴实数a 的取值范围为()[),03,-∞⋃+∞．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）【答案】（1）1m =；（2）图象见解析，()2,0-.【分析】（1）直接由f （2）=-2求得m 的值；（2）把m 值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同实数解的实数k 的取值范围．【详解】（1）∵()214x m f x x +-=-，0m >，且()22f =-，∴221224m +-=--，即12m +=，解得1m =或3m =-，又0m >，∴1m =．（2）由（1）得()2,042424,04x x x x x f x x x x x ⎧≥≠⎪⎪-==⎨-⎪-<⎪-⎩且，当04x x ≥≠且时，()22(4)882444x x f x x x x -+===+---，∴函数()f x 在[0,4)和(4,)+∞上为减函数；当0x <时，()22(4)882444x x f x x x x -+=-=-=-----，∴函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且()()200f x f -<<=．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，则20k -<<，∴实数k 的取值范围是()2,0-．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.【答案】（1）()f x 属于集合M ；（2）[1,1]-；（3）略.【分析】（1）利用已知条件，通过任取1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，证明()()1212f x f x x x -≤-成立，说明f （x ）属于集合M ．（2）若p （x ）∈M ，则有121222a a x x x x -≤-++，然后可求出当[]1,1a ∈-时，p （x ）∈M ．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h （x ）的“绝对差上确界”T 的值．【详解】（1）设1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()2212121212f x f x x x x x x x -=-=-+，∵121111,2222x x -≤≤-≤≤，∴1211x x -≤+≤，∴1201x x ≤+≤∴()()221212121212f x f x x x x x x x x x -=-=-+≤-，∴函数()f x 属于集合M ．（2）若函数()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，则当[)12,1,x x ∈-+∞时，()()1212p x p x x x -≤-恒成立，即121222a a x x x x -≤-++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立，∴12(2)(2)a x x ≤++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立．∵[)12,1,x x ∈-+∞，∴12(2)(2)1x x ++≥，∴||1a ≤，解得11a -≤≤，∴存在实数a ，使得()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，且实数a 的取值范围为[1,1]-．（3）取1009,1008p q =-=，则对区间[]1009,1008-的任意划分：01110091008n n x x x x --=<<⋅⋅⋅<<=，和式()()()()()()()()1110211i i i n n n h x h x h x h x h x h x h x h x =--∑-=-+-++-10211n n x x x x x x -≤-+-++- 10211=()()()n n x x x x x x --+-++- 0n x x =-1008(1009)=--2017=，∴集合[]1009,1008M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界”2017T =．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A. B. C. 或 D.3.若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A. B. C. D.4.数列{a n}中，若a1=a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a=±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n=1，2，…，9，则{}都是单调数列．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.在等差数列{a n}中，若a4=0，a6+a7=10，则a7=______6.在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第______项7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-1，那么数列{a n}的通项公式为______8.若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9=512，则a5=______9.方程（3cos x-1）（cos x+sin x）=0的解集是______10.若数列{a n}满足a1=13，a n+1-a n=n，则的最小值为______11.若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n=______也是等比数列12.观察下列式子：，＞，＞，…，你可归纳出的不等式是______．13.在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n=______14.对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为______15. 对于数列{a n }满足：a 1=1，a n +1-a n ∈{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，记满足条件的所有数列{a n }中，S 12的最大值为a ，最小值为b ，则a -b =______16. 设n ∈N *，用A n 表示所有形如2 +2 +…+2 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6=96，a 3+a 7=20，数列{b n }满足等式：（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列的前n 项和S n ．18. 已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n =为偶数为奇数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ．19. 王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．20. 设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n +1=3n -2a n （n ∈N *）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围．21.如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n=a n+1-a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5-a4）与a4-a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若b是与的等差中项，则b==1，若b是与的等比中项，则b=±=±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b的值是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，∴=×（-）n-1=（-1）n-1•27-n．∴=1×（-1）0+1+……+（n-2）×26+5+……+（8-n）=，∵=+．由n=7或8时，=-1，n=6或9时，a6=220=a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．在数列{a n}中，a1=1，a2=64，且数列是等比数列，其公比，利用等比数列的通项公式可得：=（-1）n-1•27-n．可得=，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，=cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选D．推导出{a n}是以6为周期的周期数列，从而{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．本题考查可取遍数列{a n}前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2=sin（a）=a，解得a=0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2=sin（a），由函数f（x）=sin（x）-x，x∈（0，1），f′（x）=cos（x）-1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m=arccos，极值为f（m）=-arccos＞0，由f（0）=f（1）=0，可得a2＞a1，则a3-a2=sin（a2）-sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）（3）若a∈（0，1），任取{a}的子数列{}，n=1，2，…，9，{}是单调递增数列；构成数列{a由f（x）=sin（x）-x，可得f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当-1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜-1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜-1时，数列{a n}单调递增；-1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．（1）由数列{a n}为常数数列，则a2=sin（a）=a，解方程可得a的值；（2）由函数f（x）=sin（x）-x，x∈（0，1），求得导数和极值，可判断单调性；（3）由f（x）=sin（x）-x，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题．5.【答案】6【解析】解：在等差数列{a n}中，由a4=0，a6+a7=10，得2a4+5d=10，即d=2．∴a7=a4+3d=6．故答案为：6．由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式得答案．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．6.【答案】7【解析】解：a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…依此类推可得a n-a n-1=2n-1∴a2-a1+a3-a2+a4-a3…+a n-a n-1=a n-a1=21+22+23+…+2n-1=2n-2∴a n-a1=2n-2，a n=2n-1，∴2n-1=127，解得n=7，故答案为：7分别求出a2-a1，a3-a2，a4-a3，结果构成等比数列，进而推断数列{a n-a n-1}是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n-a n-1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．7.【答案】a n=【解析】解：数列{a n}的前n项和S n=n2-1，可得a1=S1=1-1=0；n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-1-（n-1）2+1=2n-1，则a n=，故答案为：a n=．运用数列的递推式：a1=S1；n≥2时，a n=S n-S n-1，即可得到所求通项公式．本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：{a n}是等比数列，a m•a n=a p•a q．由a1•a2…a9=512，即，∴a5=2．故答案为：2．根据等比中项的性质即可求解．本题考查了等比数列的性质，是基础题．9.【答案】，，∈【解析】解：方程（3cosx-1）（cosx+sinx）=0，整理得：（3cosx-1）•2sin（x+）=0．故：cosx=或sin（x+）=0，解得：x=或x=-（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x=-，k∈Z}故答案为：{x|}，x=-，k∈Z}直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用三角方程求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用．10.【答案】【解析】解：数列{a n}满足a1=13，a n+1-a n=n，可得a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1）=13+1+2+…+（n-1）=13+n（n-1），则=n+-，由n+≥2=，当且仅当n=∉N*，由n=5可得×5+-=；由n=6可得×6+-=，则的最小值为．故答案为：．由数列恒等式：a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1），以及基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，则当d n=时，数列{d n}也是等比数列．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以由数列{a n }是等差数列，则当时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =时，数列{d n }也是等比数列．故答案为：12.【答案】【解析】解：，=，，…，可得1+++…+＞，故答案为：1+++…+＞观察左边可得左边为1+++…+，右边为，即可得到答案．本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题 13.【答案】105n +23【解析】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2， 所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7=105， 即数列的通项公式可以表示为a n =105n+23， 故答案为：105n+23根据题意结合数列的概念进行求解即可．本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键． 14.【答案】-505【解析】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+=46，第10行的最后一个数无45+10=55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462-472+482-492+502-512+522-532+542-552=-（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）=-505，故答案为：505．故第10行的第一个数为1+=46，第10行的最后一个数无45+10=55，由此能求出第10行所有数的和．本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．15.【答案】4017【解析】解：由a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2-a1=a1，解得a2=2a1=2，又a3-a2∈{a1，a2}，可得a3=a2+a1=3或2a2=4，又a4-a3∈{a1，a2，a3}，可得a4=a3+a1=4或5；a4=a3+a2=5或6；或a4=2a3=6或8；又a5-a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5=a4+a1=5或6或7；a5=a4+a2=6或7或8；a5=a4+a3=7或8或9或10或12；a5=2a3=8或10或12或16．综上可得S12的最大值a=1+2+22+23+24+…+211==4095，最小值为b=1+2+3+4+5+…+12==78．则a-b=4095-78=4017．故答案为：4017．由a1=1，a n+1-a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n=2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5+…+12，a=1+2+22+23+24+…+211，计算即可得到a-b的值．本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】n•（2n+1-1）【解析】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为2+2+ (2)形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，=，故答案为：n•（2n+1-1）．把集合A n中每个数都表示为2的0到n的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n每个数都出现n次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列{b n}的通项公式．本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7=20，得a4+a6=20，又a4a6=96，可得或．∵d＞0，∴ ，则d=．∴a n=a4+2（n-4）=2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴ ，即（n≥2），∵ 满足上式，∴ ．则，∴数列的前n 项和S n =（b 1+b 2+…+b n ）+=．【解析】（1）由已知列式求得a 4、a 6的值，进一步求出公差，则数列{a n }的通项公式可求；（2）把数列{a n }的通项公式代入，得（n≥2），作差可得b n ，再由数列的分组求和可得数列的前n 项和S n ．本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵a n =为偶数为奇数，∴a 1=b -1，a 2=9c ，a 3=3b -1，a 4=81c ．∵a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．∴2a 3=a 1+a 2， =a 1a 4，∴2（3b -1）=b -1+9c ，81c 2=（b -1）×81c ，b ，c ≠0． 联立解得：b =2，c =1．（2）由（1）可得：a n =为偶数为奇数， ∴S 2n =（a 1+a 3+……+a 2n -1）+（a 2+a 4+……+a 2n ） =（1+5+……+4n -3）+（32+34+……+32n ） =+=2n 2-n +，由＞ ，解得n ＞6．∴n =7． 【解析】（1）由a n =，可得a 1=b-1，a 2=9c ，a 3=3b-1，a 4=81c ．根据a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．可得2a 3=a 1+a 2，=a 1a 4，代入解出即可得出． （2）由（1）可得：a n =，可得S 2n =（a 1+a 3+……+a 2n-1）+（a 2+a 4+......+a 2n ）=（1+5+......+4n -3）+（32+34+ (32)），分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）a2=100000×（1+5%）-m（1+5%）2-m=110250-2.05m．（2）a10=100000×（1.05）10-m×（1.05）9-m×（1.05）8-……-m=0，100000×1.0510-=0，解得：m=≈12950．【解析】（1）由题意可得：a2=100000×（1+5%）2-m（1+5%）-m．（2）a10=100000×（1.05）10-m×（1.05）9-m×（1.05）8-……-m=0，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵a n+1=3n-2a n（n∈N*），则时，===-2，∴时，为等比数列，公比为-2．（2）由（1）可得：a n-=×（-2）n-1，∴ ＞，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴＜＜．【解析】（1）由a n+1=3n-2a n（n∈N*），当时，==-2，即可得出结论．（2）由（1）可得：a n-=×（-2）n-1，可得，n≥2，可得a2＞0，a3＞0，即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2-a n+1＞a n+1-a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5-a4）＞a4-a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|-|S2|＞|S2|-|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或＜＜＞或＞，即d≤-1或-1＜d＜-或d＞0，可得∈ ，，；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n=1时，u1=，v1=a2，显然a3-a2＞a2-a1即u1＞v1．设n=k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n=k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）=k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【解析】（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{b n}是递增数列；结合a5＞2a4-a3，a4＞2a3-a2，可得2（a5-a4）＞a4-a2；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切n∈N*，有u n＞v n．运用数学归纳法证明，注意验证n=1成立；假设n=k不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
【优质文档】2017-2018学年上海市高一上学期数学期末综合复习试题(一)含答案
1. 已知集合 A { 1,2,3,4} ，集合 B {3,4,5} ，则 A B
．
2. 函数 y x 2 的定义域是
．
3. 不等式 x 3 0 的解是
．
x2
4. 若指数函数 y (m 1)x 在 R 上是增函数，则实数 m 的取值范围是
．
5. 函数 f ( x) x2 x 的零点是
．
6. 设函数 f ( x) x 的反函数是 f 1( x) ，则 f 1 (3)
干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。 3．非选择题作答用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡。
第 I 卷（填空题 36 分）
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 题，只要求直接填写结果，每题 填对得 3 分，否则一律得零分．
．
10. 若 log a (2b) 1，则 a 4b 的最小值是
．
11. 已知函数 f (x)
x (2 x
2 x ) ，存在 x
1 [ ,1] ，使不等式
f ( ax 1)
f (2
x) 成立，
2
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则实数 a 的取值范围是
．
12. 已知函数 f (x) m(x m)( x m 3) 和 g( x) 2x 2 同时满足以下两个条件：
．
7. 已知函数 y x2 ax 1在区间 [1,2] 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
．
8. 若幂函数 f ( x) ( m2 m 1)xm 在区间 (0, ) 上单调递增，则实数 m
．
9. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 x ，则
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.2.函数y =的定义域为______.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x xy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．5.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.6.函数0.5()2log 1x f x x =-的零点个数为__________.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.当lg lg a b=，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.10.函数()142x f x =-的图象关于点______成中心对称.11.设{}2|M y y x-==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223mm f x xm Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1gx -.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++xxx f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x-=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【分析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果.【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为()1,1【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.2.函数y =的定义域为______.【答案】(],6-∞【分析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞.故答案为(],6-∞【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【分析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果.【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ，即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即=1x -或1x =；又0x ≥，所以1x =.故答案为1【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．【答案】1<a<3【详解】解：因为分段函数在R 上单调增函数，则说明每一段都是增函数，同时第一段的最大值不能大于第二段的最小值，即30(3)4,1(){{1log ,1340a a a x a x f x a x x a a ->--<=∴>≥--≤，故1<a<35.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】[)4,+∞【分析】先求定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得：241740-+≥x x ，即(4)(41)0--≥x x ，解得4x ≥或14x ≤；令24174-=+t x x ，则其对称轴为178=x ；因此二次函数24174-=+t x x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)4,+∞上单调递增；又y =是增函数，所以当1,4⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦x 时，()()1224174f x x x =-+单调递减；在[)4,+∞上单调递增；即增区间为：[)4,+∞故答案为[)4,+∞【点睛】本题主要考查求复合函数单调区间，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是【答案】513a ≤≤【详解】试卷分析：因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可．试卷分析：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：()()2221>0Δ=+1410a a a ---≥⎧⎪⎨⎪⎩解得513a <≤又a=－1，f(x)=0不满足题意，a=1，合题意．所以a 的取值范围是：513a ≤≤考点：一元二次不等式的应用；对数函数的值域与最值；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得=1x -；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.9.当lg lg a b =，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,+∞【分析】先lg lg a b =，a b <，得到01a <<，1b >，lg lg a b -=，推出1ab =，122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，任取121x x <<，则1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x ，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此1212121()()()20⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭f x f x x x x x ，即12()()f x f x <，所以函数1()2=+f x x x在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)3>=f x f ，即2+a b 的取值范围是()3,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.10.函数()142xf x =-的图象关于点______成中心对称.【答案】12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由题意求出函数定义域为{}2x x ≠，再计算()2(2)++-f x f x ，即可得出结果.【详解】因为240-≠x ，所以2x ≠，即函数()142xf x =-的定义域为{}2x x ≠；又()2112424(12)++==--x x f x ，()2112224424(21)4(12)42--====-----x xx x x xf x ，所以()1212(2)4(12)4(12)4++-=-=--x x x f x f x ，即()2(2)128++-=f x f x ，所以函数()142x f x =-的图象关于点12,8⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故答案为12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求函数对称中心，熟记对称中心的概念即可，属于常考题型.11.设{}2|M y y x -==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,0-【分析】先化简集合M ，再由()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m 是一次函数，根据N M ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|0M y y x y y -===>，令()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m ，则()f x 是一次函数，又N M ⊆，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，所以只需(1)0(2)0f f >⎧⎨>⎩，即()(1)1101(2)101f m m f m ⎧=--=->⎪⎨=+>⎪-⎩，解得10m -<<；故实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为()1,0-【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞【分析】由题意，分别讨论0a =，0a >，a<0三种情况，根据二次函数单调性即可求出结果.【详解】（1）当0a =时，()41f x x =+，则()()165=+f f x x ，显然不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；（2）当0a >时，()224411⎛⎫=++≥-=- ⎪⎝⎭f x ax x f a a ，若02a <≤，则242110⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭a a a ，即241-≥-a a，所以()()241⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭f f x f a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需410-≥a，所以4a ≥（舍）；若2a >，则241-<-a a ，所以()()2444114113⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f x f a a a a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需30-≥a ，所以3a ≥；（3）当a<0时，()241⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭f x f a a ，不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；综上，实数a 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y，即3y x -=和13y x-=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x R ∈，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数.故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x=+ B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--【答案】B 【详解】试卷分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,'0<y ,当lg x e >时'0>y ,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,'0>y ,当lg x e >时，'0<y ,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B.考点：函数的图象.16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C 【分析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m --⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错；故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f x x x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为：5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩.【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果.【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ，所以0x >或322-<<-x ，因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =；所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x gx ；当10x -≤<时，01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ，所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .【答案】（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.【分析】（1）设安装n 对轧辊，由题意列出不等式()20120%2-≤n，求解，即可得出结果；（2）根据题意，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到31600(120%)=⋅-L ，求出3L ，同理即可求出1L ，2L .【详解】（1）设安装n 对轧辊，因为输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，每对轧辊的减薄率不超过20%，则有()20120%2-≤n ，即41510⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n ，两边同时取对数可得45111log 10.3110lg 4lg 5lg 52lg 2-≥==≈--n ，所以至少安装11对轧辊；（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，31600(120%)=⋅-L ，所以32000()=L mm ；同理：32(120%)=⋅-L L ，21(120%)=⋅-L L ，所以22500()=L mm ，13125()=L mm .【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2x y f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =±，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-；（3）1515,153⎛ ⎝⎭.【分析】（1）先由题意得到函数()2x y f =的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论21a =与21≠a ，即可判断出结果；（2）先由题意，将问题转化为2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；求出221+=+x y 的最大值，即可得出结果；（3）先假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，求出1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，转化为()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，作差得到()()()21212121⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭a f t f t t t t t ，分别讨论2109<≤a ，21193<≤a ，2113<<a ，21a ≥四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：()2222222-=+=+⋅x xx x x a f a 的定义域为R ，又()2222222----=+=+⋅x xx x x a f a ，当21a =，即1a =±时，()()22-=x x f f ，所以()2xy f =是偶函数；当21≠a ，即1a ≠±时，()2x y f =是非奇非偶函数；（2）由不等式()12242<++x x x f 可得：2212422-<++⋅+x x x x a ，即2221+<+x a ，所以不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，等价于2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；又221+=+x y 在[]0,1x ∈上单调递增，所以59≤≤y 因此，只需29<a ，解得33a -<<；即实数a 的取值范围是()3,3-；（3）假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，则211t x =-++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2()==+a f g x f t t t；所以对于区间10,2⎡⎤⎢⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，等价于()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，所以120t t -<，12119<<t t 则()()()22212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a f t f t t t t t t t t t ，①当2109<≤a 时，()2121210⎛⎫--< ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12<f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2max (1)1==+f t f a ，()2min 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得222613+>+a a ，解得：2115>a ，所以211159<≤a ；②当21193<≤a 时，易得：()2=+a f t t t 在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 11max ,(1)max 3,1133⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：241>+a a，解得：22-<<+a 所以21193<≤a ；③当2113<<a 时，易得：()2=+a f t t t 在在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 111max ,(1)max 3,13333⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：21433>+a a ，解得：232333<<a ，所以2113<<a ；④当21a ≥时，()2121210⎛⎫--> ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12>f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()2min (1)1==+f t f a ，()2max 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得()2212133+>+a a ，解得253<a ，所以2513≤<a ；综上，215153<<a ，又a 为正数，所以1515,153a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即存在1515,153a ⎛∈ ⎝⎭满足题意.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据题意，令1x =，0y =，得到()()()21210=f f f ，再由0x ≠时，()1f x >，即可得出(0)1f =；（2）令0x =，得到()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数；因此1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，令12x y ==得()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，作出，根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，即()()()21210=f f f ，又0x ≠时，()1f x >，所以()11>f 因此(0)1f =；（2）令0x =，由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=可得：()()()()202()+-==f y f y f f y f y ，所以()()-=f y f y ，因此，函数()f x 为偶函数；所以1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ；令12x y ==得()()211022⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f f ，所以()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，因此()221912122811112224⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎡⎤⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫-=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f f f ，因为0x ≠时，()1f x >，所以112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，因此21192824⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎭-⎝f 在112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 上单调递增，所以2291112492210848⎡⎤⎛⎫->--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦f .因此()1102⎛⎫ ⎪⎝>⎭-f f ，所以11(1)22⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及比较函数值的大小，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.。
2017-2018学年上海市复旦附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 项 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝ 也是等比数列 8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是 ．9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n ＝ 10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．对于数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1﹣a n ∈{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，记满足条件的所有数列{a n }中，S 12的最大值为a ，最小值为b ，则a ﹣b ＝ 12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝ ． 二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（ ） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 1015．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（ ） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ． 18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ． 19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列{a n−3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较u n=a1+a3+⋯+a2n+1n+1和v n=a2+a4+⋯+a2nn的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一第二学期期末数学试卷参考答案一.填空题1．在等差数列{a n }中，若a 4＝0，a 6+a 7＝10，则a 7＝ 6 【分析】由已知列式求得公差，再由等差数列的通项公式得答案． 解：在等差数列{a n }中，由a 4＝0，a 6+a 7＝10， 得2a 4+5d ＝10，即d ＝2． ∴a 7＝a 4+3d ＝6． 故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 7 项【分析】分别求出a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，a 4﹣a 3，结果构成等比数列，进而推断数列{a n ﹣a n ﹣1}是首相为2，公比为2的等比数列，进而各项相加可得答案．解：a 2﹣a 1＝21，a 3﹣a 2＝22，a 4﹣a 3＝23，…依此类推可得a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1∴a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+a 4﹣a 3…+a n ﹣a n ﹣1＝a n ﹣a 1＝21+22+23+…+2n ﹣1＝2n ﹣2 ∴a n ﹣a 1＝2n ﹣2， a n ＝2n ﹣1， ∴2n ﹣1＝127， 解得n ＝7， 故答案为：7【点评】本题主要考查了求数列的通项公式．关键推断{a n ﹣a n ﹣1}是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1，那么数列{a n }的通项公式为 a n ={0，n =12n −1，n ≥2【分析】运用数列的递推式：a 1＝S 1；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得到所求通项公式． 解：数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣1， 可得a 1＝S 1＝1﹣1＝0；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣1﹣（n ﹣1）2+1＝2n ﹣1，则a n ={0，n =12n −1，n ≥2，故答案为：a n ={0，n =12n −1，n ≥2．【点评】本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查运算能力，属于基础题． 4．若在等比数列{a n }中，a 1•a 2…a 9＝512，则a 5＝ 2 【分析】根据等比中项的性质即可求解． 解：{a n }是等比数列，a m •a n ＝a p •a q ． 由a 1•a 2…a 9＝512， 即a 59=512， ∴a 5＝2． 故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的性质，是基础题．5．方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0的解集是 {x|x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z}【分析】直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用三角方程求出结果． 解：方程（3cos x ﹣1）（cos x +√3sin x ）＝0， 整理得：（3cos x ﹣1）•2sin （x +π6）＝0． 故：cos x =13或sin （x +π6）＝0，解得：x =±arccos 13+2kπ或x =−π6+kπ（k ∈Z ）． 故方程的解集为{x |x =±arccos 13+2kπ，x =−π6+kπ，k ∈Z }故答案为：{x |x =±arccos 13+2kπ}，x =−π6+kπ，k ∈Z }【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，反三角的应用． 6．若数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，则a n n的最小值为235【分析】由数列恒等式：a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1），以及基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值． 解：数列{a n }满足a 1＝13，a n +1﹣a n ＝n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1） ＝13+1+2+…+（n ﹣1）＝13+12n （n ﹣1）， 则a n n =12n +13n −12， 由12n +13n≥2√132=√26，当且仅当n =√26∉N *，由n ＝5可得12×5+135−12=235；由n ＝6可得12×6+136−12=143， 则a n n的最小值为235．故答案为：235．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题． 7．若数列{a n }是等差数列，则数列b n =a n+1+⋯+a n+mm（m ∈N *）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n }是等比数列，则数列d n ＝ √c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 也是等比数列【分析】本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列． 解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时， 我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法， 由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以由数列{a n }是等差数列，则当b n =a n+1+⋯+a n+mm时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n =√c n+1⋅c n+2⋯c n+m m 时，数列{d n }也是等比数列．故答案为：√c n+1⋅c n+2⋯c n+mm【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．8．观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14＞2，1+12+13+⋯+18＞52，…，你可归纳出的不等式是1+12+13+⋯+12n≥n+22．【分析】观察左边可得左边为1+12+13+⋯+12n，右边为n+22，即可得到答案．解：1+12≥32，1+12+13+14＞2=42，1+12+13+⋯+18＞52，…，可得1+12+13+⋯+12n＞n+2 2，故答案为：1+12+13+⋯+12n＞n+22【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题9．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【分析】根据题意结合数列的概念进行求解即可．解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+23【点评】本题主要考查数列的概念，结合题意进行转化是解决本题的关键．10．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【分析】故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，由此能求出第10行所有数的和．解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．【点评】本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．11．对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【分析】由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），分别令n＝2，3，4，5，求得{a n}的前5项，观察得到最小值b＝1+2+3+4+5+…+12，a＝1+2+22+23+24+…+211，计算即可得到a﹣b的值．解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211=1−2121−2=4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12=12(1+12)2=78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．【点评】本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．12．设n ∈N *，用A n 表示所有形如2r 1+2r 2+⋯+2r n 的正整数集合，其中0≤r 1＜r 2＜…＜r n ≤n ，且r i ∈N （i ∈N *），b n 为集合A n 中的所有元素之和．则{b n }的通项公式为b n ＝ n •（2n +1﹣1） ．【分析】把集合A n 中每个数都表示为2的0到n 的指数幂相加的形式，并确定20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次，于是利用等比数列求和公式计算b n =n(20+21+22+⋯+2n )，可求出数列{b n }的通项公式．解：由题意可知，r 1、r 2、…、r n 是0、1、2、…、n 的一个排列，且集合A n 中共有n +1个数，若把集合A n 中每个数表示为2r 1+2r 2+⋯+2r n 的形式， 则20、21、22、…、2n 每个数都出现n 次， 因此，b n =n(20+21+22+⋯+2n)=n⋅1(1−2n+1)1−2=n(2n+1−1)，故答案为：n •（2n +1﹣1）．【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题． 二.选择题13．“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若b 是1+√3与1−√3的等差中项，则b =1+√3+1−√32=1，若b 是2+√3与2−√3的等比中项， 则b ＝±√(2+√3)(2−√3)=±1，则“b 是1+√3与1−√3的等差中项”是“b 是2+√3与2−√3的等比中项”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决本题的关键．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，则数列{a n }的最大项等于（ ） A ．a 7B ．a 8C ．a 6或a 9D ．a 10【分析】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12，利用等比数列的通项公式可得：a n+1a n=（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．可得a n =a 1×a 2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2，利用二次函数的单调性即可得出． 解：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝64，且数列{an+1an}是等比数列，其公比q =−12， ∴a n+1a n=641×（−12）n ﹣1＝（﹣1）n ﹣1•27﹣n ．∴a n =a 1×a2a 1×a3a 2×⋯×a nan−1=1×（﹣1）0+1+……+（n ﹣2）×26+5+……+（8﹣n ）=(−1)(n−2)(n−1)22(n−1)(6+8−n)2， ∵(n−1)(14−n)2=−12(n −152)2+1698．由n ＝7或8时，(−1)(n−2)(n−1)2=−1，n ＝6或9时，a 6＝220＝a 9， ∴数列{a n }的最大项等于a 6或a 9． 故选：C ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、累乘求积方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若数列a n =cos(π3n +π5)，若k ∈N *，则在下列数列中，可取遍数列{a n }前6项值的数列为（ ） A ．{a 2k +1}B ．{a 3k +1}C ．{a 4k +1}D ．{a 5k +1}【分析】推导出{a n }是以6为周期的周期数列，从而{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列．解：∵数列a n =cos(π3n +π5)，k ∈N *， ∴a 1=cos 8π15，a 2=cos 13π15， a 3=cos 18π15，a 4=cos 23π15， a 5=cos28π15， a 6=cos 33π15=cos 3π15，a 7=cos 8π15，∴{a n }是以6为周期的周期数列，∴{a 5k +1}是可取遍数列{a n }前6项值的数列． 故选：D ．【点评】本题考查可取遍数列{a n }前6项值的数列的求法，考查数列的周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{a n }为常数数列，则a ＝±1；（2）若a ∈（0，1），数列{a n }都是单调递增数列；（3）若a ∉Z ，任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9）构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，则{a k n }都是单调数列． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】（1）由数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解方程可得a 的值； （2）由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），求得导数和极值，可判断单调性；（3）由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．解：数列{a n }中，若a 1＝a ，a n+1=sin(π2a n )，n ∈N *， （1）若数列{a n }为常数数列，则a 2＝sin （π2a ）＝a ，解得a ＝0或±1，故（1）不正确； （2）若a ∈（0，1），π2a ∈（0，π2），a 2＝sin （π2a ），由函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，x ∈（0，1），f ′（x ）=π2cos （π2x ）﹣1，由π2x ∈（0，π2），可得极值点唯一且为m =2πarccos 2π， 极值为f （m ）=√π2−4π−2πarccos 2π＞0，由f （0）＝f （1）＝0，可得a 2＞a 1， 则a 3﹣a 2＝sin （π2a 2）﹣sin （π2a 1）＞0，即有a 3＞a 2，…，由于a n ∈（0，1），π2a n ∈（0，π2），由正弦函数的单调性，可得a n +1＞a n ， 则数列{a n }都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a ∈（0，1），任取{a n }中的9项a k 1，a k 2，a k 3，…，a k 9（1＜k 1＜k 2＜…＜k 9） 构成数列{a n }的子数列{a k n }，n ＝1，2，…，9，{a k n }是单调递增数列； 由f （x ）＝sin （π2x ）﹣x ，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数；当0＜x ＜1时，f （x ）＞0，x ＞1时，f （x ）＜0； 当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；x ＜﹣1时，f （x ）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a ＜1时，a ＜﹣1时，数列{a n }单调递增； ﹣1＜a ＜0时，a ＞1时，数列{a n }单调递减． 数列{a n }都是单调递增数列，故（3）正确； 故选：C ．【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题． 三.解答题17．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 4a 6＝96，a 3+a 7＝20，数列{b n }满足等式：a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n +n+12}的前n 项和S n ．【分析】（1）由已知列式求得a 4、a 6的值，进一步求出公差，则数列{a n }的通项公式可求；（2）把数列{a n }的通项公式代入a n =b 12+b 222+b 323+⋯+b n 2n ，得a n−1=b 12+b 222+b323+⋯+b n−12n−1（n ≥2），作差可得b n ，再由数列的分组求和可得数列{b n+n+12}的前n 项和S n ．解：（1）在等差数列{a n }中，由a 3+a 7＝20，得a 4+a 6＝20， 又a 4a 6＝96，可得{a 4=8a 6=12或{a 4=12a 6=8．∵d ＞0，∴{a 4=8a 6=12，则d =a 6−a 46−4=2． ∴a n ＝a 4+2（n ﹣4）＝2n ；（2）由a n =b 12+b 222+b 323+⋯+bn 2n （n ∈N *）， 得a n−1=b 12+b 222+b 323+⋯+bn−12n−1（n ≥2）， ∴a n −a n−1=2=b n 2n ，即b n =2n+1（n ≥2）， ∵b 1=2a 1=4=22满足上式， ∴b n =2n+1．则b n +n+12=2n+1+n+12， ∴数列{b n +n+12}的前n 项和S n ＝（b 1+b 2+…+b n ）+12(1+2+⋯+n)+n2 =4(1−2n)1−2+12×n(n+1)2+n 2=2n+2−4+n(n+3)4． 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的分组求和，是中档题．18．已知b 、c 为常数且均不为零，数列{a n }的通项公式为a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，并且a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列． （1）求b 、c 的值；（2）设S n 是数列{a n }前n 项的和，求使得不等式S 2n ＞20182成立的最小正整数n ． 【分析】（1）由a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，可得a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ．根据a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．可得2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，代入解出即可得出． （2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n ，n 为偶数，可得S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ）＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ），分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）∵a n ={b ⋅n −1，n 为奇数c ⋅3n ，n 为偶数，∴a 1＝b ﹣1，a 2＝9c ，a 3＝3b ﹣1，a 4＝81c ． ∵a 1、a 3、a 2成等差数列，a 1、a 2、a 4成等比数列．∴2a 3＝a 1+a 2，a 22=a 1a 4，∴2（3b ﹣1）＝b ﹣1+9c ，81c 2＝（b ﹣1）×81c ，b ，c ≠0． 联立解得：b ＝2，c ＝1． （2）由（1）可得：a n ={2n −1，n 为奇数3n，n 为偶数，∴S 2n ＝（a 1+a 3+……+a 2n ﹣1）+（a 2+a 4+……+a 2n ） ＝（1+5+……+4n ﹣3）+（32+34+……+32n ）=n(1+4n−3)2+9(1−9n)1−9＝2n 2﹣n +9n+1−98，由S 2n =2n 2−n +9n+1−98＞20182，解得n ＞6． ∴n ＝7．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元． （1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； （2）求每年的还款额（精确到1元）．【分析】（1）由题意可得：a 2＝100000×（1+5%）2﹣m （1+5%）﹣m ．（2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，利用等比数列的求和公式即可得出．解：（1）a 2＝100000×（1+5%）﹣m （1+5%）2﹣m ＝110250﹣2.05m ． （2）a 10＝100000×（1.05）10﹣m ×（1.05）9﹣m ×（1.05）8﹣……﹣m ＝0，100000×1.0510−m(1−1.0510)1−1.05=0，解得：m =100000×0.05×(1.05)10(1.05)10−1≈12950．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *）． （1）判断数列{a n −3n5}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围． 【分析】（1）由a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *），当a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2an −3n+15a n −3n 5=−2，即可得出结论．（2）由（1）可得：a n −3n 5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，可得a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n5＞0，n ≥2，可得a 2＞0，a 3＞0，即可得出． 解：（1）∵a n +1＝3n ﹣2a n （n ∈N *）， 则a 1≠35时，a n+1−3n+15a n −3n 5=3n −2a n −3n+15a n −3n 5=−2(a n −3n5)a n −3n 5=−2，∴a 1≠35时，{a n −3n5}为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n −3n5=(a 1−35)×（﹣2）n ﹣1，∴a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n 5＞0，n ≥2，∴a 2＞0，a 3＞0， ∴−34＜a 1＜32．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如果数列{a n }对任意的n ∈N *满足：a n +2+a n ＞2a n +1，则称数列{a n }为“M 数列”． （1）已知数列{a n }是“M 数列”，设b n ＝a n +1﹣a n ，n ∈N *，求证：数列{b n }是递增数列，并指出2（a 5﹣a 4）与a 4﹣a 2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n }是首项为1，公差为2d 的等差数列，S n 是其前n 项的和，若数列{|S n |}是“M 数列”，求d 的取值范围；（3）已知数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1和v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn的大小，并说明理由．【分析】（1）由新定义，结合单调性的定义可得数列{b n }是递增数列；结合a 5＞2a 4﹣a 3，a 4＞2a 3﹣a 2，可得2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2；（2）运用新定义和等差数列的求和公式，解绝对值不等式即可得到所求范围；（3）对一切n ∈N *，有u n ＞v n ．运用数学归纳法证明，注意验证n ＝1成立；假设n ＝k 不等式成立，注意变形和运用新定义，即可得证．解：（1）证明：数列{a n }是“M 数列”，可得a n +2+a n ＞2a n +1， 即a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n ，即b n +1＞b n ， 可得数列{b n }是递增数列； 2（a 5﹣a 4）＞a 4﹣a 2； （2）数列{|S n |}是“M 数列”， 可得|S 3|﹣|S 2|＞|S 2|﹣|S 1|， 即|S 1|+|S 3|＞2|S 2|， 可得1+|3+6d |＞2|2+2d |，即有{d ≤−11−3−6d ＞−4−4d 或{−1＜d ＜−121−3−6d ＞4+4d 或{d ≥−121+3+6d ＞4+4d ，即d ≤﹣1或﹣1＜d ＜−35或d ＞0， 可得d ∈(−∞，−35)∪(0，+∞)；（3）数列{a n }是各项均为正数的“M 数列”， 对于n 取相同的正整数时，u n =a 1+a 3+⋯+a 2n+1n+1＞v n =a 2+a 4+⋯+a 2nn， 运用数学归纳法证明： 当n ＝1时，u 1=a 1+a 32，v 1＝a 2，显然a 3﹣a 2＞a 2﹣a 1即u 1＞v 1． 设n ＝k 时，u k ＞v k ．即a 1+a 3+⋯+a 2k+1k+1＞a 2+a 4+⋯+a 2kk，可得k （a 1+a 3+…+a 2k +1）＞（k +1）（a 2+a 4+…+a 2k ）， 当n ＝k +1时，即证a 1+a 3+⋯+a 2k+1+a 2k+3k+2＞a 2+a 4+⋯+a 2k +a 2k+2k+1，即证（k +1）（a 1+…+a 2k +1+a 2k +3）＞（k +2）（a 2+a 4+…+a 2k +a 2k +2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的证明和等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
2017-2018学年上海复旦附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞ B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A. B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1f x -=______．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．10.函数21lg82y x x=+-的单调递减区间是______．11.函数1223xxy -=+的值域是______．12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x 的不等式()22log 230x x t -++<，其中t R ∈．（1）当0=t 时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x fx a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+【答案】A【详解】试卷分析：对A ，函数在上为增函数，符合要求；对B ，在上为减函数，不符合题意；对C ，为上的减函数，不符合题意；对D ，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]【答案】D【分析】根据二次函数223y x x =-+的关系式，可求出对称轴、顶点坐标、与y 轴交点坐标，可画出大致图象，再根据二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，确定m 的取值范围．【详解】解： 二次函数2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，顶点坐标为(1,2)，与y 轴的交点为(0,3)其大致图象如图所示：由对称性可知，当3y =时，0x =或2x =，二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，12m ∴．故选：D ．3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤【答案】C【分析】由给出的方程得到函数()y f x =图象上任意一点的横纵坐标,x y 的关系式，利用基本不等式求出x y +的范围，整理出()1111y x x =+≠-，可得函数在()1,+∞上的增减性，二者结合可得正确答案．【详解】()lg lg lg lg x y x y xy+=+= 00x y x y xy >⎧⎪∴>⎨⎪+=⎩22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取等号）22x y x y +⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，解得：4x y +≥由x y xy +=得：()11111111x x y x x x x -+===+≠---当()1,x ∈+∞时，11y x =-为减函数111y x ∴=+-在()1,+∞上为减函数故选C【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【分析】f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称是反函数的重要性质；而将f （x ）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f （x ﹣a ）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f （x ﹣1）是由f （x ）向右平移一个单位得到，f ﹣1（x ﹣1）由f ﹣1（x ）向右平移一个单位得到，而f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称，从而f （x ﹣1）与f ﹣1（x ﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x ﹣1，排除B ，D ；A ，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A 选项有可能，C 选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x -且1}x ≠【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -且1}x ≠.故答案为：{|2x x -且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1fx -=，[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可．【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1f x -∴=，[]2,3x ∈故答案为()1fx -=，[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒【答案】x ，x ＞1【分析】求f (x )·g (x )的定义域，然后化简f (x )·g (x )即可﹒【详解】()()f x g x ⋅定义域为(1，＋∞)，2()()x f x xx g ⋅==，∴()()f x g x ⋅=x ，x ＞1．故答案为：x ，x ＞1．8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.【答案】1【详解】试卷分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．【答案】2【分析】根据幂函数的定义求出t 的值，再验证()f x 是否为奇函数，从而求出()2f 的值．【详解】()()3311t f x t t x+=-+ 为幂函数311t t ∴-+=，解得：1t =±或0当1t =时，()4f x x =为偶函数，不合题意当1t =-时，()2f x x -=为偶函数，不合题意当0=t 时，()f x x =为奇函数，符合题意()22f ∴=综上所述：()22f =故答案为2【点睛】本题考查了幂函数的定义、奇偶性的应用，属于基础题．10.函数21lg 82y x x =+-的单调递减区间是______．【答案】(]2,1-【分析】根据对数函数定义域要求求得函数的定义域；根据复合函数单调性，由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，即分式的分母的增区间，利用二次函数的单调性求解即可得到结果．【详解】由题意得：21082x x >+-，解得：24-<<x ∴函数21lg82y x x=+-的定义域为()2,4-根据复合函数单调性可知，要求21lg 82y x x=+-的单调递减区间，只需求282y x x =+-在()2,4-上的单调递增区间即可282y x x =+-在(]2,1-上单调递增，在[)1,4上单调递减∴函数21lg82y x x=+-的单调递减区间为(]2,1-故答案为(]2,1-【点睛】本题考查复合函数的单调性的求解，涉及到分式函数、二次函数和对数函数的单调性；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.11.函数1223xxy -=+的值域是______．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】采用分离常数法得到4123x y =-++，根据指数函数的值域和不等式的性质即可求得函数的值域.【详解】()2341241232323x x x x x y -++-===-++++233x +> 440233x ∴<<+4111233x ∴-<-+<+∴函数1223xx y -=+的值域为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分离常数法求解分式型函数的值域问题，涉及到指数函数值域的运用，属于基础题.12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．【答案】{}0,2,3,4【分析】将方程265x x a -+=的实数解的个数问题转化为265y x x =-+与y a =交点的个数问题，作图分析即得答案．【详解】由题意知：n 为265y x x =-+与y a =交点的个数在平面直角坐标系中画出265y x x =-+与y a =的图象，如图：①当a<0时，该方程没有实数根，0n =；②当0a =时，该方程恰有两个实数解，2n =；③当04a <<时，该方程有四个不同的实数根，4n =；④当4a =时，该方程有三个不同的实数根，3n =；⑤当4a >时，该方程有两个不同的实数根，2n =；n ∴的可能取值组合的集合为{}0,2,3,4故答案为{}0,2,3,4【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，关键是能够将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方法来进行求解．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.【答案】10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；【答案】[)5,+∞【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可.【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-，且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++，且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．【答案】①.1-②.(][),04,-∞+∞ 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞ 故答案为1-；(][),04,-∞+∞ 【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．【答案】24,0305,3t t t t t -≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【分析】当1t =和1t >时，可知函数单调递增，则()()2f t g =；当1t <时，结合对号函数性质得到()g x 在()0,∞+2≥、12<<和1≤三种情况下确定()g x在[]1,2上的单调性，进而可确定最大值点，代入求得最大值；综合各种情况可得最终结果.【详解】①当1t=时，()4g xx=-，可知()g x在[]1,2上单调递增()()22f t g∴==-②当1t>时，()()41g x t xx=--，可知()g x在[]1,2上单调递增()()222224f tg t t∴==--=-③当1t<时，()()()4411g x t x t xx x⎡⎤=--=--+⎢⎥⎣⎦由对勾函数性质可知：()g x在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减2≥，即01t≤<时，()g x在[]1,2上单调递增()()224f tg t∴==-⑵当12<<，即30t-<<时()g x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减()f t g∴==--1≤，即3t£-时，()g x在[]1,2上单调递减()()15f tg t∴==-综上所述：()24,0305,3t tf t tt t-≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩故答案为24,0305,3t ttt t-≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【点睛】本题考查含参数的函数最值的求解，涉及到对号函数性质的应用；关键是能够通过分类讨论的方式，将变量所处不同范围时函数的单调性确定，进而根据函数单调性得到最值.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式()22log230x x t-++<，其中t R∈．（1）当0=t时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据对数函数性质可得20231x x <-+<，解不等式求得结果；（2）不等式有解等价于2223231x x t x x -<<-+能成立；分别求出不等式左右两侧函数的最小值和最大值，从而得到t 的范围.【详解】（1）当0=t 时，不等式为：()22log 230x x -+<，即20231x x <-+<等价于22231230x x x x ⎧-+<⎨-+>⎩，解得：102x <<或312x <<∴不等式的解集为130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 不等式()22log 230x x t -++<有解20231x x t ∴<-++<有解2223231x x t x x ∴-<<-+能成立令()223f x x x =-，则()min 39994848f x f ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭令()2231g x x x =-+，则x →+∞或x →-∞时，()g x →+∞98t ∴>-，即实数t 的取值范围为9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数不等式的求解、能成立问题的求解；解决能成立问题的关键是能通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小比较，通过求解函数最值求得结果；易错点是求解对数不等式时，忽略定义域的要求.18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x f x a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．【答案】（1）())11fx x -=>；（2）()1-+【分析】（1）首先确定()f x 的值域，再根据解析式反解出x ，再将,x y 互换，标注出定义域（即()f x 的值域）即可得到结果；（2）利用（1）的结论，将不等式化成(211a a +>-，分别在1a =-、1a >-和1a <-三种情况下，利用恒成立的思想求解出实数a 的取值范围.【详解】（1）()22111x f x x x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x >111x∴+>()()1,y f x ∴=∈+∞又11x+=，解得：x =())11f x x -∴=>（2）由（1）得：((11x a a -=>(211a a ∴+>-①当1a =-时，00>，不成立②当1a >-2111a a a ->=-+对2x ≥恒成立11a ∴-<<+③当1a <-1a <-对2x ≥恒成立x →+∞→+∞∴此时a 无解综上所述：()1a ∈-+【点睛】本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等知识，考查运算求解能力；求反函数，一般应分以下步骤：求解出()y f x =的值域，即为所求反函数的定义域；由解析式反求出()x g y =；交换()x g y =中,x y 的位置，标注出定义域即可得到()1fx -.19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦；（2）答案见解析，50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0=t ；当024x <<时，11t x x=+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果；（2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0=t 或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当0x =时，0=t 当024x <<时，11t x x=+12x x +≥ （当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x +→+∞[)12,x x∴+∈+∞110,12t x x⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g t 单调递增又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+⎪⎝⎭()110222g g a ⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤()1524M a g a ⎛⎫∴==+⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a ->()()3034M a g a ∴==+由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2m =，1n =；（2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数定义可求得()g x ；利用()f x 为R 的奇函数可利用特殊值()00f =和()()11f f -=-构造方程求得,m n ；（2）由（1）结论可得()11221x f x =-++，可知()f x 为减函数；利用奇偶性将不等式化为()()2222f t t f k t ->-，由单调性得自变量大小关系，整理可得232k t t >-，由不等式有解可得()2min32k t t >-，根据二次函数最小值可求得结果.【详解】（1）()y g x = 为指数函数，即x y a =，又()24g =2a ∴=，即()2xg x =()122x x n f x m+-+∴=+()f x 是定义域为R 的奇函数()00f ∴=，即102n m -=+1n ∴=又()()11f f -=-1121214m m -+-+∴=-++，解得：2m =（2）由（1）得：()()()1212121122221221x x x x x f x +-++-===-++++2x y = 在R 上单调递增()f x \在R 上单调递减()f x 为奇函数()()22220f t t f t k ∴-+->可化为()()()222222f t t f t k f k t ->--=-2222t t k t ∴-<-，即232k t t>-令()232h t t t =-，则()min 11213333h t h ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭13k ∴>-即k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点包括：待定系数法求指数函数的解析式，利用函数的奇偶性和函数单调性求解函数不等式，根据不等式能成立求解参数范围的问题；关键是能够利用函数性质将函数值的比较转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法得到所求变量与函数最值之间的关系．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．【答案】（1）()2f x x =为M 中元素，理由见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，运用作差法结合新定义，可判断出满足条件，即可得到结论；（2）根据()()f x f x -=-，得到当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+>+⎪⎝⎭，即可得证；（3）分别讨论12,x x 对应点都在()f x 或()g x 上、12,x x 分别在两个函数上两种情况，可验证出结论；举例()2f x x =，()()23g x x =+，取12x =-，21x =-，可验证出不符合条件，即可得到结论．【详解】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，满足条件①()()22121212123333f x f x x x +=+ ，2221212112212121443333999f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()222121211221212122422033339999f x x f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+--=-+-=--< ⎪⎝⎭即：()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+<+⎪⎝⎭，满足条件②∴函数()2f x x =是M 中元素（2）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-若当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫--<-+- ⎪⎝⎭则121212123333f x x fx x ⎛⎫⎛⎫+=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()121212123333f x f x f x f x +=----()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，不满足条件②，()f x M∴∉（3）①若12,x x 对应的点在()f x 或()g x 图象上()(),f x g x Q 都是M 中的元素()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+<+ ⎪⎝⎭，()()121212123333g x x g x g x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭可知结论必然成立②若12,x x 对应的点一个在()f x 上，一个在()g x 上()()()()121212121212333333f x g x g x g x g x x ⎛⎫∴+>+>+ ⎪⎝⎭或()()()()121212121212333333f x g x f x f x f x x ⎛⎫+>+>+ ⎪⎝⎭∴题设结论成立综上所述：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩是M 中元素当()2f x x =，()()23g x x =+，满足()(),f x g x 均为M 中元素当32x ≥-时，()2G x x =；当32x <-时，()()23G x x =+取12x =-，21x =-1212433332x x ∴+=->-，41639G ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭又()()12121213333G x G x +=+=，()()121212123333G x x G x x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭()G x ∴存在不满足条件的情况，不一定为M 中的元素【点睛】本题考查新定义的理解与运用，涉及到函数奇偶性的应用、作差法和反例法的应用，考查学生的推理能力和计算能力，相对较抽象，属于中档题.。
2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设实数、、、均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【详解】（1）若，则，所以不等式即为，若，则可化为，所以两个不等式的解集相同，若，则可化为，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．（2）若关于x的不等式与的解集相同，则，由于、、、均不为0，①若，则不等式的解为，由两不等式的解集相同可得，可得，即必要性成立．②若，同理可得，即必要性成立．综上可得“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的的必要不充分条件．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是准确把握充分必要条件的判断方法，解题时要结合定义求解；二是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．2．解析式为，值域为的函数有（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】根据的值求出相应的的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由，解得；由，解得．所以函数的定义域可为，共9种情况．故选D．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．3．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则.其中真命题的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当成立时，总可以推出成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．4．设、、为实数，，，记集合，，若、分别为集合、的元素个数，则下列结论不可能是（）A．且B．且C．且D．且【答案】D【解析】分和两种情况对方程根的个数进行进行分析后可得正确的结论，进而得到不可能的结论．【详解】①若，,，当时，；当时，；当时，．②若，,，则当时，；当时，；当时，．所以只有D不可能．故选D．【点睛】解答本题的关键是由方程根的情况得到、取值的所有可能，然后再根据选项进行判断，考查分析问题和分类讨论在解题中的应用，具有一定的综合性和难度．二、填空题5．已知全集，，，则__________【答案】【解析】先求出集合，再求出，最后求出．【详解】由题意得，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．6．命题“如果，那么且”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果，那么且”的逆命题为“如果且，那么”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．7．已知集合，，则__________【答案】【解析】分别求出集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故答案为．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．8．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设，∵“”是“”的充分不必要条件，∴ ，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．9．设，则满足的集合的个数为__________【答案】8【解析】分别写出满足条件的集合后可得所求集合的个数．【详解】由题意得，满足题意得集合为，，，，，，共8个．故答案为8．【点睛】解题时要根据集合中元素的个数为标准进行求解，考查理解能力和判断能力，属于基础题．10．函数的定义域为，则的值为__________【答案】2【解析】由题意得不等式的解集为，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数的定义域为，∴不等式的解集为，∴是方程的两个根，∴，整理得，解得．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．11．已知函数，无论取什么实数，函数的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】【解析】将函数解析式变形为，然后令且，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由变形得，解方程组得，所以函数的图象过的定点的坐标为．故答案为．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为（为参数）的形式，则以方程组的解为坐标的点即为定点．12．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】根据一元二次方程根的分布求解，令，则有，解不等式可得所求范围．【详解】令，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴，即，解得，∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．13．给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】试题分析：（3）中时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.【考点】不等式的基本性质.14．若，则的最小值为__________【答案】2【解析】将原式变形后根据基本不等式求解．∵，∴．由题意得，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．15．设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是__________【答案】【解析】表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为3，故有m<-3，由此求得m的取值范围．【详解】∵，不等式对任意实数恒成立，∴对任意实数恒成立，又表示数轴上的对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．16．对于实数和正数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________【答案】【解析】先根据条件求出；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到，最后结合不等式的知识可求出的最小值．【详解】∵A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，∴，∴，解得．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴，∴．∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．故答案为．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．三、解答题17．已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.【答案】【解析】若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，进而可得答案【详解】存在满足条件．理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程只有一个根，①当，即时，由，解得，满足题意．②当，由A有且仅有一个元素得，解得．综上可得或，∴所有的的值组成的集合．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18．我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】时，总造价最低为132000元.【解析】设的长为米，进而得到宽为米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设的长为米，则宽为米，由题意得总造价为，当且仅当，即时等号成立．所以当净水池的长米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19．已知，集合，集合.（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），当，，当，，当，；（2）.【解析】（1）解不等式得出集合A、B；（2）根据A∩B=B得出B⊆A，讨论B=和B≠时，求出满足条件的实数的取值范围．【详解】（1）由题意得．当，即时，；当，即时，；当，即时，．（2）∵，∴B⊆A．①当时，，满足B⊆A；②当时，，满足B⊆A；③当时，，由B⊆A得或，解得或，又，∴或．综上可得或，∴实数的取值范围为．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20．已知函数，，满足.（1）求实数的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数的图像，并且根据图像判断：若关于的方程有两个不同实数解，求实数的取值范围（直接写结论）【答案】（1）；（2）图象见解析，.【解析】（1）直接由f（2）=-2求得m的值；（2）把m值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x的方程f（x）=k有两个不同实数解的实数k的取值范围．【详解】（1）∵，，且，∴，即，解得或，又，∴．（2）由（1）得，当时，，∴函数在和上为减函数；当时，，∴函数在上为增函数，且．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x的方程有两个不同实数解，则，∴实数k的取值范围是．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21．已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数、，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.【答案】（1）属于集合；（2）；（3）略.【解析】（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明f（x）属于集合M．（2）若p（x）∈M，则有，然后可求出当时，p（x）∈M．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h（x）的“绝对差上确界”T的值．【详解】（1）设，则，∵，∴，∴∴，∴函数属于集合．（2）若函数，属于集合，则当时，恒成立，即对恒成立，∴对恒成立．∵，∴，∴，解得，∴存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为．（3）取，则对区间的任意划分：，和式，∴集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。
上海市2018-2019复旦附中高一数学上册期末试卷(含答案)
复旦大学附属中学2018学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题1.函数()3x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过的一个定点，这个定点的坐标是____________．2.函数y =的定义域为____________．3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥．经过____________分钟，该物质温度为5摄氏度．4.函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是____________．5.函数()()1224174f x x x -=-+的单调递增区间是____________．6.函数()0.52log 1x f x x =-的零点个数为____________个7.若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则a 的取值范围是____________．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．9.当lg lg a b =，a b <时，则2a b +的取值范围是____________．10.函数()142xf x =-的图像关于点____________成中心对称．11.设{}()()()21,1112,121M y y xN y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭．若N M ⊆，则实数m 的取值范围是____________．12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x ∈R ，()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________．二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（）A.3y x ==和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20x y x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A.lg y x x =+B.lg y x x =-+C.lg y x x =-D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1123x x x n f x n x m -+--≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x xm -++=∈Z 是奇函数，且()()12f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()22121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域．18.已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）当2a =时，满足()1f x >的x 的取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -．19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度—输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在钢带上压出一个疵点，在冷轧机输出的钢带上，疵点的间距为k L ，易知41600L =mm ，为了便于检修，请计算123,,L L L ．20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）．（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242xxxf <++在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g m f g n f g p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=．（1）证明：()01f =；（2）比较()11,,122f f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由；（3）对任意的,,x y Q x y +∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由．参考答案一、填空题1.()1,1- 2.(],6-∞ 3.14.()1,3 5.[)4,+∞ 6.27.53a >或1a ≤-8.1-9.()3,+∞10.()2,011.()1,0-12.[)3,+∞二、选择题13.B 14.A 15.C 16.C三、解答题17.（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ ；（2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩19.（1）11；（2）1233125,2500,2000L L L ===20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-（3）515155,,315153⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）略；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()f x f y <。
上海市2017高一数学上学期期末考试[1]
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2016学年度第一学期高一数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分:100分 ）一、填空题(本大题共12小题，满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.已知幂函数()y f x =的图像过点1,22⎛ ⎝⎭，则2log (2)f =__________。
2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ，则=*B A ________________。
3。
关于x 的不等式2201a xx a ->--（1a ≠)的解集为_____________。
4.函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是_______________________.5.已知集合{}2,A x x x R =>∈，{}1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”.则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________。
6。
已知关于x 的方程a x-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1121有一个正根,则实数a 的取值范围是______________。
2017-2018年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第项3．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝10．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n ＝．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a1015．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝6【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝0，a6+a7＝10，得2a4+5d＝10，即d＝2．∴a7＝a4+3d＝6．故答案为：6．2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第7项【解答】解：a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，a4﹣a3＝23，…依此类推可得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1∴a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3…+a n﹣a n﹣1＝a n﹣a1＝21+22+23+…+2n﹣1＝2n﹣2∴a n﹣a1＝2n﹣2，a n＝2n﹣1，∴2n﹣1＝127，解得n＝7，故答案为：73．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为a n＝【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝1﹣1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣1﹣（n﹣1）2+1＝2n﹣1，则a n＝，故答案为：a n＝．4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝2【解答】解：{a n}是等比数列，a m•a n＝a p•a q．由a1•a2…a9＝512，即，∴a5＝2．故答案为：2．5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是【解答】解：方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0，整理得：（3cos x﹣1）•2sin（x+）＝0．故：cos x＝或sin（x+）＝0，解得：x＝或x＝﹣（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x＝﹣，k∈Z}故答案为：{x|}，x＝﹣，k∈Z}6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为【解答】解：数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝13+1+2+…+（n﹣1）＝13+n（n﹣1），则＝n+﹣，由n+≥2＝，当且仅当n＝∉N*，由n＝5可得×5+﹣＝；由n＝6可得×6+﹣＝，则的最小值为．故答案为：．7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．【解答】解：，＝，，…，可得1++ +…+＞，故答案为：1+++…+＞9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【解答】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+2310．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【解答】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+＝46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【解答】解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211＝＝4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12＝＝78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n＝n•（2n+1﹣1）．【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为++…+的形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，＝，故答案为：n•（2n+1﹣1）．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若b是与的等差中项，则b＝＝1，若b是与的等比中项，则b＝±＝±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a10【解答】解：∵在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，∴＝×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•27﹣n．∴＝1×（﹣1）0+1+……+（n﹣2）×26+5+……+（8﹣n）＝，∵＝+．由n＝7或8时，＝﹣1，n＝6或9时，a6＝220＝a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．15．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}【解答】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，＝cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选：D．16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2＝sin（a）＝a，解得a＝0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2＝sin（a），由函数f（x）＝sin（x）﹣x，x∈（0，1），f′（x）＝cos（x）﹣1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m＝arccos，极值为f（m）＝﹣arccos＞0，由f（0）＝f（1）＝0，可得a2＞a1，则a3﹣a2＝sin（a2）﹣sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a∈（0，1），任取{an}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，{}是单调递增数列；由f（x）＝sin（x）﹣x，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜﹣1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜﹣1时，数列{a n}单调递增；﹣1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7＝20，得a4+a6＝20，又a4a6＝96，可得或．∵d＞0，∴，则d＝．∴a n＝a4+2（n﹣4）＝2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴，即（n≥2），∵满足上式，∴．则，∴数列的前n项和S n＝（b1+b2+…+b n）+＝．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．【解答】解：（1）∵a n＝，∴a1＝b﹣1，a2＝9c，a3＝3b﹣1，a4＝81c．∵a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．∴2a3＝a1+a2，＝a1a4，∴2（3b﹣1）＝b﹣1+9c，81c2＝（b﹣1）×81c，b，c≠0．联立解得：b＝2，c＝1．（2）由（1）可得：a n＝，∴S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+5+……+4n﹣3）+（32+34+……+32n）＝+＝2n2﹣n+，由，解得n＞6．∴n＝7．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．【解答】解：（1）a2＝100000×（1+5%）﹣m（1+5%）2﹣m＝110250﹣2.05m．（2）a10＝100000×（1.05）10﹣m×（1.05）9﹣m×（1.05）8﹣……﹣m＝0，100000×1.0510﹣＝0，解得：m＝≈12950．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．【解答】解：（1）∵a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*），则时，＝＝＝﹣2，∴时，为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n﹣＝×（﹣2）n﹣1，∴，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．【解答】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5﹣a4）＞a4﹣a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|﹣|S2|＞|S2|﹣|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或或，即d≤﹣1或﹣1＜d＜﹣或d＞0，可得；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n＝1时，u1＝，v1＝a2，显然a3﹣a2＞a2﹣a1即u1＞v1．设n＝k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n＝k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．。
2016-2017学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）函数y＝的定义域为．2．（4分）已知函数f（x）＝，则f（2017）等于．3．（4分）已知函数的定义域是非零实数，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于．4．（4分）设函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x ≠﹣1），则g（x）＝．5．（4分）函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2）的递增区间是．6．（4分）函数y＝lg（﹣1）的图象关于对称．7．（4分）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b的代数式表示log1225＝．8．（4分）函数f（x）＝log a（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则a＝．9．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．10．（4分）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是．11．（4分）已知函数y＝f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝2|x|﹣1，则函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有个．12．（4分）若x1满足2x+2x＝5，x2满足2x+2log2（x﹣1）＝5，则x1+x2＝．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是单调递增的是（）A．y＝B．y＝（）|x|C．y＝ln|x|D．y＝x314．（4分）关于x的方程＝x+m有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．m≥1或m＜B．m＞1或m≤C．＜m≤1D．≤m＜1 15．（4分）已知函数f（x）＝，且y＝f﹣1（x﹣1）的图象对称中心是（0，3），则a的值为（）A．B．2C．D．316．（4分）设a，b，c均为正数，且2a＝a，（）b＝b，（）c＝log2c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．（10分）已知函数f（x）＝2+1og3x（1≤x≤9），求函数y＝f2（x）+f（3x）的最大值和最小值．18．（10分）设函数f（x）＝（a∈R）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式；（3）若k∈R+，解不等式ln．19．（12分）若偶函数f（x）＝+1（m∈Z）在R+上是增函数．（1）确定函数y＝f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）（x∈（∞，t]）的最小值d（t）的解析式；（3）设g（x）＝﹣ax（a＞1），证明：函数y＝g（x）在R+上是减函数．20．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g （x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）＝log a（x﹣3a），与f2（x）＝log a （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？21．（12分）在R上的递减函数f（x）满足：当且仅当x∈M⊆R+，函数值f（x）的集合为[0，2]且f（）＝1；对M中的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）．（1）求证：∈M，而M；（2）证明：f（x）在M上的反函数f﹣1（x）满足f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）解不等式：f﹣1（x2+x）•f﹣1（x+2）≤，（x∈[0，2]）2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．【解答】解：根据函数y＝有意义可知解得：x≥1故答案为：[1，+∞）2．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（2017）＝f（2）＝f（﹣3）＝＝﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：对函数求导，得，又在（﹣∞，0）上是增函数，（1）当≥1，则必须为奇数（否则为减函数），则＞0，可得，得a≤﹣5，不符合题意，舍去．（2）当1＞＞0，则﹣2＞a＞﹣5，不符合舍去．（3）当时，必须符合﹣a﹣2为负奇数，则解得a＞1故答案为：3．4．【解答】解：函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x≠﹣1），令y＝，解得x＝，且y≠﹣1，交换x、y，得g（x）＝，（x≠﹣1）．故答案为：（x≠﹣1）．5．【解答】解：对于函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2），由x2﹣x﹣2＞0，求得x＜﹣1，或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2}，本题即求函数t＝x2﹣x﹣2在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t＝x2﹣x﹣2在定义域{x|x＜﹣1，或x＞2} 内的减区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．6．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝lg（﹣1）＝lg，∴函数y＝f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）＝lg＝lg（）﹣1＝﹣lg＝﹣f（x），故函数y＝f（x）为奇函数，故函数y＝lg（﹣1）的图象关于原点对称，故答案为：原点7．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log1225＝＝＝＝．故答案为：．8．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，则，解得：a＝，当a＜1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则无解；故a＝．故答案为：9．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y＝k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y＝k和f（x）有3个交点，即方程f（x）＝k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．10．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜811．【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点个数，即方程f（x）﹣|lgx|＝0的根的个数，也就是函数y＝f（x）与y＝|lgx|的交点个数，作出两函数的图象如图：由图可知，函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有10个．故答案为：10．12．【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）＝5 ②所以由①得：⇒x1＝log2（5﹣2x1）即2x1＝2log2（5﹣2x1）令2x1＝7﹣2t，代入上式得7﹣2t＝2log2（2t﹣2）＝2+2log2（t﹣1）⇒5﹣2t＝2log2（t ﹣1）又∵由②式得：5﹣2x2＝2log2（x2﹣1），易知t＝x2于是2x1＝7﹣2x2即x1+x2＝故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．【解答】解：A.是奇函数，∴该选项错误；B.是偶函数；x＜0时，；∴该函数在（﹣∞，0）上是单调递增的；∴该选项正确；C．x＜0时，y＝ln|x|＝ln（﹣x）；∴该函数在（﹣∞，0）上单调递减；∴该选项错误；D．y＝x3是奇函数，∴该选项错误．故选：B．14．【解答】解：令y＝（x），则y2＝2x+1（x），其图象如图，联立，可得y2﹣2y+2m﹣1＝0．由△＝4﹣4（2m﹣1）＞0，得m＜1．又x+m≥0恒成立，得m≥﹣x恒成立，而x，∴﹣x，∴m．综上，＜1．故选：D．15．【解答】解：设，反解x＝，∴的反函数是f﹣1（x）＝，∴f﹣1（x﹣1）＝∴f﹣1（x﹣1）＝a+1+，其对称中心是（0，a+1）∵f﹣1（x﹣1）的图象的对称中心是（0，3），所以a+1＝3，所以a＝2．故选：B．16．【解答】解：在平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x，y＝（）x，y＝log2x图象，如图：可得a＜b＜c．故选：C．三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．【解答】解：函数y＝f2（x）+f（3x），由，解得≤x≤3，可得g（x）的定义域为[，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log33x）＝（log3x+）2+，可令t＝log3x，∵≤x≤3，∴﹣1≤t≤1，h（t）＝（t+）2+在﹣1≤t≤1递增，当t＝﹣1时，即x＝时，函数h（t）取得最小值3；当t＝1即x＝3时，h（t）取得最大值13，∴当x＝时，g（x）有最小值3；当x＝3时，g（x）有最大值13．18．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数；∴；∴a＝1；（2）设y＝f（x），则；∴；∴；∴函数f（x）的反函数，x∈（﹣1，1）；（3）解得，﹣1＜x＜1；∴由ln得，；∴，且k＞0；∴1﹣x＜k；∴x＞1﹣k；①若﹣1＜1﹣k＜1，即0＜k＜2，则原不等式的解集为（1﹣k，1）；②若1﹣k≤﹣1，即k≥2，则原不等式的解集为（﹣1，1）．19．【解答】解：（1）因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以﹣m2+m+＞0，解得：﹣1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或m＝1或m＝2，当m＝0时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意；当m＝1时，f（x）＝x2+1，符合题意；当m＝2时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意．综上所述：f（x）＝x2+1（2）当t≤0时，f（x）在（﹣∞，t]上是减函数，所以x＝t时，d（t）＝t2+1；当t＞0时，d（t）＝1，综上所述：d（t）＝（3）g（x）＝﹣ax，（a＞1）g′（x）＝＝＝，因为，a＞1，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数．20．【解答】解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有，要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1（x）﹣f（x2）|≤1⇔|log a（x﹣3a）﹣|≤1⇔|log a[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1⇔a ≤（x﹣2a）2﹣a2对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）＝（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x＝2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔⇔⇔，所以当，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．21．【解答】解：（1）证明：因为∈M，又＝×，f（）＝1，所以f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝2∈[0，2]，所以∈M，又因为f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝3∉[0，2]，所以∉M；（2）因为y＝f（x）在M上递减，所以y＝f（x）在M有反函数y＝f﹣1（x），x∈[0，2]任取x1、x2∈[0，2]，设y1＝f﹣1（x1），y2＝f﹣1（x2），所以x1＝f（y1），x2＝f（y2）（y1、y2∈M）因为x1+x2＝f（y1）+f（y2）＝f（y1y2），所以y1y2＝f﹣1（x1+x2），又y1y2＝f﹣1（x1）f﹣1（x2），所以：f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）因为y＝f（x）在M上递减，所以f﹣1（x）在[0，2]上也递减，f﹣1（x2﹣x）•f﹣1（x+2）≤等价于：f﹣1（x2﹣x+x+2）≤f﹣1（2）转化为，解得，即﹣1≤x≤0；∴不等式的解集为[﹣1，0]．。
【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
是注意分类讨论思想方法在解题中的应用．本题具有综合性，考查分析问题和解决问题的能力．
14. 解析式为
， 值域为
的函数有 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】 D
【解析】
【分析】
根据 的值求出相应的 的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．
【详解】由
，解得
；
由
，解得
A. 充分不必要 【答案】 B
B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．
【详解】（1）若
，则
，
与
的解集相
所以不等式
即为
，
若
，则
可化为
，所以两个不等式的解集相同，
若
，则
可化为
，此时两个不等式的解集不相同，所以充分性不成立．
100 元/ 平方米，池底建造单价为 60 元 /
平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长
为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？
【答案】 【解析】
时，总造价最低为 132000 元 .
【分析】 设 的长为 米，进而得到宽 为 米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的 最小值即可． 【详解】设 的长为 米，则宽 为 米， 由题意得总造价为
【详解】存在
满足条件．理由如下：
只有一个根，进而可得答
若集合 A 有且仅有两个子集，则 A 有且仅有一个元素，
即方程
只有一个根，
①当，即时， Nhomakorabea由
，解得
，满足题意．
②当
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上海复旦附中2017-2018学年高一上学期期末数学
试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 下列函数中,在区间上为增函数的是
A．B．
C．D．
2. 函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是
A．B．C．D．
3. 如果函数图象上任意一点的坐标都满足方程
，那么正确的选项是（）
A．是区间上的减函数，且
B．是区间上的增函数，且
C．是区间上的减函数，且
D．是区间上的减函数，且
4. 若函数的反函数为，则函数与的图象可能是
A．B．C．D．
二、填空题
5. 函数的定义域是________.
6. 函数的反函数______．
7. 设，则__________．
8. 若则的最小值为_________.
9. 幂函数是奇函数，则______．
10. 函数的单调递减区间是______．
11. 函数的值域是______．
12. 设关于的方程的不同实数解的个数为，当实数变化时，的可能取值组合的集合为______．
13. 对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______.
14. 若函数在时取得最小值，则实数的取值范围是______；
三、双空题
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．
①______；
②若的值域是，则的取值范围是______．
四、填空题
16. 已知函数，的最大值为，则的解析式
为______．
五、解答题
17. 已知关于的不等式，其中．
（1）当时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数的取值范围．
18. 已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的范围．19. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，
，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
20. 指数函数满足，且定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．
21. 设集合为下述条件的函数的集合：①定义域为；②对任意实数
，都有．
（1）判断函数是否为中元素，并说明理由；
（2）若函数是奇函数，证明：；
（3）设和都是中的元素，求证：也是中的元素，并举例说明，不一定是中的元素．。