固体物理(第4课)倒易空间

b1、 b2、 b3： 原胞基矢 倒易点阵 a1、 a 2、 a 3： 原胞基矢 正点阵
a2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b3 2 a1 a 2 V V a1 ( a 2 a3 ) 原胞体积
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的 恒等式：
e
iGT
1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系： ( 2 ) 3 V* b1 (b2 b3 ) 可见 V* 与V互为倒数 V 上式利用了 A B C ( A C ) B ( A B )C
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
-b1
b2
b1 －b2
离原点次近的倒 格点有４个： -b1＋b2 b1＋b2 ，b1-b2 ，b2， -b2．
b1＋b2
－b1-b2
b1-b2
离原点再远的倒格点有４个： ２b1，-２b1，２b2，-２b2．
２b２
－２b1
２b1
－２b２
二维正方晶格的布里渊区
面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其 晶胞常数为 4a 。
示意图
布里渊区示意图1
b３ －b2 -b1 b2 b1
－b３
离原点最近的倒格点有 6个：±b1，±b2，±b３．
2 简约布里渊区：简立方体 V V倒易原胞 a
3
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布里渊区示意图2-1
倒易
C
B
A
体心立方的倒易点 阵是面心立方 离原点最近的有 １２个倒格点
1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P B A O
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量， S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为： A0 OB -R S R S R ( S-S )
1 b1的方向沿a2、a3构成的晶面的法线方向 ： 2：b 2 d1是a2、a3构成的晶面族的面间距 1 d1
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系： i 2， j ai b j 2ij 0，i j
a1 d h1h2 h3＝ h1
Gh a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 Gh h1 Gh Gh
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3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ (r ) r x1a1 x2 a2 x3 a3 x1、x2、x3 R 若有r ＝r Rl， Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 l1、l2、l3 Z 则有Γ (r ) Γ (r ) (示意图) Γ (r )为周期函数 将Γ (r )作傅里叶级数展开，有： Γ (r ) ＝
3
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面心立方晶格的第一布里渊区
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
2 Γ： 0,0,0 a 2 X： 1,0,0 a 2 3 3 K： , ,0 a 4 4 2 1 1 1 L： , , a 2 2 2
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
位置空间 坐标空间
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格
a1 a i 2 b1 i a
(2) 二维晶格
a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 k ＝ a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
(2) 两个点阵格矢之间的关系： 正点阵： 正格矢 Rl l1a1 l2a2 l3a3 l1、l2、l3 Z 倒易点阵： 倒格矢Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1、h2、h3 Z 则有： Rl Gh 2 Z ＝ 结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量 为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
l 0 l l 0
当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl•(S-S0)=u •λ 令 ，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
Gh k -k 0
有 Rl• Gh = 2π u
2

(S S0 )
2 相应的倒格矢长度 K ( n1 ,n2 ,n3 ) a 2 这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：
其体积正好等于倒格子原胞的体积大小．
布里渊区示意图2-2
：坐标原点 0,0,0 2 1,0,0 ： 100 H： a 2 1 1 ： 110 N： , ,0 a 2 2
n
傅 里 叶 变 换 ： F ( )


-
f (t )e it dt

1 傅 里 叶 逆 变 换 ：(t ) f 2

-
F ( )e
it
d
2 T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构 显微图像 倒易点阵 虚构 衍射图像
微观粒子
线度量纲：L
一族晶面
线度量纲：L－1
b
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞 常数为 4a 。
c. 面心立方晶格
2 a a1 2 ( j k ) b1 a ( i j k ) 2 a 4 (i j k ) b a2 (i k ) b2 2 a a 2 a a3 (i j ) b3 (i j k ) 2 a
Ce
n
iG n r

n n
C e
n
iG n r
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3， n1、n2、n3 Z 1 iGn r Cn Γ (r )e dr (Gn ) (Gn )是Γ (r )的 傅 里 叶 变 换 V n iGn r Γ (r ) (Gn )e ＝ Γ ( r )是 (Gn )的傅里叶逆变换
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。 若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵. (b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
a1 ai a 2 aj
a2 a3 b1 2 a a a 1 2 3 a 3 a1 b2 2 a1 a 2 a 3
2 a 2 a
i j
： 111 2 P： a 1 1 1 , , 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体 2 V 2 V倒易原胞 a
3
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布里渊区示意图3-1
倒易
６个次 邻格点
面心立方的倒 易点阵是体心 立方
离原点最近的有 ８个倒格点
9 2π 3 8面体的体积是 ( )， 2 a 8 2π 3 而第一布里渊区的体积 是 ( ) 2 a 因此正8面体不是第一 布里渊区。
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体



倒格矢 K n n1 b n2 b n3 b 3 1 2 2 [( n2 n3 )i (n1 n3 ) j (n1 n2 )k ] a
体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有 十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
b1
b3
b2
b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 2π a a2 (i j k ) b2 (i k ) 2 a a3 a ( i j k ) b3 2π (i j ) 2 a 4π a
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(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系： 正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2 h3） 倒易点阵中倒格矢： Gh h1b1 h2 b2 h3b3 Gh // ( h1h2 h3 ) 法线方向 2 则有： 证明如下： Gh ＝ d h1h2h3
点 阵 ： 原 胞 基 矢1、 a 2、 a3 a
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 ， V a1 (a 2 a3 ) 原 胞 体 积 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
二维长方晶格的布里渊区
二维六方晶格的十个布里渊区
(3) 三维晶格
a. 简立方晶格
b1 a1 ai a 2 aj b2 a ak 3 b 3
倒易空间示意图
2 a 2 a 2 a i j 倒易点阵仍为简立方晶 格 k
n1 n2 n3 n1 n2 n3
Ce
n
iG n r

n n
C e
n
iG n r
Γ (r ) ＝
n1 n2 n3 n1 n2 n3
2 ( n2 n3 , n1 n3 , n1 n2 ) a
2 2 2 2 (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0), a a a a 2 2 2 2 (1,0,1), (1,0,1), (1,0,1), (1,0,1), a a a a 2 2 2 2 (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1). a a a a