解三角形公式汇总

解三角形常用变换公式及经典例题

解三角形知识点：1〃正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2〃余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3〃（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.（1）三角形内角和等于0180，即0180=++C B A ,灵活变形，如)(1800C B A +-=等（2）大边对大角,即若c b a >>，则C B A >>2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为三角形外接圆半径）变形：(1)C B A c b a sin :sin :sin ::= (2)R a A 2sin =,R b B 2sin =,Rc C 2sin =（角化边） (3)A R a sin 2=, B R b sin 2=,C R c sin 2=（边化角）3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：A bc c b a cos 2222-+= ；B ac c a b cos 2222-+= ；C ab b a c cos 2222-+= 变形： bc a c b A 2cos 222-+= ； ac b c a B 2cos 222-+= ； ab c b a C 2cos 222-+=条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理（注意解的个数）余弦定理余弦定理余弦定理4.三角形的面积公式C ab S sin 21=，B ac S sin 21=，A bc S sin 21= 5.三角形形状的判断：若0cos >A ，A 为锐角；若0cos =A ，A 为直角；若0cos <A ，A 为钝角例1．在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定例2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°例3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．93D ．183例4．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（）A ．23B ．－23C ．14D ．－14例5．在ABC ∆中，若,cos sin bBa A =则B 的值为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90例6．在ABC ∆中，若,sin 23A b a =则B 为（） A.3π B. 6π C. 3π或32π D.6π或65π例7．在ABC ∆中，,sin sin sin 222C B A =+求证ABC ∆为直角三角形。

解三角形解三角形公式汇总一、正弦定理正弦定理：公式推论1：（边化角）推论2：（角化边）题（1）已知sinB 求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

型（2）asin B＝2b:方法：边化角，推论1，a：b=sinA ：sinB（3）3sin A＝5sinB 或sinA:sinB:sinC=1:2:3方法：角化边，推论2,sinA ：sinB=a：b二、余弦定理公余弦定理：（已知两边及夹角，求第三边）推论1：（已知三边，求角）推论2：（三边的平方关系）式2＋b2－c2=2abcosC2＋c2－a2=2bccosA2＋c2－b2=2accosBaba题（1）已知a，b，角C,求c 2=a2＋b2-2abcosC方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理 c型（2）已知a：b：c=1:2：，求cosB方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3）已知，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2， b2＋c2－a2=2bccosA1解三角形三、求三角形面积公式：题型1：已知a，b，c，A 求△ABC 的面积．方法：带公式题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC 的面积．方法：四、判断三角形形状题型： b cosC c cosB asin A ，判断三角形形状方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin 2A，用三角恒等变换公式求解。

注：三角形内常见角度转化：五、解三角形应用举例仰角：俯角：坡度：2。

余弦定理公式大全

正弦、余弦定理解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。

专题一、二：解三角形

专题一正余弦定理知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径）常见的变形有：①::sin :sin :sin a b c A B C =；②sin sin a A b B =，sin sin a A c C =，sin sin b Bc C=；③sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++；④边化角公式：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；⑤角化边公式：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；⑥sin sin sin sin sin sin A B a b A BA B a b A B A B a b A B <⇔<⇔<⎧⎪=⇔=⇔=⎨⎪>⇔>⇔>⎩；2.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

利用正弦定理可以解两类三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

剖析：已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解。

已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解、或无解，一般常用的方法是利用大边对大角，小边对小角定理来验证。

3.在△ABC 中常见的公式：（如图）①111sin sin sin 222S ab C ac B bc A===②111222a b c S ah bh ch ===AcbaBCh aAcbaBC③4abcS R=（R 表示三角形外接圆的半径）④22sin sin sin S R A B C =⑤1()2S r a b c =++（r 表示三角形内切圆的半径）⑥海伦公式：S =，其中1()2p a b c =++.4.余弦定理定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结

解三角形常用知识点归纳与题型总结1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒. 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== （1）和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.（2）二倍角公式 sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==（3）辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式)8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

解三角形公式大全

解三角形公式大全
解三角形是初中、高中数学中重要的内容，通常需要掌握一些基本的三角函数公式和定理。

下面是一些常用的解三角形公式：
1.正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC（其中a、b、c为三角形三边的长度，A、B、C为对应的内角度数）。

2.余弦定理：a = b + c - 2bc cosA（其中a、b、c为三角形三边的长度，A为对应的内角度数）。

3.正切定理：tanA = (a/b) / (1 - a/b)^(1/2)。

4.半角公式：sin(A) = (u/v)^(1/2)，cos(A) = (1 +
u/v)^(1/2)/v^(1/2)（其中u = 1 - cosA，v = 1 + cosA）。

5.万能公式：tan(A/2) = [(s-b)(s-c)]^(1/2) / [s(s-a)]^(1/2) + [(s-a)(s-c)]^(1/2) / [s(s-b)]^(1/2)（其中a、b、c为三角形三边的长度，s为半周长）。

6.勾股定理：a + b = c（其中a、b、c为直角三角形两条直角边的长度和斜边长度）。

上述公式和定理，可以帮助我们解决不同类型的三角形题目。

需要注意的是，在应用这些公式时，要根据具体的问题情况选择合适的公式并进行变形计算。

此外，还需要掌握一些基本的三角函数值及其特点，有助于更好地理解和运用这些公式。

三角形的公式,应用题解方程

三角形的公式,应用题解方程
设三角形ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。

已知三角形的部分边和角，而求剩下的边和角的过程叫做解三角形。

三角形的内角和公式：三角形的内角和等于180°。

即
A+B+C=180°。

正弦定理：在解三角形的问题中，正弦定理和正弦定理的推论常用于“已知两角和一边”、“已知两边和其中一边的对角”的情况。

余弦定理：余弦定理的公式有三个。

1、a的平方=b的平方+c的平方-2bccosA；2、b的平方=a的平方+c的平方-2accosB；3、c的平方=a的平方+b的平方-2abcosC。

勾股定理：若三角形ABC为直角三角形，C为直角，A、B、C的对边分别为a、b、c，则有a的平方+b的平方=c的平方。

应用题解方程：一个等腰三角形，底角是顶角的2倍，这个等腰三角形的底角是多少度？。

三角形边长计算公式大全-求边长的公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC 满足，则∠ABC=90°。

解三角形公式

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）步骤1.在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。

作CH⊥AB垂足为点DCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC余弦定理：a方=b方+c方-2bcCOSAb方=a方+c方-2acCOSBc方=a方+b方-2abCOSC后面的有的有用：S=(1/2)ah=(1/2)absinC=abc/(4R)=(1/2)(a+b+c)ra/sinA=b/sinB=c/sinC=2R两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-sinBcosAcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A = 2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a = (cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2sin2A = 2sinA*cosA三倍角公式sin3a = 3sina-4(sina)^3cos3a = 4(cosa)^3-3cosatan3a = tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)半角公式sin(A/2) = √((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2) = √((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2) = √((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2) = √((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) tan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)sin(a)-sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cos(a)+cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)cos(a)-cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差公式sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(pi/2-a) = cos(a)cos(pi/2-a) = sin(a)sin(pi/2+a) = cos(a)cos(pi/2+a) = -sin(a)sin(pi-a) = sin(a)cos(pi-a) = -cos(a)sin(pi+a) = -sin(a)cos(pi+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA万能公式sin(a) = (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a) = (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a) = (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a) = (sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a) = (sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)双曲函数sinh(a) = (e^a-e^(-a))/2cosh(a) = (e^a+e^(-a))/2tgh(a) = sinh(a)/cosh(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)。

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式各种三角形边长的计算公式范文一解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB²+BC ²=AC²勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC 满足，则∠ABC=90°。

三角函数及解三角形公式一览

三角函数及解三角形公式一览三角函数和解三角形是数学中重要的概念和工具。

三角函数主要涉及角的度量和三角关系，解三角形则是通过给定的一些已知信息来求解三角形的边长和角度。

本文将详细介绍常见的三角函数和解三角形的公式，其中包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的定义和性质，以及利用这些函数求解三角形的几何关系和应用。

一、三角函数的定义和性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，其定义域是所有实数，值域是[-1,1]。

它的定义公式为：sinθ = 对边 / 斜边sin(θ + 2πk) =sinθsin(π/2 - θ) = cosθ2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，定义域是所有实数，值域是[-1,1]。

它的定义公式为：cosθ = 邻边 / 斜边cos(θ + 2πk) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθ3. 正切函数（tan）正切函数是无界函数，其定义域是所有实数，值域是整个实数轴。

它的定义公式为：tanθ = 正弦 / 余弦 = 对边 / 邻边tan(θ + πk) = tanθtan(π/2 - θ) = 1 / tanθ4. 余切函数（cot）余切函数也是无界函数，定义域是所有实数，值域是整个实数轴。

它的定义公式为：cotθ = 余弦 / 正弦 = 邻边 / 对边cot(θ + πk) = cotθcot(π/2 - θ) = 1 / cotθ5. 正割函数（sec）正割函数是无界函数，其定义域是除了90°的倍数的所有实数，值域是(-∞,-1]∪[1,+∞)。

它的定义公式为：secθ = 1 / 余弦 = 斜边 / 邻边sec(θ + 2πk) = secθsec(θ + π) = -secθ6. 余割函数（cosec）余割函数也是无界函数，定义域是除了180°的倍数的所有实数，值域是(-∞,-1]∪[1,+∞)。

它的定义公式为：cosecθ = 1 / 正弦 = 斜边 / 对边cosec(θ + 2πk) = cosecθcosec(θ + π) = -cosecθ二、解三角形的公式解三角形是指通过给定的一些已知信息（如边长或角度）来求解三角形的未知信息。

三角恒等变换和解三角形公式

三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。

这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。

解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。

下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。

一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。

(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。

4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。

5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。

1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形：在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解.两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解.三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解.两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC满足,则∠ABC=90°.[3]射影定理（欧几里得定理）内容：在任何一个直角三角形中,作出斜边上的高,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积.几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC,则BD²＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC,(1)AB²=BD·BC (2)AC²;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD正弦定理内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）余弦定理内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a²=b²+c²-2bc×cosA 此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）÷2bc。