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有关过山车的几个典型例题

例题1

目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图．赛道光滑，FGI 为圆弧赛道，半径R=6.5m ，C 为最低点并与水平赛道BC 位于同一水平面，KA 、DE 平台的高度都为h=1.8m 。B 、C 、F 处平滑连接。滑板a 和b 的质量均为m ，m=5kg ，运动员质量为M ，M=45kg 。

表演开始，运动员站在滑板b 上．先让

滑板a 从A 点静止下滑，t 1=0.1s 后再与b

板一起从A 点静止下滑。滑上BC 赛道后，

运动员从b 板跳到同方向运动的a 板上，在空中运动的时间t 2=0.6s(水平方向是匀速运动)。运动员与a 板一起沿CD 赛道上滑后冲出赛道，落在EF 赛道的P 点，沿赛道滑行，经过G 点时，运动员受到的支持力N=742.5N 。(滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g=10m/s 2

)

(1)滑到G 点时，运动员的速度是多大?

(2)运动员跳上滑板a 后，在BC 赛道上与滑板a 共同运动的速度是多大?

(3)从表演开始到运动员滑至I 的过程中，系统的机械能改变了多少？

考点分析

本题考查了牛顿第二定律，机械能守恒定律，动量守恒定律和运动学知识，运动过程较复杂。 解题思路

(1)在G 点，运动员和滑板一起做圆周运动，设向心加速度为a 向，速度为v G ，运动员受到重力Mg 、滑板对运动员的支持力N 的作用，

则 N-Mg=Ma 向 ① a 向=R

v 2

G ② N-Mg=M R v 2G ③ M

)Mg N (R v G -= ④ v G =6.5m/s ⑤

{2)设滑板a 由A 点静止下滑到BC 赛道后速度为v 1，由机械能守恒定律有

21mv 2

1mgh = ⑥ gh 2v 1= ⑦

运动员与滑板b 一起由A 点静止下滑到BC 赛道后．速度也为v 1。

运动员由滑板b 跳到滑板a ，设蹬离滑板b 时的水平速度为v 2，在空中飞行的水平位移为s ， 则s=v 2t 2 ⑧

设起跳时滑板a 与滑板b 的水平距离为s 0，

则s 0=v 1t 1 ⑨

设滑板a 在t 2时间内的位移为s 1，

则 s 1=v 1t 2 ⑩

s=s 0+s 1

即v 2t 2=v 1(t 1+t 2)

运动员落到滑板a 后，与滑板a 共同运动的速度为v ，由动量守恒定律有

mv 1+Mv 2=(m+M)v

由以上方程可解出

gh 2t )m M ()t t (M mt v 2212+++=

代人数据，解得v=6.9m/s

(3)设运动员离开滑板b 后．滑扳b 的速度为v 3，

有Mv 2+mv 3=(M+m)v 1

可算出v3=-3m/s ，有|v 3|=3m/s

系统的机械能改变为

gh )M m m (mv 21v )m M (21E 232G ++-++=∆

ΔE=88.75J

正确答案是：6.5m/s 6.9m/s 88.75J

失分陷阱 运动过程分析不清，因此搞不清物体在运动中遵守什么规律。

2、（2018年安徽卷）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的

=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg 最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R

1

=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v

B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求：

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R

应满足的条件；小球最终停留点与起点的距离。

3

答案：

（1）10.0N；（2）12.5m

(3) 当时，；当时，

解析：

根据动能定理（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v

1

①

小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

②

由①②得③

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v

，由题意

2

④

⑤

由④⑤得⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

，应满I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v

3

足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R

，根据动能定理

3

解得

为了保证圆轨道不重叠，R

最大值应满足

3

=27.9m

解得R

3

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

或

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

3、（2018年浙江卷）某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，出B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m＝0.1kg，通电后以额定功率ρ＝1.5W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g＝10 m/s2）

答案：2.53s