交错级数及其判别法
交错级数与任意项级数
n
2n
2 n1
(3) {S }单调有界则收敛。 2n
证: (1) 先证{S }收敛。 2n S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n 是单调递增有界数列, 故
(2) 再证{S }收敛于S。 2 n1
n1
( )n
ns
收敛， n1(ns)n绝对收敛.
(2)当 1时,
n1
( )n
ns
发散，
(3)当 1时, n1(n1s)n 交错级数，
s 1, 绝对收敛.
n1(ns)n 发散.
1 s 0, 条件收敛.
思考： 下列命题是否正确.
#2014022506
对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的“和”， 也可以按照有限个数求和的运算规律进行，比如可 以交换各项的顺序。
(2n
1
2)2
a2n2
Lebnitze条件是充分的不是必要的
判别下列级数收敛的是:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1
234
n
#2014022503
2) 1 1 1 1 (1)n1 1
2! 3! 4!
n!
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是: #2014022504
（A）正确
（B）不正确
（C）不确定
绝对收敛级数与条件收敛级数的区别.
*定理8..
设pn
un
2
un
, qn
un
2
un
02-交错级数及其审敛法PPT
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
级数收敛的判别技巧
级数收敛的判别技巧级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加而成的。
在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出它的和。
本文将介绍几种常用的级数收敛的判别技巧。
一、正项级数的判别法正项级数是指级数的每一项都是非负数的情况。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
1. 比较判别法比较判别法是最常用的判别法之一。
它的基本思想是将待判别的级数与一个已知的级数进行比较，通过比较它们的大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：（1）若存在一个收敛的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≤bn，则待判别的级数∑bn也收敛。
（2）若存在一个发散的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≥bn，则待判别的级数∑bn也发散。
2. 比值判别法比值判别法是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数相邻两项的比值：rn=an+1/an。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
3. 根值判别法根值判别法也是判别正项级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是通过计算级数项的根号的极限来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：（1）计算级数项的根号：rn=(an)^(1/n)。
（2）求出极限limn→∞rn。
（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。
二、任意项级数的判别法任意项级数是指级数的每一项都可以是正数、负数或零的情况。
对于任意项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。
任意项级数
n =1 n =1 ∞ ∞
也发散。
但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数 ∑ | un |发散，
n =1 ∞
则我们就能断定 ∑ un 也发散。
n=1
∞
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结束
定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)：
un+1 设 un 是任意项级数,且 lim = ρ ，则 n→ ∞ u n n =1 （1）ρ < 1时级数绝对收敛；
n =1 n =1 n =1
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∞
∞
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
sin n 例 3：判别级数 ∑ 的收敛性。 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n n n =1 n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n =1 n
说明: 本题的方法是常用的方法。
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( −1) | an | 例9： 设级数 ∑ a 收敛，讨论级数 ∑ n2 + λ n =1 n =1 的收敛性 (其中λ为常数 ，λ > 0)
n 2 n
∞
∞
解：
| an | 1 2 1 ≤ ( an + 2 ) 级数绝对收敛 2 n +λ n +λ 2
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an 例 8：若级数 ∑ an 收敛，则级数 ∑ 绝对收敛。 n =1 n =1 n
2
∞
∞
证:
an 1 1 1 2 | | = | an | ≤ ( 2 + an ) n n 2 n 1 因为 ∑ 2 和 n =1 n
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
关于交错级数敛散性的判别法
显然不满足单调递减性，因此莱布尼兹判别法
不能用。
n- 1
n
→ → → → 因为(-
1)n-
1
2+(- 1)n2n
1
=(-
1)n-
1
1 2n-
1
+
1 2n
-1 2
+
1 2
Σ Σ→→ → → →→ ∞
∞
所以
n=1
(-
1)n-
1
2+(- 1)n2n
1
=
n=1
n- 1
n
-
1 2
+
1 2
∞
n- 1
∞
n
→ → → → Σ 由结论 1 知，级数 n=1
姨 Σ 即： 姨n n- 1
单调递减。因此：Σ(-
1)n
姨 n-
n 1
收敛。
∞
姨 姨 Σ Σ 显然 1 发散。由推论 1 知，级数 (- 1)n 姨 n - 1 发散。
n- 1
n=2
n- 1 n- 1
∞
即：原级数Σ (- 1)n 发散。 n=2 姨 n +(- 1)n
3.3.2 当 n 取奇偶数时，通项绝对值 un 不一致的交错级数
参考文献 ［1］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.第 3 版.北京：高等 教育出版社，2002. ［2］林让起.交错级数收敛性的两个补充判别法［J］.红河学院学报， 2008.2. ［3］杨志忠.关于一类交错级数的敛散性的一种判别方法［J］.青海 师专学报，2009.5：42- 44. ［4］刘晓玲，张艳霞. 交错级数收敛性的一个判别法［J］.高等数学研 究，2007.5：51- 53. ［5］张艳华. 一道正项级数题目的多种解法［J］.科技教育，2009（06）.
交错级数收敛性的两个补充判别法
２ 一
３
一
Ｚ ２ —３ — （ｎ ） ｎ ２ ２ ＋３ ＋ ｎ —
１ １
。
—
＜
而 Ｐ级数
、
ｎ ＝ｌ
４ ｚ收敛 。 ｎ
１ １ １ １ １ １
・
． ．
级 数 。－ ４。－ ６。 十…十一 ２ － ５＋一 － ７＋一 ２ ｎ ｎ＋３ ＋…收敛 。
证明： ｎ Ｎ， ｖ∈ ．
（ｌ “） “ － ４＋…＋（２ １ “ ： ｌ “ － ２＋（３ “） “ － ２） Ｃ＋ｃ＋…＋ｃ：ｙ： ｃ ，若 ∑ Ｃ 发 ． 一 ｋ ｎ
散， ｉ 不 在， 而 坚 一 存 故 级 发 若∑ ｃ 敛 ， 则ｌ 存 从 ｚ 在。 原 数 散。 不 ＾ 于Ｓ 则 收 由 ＝０得 ：ｉ ｒ ２ ｌ ￥ ａ ¨ 。２ Ｓ 故 交 级 收 ’ ｕ） ， 原 错 数 致。
∞ ＿ ＿ ∞
萎（） 对 敛。 ．¨ 绝 收 １
ｎ －Ｉ
＾＝ 。 Ｉ
。
＾０ ＿
例判 数 ）ｒ 的散 例判级 至１－ 敛性 ３断 ＾ Ｖ ∑ － 竺 （ ‘ － ：
． ．
‘
＾ －∞
１ （－ ｉ １ ｍｎ
一
ｎ ｔ ２＿ ｉ ｍ …
１
数‘
，
即 Ｕｎ砉 －）ａ｛ Ｕ １＋ （“ １ －１ 州 ｒ ￣Ｕ ： ｎ
＝０ ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛。
”
ｒａ
： ．
， ，
＂ ＋ ） 与 １ ＋ …＋ ， 这
、
发散矛盾 。从而可知
ｎ
＾ ４ｎ －）
当判断的交错级数中的 Ｕ 具有下面的形式之一 ： （ ） １ 含有连乘积的商 ； （ ） ２ 含有阶乘项与因式ｎ 次方 的乘积之商等等 ，用此判别法较为方便。特别 当ｒ 时 ，这正是拉贝判别法 ，从而∑ｌ１ ＝ 收 ＞１ （） ｌ ∑ － Ｕ 敛，
一、交错级数及其审敛法最全版
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
n 1 n 1
9.3任意项级数及敛散性判别法
∞
∑u
∞ n =1
∞
n =1
n
条件收敛
定理： 绝对收敛， 定理：若任意项级数 ∑ u n 绝对收敛，则此级数一 n =1 定收敛. 定收敛 注：收敛级数未必绝对收敛. 收敛级数未必绝对收敛
推论： 发散， 也发散. 推论：若 ∑ u n 发散，则 ∑ un 也发散
n =1 n =1
∞
∞
例3：判别下列级数的敛散性，若收敛是条件收敛 ：判别下列级数的敛散性， 还是绝对收敛. 还是绝对收敛
n =1
的任意项级数，称为交错级数. 的任意项级数，称为交错级数 其中 un > 0, n = 1,2, L 交错级数 注：在后面的学习中，我们主要讨论 * 式的交错级数 在后面的学习中， （）
2、交错级数判别法 、 定理（莱布尼兹判别法）： 定理（莱布尼兹判别法）： 若交错级数 ∑ (−1) u n 满足： 满足：
n −1 1 ⑴ ∑ (−1) np n =1 ∞
sin(n sin(n!) ⑵∑ n2 n =1
∞
1 ln(1 + ) ∞ n n ⑶ ∑ (−1) n n =1
xn 的敛散性. 例4：讨论级数 ∑ s ( s > 0) 的敛散性 ： n =1 n
∞
三、利用级数的收敛性可求数列的极限
方法： 是一个数列， 满足： 方法：设 {u n } 是一个数列，若通项 u n 满足：
u n +1 lim = r < 1 或 lim n un = r < 1 n →∞ n →∞ u n
则级数
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛， 绝对收敛，故 lim u n = 0
n →∞
xn =0 例5：证明对任意 x ∈ R ，有 lim ： n →∞ n!
交错级数.ppt
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
即数列
i1
证 以 v1 1,vk k k1 (k 2, 3,L , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
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推论 （阿贝耳引理）若
（1）1 , 2 ,L , n 是单调数组；
（2）对任一正整数k(1 k n)有 | k | A, 则记
max{| k
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三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设i ,vi (i 1, 2,L , n)为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立 n
ivi (1 2 )1 ( 2 3 ) 2 ( n1 n ) n1 n n
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
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因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .
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n1
首页 ×
例
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n ห้องสมุดไป่ตู้2
交错级数敛散性判别判别探究
交错级数敛散性判别探究摘要: 交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交错级数的敛散性判别文中总结出一些判别准则，包括教材以外的其它判别准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验．关键词: 交错级数；判别准则；收敛；发散Convergence and Divergence of Alternating SeriesExploring DiscriminateAbstract Alternating series is one of important contents in mathematical analysis, at the present, there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established several criterions to decide convergence or divergence of alternating, during phase criterions, some of them are outside the teaching material. Based on these convergence criterions can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series. Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.Key words alternating series; criterion; convergence; divergence1 引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一类特殊级数．定义1 考虑如下的级数11121(1)(1)n n n n n u u u u ∞--=-=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑（其中0n u ≥） （1）我们称这样的级数为交错级数．交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．引理1 （莱布尼玆判别法）对于交错级数（1）若满足两个条件： ①数列{}n u 单调递减；②0n →时0n u →， 则交错级数（1）收敛．对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判别法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件，如果数列{}n u 不满足单调递减性时不能判定级数（1）式发散．第二根据莱布尼玆判别法我们需要判别数列{}n u 是否单调递减，判别数列{}n u 是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论1n n u u --的的符号情况；二是讨论比值1n n u u -与1的大小情况；三是构造函数()u x 使得()n u x u =，利用函数的单调性得到数列{}n u 的单调性．但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外,还有其它一些判别方法．2 最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般情形的判别方法就是满足所有级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列{}n S 是否收敛来判断交错级数是否收敛．同时，柯西收敛准则的推论也是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果lim 0n n u →∞≠，则级数发散．例1 判别级数121012011001nn ⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数，因为1lim 01001100n n n u n →∞==≠+，所以级数111(1)1001n n n ∞-=-+∑发散．例2 判别级数2(1)(1)nnn n ∞=-+-∑的敛散性． 解 此级数为交错级数，但不满足1n n u u +≥，设2n S 为级数的部分和，先证2n S 单调递减，再证其有下界．2111111()()()3254212n S n n =-+-++-+⋅⋅⋅，括号内各项均小于0，因而2n S 单调递减，又因为21111111()()234212212n S n n n =-+-++-+-+⋅>-⋅⋅，即2n S 有下界，故2lim n n S →∞存在，设2n S S=又1lim lim0(1)n n n n u n →∞→∞==+-，因此2221lim lim()n n n n n S S U S +→∞→∞=+=，从而2lim n n S S →∞=，故原级数收敛．例3++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的敛散性． 解 此级数为交错级数,设2n S 为级数的部分和．2112(1)2n S n ⋅⋅⋅+=++=+⋅⋅++⋅而级数11n n∞=∑发散，故211lim lim 2(1)2n n n S n →∞→∞⋅=⋅++⋅+=+∞，所以原级数发散．3 绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献[1]与[2]中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数（1）的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献[1]与[2]中对正项级数敛散性的判别方法 介绍了很多种，比如定义法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等．例4 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑的敛散性．解 1111||112lim lim lim 1||222n n n n n nn n u n n u n ++→∞→∞→∞-++==<，因为112n n n ∞-=∑收敛，所以原级数收敛．例5 判别级数1(1)()21n nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解1lim 1212n n n n n →∞===<+，因为1()21nn n n ∞=+∑收敛，故原级数收敛． 例6 判别级数 ln 12(1)3nnn n ∞=-∑的敛散性．解ln 022lim 2133n n n n n→∞====>，因为ln 123n n n ∞=∑发散，则原级数是否收敛需用其他方法进行讨论．4 不绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别利用绝对收敛的情形只能判定交错级数在绝对收敛的情况下收敛，如果交错级数不绝对收敛，那么我们并不能判定交错级数的敛散性，下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．引理2 设有级数1n n u ∞=∑若：①当n →∞时此级数的通项趋于0；②通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数1n n A ∞=∑也收敛；③在和式111231()n p n in A u pp p +-==<<<⋅⋅⋅∑中相加项i u 的数目是有限的，则级数1n n u ∞=∑收敛．证明 设n A 中相加项的数目不超过某一固定的自然数m ，即1||(1,2,)n n p p m n +-≤=⋅⋅⋅，任给0ε>，考察121m εε=+由于0n u →（当n →∞时），于是存在自然数'N ，使得当'n N ≥时有1||n u ε<，再由1n n A ∞=∑收敛性知存在'1N N >，使得当1n N ≥及p 为任意自然数时有11||n n n p A A A ε++⋅⋅+⋅++<，取1N N p =，当n N ≥时对任意自然数s ，考虑1ns n n n s u u u ++∆⋅⋅+⋅=++，注意到每一个i u 必属于某一个k A ，记n A 的项i u 的集合为n A ，即知：当i j >时，若i k u A ∈，j l u A ∈,则必有k l ≤在n ∆中，显然(0)n N r u A r +∈≥，再看以后的各项便有11'1ns N r N r q B A A B ++++∆=++⋅⋅⋅++，其中111N n p r B u u ++=+⋅⋅⋅+-，11'N r q p n s B u u ++++=+⋅⋅⋅+，显然，B 是1N r A +中一部分之和，'B 是11N r q A +++中一部分之和，于是(记'1n N N N ≥≥≥)．1111||()N r N r B p p m εε+++≤-≤，11'2111||()N r q N r q B p p m εε++++++≤-≤，1111||N r N r q A A ε+++++⋅⋅⋅+<从而11'11||||||||(21)ns N r N r q B A A B m εε++++∆≤++⋅⋅⋅++<+=，由柯西收敛准则知级数1n n u ∞=∑收敛．定理1 如果交错级数（1）满足（a ）lim 0n n u →∞=；（b ）1n n u ∞=∑发散则有：①若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则级数（1）也收敛.②若2121()n n n u u ∞-=-∑发散，则级数（1）也发散．证明 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，lim 0n n u →∞=，2(21)1n n --=，即和式相加项数有限，由引理知级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，若2121()n n n uu ∞-=-∑发散，利用反证法，假设11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑收敛，由收敛级数的性质知2121()n n n uu ∞-=-∑也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立．推论1 交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑依次k 项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：①级数（*）收敛于A ；②lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑必收敛于A ，若级数（*）发散或lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)(0)n n n n u u ∞-=-≥∑发散．例7++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，该项的绝对值级数为2n ∞=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑， 显然该级数是发散的．考察2121111()n n n n n u u n ∞∞∞-===-==∑∑∑为发散级数，由定理知原级数为发散级数．例8 判别级数1111234a a -+-+⋅⋅⋅的敛散性．解 此级数为交错级数且一般项趋于0，则该级数的绝对值级数为111111111()23421(2)21(2)a a a an n n n n ∞=++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+--∑， 因为1121n n ∞=-∑发散，则111()21(2)a n n n ∞=+-∑发散．考察2121111()()21(2)n n an n u u n n ∞∞-==-=+-∑∑． 当1a =时，级数212111111()()2122(21)n n n n n u u n n n n ∞∞∞-===-=-=--∑∑∑为收敛级数，故原级数收敛． 当1a >时，21211111()21(2)n n an n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑,因为1121n n ∞=-∑发散，故 21211111()21(2)n n a n n n u u n n ∞∞∞-===--=+-∑∑∑ 发散，则原级数发散．当1a <时，2121111()()(2)21n n a n n u u n n ∞∞-==-=--∑∑，因为111(2)21lim 12a a n a n n n→∞--=，而11an n ∞=∑(1)a <发散，所以由定理知原级数发散．由上讨论可知，级数1111234aa -+-+⋅⋅⋅当1a =时为条件收敛，1a ≠时发散．5 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便，定理2（拉贝判别法）对于级数（1）若1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=则 ①当1ρ>时，级数（1）绝对收敛； ②当01ρ<<时，级数（1）条件收敛； ③当0ρ<时，级数（1）发散；④当0ρ=时，级数（1）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；⑤当1ρ=时，级数（1）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛．证明上述定理将用到两个引理．引理3（拉贝审敛法）对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，若1lim (1)n n n un u ρ→∞+-=则①当1ρ>时，级数1n n u ∞=∑收敛；②当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑发散；③当1ρ=时，级数1n n u ∞=∑可能收敛也可能发散．引理4 若0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅且1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则1()(0)n u nρεοε-=>． 对于引理3在[1]与[2]中已给出，引理4在[5]中也有介绍，这里就不作证明，下面证明定理．证明 由引理3知道若0n u >及1lim (1)nn n u n u ρ→∞+-=，则当1ρ>时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当1ρ<时，级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散，当0ρ>时，取0ε>使得0ρε->，则存在自然数N ，使得当n N ≥时有1(1)n n u n u ρερε+-<-<+或1111n n u n u nρερε+-+<+<<+，因此当n N ≥，时有1n n u u +≥，且n u 单调递减．由引理4知1()(0)n u n ρεοε-=>，取2ρε=，于是n →∞时有0n u →，因此当1ρ>时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑绝对收敛；当01ρ<<时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛；当0ρ<时，级数（1）发散；当1ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当0ρ=时，级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛．例如111(1)ln n n n ∞-=-∑收敛，111(1)(1)n n n ∞-=-+∑发散．例9 判别级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑的敛散性．解 因为1(21)!!1(2)!!lim (1)lim (1)0(21)!!2(22)!!n n n n n u n n n n u n ρ→∞→∞+-=-=-=>++， 故级数11(21)!!(1)(2)!!n n n n ∞-=--∑条件收敛．例10 判别级数 11()[(1)](1)(0,0,0)()[(1)]n n a a d a n d a b d b b d b n d ∞-=⋅++-->>⋅⋅⋅⋅⋅>++-∑的敛散性． 解 1()lim (1)lim (1)lim n n n n n u b nd n b a b an n u a nd a nd dρ→∞→∞→∞++--=-=-==++，由定理可得：当01b a d -<<即a b a d <<+时原级数条件收敛；当1b ad->即b a d >+时原级数绝对收敛；当1b ad -=即b a d =+时原级数收敛，此时原级数为11(1)n n a a nd ∞-=-+∑为条件收敛；当0b a d -<即b a <时原级数发散；当0b ad -=即b a =时原级数为11(1)n n ∞-=-∑发散．综上可得原级数当b a ≤时发散，当a b a d <≤+时条件收敛，当b a d >+时绝对收敛．6 其它判别方法下面以定理的形式介绍两个新的判别交错级数敛散性的方法，最后通过例子说明这两个方法在判别交错级数敛散性的可行性．定理3 对于交错级数（1）若1lim nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，级数（1）发散．证明上述结论用到如下引理．引理5 对于正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑，令1n n n n u H u +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若1lim lim nn n n n n u H u ρ→∞→∞+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则当e ρ>时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑收敛，当e ρ<时正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑发散．下面证明定理.证明 当1ρ>时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有：1n n u u +> (2)又1lim 1n n n n u u ρ→∞+⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦，取0r >，而1lim 1nr r n e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则11lim 10n nr r n n n u e u n ρ→∞+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤-+=->⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，所以存在自然数N ，当n N >时有：111nnr n n u u n +⎡⎤⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即1111r r n n u n u n n ++⎡⎤⎡⎤>+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11rn n u n u n +⎡⎤<⎢⎥+⎣⎦因此有 11110...11111rrrrrrrn n n N N n n n n n N N u u u u u n n n n n N n +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤<<<<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 又因为0r >，则lim 01rN n N u n →∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，由夹逼定理得：1lim 0n n u +→∞= （3）由(2)和(3)两式知数列{}n u 单调递减，且lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知级数（1）收敛．再由引理知：①当1e ρ<<时，级数（1）条件收敛；②当e ρ>（包含+∞）时，级数（1）绝对收敛；③当1ρ<时，因为1lim 1nn n n u u ρ→∞+⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，则存在N ，当n N >时有11nn n u u +⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，所以当n N >时有1n n u u +<，因此lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知级数（1）发散．定理4 对于交错级数（1）满足条件：存在自然数N ，当n N ≥时，11n n u au n+=+，a 为常数，则①当0a >时，交错级数（1）收敛；②当0a ≤时，交错级数（1）发散． 证明 由于改变级数有限项后，不改变级数的敛散性，不妨设11(1,2,)n n u an u n+=+=⋅⋅⋅，当0a >时，因为111n n u au n+=+>，所以数列{}n u 单调递减，又因为 111223.(1)(1)(1)121n n n u u u u a a a u u u u n -=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+-,lim(1)(1)(1)121n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=+∞-， 所以lim 0n n u →∞=．由莱布尼玆判别法知,交错级数（1）收敛．当0a ≤时，111(1,2,)n n u an u n+=+≤=⋅⋅⋅所以数列{}n u 为单调递增数列，故lim 0n n u →∞≠，所以交错级数（1）发散．例11判别级数11(1)n n ∞-=-∑的敛散性．解令n u =,则22212221212nnnn n n u n n n H u n n n +⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由于2111(21)(2).112222211lim lim 11212n n n nn n n H e n n n ρ+-+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤==++=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，则由定理知原级数条件收敛．例12 判别级数11!(1)456(3)n n n n ∞-=-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+∑的敛散性．解 令!456(3)n n u n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+,则1313143111n nnn n n u n H u N n ⋅+-+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于131333lim lim 11n n n n H e e n ρ+⋅-→∞→∞⎡⎤==+=>⎢⎥+⎣⎦，则由定理知原级数绝对收敛． 例13 判别级数11(1)!n n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 令!n n n u n =则1(1)(1)nn n n n n n H n n -⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，由于1lim lim (1)01nn n n n H n ρ-→∞→∞⎡⎤==+=<⎢⎥⎣⎦由定理知原级数发散．例14 判别交错级数121(2)!(1)4(!)n n n n n -∞=-⋅∑的敛散性． 解 因为1221(2)!4[(1)!]22114(!)(22)2121n n n n u n n n u n n n n ++⋅++=⋅==+⋅+++，即对于任意的自然数0N >，只要n N ≥就有1021n >+，根据定理4得原级数收敛．7 一类特殊交错级数敛散性的判别在许多教材中，对莱布尼玆判别法只介绍了一种简单的形式，对于交错级数1(1)nn n u ∞=-∑，只要满足：①10(1,2,)n n u u n +≥≥=⋅⋅⋅；②lim n n u →∞=+∞时级数也是收敛，下面我们将以此为基础介绍关于一类特殊交错级数敛散性判别的方法．定理5 设交错级数1(1)nn n u ∞=-∑收敛，0n u >，1,2,n =⋅⋅⋅，lim 0n n nv u →∞=，若级数21||n n n v u ∞=∑收敛，则级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛．证明 考察级数 11(1)(1)(1)()n n n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤----=⎢⎥++⎣⎦∑∑ （4） 级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛，故级数1(1)n n n u v ∞=-+∑收敛的的充要条件是（4）收敛．由级数21||n n n v u ∞=∑收敛及2|(1)()|lim 1n n n n n n n n v u u v v u →∞-+=，知级数（4）绝对收敛，于是级数1(1)n n nu v ∞=-+∑收敛． 定理6 设10n n u u +≥≥，0n v >(1,2,)n =⋅⋅⋅，lim n n u →∞=+∞，lim 0n n nvu →∞=，则级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是21n n n v u ∞=∑． 证明 考虑级数11(1)(1)(1)((1))n nn n nn n nn n n n n v u u v u u v ∞∞==⎡⎤---=⎢⎥+-+-⎣⎦∑∑ （5） 级数1(1)n n n u ∞=-∑是收敛的，因此级数1(1)(1)nnn n nu v ∞=-+-∑收敛的充要条件是（5）收敛．注意到，当n 充分大时，级数（5）一般项非负，而2((1))lim lim 1(1)n n n n n nn n n n n nn v u u v u v u u v →∞→∞⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，因此，级数（5）收敛的充要条件是21n n nvu ∞=∑收敛． 例15 讨论级数1(1)(0)(1)npnn p n ∞=->+-∑的敛散性． 解 在本题中pn u n =，1n v =，22111n p n n n v u n∞∞===∑∑，当12p >时该级数收敛，12p ≤时发散，由定理知级数1(1)(0)(1)n p nn p n ∞=->+-∑，当12p >时收敛，当12p ≤时发散． 例16 讨论级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑的敛散性． 解 22212221n p p n n n n v n u n n ∞∞∞-=====∑∑∑，由定理知级数2(1)(1)np nn n n∞=-+-∑当1p >时收敛，当1p <时发散．例17 讨论级数1(1)n p n nn v ∞=-+∑的敛散性，这里{}n v 为任意有界数列．解 因为{}n v 有界，则存在常数M ，使得||n v M ≤，级数2211||||n n p n n n v v u n∞∞===∑∑，又22||n p pv Mn n ≤于是当12p >时，级数21||n p n v n∞=∑收敛，当12p <时21||n p n v n ∞=∑发散，即12p >时原级数收敛，当1p 时，原级数发散．28 结束语本文以莱布尼兹判别法及交错级数自身特征，探究总结出了一些判别准则，利用其中一些准则不仅能判定交错级数的敛散性，还能判定其是绝对收敛还是条件收敛，且有些判别方法的判别模式是用极限形式，用起来极为方便有效，同时克服了莱布尼兹判别法的种种缺陷．参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,2006:17-19.[2]刘玉琏.数学分析（下册）[M].北京:高等教育出版社,1988:26-27.[3]吉米多维其.数学分析(下册)[M].费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版社,2005:81-83.[4]华中师范大学数学系.数学分析(下册)[M].武汉:华中师范大学出版社,2001:243-245.[5]范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨[J].常州工学院学报,2007,20(5):57-59.[6]肖清风.交错级数敛散性的探究[J].黄山学院报,2004,6(3):3-7.[7]周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充[J].高等数学研究,2007,10(3):40-42.[8]骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理[J].盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.[9]江莹茵.交错级数收敛准则的探讨[J].甘肃联合大学学报(自然科学报),2005,19(2):6-7.[10]郑玉敏.交错级数敛散性判别法[J].大学数学,2009,4(2):192-194.[11]刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):51.[12]张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究[J].高等数学研究,2009,12(3):38-40.[13]杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法[J].青海师专学报,2009,6(5):42-44.。
交错级数敛散性判别法
(ii ) 当 a < 1 时 , 因为 lim
n →+ ∞
= a < 1 , 则存在 N , 当 n > N 时 , 有
∞
an an+ 1
n
< 1 . 所以当 n > N 时 ,
有 an < an + 1 , 因此 lim an ≠ 0 . 由级数收敛的必要条件知 , 级数
n →+ ∞
n=1
∑( - 1)
第 1 期 郑玉敏 : 交错级数敛散性判别法
∞
193
(i ) 当 a > 1 ( 包括 + ∞ ) 时 , 级数
∞
n=1
∑( - 1)
n- 1
n- 1
an 收敛 , 且
①当 1 < a < e 时 , 级数
n=1
∑( - 1)
an 条件收敛 ,
n- 1
∞
) 时 , 级数 ②当 a > e ( 包括 + ∞
1+
1
n
β n
1-
α
n + 1 +α
=e
β- α
.
由定理知 , 当 eβ- α < 1 时 , 即β<α时 , 级数发散 ; 当 eβ- α > 1 即β>α时 , 级数收敛 . 且当 1 < eβ- α < e 即α<β βα <α+ 1 时 , 级数条件收敛 ; 当 e - > e 即β>α+ 1 时 , 级数绝对收敛 . 综上所述 :当β<α时级数发散 ; 当β>α时级数收敛 . 且当α<β<α+ 1 时级数条件收敛 ; 当β>α+ 1 时级数绝对收敛 .
8-1 数项级数(3)交错级数
发散
1.交错级数 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)
n 1
n1
un
or
n ( 1) un n 1
(其中un 0)
注意：此时通项是 ( 1)n1 un 或 ( 1)n un ，而非 un . 莱布尼兹(Leibniz)定理:
n1 n 若交错级数 (1) un (1) un 满足： n1 n1 (1) un 即 un 1 un ; (2) lim un 0
n n
lim S n S
n
n n1
(1)n1 un
n1
收敛到S ，且 S u1
从而 (1) un (1)n1 un S u1 | S | u1
n1
注意 (1)满足 Leibniz定理条件的交错级数称为Leibniz 型级数. 当然Leibniz型级数总是收敛的. (2)Leibniz型级数
【解】
n n
un
1 1 0 1 n (ln n) ln n
由根值判别法知级数收敛. 注意 若指数n是一个确定的常数，则不管其有多大， 级数总是发散的.
1 (d ) 例 n = 100， 100 n 2 (ln n)
【例2】判别下列级数的敛散性.
(1) ( 2
n 3
级数发散 比(根)值判别法的优点: 不必找参考级数.
注意 (1)当 1时比(根)值判别法失效 当通项是n的幂的有理式时，两种判别法都失效，此时 可采用比较法，与p -级数作比较. (2)条件仅是充分条件，而非必要条件 n n 2 ( 1) 例 3 2 ( 1) (c) vn un un n n
12-3交错级数
23
n1
1 1 1 1 (1)n1 1
3! 5! 7!
(2n 1)!
1 2 3 4 (1)n1 n
10 102 103 104
10n
(2) ; (3) . (4)
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例 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
（1）
n
1
n1 n
1 n 1 n 2 un1
故由...可知原级数条件收敛。
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.
引理 (分部求和公式, 也称阿贝尔变换)
设 i ,v j (i 1,2, ,n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1, 2, , n),
A 1 n A n
A( 1 2 n ) 3 A.
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现在讨论形如
anbn a1b1 a2b2 anbn
(20)
级数的收敛性的判别法. 定理12.15 (阿贝尔判别法) 若{an } 为单调有界数列,
且级数bn 收敛, 则级数(20)收敛.
n1
n
n1
n
根据例3也收敛, 因此级数 (1)n sin2 n 收敛.
n1
n
所以级数 (1)n sin2 n 为条件收敛.
n1
n
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复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn ) 是绝对收敛还是条件收敛?
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n. (18)
交错级数莱布尼兹判别法
交错级数莱布尼兹判别法今天我们来聊聊一个有点“深奥”，但其实又挺有趣的数学概念——交错级数，听起来是不是有点复杂？别担心，我保证你看完之后会觉得它其实没那么难。
简单来说，交错级数就是在数学里，正负数交替出现的那种数列。
是不是有点像你和朋友之间你抢我抢的争吵，偶尔爆发，偶尔平静？这个交替的模式，大家应该都不陌生吧。
那你说，交错级数和莱布尼兹有什么关系呢？嘿嘿，这可就是我们的主角——莱布尼兹判别法了。
这个判别法，就是用来判断一个交错级数是不是收敛的，也就是判断它是否有个确定的和。
比如你看电视广告，不是说“买一送一”，但你心里就是想：“是不是看广告才知道是真是假？”数学上，交错级数就有这种“看一看才知道”的感觉，能不能收敛，得通过莱布尼兹来“看看”。
是不是有点像你人生中的一些谜团，一直到最后一刻才揭晓答案？莱布尼兹判别法到底是咋回事呢？其实它不复杂，它给我们提供了一个简单的“检验法”。
交错级数得满足两个条件，才可能用这个判别法来判断收敛性。
第一，数列的每一项绝对值得是递减的。
什么意思呢？就是说，越往后，数值应该越来越小，像往下坡走一样，不然就像你上楼梯一样，总是越来越高，那肯定不对劲。
第二，数列的每一项得“靠近”0。
别看这两个条件简单，可真是“基础中的基础”，它们像是考试前必须背的单词，缺一不可。
如果这两点都符合，那啥，恭喜你，你可以通过莱布尼兹判别法来判断这个交错级数是不是收敛了。
只要符合了这两个条件，交错级数就一定会收敛到某个值，而且越到后面，数列的和会越接近这个值，跟你做数学题一样，越做越精确，直到你差不多可以忽略不计。
让我给你举个简单的例子。
想象一下，你买了一台自动吸尘器，它会不断地来回吸地，但它每次吸得面积都比上一次小一点，最终，它会吸到整个地面上的每个角落。
就像交错级数，你总能看到每一项的数值越来越小，最后收敛到一个特定的数。
用莱布尼兹判别法，你就能知道，这个吸尘器永远不会把地面“吸光”，它的工作是有限度的，有个“收尾”。
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这些乘积 uiv j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相 加，于是分别有：
u1v1 u1v2 u2v2 u2v1 u1v3 u2v3 u3v3 和 u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1
§3 一般项级数
一、交错级数及其判别法
定义: 正、负项相间的级数
u1 u2 u3 u4 1n1un (un 0, n 1,2, ),
(1)
u n1 n
为交错级数
收敛
定理12.11（莱布尼茨判别法）设
(1)
u n1 n
满足以下两个条件
1）数列 un 单调递减
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
s
u1 .
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
所以数列 Sn 收敛
推论 若级数
(1)
u n1 n
满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数
(1)
u n1 n
lim un1 lim 0
n un
n n 1
所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛
，
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排
定义:把正整数列{1,2, ,n } 到它自身的一一映射
f : n k(n) 称为正整数列的重排,相应地对于数列
{un} 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列 {uk(n)}称为原
vn v1 v2 vn B (2)
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表：
u1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2
u1v3 u2v3 u3v3
u1vn u2vn u3vn
unv1 unv2 unv3 unvn
级数的重排,相应也称级数 uk(n)是级数 un 的
n 1
n 1
重排.
定理12.13 设级数 un 绝对收敛,且其和等于 S n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的
和数.
注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛
也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛
级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何
n
| kvk || (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n | k 1 | (1 2 ) (n1 n ) | A | n |
A | 1 n | A | n |
推论 （阿贝耳引理）若
（1） 1,2 , ,n 是单调数组；
（2）对任一正整数 k(1 k n) 有 | k | A, 则记
n
max{| k
k
|} 时，有：|
k vk
k 1
|
3A
证：由（1）知 1 2,2 3, ,n1 n 都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得
事先指定的数.如：
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 A
n1
n 23456
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 3 A
n1
n 32574
2
2. 级数的乘积
设 un u1 u2 un A (1)
证 对任何正数
总存在正数N，使得n>N和任意正数r,有
um1 um2 umr
由于
r
因此由柯西准则知级数 un 也是收敛的。
例1 证明级数
an n! 绝对收敛 .
证 由于对任何实数 有
的余项估计式为
Rn un1
对于级数
() n1 , n
(1) n1 n
10 n 根 据
莱布尼茨判别法易知都是收敛
的。
二、绝对收敛与条件收敛
若级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛
若级数 un 收敛，但是级数 un 不收敛，则称级数
un 为条件收敛。
定理12.12 若级数 un 收敛，则级数 un 收敛
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立：
n
ivi (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n
i1
证：以 v1 1,vk k k1 (k 2,3, , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
2）lim n
u
0
则
(1)
u n1 n
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对
收敛，则对（3）中所有乘积 uiv j 按任意顺序排列
所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于AB. n 1
例2
等比级数
1
r n1
1 r n1
r ＜1 是绝对收敛的，将
按 r n 2
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v3
的顺序排列，则得到
1 1 (r r) (r 2 r 2 r 2 ) r n r n r n
(1 r)2
=1+2r 3r 2 (n 1)r n
三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设 i ,vi (i 1,2, , n) 为两组