含参量积分与欧拉积分

欧拉积分及其应用

欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。

它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。

但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。

欧拉积分包括：伽马（Gamma ）函数：Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s , s>0.-----------（1）贝塔（Beta ）函数：B(p ，q)= ⎰---1011)1(dx x x q p ， p>0, q>0-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B 函数…………………Euler 第一积分1、定义域：B(p ，q)=⎰---1011)1(dx x x q p =⎰---21011)1(dx x x q p +⎰---12111)1(dx x x q p = 1I + 2I对1I = ⎰---21011)1(dx x x q p当x →0时.1I =⎰-2101dx x p = ⎰-21011dx x p 其收敛须p>0 对2I =⎰---12111)1(dx x x q p. 当x →1时， 2I =⎰--1211)1(dx x q ,令.1-x=t =⎰-2101dx tq = ⎰-21011dx t q 其收敛须.q>0. ∴B(p ，q) 定义域为p>0,q>0.2、连续性因为对∀p 。

>0，q 。

>0有11)1(---q p x x ≤1100)1(---q p x x p ≥p 。

,q ≥q 。

而⎰---101100)1(dx x x q p 收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知B(p ，q)在p 。

欧拉积分

Γ(1.15) Γ( 2.15 ) = 2.15 1 Γ(0.15) 1 Γ(0.85) = = 2.15 1.15 2.15×1.15 0.15
0.94561 = = 2.54967 2.15 × 1.15 × 0.15
6 Γ －函数的其它形式
1）令 x =
Γ (s ) =
+∞ 0
pt ( p > 0) ,
===== ∫ (1 t )
1
x =1 t
0
p 1 q 1
t
dt =
=
由于
∫t
0
1
q 1
(1 t )
p 1
dt = B ( q , p )
B
函数的两个变元是对称的, 因
此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.
3. 递推公式 B( p + 1 , q + 1 ) = 证
1 p
1 1 B ( p + 1 , q + 1 ) = ∫ x (1 x) dx = (1 x) q d ( x p +1 ) 0 p + 1 ∫0
用其作为 1< s < 0时 Γ(s) 的定义, 即把 Γ (s ) 延拓到了 ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内. Γ ( s + 1) 2 < s < 1 时, 依式 Γ ( s ) = , s
利用延拓后的 Γ (s ) ,
又可把 Γ (s ) 延拓到
( 2 , 1 ) ∪ ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内 .
x
s 1
1
x
s 1
dx , I 2 = ∫1 e x x s 1dx ,

欧拉积分

e − x x s −1dx 中，作代换 x = u 2， u 2 s −1du.
e
注意到结果 ∫ 特殊值
+∞
0
e dx =
− x2
π
2 ,
得 Γ (s ) 的一个
+∞ π 1 −t2 Γ = 2 ∫ e dt = 2 ⋅ = 0 2 2 +∞
π ≈ 1.772454
+
例 2 计算积分 ∫0
间 ( 0 , + ∞ ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: Γ(s ) 的连续性: Γ(s) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内连续 .
Γ (s ) 的可导性 : Γ (s ) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内可导 ,
.
且
Γ′(s) = ∫
+∞
0
同理可得:
+∞ ∂ s−1 −x s −1 − x ( x e )dx = ∫ x e ln xdx 0 ∂s
Γ ( n + 1) = n Γ ( n ) = n ( n − 1) Γ ( n − 1) = ⋯ = n ! Z + 上, Γ (s ) 正是正整数阶乘的表达式 . 可见,在
5. Γ − 函数的延拓
Γ(s +1) s > 0 时, Γ(s +1) = sΓ(s), ⇒ Γ(s) = s .
该式右端在 − 1 < s < 0 时也有意义 .
∫
当
1
0
x
p −1
(1 − x )
q −1
dx
(p>0, q>0 )
为Euler第一型积分第一型积分. 第一型积分

(整理)欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )，（1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ，（2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。

欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在求定积分时的应用。

对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1()r m的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。

使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。

关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数；余元公式1、知识预备、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件：（1）f(x)>0 x ∀∈（0，+ ∞） f(1)=1；（2）(1)()f x x f x +=⋅ x ∀∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数，那么必有f(x)=r(x) x ∀∈（0，+ ∞）。

、对于p 不是整数时22112(1)sin n n p p p p n ππ∞==+--∑、对于0<p<1时，122112(1)1p n n y pdy y p p n -∞+∞==+-+-∑⎰ $、瓦里斯公式：n =、对于(0,1]x ∈，我们有 221sin (1)n x x x n ππ∞==⋅-∏2、欧拉积分、定义含参变量的广义积分+s-1-x 0()x e dx r s ∞=⎰s>0 (1)1p-1q-10(,)x (1-x)dx B p q =⎰ p>0,q>0 (2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma 函数（r 函数），后者称贝塔Bate 函数（B 函数）。

（即r 函数与B 函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数）、性质2.2.1、r 函数的性质 ·（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数（2）递推公式(1)()r s s r s +=⋅ (s>0) 如果s 取整数n ，那么有(1)()!r n n r n n +=⋅=（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s ≠---……外均收敛（4）根据()()sss 1+Γ=Γ及()s s Γ+→0lim =∞+， ()s s Γ+∞→lim =∞+ 可得到图像：（5）函数的其他形式ａ）当x py = (p>0),则有r(s)= +s-1-x 0x e dx ∞⎰=+s-1-0()e dx py py ∞⎰=+s-1-0e dx py py ∞⎰（s>0,p>0）ｂ）当2x y =,则有r(s)=+s-1-xx e dx ∞⎰= 22(-1)0dx s y ye+∞-⎰= 22-102dx s y y e +∞-⎰!2.2.2、B 函数的性质（1）(,)B p q 在p>0,q>0内连续（2）对称性：(,)(,)B p q B q p = （3）1(,)(,1)1q B p q B p q p q -=-+- (p>0,q>1)1(,)(1,)1p B p q B p q p q -=-+- (p>1,q>0)(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+- (p>1,q>1)（4）B 函数的其他形式ａ）在（2）式中，令2cos x ϕ=，则有212120(,)2cos q p B p q sin d πϕϕϕ--=⎰ｂ）在（2）式中，令1yx y=+ (y>0)，于是有1(,)(1)p p qy B p q dy y -+∞+=+⎰|dy y y dy y y dy y y qp p q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1(再对第二个式子令1y t=，整理得：dt t t dy y y dy y y q p q q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1( 所以111(,)(1)p q p qy y B p q dy y --++=+⎰（p>0,q>0）、B 函数与r 函数联系()()(,)()r p r q B p q r p q =+ p>0,q>0证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数()(,)()()r p q B p q f p r q +=，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条件：（1）显然有f(p)>0 p ∀∈（0，+ ∞），并且1()(1)(1,)(1)1()()qr q r q B q qf r q r q +===（2）()()(,)(1)(1,)(1)()()()pp q r p q B p q r p q B p q p qf p pf p r q r q +++++++===（3）对于任意的q>0，因为ln ()r p q +和ln (,)B p q )都是变元x的凸函数，所以ln ()ln ()ln (,)ln ()f p r p q B p q r q =++-也是变元x 的凸函数。

第18章第2节欧拉积分

有x
s 1 x
e x e ,
a 1 x
而积分

1
0
x
a 1
e
x
dx 收敛.
判天地之美析万物之理 ,
7
2015年9月8日星期二
§18.五.欧拉 (Euler)积分
对积分 I 2 1 x e dx ,
s 1 x

x e x e ,
s 1 x
b 1 x
§18.五.欧拉 (Euler)积分
二. Beta 函数 B( p, q) ——Euler 第一型积分 1．Beta函数及其连续性称( 含有两个参数的 )含参积分
为Euler第一型积分. 它确定一个二元函数,
称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即
p 1 q 1 x ( 1 x ) dx B( p, q) = 0 1
§18.五.欧拉 (Euler)积分
5. －函数的其它形式 x pt ( p 0) , 代入有 1）令 s 1 x s s 1 pt x e dx p t e dt ( s ) = 0 0

因此,
2)．在 ( s) e x x s1dx 中，作代换 x u 2，
得 ( s ) 的一个
.
16
判天地之美析万物之理 ,
§18.五.欧拉 (Euler)积分
例 2 计算积分 0
t x2

x e
2n
x2
dx ,其中 n Z
解
1 1 1 t I t e dt (n ) 2 0 2 2 1 1 1 1 1 (n 1) (n )(n ) 2 2 2 2 2

(整理)欧拉积分及其应用

欧拉积分及其应用摘要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.1111(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>⎰称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. B 函数及其相关性质1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰，当1p <时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，定义域为.0,0>>q p任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1110(1)p q x x ---⎰一致收敛，故B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质性质1.2.1 (对称性)(,)(,)B p q B q p =.作变换y x -=1，),(q p B =1110(1)p q x x ---⎰=1110(1)p q y y dy ---⎰=),(p q B .性质1.2.2 （递推公式）(,)B p q =1(,1)1q B p q p q --+-,(1,0>>q p )，（1）1(,)(1,)1q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ，（2）(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+-，)1,1(>>q p . （3）当1,0>>q p 时，有(,)B p q =1110(1)p q x x ---⎰=110(1)p q x x P --+1201(1)p q q x x dx P---⎰ =11121[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------⎰ =1112110011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------⎰⎰ =11(,1)(,)q q B p q B p q p p----，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ϕ=，则有(,)B p q =111(1)p q xx ---⎰=2121202sin cos q p d πϕϕϕ--⎰；(2) 令1y x y =+111x y -=+2(1)dydx y =+,则有 (,)B p q =1110(1)p q xx ---⎰=1(1)p p qy dy y -+∞++⎰；(3) 考察11(1)p p qy dy y -+∞++⎰.令1y t =，则有 =10(1)p p qy dy y -+∞++⎰=1110(1)p q p q y y dy y --+++⎰(,)B p q .2. Γ函数及其相关性质2.1 Γ函数的定义域()10,0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰，1、积分区间为无穷；2、当10s -<时，0x =为瑕点；3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和：()1s xs xed x -+∞-Γ=⎰=1111s s xx x e dx x e dx --+∞--+⎰⎰)()(x J x I +=，其中110()s xI s x e dx --=⎰，11()s x J s x e dx -+∞-=⎰.当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛.所以，Γ函数()1s x s x e dx -+∞-Γ=⎰在0s >时收敛.2.2 Γ函数的性质性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=.性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明有分部积分法得：(1)s Γ+=0sxx e dx +∞-⎰=0s x x e-+∞-+1s x s x e dx -+∞-⎰=()s s Γ.性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明只要证明对[1,)p ∈+∞，11p q+=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ()s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21log ()s qΓ. 事实上，由Holder 不等式即得12()s s p qΓ+=12(1)0s s p q xxe dx +-+∞-⎰=12110()()s s x xpp q qx e xe dx ----+∞⎰1211110()()s s x x pqx e dx x e dx +∞+∞----≤⎰⎰=1211()()s s pqΓΓ，性质得证.出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像）设1+≤<n s n ，即10≤-<n s ，应用性质2可得到=-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s).()()1(n s n s s s -Γ--= （1）若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成!!)1(12)1()1(0n dx n n n n ex==Γ⋅+=+Γ⎰+∞- . （2）对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增.由于()s Γ=()s s sΓ=(1)s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s +→Γ+=Γ=，故有0(1)lim ()lim s s s s s++→→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得lim ()s s →+∞Γ=+∞.综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示.性质2.2.5 （延拓）改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为(1)()s s sΓ+Γ=. 当10s -<<时，(1)s sΓ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<.用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1)()s s sΓ+Γ=又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3s =以外），其图像如上图所示.性质2.2.6 （其他形式）在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=dx e x x s 2122--⎰ (0)s >；(2) 令py x =，可得=Γ)(s 10s x x e dx +∞--⎰=10ss py py e dy +∞--⎰(0,0)s p >>.3. B 函数与Γ函数的关系当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+.又由于1101(,1)m B m x dx m-==⎰，所以 1(,)(,1)1n B m n B m n m n -=-+-=121(,1)121n n B m m n m n m --⋅⋅⋅+-+-+1n-2111m+n-2m+1mn m n -=⋅⋅⋅+-(1)!(1)!(1)!n m m n --=+-，即()()(,)()n m B m n n m ΓΓ=Γ+.对于任何实数0,0>>q p 也有关系式：()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分dx xk x x cos 11sin cos 10++⎰π，)10(<<k .分析这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解令2tan 112tanx k k t +-=，则有2tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得t k k t x cos 1cos cos --=，tk k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=.将其代入原式得dx x k x x cos 11sin cos 10++⎰πdt tk k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=⎰πdt t t k k 2cos 2sin)1()1(210214341⎰-+-=πtdt t k k 2120214341cos sin )1()1(2⎰-+-=π)43,41(21)1()1(24341B k k ⋅+-=)4341()411()41(21)1()1(24341+Γ-ΓΓ⋅+-=k k 4sin 21)1()1(24341ππ⋅+-=k k4341)1(2)1(k k +-=π.4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的和. 分析这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 012n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=111!!(1)!!(2)!(2)!n n n n n n n n n ∞∞==-=∑∑ =11()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞∞==ΓΓ+=+Γ+∑∑=1101(1)n n n t t dt ∞-=-∑⎰由于当01t ≤≤时，10(1)4t t ≤-≤，所以 1110(1)()4n n n t t --≤-≤因而级数11(1)n n n t t ∞-=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有201n n n ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=110(1)n n t t dt --⎰=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑⎰ =101(1)tdt t t --⎰=1201t dt t t -+⎰=33π. 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用例 3 设)(~2n X χ，求EX .分析这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x=2，将其转化为欧拉积分.解 dxe x n x dx x xf EX xn n21220)2()21()(--∞+∞-∞+⋅⋅Γ⋅==⎰⎰ dt e t n t nn t-∞+=⋅⋅Γ=−−→−⎰0222x )2(2)2()21(令dt e t n t n n n -∞+-+⋅Γ⋅⋅=⎰011222)()2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2(2n n n Γ⋅⋅Γ==n .例 4 证明概率积分22π=⎰∞+-dx e x .分析我们知道，著名的概率积分dx e x ⎰+∞-02及其推广形式dx e x x n ⎰+∞-022的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解令2x y =，则dy y dx y x 212121,-==，所以dy y edx eyx 21212-∞+-∞+-⎰⎰= 2)21(21π=Γ=. 结束语通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900.[3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986.[5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998.[6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993.。

欧拉积分

2 5
2 3
( (
1) 2 1)
8 15
2
2
2
( 1 n) ( 1 n 1)( 1 n 1)
2
2
2
2n 1 2n 3 1 1 (2n 1)!!
( )
2
2
22
2n
上一页下一页主页返回退出
( 1 2
n)
( 1 n 1) 2 1n
2
2 2 2 ( 1 ) 2n 1 2n 3 1 2
2 (n 1 )(n 1 ) (2n 1)!!
2
2
上一页下一页主页返回退出
当 p ≥ 1 时，I (p, q) 为正常积分，当 0 < p < 1时收敛.
当 q ≥ 1 时，J (p, q) 为正常积分，当 0 < q < 1时收敛. 所以，当 p > 0 , q > 0 时, B(p, q) 收敛.
即B(p, q)函数的定义域为 p > 0 , q > 0
上一页下一页主页返回退出
上一页下一页主页返回退出
▪ Γ函数 ▪ Β函数 ▪ Γ函数与Β函数之间的关系
上一页下一页主页返回退出
一、Γ函数
Γ函数 (s) x s1exdx，, s 0 0
特点: 1. 积分区间为无穷;
2. 当 s - 1 < 0 时，x = 0 为瑕点;
写Γ函数为如下两个积分之和：
(2n 1)!! 1 2n
(2n 1)!!
2
n!
(2n)!! 2
上一页下一页主页返回退出
2 sin2n1 u du
2
s in2( n1)1

数学分析19_3欧拉积分

第19章
第19章
本章内容：
含参量积分
第一节、含参量正常积分第二节、含参量反常积分（略）第三节、欧拉积分
第3节
第19章
欧拉(Euler)积分
一、函数
( s )

0
x s 1e x d x,
s0
二、B函数
B( p, q) x p 1 (1 x) q 1 d x ,
数学分析
目录上页下页返回结束
21
计算积分 sin x cos xdx 例3. 0
2

1 , 1
1
2
解: 令 t sin 2 x, 得

2
0
1 sin x cos xdx t 2 0

1
1
2
(1 t )
dt
1 1 1 B( , ) 2 2 2
p
q 1 1
q 1 1 p x (1 x) q 2 d x p 0 0
q 1 1 p 1 [ x x p 1 (1 x)](1 x) q 2 d x p 0 q 1 1 p 1 q 1 1 p 1 q 2 q 1 0 x (1 x) d x p 0 x (1 x) d x p q 1 q 1 ( p, q 1) ( p, q) p p 移项并整理即得.
B( p, q) x p 1 (1 x) q 1 d x ,
0
1
p 0, q 0
利用审敛法可以证明 B(p,q) 在 p 0 q 0内收敛 . 2. 性质 (1) B( p, q) 在 p > 0, q > 0内连续. (2) 对称性 B( p, q) B(q, p)

第9章含参量积分

第九章含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。

更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。

2 分析性质（1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。

（2）可微性若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。

此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd ac f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰与(,)d bcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。

（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。

含参量积分

问题 5 定义域不是闭区间的含参量积分有些什么基本性质？答在含参量正常积分的定义中，所得的函数定义在一个闭区间上，对于不
是闭区间的情形可类似定义.此时对其连续性和可微性根据其只与指定点附近的函数值有关这一特征，易知教材第十九章 19.1 定理 19.1、 19.3 中将闭区间 [ a, b ] 换成开区间或半开半闭区间时，结论仍然成立；而有关可积性的定理 19.4，则必须在闭区间上进行讨论。问题 6. 答何谓无穷积分 ò
实质上是一个函数。问题 3 含参量正常积分和我们学过的积分有什么联系？答含参量积分是以积分形式表达的函数，而我们已经学过的不定积分表达
的是满足一定条件的一簇函数，定积分表达的则是一个数。如果我们将常数看成常值函数，则定积分成为含参量正常积分的特殊情形。问题 4 含参量正常积分除教材上介绍的性质外，还有什么性质？答含参量正常积分表达的是一个函数，在教材中只讨论了三个主要的性
含参量积分
问题 1 讨论含参量积分有何意义？答在第十三章中我们看到，无穷级数是构造新函数的一种重要工具。利用
它我们可以构造出处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线 {参见常庚哲、史济怀《数学分析教程》第三册 17 章§17.8}。含参量积分是构造新函数的另一种重要的工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。问题 2 什么是含参量积分正常积分是积分还是函数？答含参量正常积分在形式上是积分, 但积分值随参量的不同而变化。因此
f ( x) = ò e - tx dt , g ( x) = ò
0 x
sin t dt 0 t ，等
x
3．用函数级数。例如：
¥ 1 sin(2 n + 1) x x ( x) = å x ( x > 1), f ( x) = å , x Î R 2n + 1 n =1 n n = 0 ，等。 ¥

§1含参量正常积分§2含参量反常积分§3欧拉积分

(i)、连续性:
若二元函数 f (x, y) 在矩形域R(a x b,c y d) 上连续,
则函数
I(x)
d
f (x, y)dy 在 [a,b]上连续
c
证 : 设x [a,b], 对充分小的 x,有x x [a,b], 于是
d
I(x x) - I(x) c [ f (x x, y) f (x, y)]dy.
xx0 c
c xx0
即定义在矩形域上连续，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.
(ii)、可微性:
若函数 f (x, y) 与其偏导数 f (x, y) 都在矩形域
x
R (a x b,c y d) 上连续,则
d
I(x) f (x, y)dy 在 [a,b]上可微, 且 c
d
d
分别在 [a, b] 及 [c, d ]上连续。因此 I (x)在 [a, b]上可积，
J ( y) 在 [c, d ] 上可积。记为
b
bd
b
d
a I (x) dx a c f (x, y) dy dx a dx c f (x, y) dy
d
db
d
b
c J ( y) dy c a f (x, y) dx dy c dy a f (x, y) dx
要研究这两个积分是否相等？
(iii)、可积性:
若二元函数 f (x, y) 在矩形域R(a x b,c y d) 上连续,
则 I(x) 和 J (y) 在 [a,b]和 [c,d] 可微, 且
b
d
d
b
a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
证:
记I1(u)

§19.3欧拉积分

( s 1) s( s )
s x 0 0
证 : ( s 1) x e dx x s (e x )dx
x e
s x 0
s x e dx s x s1e x dx s( s ) 0
s 1 x

0
设 n s n 1,即 0 s n 1, 由递推公式得
q 1 B ( p, q ) B( p, q 1) ( p 0, q 1) p q 1 p 1 B ( p, q ) B( p 1, q) ( p 1, q 0) p q 1 ( p 1)(q 1) B ( p, q ) B( p 1, q 1), ( p 1, q 1) ( p q 1)( p q 2)
q 2 xp q 11 x dx 0 p 0
(4) B ( p, q ) 的其他形式
x 1 x
1 p 1 0
q 1
dx
x cos 2
B ( p, q )
2 2 sin 2 q1 cos2 p1 d
0
y 1 y

x
B ( p, q )
当 1 s 0时,(6)式有
( s 1) ( s ) s
(6)
4
( s)
意义.于是应用(6)式来定义左端函数 ( s ) 在 (1,0) 内的值,并且可推出 ( s ) 0 .
3
2
1
用同样的方法,利用 ( s ) 已在 (1,0) 内有定义这一事实,由(6)式又定义 ( s ) 在
例 1 求 ( 4.85 ) , ( 0.85 ) , ( 2.15 ) . ( 查表得 ( 1.85 ) 0.94561.)

欧拉积分的性质以及应用

对于来说，当，有，由于收敛，从而在上也是具有一致收敛性的，于是在上Gama函数是具有连续性的。
（2）具有可导性[12]
可容易得到= ,对于任意的闭区间（），它都是一致收敛的，则通过含参量反常积分的可微性定理[1]容易得知在上具有可导性，由c，d的任意性，伽马函数在上可导，且 = ，
a．计算定积分.
例1: 对积分进行计算[8]。
解：2，
令
例2：证明
证明：令，，故而
.
b．平面图形的面积可以利用定积分来求[10]
例1：求曲线在坐标系内所围成的图形的面积。
解：由于区域边界曲线的对称性质，区域面积：
例2：给出麦克劳林正弦螺线怎样计算它在平面内围成的图形的面积？
解:该曲线每一支都不妨围城一个区域，其面积是
第二个等号用换元.
c．在广义积分中的应用[3]
例：计算积分.
解：令,
则
，那么
= .
d．在重积分中的应用[4]
例：计算，其中D是由及这三条直线所围成的闭区域
解: 令,,且,区域D在此改变中被照射成正方形:{}.
[11]赵纬经,王贵君.欧拉积分在定积分计算中的应用[J].青海师范大学学报(自然科学版),2008(01):5-8.
[12]山乔波,陈广锋.欧拉积分在积分计算中的应用[J].智库时代,2018(52):156+164.
[13]赵荣凯.余元公式及简单应用[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2007(04):3-4.
[14]陈文英.欧拉积分的计算[J].重庆三峡学院学报,2001(S1):167-168.
[15]宁丽娟.Γ函数与概率统计中几个常见的连续型分布[J].科技信息,2011(27):443+453.

欧拉公式在含参量积分中的应用

欧拉公式在含参量积分中的应用作者：何其祥来源：《教育教学论坛》2015年第15期摘要：欧拉公式是复变函数里一个著名而又简单的公式，它将定义和形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其应用性质架起了一座桥梁，特别是对某些类型的积分很是实用。

本文将通过实例介绍了该公式在含参量积分中的应用，欧拉公式的应用可以大大简化计算的复杂性。

关键词：欧拉公式；三角函数；积分；含参量积分中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）15-0149-02一、引言1748年，欧拉在其著作中陈述出公式：eix=cosx+isinx，其中x为任意实数，i为虚数单位。

这就是著名而又简单的欧拉公式，它自于复指数函数。

可以容易得到如下公式：该公式给出了指数函数与实三角函数的联系，从而就有了在某些含三角函数的积分中应用此公式把积分变为指数函数的积分的可能，并能使计算简化，先看下例。

从上例中，我们可以看出用欧拉公式的来计算积分比直接采用分部积分进行计算更为简便。

此外，该公式在含参量积分中有许多应用。

二、欧拉公式在含参量积分中的应用1.含参量正常积分。

例2.计算含参变量积分。

于是有：可以看出，本例中先引入含参量正常积分，再通过交换积分次序后利用欧拉公式一下算出两个积分，也要比用分部积分法简单。

2.含参量反常积分。

有些反常积分同样可以利用欧拉公式计算，可以使计算简化。

例3.计算含参变量反常积分。

三、小结从以上例子可以看出欧拉公式可以用来计算一部分含参量的积分，并能使计算大大简化。

当然，欧拉公式也可以用来计算一般的定积分、不定积分等，这里不再赘述。

参考文献：[1]姜志基.欧拉公式及其应用[J].甘肃教育学院学报（自然科学版），1997，（1）：62-65.[2]徐光甫，张邦基.欧拉公式中的数学美[J].东疆学刊，1998，15（4）：33-34.[3]赵永强，申玉发，何文杰，易炜.欧拉公式的一个应用[J].河北省科学院学报，2006，23（2）：1-4.[4]李劲.欧拉公式eix=cosx+isinx的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院学报，2008，24（5）：1-6.。

高等数学第19章第3节欧拉积分

第十九章含参量积分§3 欧拉积分注．：1) 欧拉积分均为含参量积分，其中Γ函数为含参量s 的反常积分①， B 函数为含参量（p 和q ）的积分.☆ 下面我们分别讨论这两个函数的性质。

一、Γ函数1. Γ函数的定义域及其连续性、可导性结论．．0．：．Γ函数．．(1) ．．．在．0>s 时收敛，即．．．．．Γ函数的定义域为．．．．．．．0>s ．事实上:Γ函数（1）可写成如下两个积分之和：),()()(1111x J x I dx e x dx e x s x s xs +=+=Γ⎰⎰+∞----对于)(s I ①当1≥s 时是正常积分.②当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得)(P188到7行,我们没有讨论这种情况,所以不能拿出充分的理由)；对于)(s J ①当0>s 时是收敛的无穷限反常积分(上册P273例2), 所以含参量积分(1)在0>s 时收敛，即Γ函数的定义域为 0>s ▌.结论．．1．：．Γ函数．．)(s Γ在定义域．．．．0>s 内连续且可导．．．．．．,．并且．．)(s Γ在．0>s 上存在任意阶导．．．．．．．数：．．⎰+∞--=Γ1)()(ln )(dx x e x s n x s n ，．（．.0>s ）．事实上:在任何闭区间[]()0,>a b a 上，①对于函数)(s I ，当10≤≤x 时有xa xs e xe x----≤11，由于⎰--11dx e x x a 收敛(上册P273例2)，从而)(s I 在上[]b a ,一致收敛（魏尔斯特拉斯M 判别法）；②对于函数)(s J ，当+∞<≤x 1，有,11xb x s e x e x ----≤由于⎰+∞--11dx e x x b 收敛，从而)(s J 在[]b a ,上也一致收敛.于是由[]()0,>a b a 的任意性可知)(s Γ在0>s 上连续。

高等数学随堂讲解欧拉积分

x p1 (1 x)q1 x p0 1 (1 x)q0 1 , p p0 , q q0 ,
§3 欧拉积分函数
函数
函数与函数之间的关系
而积分 1 x p01(1 x)q01dx 收敛, 故由 M 判别法知 0
B( p, q)在 p0 p , q0 q 上一致收敛. 因而推得 B( p, q)在 p 0,q 0内连续.
4 3 2 1
12 1
3
4
x
2
3
4
图 19 2
下去可把(s)延拓到整个数轴(除了 s 0, 1, 2,
以外), 其图象如图19-2所示.
§3 欧拉积分函数
函数
函数与函数之间的关系
5. (s)的其他形式在应用上, (s)也常以如下形式出现, 如令 x y2 ,
则有
(s) xs1e xdx 2 y2 e s1 y2dy (s 0) . (6)
推得, 而最后一个公式则可由公式(9), (10)推得.
§3 欧拉积分函数
函数
函数与函数之间的关系
当 p 1,q 1 时, 有
B( p, q) 1 x p1(1 x)q1dx 0
x p (1 x)q1 1 q 1 1 x p (1 x)q2dx
p
0
p0
q 1
p
函数
函数与函数之间的关系
2. 递推公式 (s 1) s(s)
对下述积分应用分部积分法, 有
A xse xdx xse x A s A x e s1 xdx
0
0
0
Ase A s A x e s1 xdx . 0
让 A 就得到 (s)的递推公式:
(s 1) s(s) .
,

欧拉积分的性质及其应用

欧拉积分及其应用专业：数学与应用数学(师范类)班级：2012级姓名：唐颖目录引言 (3)1 预备知识................................................................ .............................................. (5)2 欧拉积分的性质................................................................ ........................ . (7)2.1Γ函数的性质..................................................................................................... .. (7)2.1.1Γ函数的定义域............................................................................................. .. (7)2.1.2Γ函数的连续性............................................................................................. .. (8)2.1.3Γ函数的可微性............................................................................................. .. (9)2.1.4Γ函数的递推公式........................................................................................ (11)2.1.5Γ函数的极值与凸性..................................................................................... (12)2.1.6Γ函数的延拓............................................................................................... .. (13)2.2B函数的性质............................................................. ...................................... (13)2.2.1B函数的定义域........................................................................................... (13)2.2.2B函数的连续性........................................................................................... (14)2.2.3B函数的可微性........................................................................................... (15)2.2.4B函数的对称性........................................................................................... (15)2.2.5B函数的递推公式........................................................................................ (16)2.2.6B函数的其他形式....................................................................................... . (17)2.3 Γ函数和B函数的联系.................................................................................... .. (18)3 欧拉积分的应用................................................................ ................................. (20)3.1欧拉积分在数学分析中的应用............................................................................ .. (20)3.2欧拉积分在概率和统计中的应用......................................................................... .. (22)3.3欧拉积分在微分方程中的应用............................................................................. . (25)3.4欧拉积分在物理中的应用.................................................................................... (26)3.4.1B函数在李超代数相干态表示当中的应用 (26)3.4.2 函数在半导体物理中的应用........................................................................ . (27)结论................................................................ ...................................................... (29)致谢................................................................ ...................................................... (30)参考文献................................................................ .................................................. . (31)摘要欧拉积分是由含参变量的反常积分定义的两个十分重要的非初等函数，在理论与实践上，它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛．然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多．为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域，充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的某些性态以及伽马函数和贝塔函数的内在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明．通过典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决某些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概率和统计、微分方程中的相关问题，沟通知识间的内在联系．同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具．关键词：欧拉积分；一致收敛；连续性；可微性AbstractEuler integral is two important elementary function defined by improper integral containing parameper,on the theory and practice,it is second only to the elementary function,its application is very wide．However,the study on the properties of Euler integral is far more complex than the ones of elementary function．In order to have a more comprehensive and systemic knowledge of Euler integral,and in order to explore the application of Euler integral,make full use of the Euler integral value,on the base of the deep understanding of gamma function and beta function,this paper summarizes the domain,the continuity,the differentiability,the recurrence formula,the inner link of gamma function and beta function,the nature and so on of two kinds of function,and gives strict theoretical proof．Typical examples illustrate that the use of the properties of the gamma function and beta function can effectively solve some definite integral calculation problem with special types,effectively solve the related problems in differential equation,probability and statistics,communicate the intrinsic relationship between knowledges．At the same time,we applythe gamma function and beta function to physics,they provide the related problems a powerful tool in physics．Keywords:Euler integral; uniform convergence; continuity; differentiability引言莱昂哈德·欧拉于1707年4月15日在瑞士出生，他被公认与阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．阿拉戈也曾说过：“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样．”这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，与他同时代的人们称他为“分析的化身”．他作为数学教授，是有史以来最多产的数学家．欧拉的着述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神．在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理等等．他作为欧拉近似法的创始人为微分方程理论作出了巨大的贡献，同时，由于他对微分方程中贝塞尔问题的深入研究，最终使得贝塞尔问题得以解决，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，后续工作得以顺利完成．他还根据牛顿定律建立了流体力学里的欧拉方程，为物理学揭开了新的篇章．欧拉对含参变量积分的研究十分深入，最终揭开了关于含参变量积分神秘的面纱,使得含参变量积分成为数学学习中的重点，同时也是数学学习中的难点内容．表示非初等函数可用各种不同的数学工具，如例，可变上限的定积分、收敛的函数项级数、函数方程或者函数方程组等，含参变量积分也是表示非初等函数的一种重要的数学工具．深刻理解含参变量积分的本质，并且通过本质和它的性质解决许多复杂的综合性问题以及一些实际问题，可以大大提高问题解决的效率．欧拉积分就是由欧拉整理得出的两类含参变量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(B函数)，第二类型积分称伽马函数(Γ函数)．它的地位仅次于初等函数．然而，目前对于欧拉积分的性质及其应用的研究仍然不够全面，关于欧拉积分性质的研究方法也十分复杂，如果我们能够对欧拉积分有一个充分、全面的认识，那么对于解决许多含参变量积分问题和一些实际生活中的问题都会有很大的帮助．因此，探讨欧拉积分及其应用问题对于我们具有重要的意义和价值，对欧拉积分的深入研究也是必要且有实际意义的．德国数学大师Hilbert 曾在巴黎的国际数学家大会上说过：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢?”随着时间的推移，一百年过去了，关于数学欧拉积分的百年面纱层层被揭开．随着对欧拉积分全面深入的研究以及科学技术的不断发展和研究水平的显着提高，欧拉积分的应用领域不断扩大，不断地解决更多的实际生活中的问题，发展前景十分广阔．1 预备知识为了能够深入研究欧拉积分的性质及其应用，必须要先了解与欧拉积分密切相关的知识内容．如无穷积分与瑕积分敛散性的判别方法、一致收敛的判别方法以及函数的连续、可导等相关知识．因此，只有在掌握好预备知识的前提之下才能更加深入地研究欧拉积分的性质及其应用．定理1 设),[∞+∈∀a x ，函数)(x f ≥0，a >0，且有极限d x f x x =∞+→)(lim λ， 0≤d ≤∞+．1)若λ>1，0≤d <∞+，则无穷积分⎰+∞a x f )(dx 收敛；2)若λ≤1，0<d ≤∞+，则无穷积分⎰+∞a x f )(dx 发散．定理2 设),[∞+∈∀a x ，有)()(x c x f ϕ≤， c 是常数．1)若无穷积分dx x a ⎰+∞)(ϕ收敛，则无穷积分⎰+∞a x f )(dx 也收敛；2)若无穷积分⎰+∞a dx x f )(发散，则无穷积分dx x a ⎰+∞)(ϕ也发散．定理3 无穷积分⎰+∞a x f )(dx 收敛⇔∀a b >，无穷积分dx x a ⎰+∞)(ϕ也收敛．定理4 设],(b a x ∈∀，函数)(x f ≥0，a >0，且有极限+→a x lim d x f a x =)()(λ－， 0≤d ≤∞+．1)若λ<1，0≤d <∞+，则瑕积分dx x f b a ⎰)(收敛；2)若λ≥1，0<d ≤∞+，则瑕积分dx x f b a ⎰)(发散．定理5 设∀x ∈],(b a ，有)(x f ≤c )(x ϕ， c 是正常数．1)若瑕积分dx x b a ⎰)(ϕ收敛(a 是瑕点)，则瑕积分dx x f ba ⎰)(收敛；2)若瑕积分dx x f b a ⎰)(发散(a 是瑕点)，则瑕积分dx x b a ⎰)(ϕ发散．定理6 若∃B >0，∀x >B ，∀u ∈I ，有),(u x f ≤)(x F ，且无穷积分dx x F a ⎰+∞)(收敛，则无穷积分dx u x f a ⎰+∞),(在区间I 一致收敛．定理7 设函数),(u x f 在区域R (a ≤x <b ，α≤u ≤β)连续，则函数=)(u ϕdx u x f a ⎰+∞),(在闭区间],[βα内连续．定理8 设函数),(u x f 在区域D (a ≤x +∞<，α≤u ≤β)连续，且无穷积分=)(u ϕdx u x f a ⎰+∞),(在闭区间],[βα内一致收敛，则函数)(u ϕ在闭区间],[βα连续．定理9 若函数),(u x f 与),(u x f '在区域D (a ≤x +∞<，α≤u ≤β)连续，且无穷积分=)(u ϕdx u x f a ⎰+∞),(在闭区间],[βα上收敛，而无穷积分dx u x f a ⎰+∞'),(在闭区间],[βα上一致收敛，则函数在)(u ϕ闭区间],[βα可微，且⎰+∞'='a dx u x f u ),()(ϕ．即dx u x f u dx u x f du d a a),(),(⎰⎰+∞+∞∂∂=． 2 欧拉积分的性质欧拉积分由两类含参量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(B 函数)，即函数=),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p ．第二类型积分称伽马函数，即函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α(Γ函数)．2.1 Γ函数的性质函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α称为Γ函数(伽马函数)．关于Γ函数的性质，主要研究它的定义域、Γ函数在定义域内的连续性、可微性、Γ函数相关的递推公式、极值与凸性以及Γ函数的延拓． 2.1.1Γ函数的定义域性质1 函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α的定义域是),0(∞+．证明首先将无穷积分改写为 =⎰+∞--01dx e x xα+⎰--101dx e x xα⎰+∞--11dx e x x α)()(x Z x I +=]1[．其中=)(x I ⎰--11dx e x x α，=)(x Z ⎰+∞--11dx e x x α．(i)考察积分)(x I ⎰--=101dx e x x α，当α<1时，0=x 是被积函数x e x --1α的瑕点，有1lim lim 0110==⋅-→---→++x x x x e e x x αα．因此，根据定理4可知，当11<-=αλ，即>α0时，瑕积分=)(x I ⎰--11dxe x x α收敛．(ii)考察无穷积=)(x Z ⎰+∞--11dx e x x α．已知对于∀R ∈α，有极限x x xx ex exx 112lim lim ++∞→--+∞→=⋅αα0=．其中，12>=λ，0=d ，根据定理1可知，则∀R ∈α，无穷积分=)(x Z ⎰+∞--11dxe x x α都收敛．综上可知，瑕积分=)(x I ⎰--11dx e xxα与无穷积分=)(x Z ⎰+∞--11dx e x x α同时收敛的α的公共部分是0>α．于是，函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α的定义域是区间),0(∞+．2.1.2Γ函数的连续性性质2 函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α在区间),0(∞+连续．证明首先将无穷积分改写为=⎰+∞--01dx e x x α⎰--11dx e x x α⎰+∞--+11dx e x x α．令=)(x I ⎰--11dx e x x α，=)(x Z ⎰+∞--11dx e x x α．有⎰+∞--01dx e x x α)()(x Z x I +=．∀),0(∞+∈α，∃1α和2α，使0<1α≤α≤2α．∀]1,0(∈x ，有x e x --1α≤x e x --11α．∀),1[∞+∈x ，有x e x --1α≤x e x --12α．(i)对于积分=)(x I ⎰--11dx e xxα，有x e x --1α≤xe x--11α．而积分⎰--1011dx e x x α)0(1>α收敛，根据定理6可知，则积分)(x I ⎰--=101dx e x x α在],[21αα上一致收敛．(ii)对于积分=)(x Z ⎰+∞--11dx e x x α，有x e x --1α≤x e x --12α．而积分⎰--1012dx e x x α)0(2>α收敛，根据定理6可知，则无穷积分=Z )(x ⎰+∞--11dx e x x α在区间],[21αα上一致收敛．综上可知，积分⎰+∞--01dx e x x α在区间],[21αα上一致收敛．而被积函数x e x --1α在区域D (0<x <+∞，1α≤α≤2α)连续，根据定理8可知，Γ函数在区间],[21αα连续．于是，Γ函数在点α连续．由α的任意可知，函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α在区间),0(∞+连续．2.1.3Γ函数的可微性性质3 函数)(αΓ⎰+∞--=01dx e x x α在区间),0(∞+可导，且=Γ')(x ⎰+∞--01ln xdx e x x α．证明 ()∞+∈∀,0α，∃a ,b ，使b a ≤≤<α0．被即函数x e x x f --=1),(αα与α∂∂fx e x x ln 1--=α在+∞≤<x D 0[，]b a ≤≤α连续，无穷积分⎰+∞--01dx e x x α在],[b a 收敛．再考察积分dx e x x)(10--+∞⎰∂∂αα⎰+∞--=01ln xdx e x x α在区间],[b a 的一致收敛性，将此积分表示成dx e x x)(10--+∞⎰∂∂αα⎰+∞--=01ln xdx e x x α⎰--=101ln xdx e x x α⎰+∞--+11ln xdx e x x α． (i)考察积分⎰--11ln dx x e x x a 的一致收敛性．当α≤<a 0时，有x e x x ln 1--α≤x x a ln 1-)0,10(α≤<≤<a x ．201)]1(lim [1aa a x a a x =+-=+→．由上可知，无穷积分⎰-101ln dx x x a 收敛．根据定理6可知，含参变量积分⎰--11ln xdx e xxα在],[b a 上一致收敛．(ii)考察积分⎰+∞--11ln xdx e x x b 在],[b a 的一致收敛性．方法1 当α≤a ≤b ，3>∀x ，有x e x x ln 1--αx e x x ln 1--=αx e x x b ln 1--<．221ln limlimx x x b x ex ex +∞→++∞→=．由数学分析知识可知0lim 21=++∞→xb x ex ，由洛必达法则可知2222lim 211lim ln lim x x x x x x xe e x e x +∞→+∞→+∞→==0=．因此0ln lim 12=--+∞→x e x x x b x ．其中，12>=λ，0=d ，根据定理1可知，无穷积分⎰+∞--31ln dx x e x x b 收敛．由定理3可知，无穷积分⎰+∞--11ln dx x e x xb 也是收敛的．根据定理6可知，积分⎰+∞--11ln xdx e x x α在],[b a 上一致收敛．方法2 当1≥x 时，x x <ln ，则有x b x x e x e x x e x ----<<ααln 1．由上可知，无穷积分⎰+∞-1dx e x xb 收敛，根据定理6可知，积分⎰+∞--11ln xdxe x x α在],[b a 上一致收敛．综上两种方法都可知，含参变量积分⎰⎰+∞--+∞--=∂∂0101ln )(xdx e x dx e x x xααα在],[b a 上一致收敛．根据定理9可知，Γ函数⎰+∞--01dx e x x α在区间],[b a 可导，所以，Γ函数在α点可导，由α的任意性可知，Γ函数⎰+∞--01dx e x x α在()∞+,0可导．且=Γ')(x ⎰⎰+∞--+∞--=∂∂0101ln )(xdx e x dx e x x xααα．类似地可证)(αΓ''在闭区间],[b a (0>a )上连续且可在)(αΓ'基础上求导．通过数学归纳法可知，对任意正整数n ，)()(αn Γ在α>0上都存在连续且可在积分号下求导数，得)()(αn Γ⎰+∞--=01)(ln dx x e x n x α， >α0．2.1.4Γ函数的递推公式性质4 递推公式 ∀0>α，有=+Γ)1(α)(ααΓ．证明由分部积分公式，∀>α0，有=+∞---01x exα⎰+∞--+01dxe x x αα)()(0lim 1αααααΓ=Γ++-=-+∞→xx e x ．设n <α≤1+n ，n ∈+N ，逐次应用递推公式，有)1(-=αα)()(n n -Γ-αα．而10≤-<n α．由此可见，只要知道Γ函数在区间]1,0(的函数值，由递推公式就能计算出任意正数α的函数值)(αΓ．特别地，n =α，n ∈+N ，有)1(12)1(Γ⋅⋅⋅-⋅= n n ．而1lim )1(000=+-=-==Γ-+∞→+∞+∞--⎰e e edx e x x xx ，即!)1(n n =+Γdx e x x n -+∞⎰=0．这是n ！的一个分析表达式，Γ函数就是n ！的推广，后者只对自然数有定义，现已推广到自变量是任意正整数的范围．2.1.5Γ函数的极值与凸性性质5 函数)(αΓ⎰+∞--=01dx e x x α在区间),0(∞+是下凸函数，且存在唯一一个极小值点0x ．证明对∀α>0，)(αΓ⎰+∞--=01dx e x x α>0．通过对上述Γ函数求导，有=Γ')(α⎰+∞--01ln xdx e x x α，)(αΓ''=⎰+∞--021)(ln dx x e x x α>0．因此，Γ函数在α>0时是下凸的且位于x 轴上方．而1)1(=Γ，=Γ)2(⎰+∞-0dx xe x+∞--=0x xe⎰+∞-+0dx e x 10==⎰+∞-dx e x ．所以=Γ)1(1)2(=Γ．由性质2可知，函数)(αΓ⎰+∞--=01dx e x x α在区间),0(∞+是连续的，因此函数()αΓ⎰+∞--=01dx e x x α在区间]2,1[也是连续的．所以在区间]2,1[内一定有最小值点，且函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α在区间)2,1(是严下凸的．由此，Γ函数在α>0上有唯一一个极小值点0x 落而在在区间)2,1(内．2.1.6Γ函数的延拓证明由递推公式可得，=Γ)(ααα)1(+Γ．当1-<α<0时，110<+<α，上式右端有意义，运用上式来定义左端函数)(αΓ在)0,1(-内的值，由于()01>+Γα，0<α，推得此时)(αΓ<0．利用)(αΓ在)0,1(-内有定义，又可定义)(αΓ在)1,2(--内值，而这时)(αΓ>0．依此类推，可把)(αΓ延拓到整个数轴(除α=0，1-，2-，…外)．对于伽马函数的性质还有余元公式以及勒让德公式,其中余元公式]2[ 设10<<a ，则aa a ππsin )1()(=-ΓΓ．勒让德公式 0>∀a ，有()()a a a a 22)21(12Γ=+ΓΓ-π．因为数学分析教材中已经给出了详细的证明，这里不再进行研究．2.2 B 函数的性质函数),(q p B =⎰---1011)1(dx x x q p 称为B 函数(贝塔函数)．关于B 函数的性质，主要也是研究它的定义域、它在定义域内的连续性、可微性、对称性以及B 函数递推公式．2.2.1B 函数的定义域性质1 =),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 的定义域为}0,0),{(>>=q p q p D ．证明首先将积分改写为⎰---111)1(dx x xq p +-=⎰--21011)1(dx x x q p ⎰---12111)1(dx x x q p ]3[．其中=)(1x I ⎰---21011)1(dx x x q p ，=)(2x I ⎰---12111)1(dx x x q p ．(i)首先考察积分)(1x I ，有当p ≥1时，积分=)(1x I ⎰---21011)1(dx x x q p 为定积分；当p <1时，被积函数的瑕点是0=x ，因为p x x -→+10lim 11)1(---⋅q p x x 1)1(lim 10=-=-→+q x x ．当=λ11<-p ，即p 0>时，由定理4可知，瑕积分=)(1x I ⎰---21011)1(dx x x q p 收敛．(ii)再考察积分)(2x I ，有当q ≥1时，积分=)(2x I ⎰---12111)1(dx x x q p 为定积分；当q 1<时，被积函数的瑕点是1=x ，有q x x -→-+11)1(lim ()111---⋅q p x x 1lim 11==-→+p x x ．当11<-=q λ，即q 0>时，由定理4可知，瑕积分=)(2x I ⎰---12111)1(dx x x q p 收敛．综上可知，当p 0>且q 0>时，瑕积分=)(1x I ⎰---21011)1(dx x x q p 与瑕积分=)(2x I ⎰---12111)1(dx x xq p 都收敛，所以B 函数=),(q p B ⎰---1011)1(dx x xq p 的定义域为}0,0),{(>>=q p q p D ．2.2.2B 函数的连续性性质2 =),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 在定义域}0,0),{(>>=q p q p D 内连续．证明 0>∀p ，0>q ，∃d c b a ,,,使0<a ≤b p ≤，<0c ≤q d ≤，11)1(---q p x x ≤11)1(---c a x x ．而积分⎰---1011)1(dx x x c a 收敛，根据定理5可知，含参变量积分⎰---1011)1(dx x x q p 在区域],[],[d c b a ⨯上是一致收敛的．同时，由于11)1(),,(---=q p x x x q p f 在,(b p a V ≤≤)10,<<≤≤x d q c 上连续．因此，根据定理9可知，含参变量积分⎰---1011)1(dxx x q p 在区域],[],[d c b a ⨯连续，因此积分⎰---1011)1(dx x x q p 在),(q p 内连续．由q p ,的任意性可知，B 函数),(q p B 在定义域}0,0),{(>>=q p q p D 内连续．2.2.3B 函数的可微性性质3 =),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 在区域D (0<p <∞+，0<q <∞+)内可微．证明 0>∀p ，0>q ，∃d c b a ,,,使0<a ≤b p ≤，<0c ≤q d ≤，函数),,(q p x f11)1(---=q p x x ，()x x x pf q p ln 111---=∂∂，()()x x x q f q p ---=∂∂--1ln 111在],[],[d c b a ⨯连续，积分()dx x x q p 11011--⎰-是收敛的．再考察含参变量积分dx x x pB q p ])1([1110---∂∂⎰dx x x x q p 111)1(ln ---⋅=⎰在],[],[d c b a ⨯上的一致收敛性． )1,0(∈∀x ，有x x x q p ln )1(11---≤x x x c a ln )1(11---x x a ln 1-≤ x x a ln 1--=．而积分⎰-101ln dx x x a 收敛(已证)．根据定理6可知，积分dx x x pB q p ])1([1110---∂∂⎰一致收敛．因此，无穷积分=),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 在间],[],[d c b a ⨯存在偏导数．即=∂∂p B dx x x x q p 111)1(ln ---⋅⎰．同理可证),(q p B q'在区间],[],[d c b a ⨯也存在．且 =∂∂q Bdx x x x q p 1110)1()1ln(---⋅-⎰．即函数=),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 在区间],[],[d c b a ⨯存在偏导数．由q p ,的任意性可知，0,0>>∀q p ，),(q p B 在区间],[],[d c b a ⨯存在偏导数．同理可证，),(q p B 存在二阶、三阶等任意阶偏导数．2.2.4B 函数的对称性性质4 函数),(q p B 具有对称性：即=),(q p B ),(p q B ．证明令y x -=1，dx dy -=，当0=x 时，1=y ；当1=x 时，0=y ，有=),(q p B =-⎰--1011)1(dx x x q p -⎰---0111)1(dy y y q p ⎰---=1011)1(dy y y q p ),(p q B =．2.2.5B 函数的递推公式性质5 B 函数的递推公式： (i)∀p 0>，q 1>，有=),(q p B )1,(11--+-q p B q p q ．(2-1) (ii)∀p 1>，q 0>，有=),(q p B ),1(11q p B q p p --+-．(2-2) (iii)∀p 1>，q 1>，有=),(q p B ]4[)1,1()2)(1()1)(1(---+-+--q p B q p q p q p ． (2-3)证明(2-1) 对于∀p 0>，q 1>，由分部积分公式，有pq 1-=)1,(-q p B -p q 1-),(q p B ．即=),(q p B )1,(11--+-q p B q p q 成立．由对称性，∀p 1>，q 0>，有=),(q p B =),(p q B )1,(11--+-p q B q p p ),1(11q p B q p p --+-=．因此，∀p 1>，q 0>，=),(q p B ),1(11q p B q p q --+-成立．同理可证=),(q p B )1,(11--+-q p B q p q )1,1(2111---+-⋅-+-=q p B q p p q p q ．即对于∀p 1>，q 1>，),(q p B )1,1()2)(1()1)(1(---+-+--=q p B q p q p q p 也成立．2.2.6B 函数的其他形式性质6 ∀p 0>，q 0>，=),(q p B ⎰--201212sin cos 2πϕϕϕd q p ．证明设ϕ2cos =x ，ϕϕϕd dx cos sin 2-=，有⎰--=21212sin cos 2πϕϕϕd q p ． (2-4) 由公式(2-4)，有下面几个简单的公式：0>∀p ，0>q ，有⎰--21212sin cos πϕϕϕd q p ),(21q p B =)(2)()(q p q p +ΓΓΓ=． (2-5) 在公式(2-5)中，令21+=n q 与21=p ．1->∀n ，当1=x 时，0=ϕ；当0=x 时，2πϕ=,有⎰2sin πϕϕd n )12(2)21()21(+ΓΓ+Γ=n n ． (2-6) 在公式(2-6)中，令0=n ，有⎰2πϕd )1(2)21()21(ΓΓΓ=2)]21([21Γ=．或π=Γ2)]21([．即π=Γ)21(． (2-7)2.3 Γ函数和B 函数的联系在B 函数的递推公式)1,(11),(--+-=q p B q p q q p B 中，特别地，取n q =，+∈N n ，逐次应用递推公式，有)1,()1()2)(1(12)2()1(p B p n p n p n n +-+-+⋅⋅⋅-⋅-== ．而⎰==-1011)1,(pdx x p B p ，即 ),(n p B ())1()1(!1-++-=n p p p n ．当m p =，),(+∈=N n m n q 时，有),(n m B )1()1(!)1(-++-=n m m m n !)1(!)1(!)1(-+--=n m m n ．或),(n m B )()()(n m n m +ΓΓΓ=．这个公式可以表明，尽管Γ函数)(αΓ=⎰+∞--01dx e x x α)0(>α和B 函数=),(q p B⎰---111)1(dx x x q p (0<p <∞+，0<q <∞+)的定义在形式上没有任何联系，但通过对Γ函数和B 函数性质的全面研究发现，它们内在之间有着紧密的联系．这个公式可以推广为∀p 0>，q 0>，有=),(q p B )()()(q p q p +ΓΓΓ．3 欧拉积分的应用Γ函数和B 函数是两个含参量的反常积分所定义的非初等函数，它们有十分广泛的应用，如欧拉积分在计算定积分和广义积分中的应用以及证明一些重要的积分等式中的应用、在概率和统计中的应用、在微分方程中都有重要的应用，同时在物理和工程技术等方面起到至关重要的作用．3.1 欧拉积分在数学分析中的应用通过上述对Γ函数和B 函数的性质的全面深入的学习和研究，可以帮助我们在数学分析的定积分的计算、广义积分的计算、平面图形围成区域面积的计算以及三角函数求解积分的计算方面都有十分广泛的应用，大大简化了计算过程，节省了计算的时间．例1]5[ 计算积分=I dx e x x n 204-+∞⎰．分析上述积分的形式符合函数=Γ)(α⎰+∞--01dx e x x α)0(>α定义的基本形式，通过换元法，化为Γ函数形式，利用Γ函数来计算此积分．解令u x =2，u x =，xdx du 2=．有212342142⋅-⋅-⋅=n n π．例2 计算由曲线+m x my m a =)0,0(>>n a 所围城的区域的面积．分析由题意可知，所求封闭区域的图形关于x 轴、y 轴都是对称的．令第一象限那部分图形的面积为1S ，且在第一象限的曲线方是y m m m x a -=．所以，这个图形围成的区域的面积S 应该是第一象限那部分图形的面积的四倍．因此，面积S ==14S dx x a a m m m ⎰-04．解换元法，令=x at ，当x 0=时，0=t ；当a x =时，1=t ．则=S ⎰-10214m m t a ．再设=u mt ，mu t 1=，du u mdt m 111-=，当0=t 时，0=u ；当1=t 时，1=u ．因此，将积分转化为欧拉积分：)2()1(222mm m a ΓΓ=．特别地，当2=m 时，曲线方程为222a y x =+，这是半径为a 的圆，其面积()222221)(1)21(22a a a S ππ=⋅=ΓΓ⋅=，这与所学的圆的面积计算公式一致．例3]6[ 计算积分dx xn x x cos 11sin cos 10+⋅+⎰π)10(<<n ．分析这道题显然被积函数非常复杂，若变化技巧使用不恰当会导致计算过程极为复杂，甚至一无所获．当然可以用万能换元，但很复杂．令=2tant 2tan 11x n n +-，则有=2tan x2tan 11t n n +-．再利用三角恒等式可得=x cos t n n x cos 1cos --，=+x n cos 1tn n cos 112--，=dx dt t n n cos 112--．当0=x 时，0=t ；当π=x 时，π=t ．则有 ⎰-+-=π21214341cos sin)1()1(2tdt t n n ．由三角函数和贝塔函数联系可知，此时转化为欧拉积分会更加简单．解令=2tan t 2tan 11x n n +-，=2tan x2tan 11t n n +-，当0=x 时，0=t ；当π=x 时，π=t ．则有1221)1()1(24341π⋅+-=n n 4341)1()1(2n n +-=π．3.2 欧拉积分在概率和统计中的应用欧拉积分不仅在数学分析当中有广泛的应用，同时在概率和统计当中的应用更加非常广泛并且至关重要．利用Γ函数和B 函数的性质可以帮助我们解决求解概率密度函数、求解分布函数的随机变量以及随机变量有关的证明问题等等，这样对于学习概率和统计这一课程也提供了方便．例4 分别求出下列分布密度中的常数k 使其成为概率密度函数．分析上式中11)1(---q p x kx 符合函数=),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p 的被积函数的形式，因此利用B 函数来解决问题会更加便利．解由于⎰---1011)1(dx x kx q p 1)1(1011=-=⎰--dx x x k q p ，所以，1),(=q p kB ．即=k ),(1q p B ．例5]7[ 求下列分布函数的期望和方差．(1)随机变量~ξ），（ηt Γ．即)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0,0,)(1x x e x t tt t ηη (2)贝塔分布函数),(n m B解(1) 令x u η=，ηu x =，du dx η1=，当0=x 时，0=u ；当+∞=x 时，+∞=u ．则有)()()()1(t t t t t ΓΓ⋅=Γ⋅+Γ=ηηηt=．同理可得=E 2ξ2)1(η+t t ．由公式=ξD 2ξE 2)(ξE -，有=ξD2)1(η+t t 2)(ηt-21η=．(2)=E ξdx x xf ⎰∞+∞-)(xdxx x n m n m n m 111)1()()()(---ΓΓ+Γ=⎰n m m+=．同理可得=E 2ξ))(1()1(n m n m mm ++++．由公式=ξD 2ξE 2)(ξE -，有2))(1(n m n m nm+++=．例6]8[ 设随机变量~ξ),(ηi t Γ．0>i t ，=i 2,1且1ξ与2ξ相互独立，则+1ξ~2ξ),(21ηt t +Γ．证明由于~i ξ),(ηi t Γ，因此由卷积公式可知当0<a 时，0)(21=+a f ξξ．当0≥a 时，=+)(21a f ξξ⋅Γ⎰--at x t x e 011)()(1ηηηdx t x a x e tx a )()]([21)(2Γ----ηη⎰--+--ΓΓ=a t t t t a dx x a x t t e 011212121)()()(ηη．当=x au 时，=+)(21a f ξξ⎰--+-+--ΓΓ111211212121)1()()(du u u t t a e t t t t t t a ηη)()(21112t t a e t ta +Γ=-+-ηηη．即1ξ~2ξ+),(21ηt t +Γ．3.3 欧拉积分在微分方程中的应用二阶微分方程=2x xd yd 22++dx dy x 0)(22=+y k x (k 0≥，k 不一定是整数)的解所定义的函数叫贝塞尔函数，在微分方程中应用十分广泛．贝塞尔方程的两个特解为：=1y ∑+∞=+++Γ-02)2()1(!)1(n k n n xn k n )(x k H =， =2y ∑+∞=-++-Γ-02)2()1(!)1(n k n n xn k n )(x k -H =．其中)1(++Γn k 与)1(++-Γn k 是两个Γ函数．)(x k H 称为n 阶贝塞尔函数，)(x k -H 称为n -阶贝塞尔函数．对于贝塞尔方程求特解的方法是非常困难和繁琐的．此时，利用它与Γ函数的密切的关联来求解贝塞尔方程的特解，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，为后续工作的顺利完成提供极大地方便．3.4 欧拉积分在物理中的应用欧拉积分不仅在数学分析和概率统计以及微分方程中得到了非常广泛，同时在物理和工程技术等方面也有应用．3.4.1B 函数在李超代数相干态表示当中的应用现代物理学当中的李超代数，在物理学当中的超统一理论、量子场理论以及超统一理论等领域当中具有极其重要的作用．在研究李超代数的相干态表示的时候，无法避免的要确定相干态的完备性关系，因为一个不具有完备性的相干态是没有多大的价值的．在确定完备性关系的时候，经常会遇到类似于⎰∞+++0212)1(qp x x ]9[的积分形式，为了方便它的计算，我们将此积分的计算结果作一推导.根据函数=),(q p B ⎰---1011)1(dx x x q p )0,0(+∞<<+∞<<q p 的定义形式，利用换元法，有令u x =2，21u x =，du u dx 2121-=．当0=x 时，0=u ；当+∞→x 时，+∞→u ，则有du u u qp ⎰∞++=0)1(21．令u t +=11，tt t u -=-=111，dt t du 21-=，当0=u 时，1=t ；当+∞→u 时，0→t ．则有)1,1(21+--=p p q B ．通过Γ函数和B 函数的联系=),(q p B )()()(q p q p +ΓΓΓ，可知)1,1(--+p q p B !)1(!)2(!)()1()1(---=Γ+Γ⋅--Γ=q p q p q p p q ．当m p =，n q =时，因此⎰∞+++0212)1(n m x x !)1(!)2(!---=n m n m ．通过上面对于李超代数相干态的完备性关系常遇到的积分形式的求解，可以确定李超代数相干态的完备性与欧拉积分有密切的关联．因此，利用欧拉积分可以为确定李超代数相干态的完备性关系提供有力工具．3.4.2Γ函数在半导体物理中的应用Γ函数在半导体物理当中也同样有着广泛的应用．在热平衡状态下半导体物理时常常会遇到dx e x x x⎰'-021]10[的积分形式，如果积分当中的x '为一个确定的值，则无法进行积分求解；如果将x '换成∞+，则可以只需要对积分dx e x x⎰∞+-021进行计算即可．根据函数=Γ)(α)0(01>⎰∞+--ααdx e x x 和公式(2-7) 当21=α时，有)21(Γdx e x x ⎰∞+--=021π=．应用递推公式，有2)21(21)121()23(π=Γ=+Γ=Γ．试用dx e x x⎰∞+-0212π=代替dx e x x x⎰'-021．令xe x xf -=21)(，则有x x e x e x x f ----='212121)(．令021)(2121=-='---x x e x e x x f ，则此时)(x f 的极值点为21=x ．同理可得x x x e x e x e x x f -----+--=''21212341)(．在极值点的值0)21(<''f ，而043.0)21(>=f ．因此，函数在),0(∞+上是严上凸的，且在21=x 处函数)(x f 的极大值约为43.0．当21>x 时，函数随x 的增大而迅速减小；在23=x 时，10108.4)23(-⨯=f 0→，因此，将积分dx e x x x⎰'-021当中的积分上限x '换成∞+，对结果不产生影响．经过数学讨论，将半导体物理中常常遇到的繁琐的积分进行了合理的简化，结果表达简练，使得热平衡状态下半导体的研究得以深入和顺利的进行．结论通过以上分析，使我们对欧拉积分有了一个比较清晰的认识，对伽马函数和贝塔函数的性质了解的更加系统、更加全面．同时，应用伽马函数和贝塔函数的这些性质更加巧妙的解决了以下问题：(1)为解决某些具有特殊类型的定积分、含参变量积分的计算问题提供了简洁、实用的方法．(2)简化了概率和统计中求解概率密度函数、求解分布函数的期望与方差等问题的计算过程，为证明有关随机变量的问题提供了方便．(3)使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，便于后续工作的完成．(4)为物理学中李超代数相干态表示、热平衡状态下半导体的研究问题的解决提供了有力工具，使得物理学中的相关问题得以深入和顺利的进行．由此表明，欧拉积分的应用不仅局限在数学分析、概率和统计、微分方程等数学学科中，而且也渗透到物理等其它学科中，随着问题的进一步探究，欧拉积分的应用领域一定会得到进一步拓展．致谢在这次的毕业设计中，我发自内心最想感谢的人就是我的指导教师——唐晓翠老师，如果没有她的悉心指导与鼓励，我的论文根本不可能顺利完成．我深深地感觉到唐晓翠老师是一位治学严谨、学识渊博、诲人不倦的好老师，她不仅拥有高尚的师德，对待工作更是一丝不苟、精益求精，这些都深深地感染和激励着我．她在本文的选题、构思、撰写以及许许多多的细节方面都给予了我极大地帮助，而且对于论文的修改问题上也提出了许多恳切的建议与意见，并且每次都非常认真的审阅和批注．她的每次指导就像指南针一样，让我在迷茫的旅途中重新找到前进的方向．最让我暖心的就是她的亲切、温柔与耐心，每次都为我的论文工作到很晚，正是在她的帮助下才使我的论文得到了不断的完善，乃至最终定稿．同时感谢教过我的所有的老师，没有他们对我的培养就没有如今即将大学毕业的我，感谢他们让我拥有了许多知识，这将成为我人生当中最强大的力量．同时也要感谢我的室友们，她们总是会在我无暇顾及论文的时候及时的提醒我，在我为论文着急的时候带我放松．在她们的帮助下才使我顺利的写完论文．不仅在精神上安慰、鼓励、支持着我，也在论文书写格式和排版等方面提供了很大帮助．总之，我要感谢所有培养过我、关心鼓励过我的所有老师和同学们，感谢短暂的人生中有你们的出现，与你们相处的点点滴滴都将成为我今后人生路上的最美好的回忆，载着大家的期待与祝福努力过好今后的每一分、每一秒．参考文献[1]周晓晖. 伽马函数和贝塔函数的性质及其应用[J]. 西南学昌学报(自然科学版)，2014,03:16-19[2]何其祥. 欧拉公式在含参量积分中的应用[J]. 教育教学坛，2015,15:149-150[3]刘玉琏. 数学分析讲义[M]. 第五版下册. 北京：高等教育出版社，2008：319-328[4]卢路加，张君会，赵志隐. 欧拉积分的性质及应用[J]．亚太教育，2015,20:222-223[5]王琪，张国林. 欧拉积分在积分学中的应用[J]. 科教文汇(下旬刊)，2011, 06:97-98[6]林清，蔡萍. 利用欧拉公式推导三角函数公式[J]. 高等数学研究，2014,02：10-12[7]宁丽娟. 伽马函数与概率统计中几个常见的连续型分布[J]. 科技信息，2011,27:17-27[8]谭雪梅，侯秀梅. 伽玛函数在概率统计中的应用分析武[J]. 汉生物工程学院学报，2014,02:29-31[9]刘晓慧. 函数在李超代数相干态表示中的应用[J]. 数学的实践与认，2004 ,34:145-147[10]刘世清，牟海维，王立刚，高宇飞第. 二类欧拉积分在半导体物理中的应用[J]. 大庆石油学院学报，2006,04:134-135。

欧拉积分

∴s →0+时, Γ(s) →+∞
(3) 余元公式:
当s = 1 时, 有 2
π Γ(s)Γ(1− s) = sin(π s)
(0 < s <1) (证明略)
上一页下一页主页返回退出
其形 (4) Γ(s)的他式
令x = u2, 得 +∞ −u2 2s−1 Γ(s) = 2∫ e u du
( 2 n − 1)! ! π⋅ π n ( 2 n − 1)! ! π 1 2 ⋅ = = ( 2 n )! ! 2 2 n!
上一页下一页主页返回退出
sin 2 ( n + 1 ) − 1 u cos u du ∫ ∫ 1 1 1 1 Γ ( n + 1)Γ ( 2 ) = Β ( n + 1, ) = 3 2 2 2 Γ(n + ) 2 1 Γ ( n + 1)Γ ( ) 1 2 = ( 2 n )! ! = 1 1 ( 2 n − 1)! ! 2 ( n + )Γ ( n + ) 2 2
0
(s > 0)
1+ t 得应用中常见的积分再 2s −1= t , 即s = 令 , 2 +∞ t −u2 1 1+ t ∫0 u e du = 2Γ( 2 ) (t > −1)
这表明左端的积分可用 Γ 函数来计算. 例如,
上一页下一页主页返回退出
二、 Β函数函数
Β( p, q ) = ∫ x p −1 (1 − x )q −1 dx ,
上一页下一页主页返回退出
1 s−1 −x x e dx , 0
I2 = ∫
+∞ s−1 −x x e dx 1