含参量积分与欧拉积分

含参量反常积分与欧拉积分

姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004)

胡月月(114942011) 郑素丹(114942026)

田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028)

任亚南(114942034)

班级： 11级数学与应用数学一班

成绩：

日期： 2012.11.4

i含参量反常积分与欧拉积分

1.含参量反常积分

1.1含参量积分的定义

定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分

(1)

都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为

称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.

定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为

含参量反常积分.

1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定

1.2.1一致收敛的定义

定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的

说含参量积分在上的一致收敛.

定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一

致收敛.

1.2.2一致收敛的柯西准则

定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有

｜｜< .

证明必要性

若在上一致收敛，则任意存在存在

及有,因此，任意N,

充分性若任意，存在任意

｜｜

则令，得,这就证明了在上

一致收敛.

例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一

致收敛且绝对收敛.

证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可

知对总存在某一实数使得当对一切有，

｜｜=

而｜｜｜｜,

在上收敛，即在上绝对收敛

在上一致收敛.

综上在上一致收敛，且绝对收敛.

1.2.3一致收敛的充要条件

定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的

递增数列{}(其中=c),函数项级数

在上一致收敛.

例2 设为上连续非负函数在

上连续，证明在上一致连续.

证明任取一个趋于递增数列，使满足及

对于级数

由于上非负连续则，且为上的连续函数，

且在上收敛于连续函数由狄尼定理知,

在上一致收敛，则在上一致收敛.

定理2含参量反常积分在一致收敛于 ,等价于，对于每个单调严格上升趋于的数列函数列

，即

，

0（n）

定理3含参量积分在上一致收敛的充要条件是

其中F(A)=.

证明“”

含参量积分在上一致收敛

0,某一实数使得当M N时对一切,都有

.

F(A)=

∣F(A)∣=∣F(A)-0∣

“”

F(A)=

即含参量积分在上一致收敛.

1.2.4一致收敛的M判别法

定理4设函数g(y)，使得｜｜,若

收敛，则在I上一致收敛.

证明因为收敛故对任意,存在 ,>，便有，

｜｜<

由此便知

｜｜｜｜｜

因而在上一致收敛.

例3 证明积分在中一致收敛.

证明因为对任意［有不等式｜｜

,而收敛,故由M判别法知道，积分在［中一致收敛.

1.2.5一致收敛的狄利克雷判别法

定理5 （i）对一切实数N c ，含参量正常积分对参量在

上一致有界，即存在正数 M，对一切N c及一切,都有

｜｜M .

（ii）对每一个，函数为的单调函数，且当时，对参量一致地收敛于0.则含参量反常积分在上一致

收敛.

证明因为关于是单调的可用推广的第二积分平均值：

=

其中.由条件（i）对任意>及一切有｜

｜｜｜+｜｜2M , ｜｜｜｜+｜｜,

由条件（ii），对任意存在，只要便有｜｜

对一切x成立.于是取C C ,即得｜｜，

故由柯西收敛原理，积分在上一致收敛.

例4见数学分析第四版第198页例4.

1.2.6一致收敛的阿贝尔判别法

定理6若在上一致连续，关于是单调的，且当在上一致有界，则在一致收敛.

证明

已知在上一致收敛即

有

.

在上一致有界，即，，有

根据第二积分中值定理，有

根据柯西一致收敛准则，在上一致收敛.

例5证明积分在［0，+）上一致收敛

证明：因为收敛，而函数对于递减，且对和［)成立.故由Abel判别法知原积分在［0，+）中一致收敛.

1.3含参量反常积分的性质

1.3.1连续性

定理7设在上连续，若含参量反常积分

在上一致收敛，则在上连续.

例6见数学分析第四版下册第186页.第5题（1）.

定理8 （积分号下取极限）设在[c,)上连续，

若含参量广义积分在上一致收敛，则在连续.

证明对任意的

((,)由于+(,)在,一致收敛，知对任意＞0,存在0＞ｃ,当Ａ＞时，对任意＞０，存在Ａ＞时，对任意的

有

＋

Ａ＜

４

固定已知是在的连续函数，因此存在只要有

<

从而

.

这就证了在连续.

1.3.2可微性

定理9 设与在区域上连续若

在收敛在上一致收敛.

则在上可微，且

例7对F(x)=,能否运用积分好和求导运算顺序变换来求解？

解由于=,因而