人教版高中数学(文科)选修导数的应用(一)

导数的应用（一）

【考点指津】

1．函数的导数与单调性的关系：若f'(x)>0，则f(x)为增函数；若f'(x)恒等于零，则f(x)为常数；若f(x)<0，则f(x)为减函数．

2．从函数图象出发，通过数形结合的方法直观了解可导函数的单调性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号判别函数增减性的方法．

【知识在线】

1． 函数y=x 2-x+1的单调递减区间是 （ ）

A ．(-∞，12 )

B ．(12 ，+∞)

C ．(-∞，-12 )

D ． (-12

，+∞) 2．若函数f(x)=ax+b 上是R 上的单调函数，则a 、b 应满足 （ ）

A ． a>0，b>0

B ．a>0，b ∈R

C ．a<0，b ∈R

D ． a ≠0，b ∈R

3．已知函数f(x)=x 2(x -3)，则f(x)在R 上的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．

4．若三次函数f(x)=x 3+kx 在（-∞，+∞）内是增函数，则实数k 的取值范围是 ．

5．证明函数f(x)=x 2-4x+1在区间(-∞，2)上是减函数．

【讲练平台】

例1 函数y=x 2-13

x 3的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 分析 先求函数的导数f'(x)，再根据f'(x)>0（或f'(x)<0）解得f(x)的递增（或递减）区间．

解 由 y=x 2-13

x 3可得y'=2x -x 2 令y'>0，即2x -x 2>0，解得0

因此，当x ∈(0，2)时，函数为减函数，即单调递减区间为(0，2)．

令y'<0，即2x -x 2， 解得x<0或x>2

因此，当x ∈(-∞，0)或(2，+∞)时，函数为增函数，即单调递增区间为（-∞，0）或(2，+∞)． 点评 本题也可用函数单调性的定义来解，但在判断函数的单调性时，“导数法”要比“定义法”简捷得多．

例2 函数y=f(x)的导数y'>0是函数f(x)单调递增的 （ ）

A ．充要条件

B ． 充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ． 既不充分也不必要条件

分析 借助函数的导数与单调性之间的关系，充分性即可判定．必要性可结合具体的例子来加以说明． 解 由函数的导数与单调性的关系：导数为正，函数为增；导数为负，函数为减．因此不难知道：y'>0可推出函数f(x)单调递增．但反之不然，例如对于函数y=x 3来说，它在R 上是增函数，而它在x=0处的导数等于0，因此并不能推出y'>0．故选B ．

点评 应当注意函数在它的单调区间内某点处的导数可能为零，并非一定要恒大于零或恒小于零． 例3 若函数f(x)=ax 3+x ，

(1) 求实数a 的取值范围，使f(x)在R 上是增函数．

(2) 求实数a 的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间．

分析 若条件(1)成立，则f'(x)>0对x ∈R 恒成立，据此可解得a 的范围；若条件(2)成立，则方程f'(x)=0应当有两个不等实根，可由判别式大于0求得a 的范围．

解 f'(x)=3ax 2+1

(1)∵f'(x)=3ax 2+1对x ∈R 恒成立，f(x)在R 上是增函数，∴当a ≥0时，f'(x)>0

(2) 令3ax 2+1=0有两个不等实根，

∴Δ=-12a>0， ∴a<0

点评 求函数的导数和解相关的不等式是研究函数单调性的常用手段和关键所在．

例4 设a ＞0，函数f (x )=x 3-ax 在[1，+ )上是单调函数．

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0))=x 0，求证：f (x 0)=x 0．

分析（1）因为最高次的系数为大于0，故在区间[1，+∞）是单调函数只能是单调增函数，对于任意x 1．x 2∈[1，+∞]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1) ＜0恒成立的a 的取值范围．

解（1）任取x 1．x 2∈[1，+∞]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1)=(x 23-ax 2)-(x 13-ax 1)=(x 2-x 1)(x 22+x 1x 2+x 12-a )， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 22+x 1x 2+x 12＞3，显然，不存在一个常数a ，使得x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为负数，∵f (x )有确定的单调性，∴必存在一个常数a ，使x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为正数，即x 22+x 1x 2+x 12＞a ，∴a ≤3，这时有f (x 2) ＞f (x 1)， ∴f (x )在[1，+∞]上是增函数，故a 的取值范围是（0，3）．

（2）设f (x 0)=u ，则f (u )=x 0，于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0

3030x au u u ax x ，则（330u x -）-a (x 0-u )=u -x 0 即（x 0-u ）（x 02+x 0u +u 2+1-a )=0， ∵x 0≥1，u ≥1， x 02+x 0u +u 2 ≥3， 又∵0＜a ≤3， ∴x 02+x 0u+u 2+1-a ＞0， ∴x 0-u=0，即u=x 0，故f(x 0)=x 0．

点评 方程思想是见的数学思想，本题第二小题就是设变量列方程解题．其次本题第二小题还可以利用反证法来证明．

【知能集成】

求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x); (3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0， 得f(x)的递减区间．

【训练反馈】

1．若函数f(x)=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ）

A ．( 13 ，+∞)

B ．(- ∞， 13 )

C ．[13 ，+∞]

D ．(-∞，13

) 2．若f(x)=ax 2+bx 在区间(0，+∞)单调递增，则a 、b 应满足 （ ）

A ． a>0，b=0

B ．a=0，b>0

C ．a>0，b=0或a=0，b>0

D ．以上答案都不对

3．函数y=f(x)的导数y'<0是函数f(x)单调递减的 条件．

4．确定函数f(x)=x 3-6x 2+9x+2单调增区间是 ，单调减区间是 ．

5．设f(x)=(x -1)2，g(x)=x 2-1，

(1) 写出f[g(x)]的解析式； (2)求函数f[g(x)]的单调区间．

6．已知a ≥0，函数f(x)=x 3-ax 在[1，+∞]上是单调增函数，则a 的最大值是 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．当正数k= 时，函数f(x)=kx 3+3(k -1)x 2-k 2+1在区间(0，4)上是减函数．

8．求函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a>0)在R 上是增函数的充要条件 ．

9．若x>0时，有f'(x)>g'(x)，则当f(x)和g(x)满足 条件时，当x>0时，一定有f(x)>g(x)．

10．已知y=sinx 的导函数为y'=cosx ，证明：若0