1991年全国高考数学试题及答案解析
1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)
1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3C ． 它的首项是﹣3，公差是2D ． 它的首项是3，公差是﹣ 23．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 24．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy 中，参数方程（其中t 是参数）表示的曲（ ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 直线D ． 圆 5．（3分）（1991•云南）设全集I 为自然数集N ，E={x 丨x=2n ，n ∈N}，F={x 丨x=4n ，n ∈N}，那么集合N 可以表示成（ ） A ．E ∩F B ． ∁U E ∪F C ． E ∪∁U F D ． ∁U E∩∁U F 6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线 C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线 D ． 椭圆7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ． ﹣D ． ﹣8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin ﹣icos ）的辐角的主值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．16017．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S318．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为_________．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于_________．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为_________．22．（3分）（1991•云南）=_________．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为_________．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有_________个整数．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．26．（1991•云南）解不等式：．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 二倍角的正弦．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案． 解答：解：∵sin15°cos30°sin75° =sin15°cos15°cos30° =sin30°cos30° =sin60° =×=．故选B ．点评：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，属于中档题．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3 C ． 它的首项是﹣3，公差是2 D ． 它的首项是3，公差是﹣2考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意可建立关于a 1和d 的方程组，解之即可． 解答： 解：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得，解得，故选A点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．3．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 2考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，结合正六边形面积的求法，及正六棱锥侧棱长、高、对角线的一半构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以分别求出其底面积和高，代入棱椎体积公式，即可得到答案解答：解：∵正六棱锥的底面边长为1，则S=6•=底面积又∵侧棱长为则棱锥的高h==2故棱锥的体积V=×S×h=××2=底面积故选C点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关键．4．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（）A．双曲线B．抛物线C．直线D．圆考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程．解答：解：由题意，由（1）得2t=x﹣1代入（2）得2y=（x﹣1）2﹣2，即y=（x﹣1）2﹣1，其对应的图形是一条抛物线．故选B．点评：本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．5．（3分）（1991•云南）设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（）A．E∩F B．∁U E∪F C．E∪∁U F D．∁U E∩∁U F考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据已知条件，对四个选项一一进行验证，看它们运算的结果是否是自然数集N，即可得出答案．解答：解：∵E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，对于选项A：E∩F=F，不合．B：∁U E∪F={x|x=2n+1，n∈N}∪F，其中不能含有元素2，故不合题意；C：E∪∁U F=N，正确；D：∁U E∩∁U F=∁U（E∪F）={x|x=2n+1，n∈N}≠N，故不合题意．故选C ．点评： 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了自然数集N 的概念，属于基础题．6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线D ． 椭圆考点： 复数求模． 专题： 计算题．分析： 利用复数z 的几何意义可知|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0中z 对应的点Z 的集合． 解答： 解：∵|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，∴|z ﹣z 1|=|z ﹣z 2|，又复数z 1，z 2在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2， ∴z 对应的点Z 到点Z 1和点Z 2的距离相等， ∴点Z 为线段Z 1Z 2的垂直平分线． 故选B ．点评： 本题考查复数z 的几何意义，考查理解与转化能力，属于中档题．7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣考点： 二倍角的余弦．专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 5π＜θ＜6π⇒∈（，3π）⇒∈（，），由cos=a 即可求得sin．解答：解：∵5π＜θ＜6π ∴∈（，3π），∈（，），又cos=a ，∴sin =﹣=﹣．故选D ．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查平方关系的应用，考查运算能力，属于中档题．8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]考点： 反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x的反函数．解答：解：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x的反函数为y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]，故选D．点评：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用诱导公式即可得出．解答：解：===．∴argZ=．故选C．点评：熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，由此求得满足sin（x﹣）的x的集合．解答：解：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z．解得，故选A．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，属于中档题．11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论．解答：解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选D．点评：本题考查直线中的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据极坐标方程4sin2θ=3可知4ρ2sin2θ=3ρ2，然后根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得其直角坐标方程，即可得到答案．解答：解：∵4sin2θ=3∴4ρ2sin2θ=3ρ2则4y2=x2+y2，∴x=y或x=﹣y，则极坐标方程4sin2θ=3表示的图形是两条直线．故选B．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题∵由题意知个位数字小于十位数字，∴个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，∴共有A55+A41A31A33+A31A31A33+A21A31A33+A31A33=300，故选B．点评：本题考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，这种问题比较容易出错，解题时要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意知，f（x）=sin（x+φ），利用1+φ=π+2kπ，k∈Z，求得φ，即可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（x+φ），∵函数y=f（x）经过（1，0），∴1+φ=π+2kπ，k∈Z，∴φ=π+2kπ﹣1，k∈Z，∴f（x）=sin（x+π+2kπ﹣1）=sin（π+x﹣1）=﹣sin（x﹣1）=sin（1﹣x），故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，考查诱导公式与运算能力，属于中档题．15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义判断．解答：解：由lgx2=0，的x2=1，所以x=1或x=﹣1，所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断．16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．17．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S3考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出正方体，球，及圆柱的体积，通过相等即可得到棱长，球半径，及圆柱半径和母线长，求出三者的表面积即可得到大小关系．解答：解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，所以球的体积为：πR3，正方体的体积为：a3，圆柱的体积为：2πr3；故a3=πR3=2πr3且球的表面积为：4πR2，正方体的表面积为：6a2，圆柱的表面积为：6πr2；因为S2﹣S1=4πR2﹣6a2=4πR2﹣6×（πR3）=4πR2﹣6×（π）R2＜0．∴S2＜S1同样地，S2＜S3＜S1故选C．点评：本题是基础题，考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系，考查计算能力．18．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：曲线与方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将两个曲线方程联解，消去y得得2x2﹣11x﹣13=0，解之得x=﹣1或x=．再将x的回代到方程中，解之可得只有x=﹣1、y=0符合题意．由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到答案．解答：解：由消去y2，得2x2﹣11x﹣13=0解之得x=﹣1或x=当x=﹣1，代入第一个方程，得y=0；当x=时，代入第一个方程得2y2++3=0，没有实数解因此，两个曲线有唯一的公共点（﹣1，0）故选：D点评：本题求两个已知曲线公共点的个数，着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识，属于基础题．二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的标准方程和离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆9x2+16y2=144化为，∴a2=16，b2=9．∴=．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算性质将+转化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可求得答案．解答：解：∵z1=2﹣i，∴=2+i，∴===﹣+i；又z2=1﹣3i，∴=1+3i，∴=+i；∴+=i，∴+的虚部等于1．故答案为：1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于中档题．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可．解答：解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上=π•r2=r2π圆台的下底面面积为S下=π•（2r）2=4r2π所以圆台的两底面面积之和为S=S上+S下=5r2π又圆台的侧面积S侧=π（r+2r）l=3πrl于是5r2π=3πrl即l=，圆台的高为h==，故答案为：．点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的高，考查计算能力，是基础题．22．（3分）（1991•云南）=0．考点：极限及其运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：把分式的分子分母同时除以n•3n，然后取极限值即可得到答案．解答：解：==．故答案为0．点评：本题考查数列的极限，解答的关键是消去趋于无穷大的式子，是基础题．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：我们可设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d，根据斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，再根据同底同高的棱锥体积公式，求出四棱椎S﹣ABB′A′的体积，进而得到答案．解答：解：设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d∵斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，∴V=S ABB'A'•d，又四棱椎S﹣ABB′A′的体积等于S ABB'A'•d=V，则那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为等于V﹣V1﹣V=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，考查割补法．属于基础题．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有2n+2个整数．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）的对称轴是x=﹣，当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，因为f（n）和f（n+1）都不是整数，故f（x）的值域中的整数个数问题只要计算f（n+1）﹣f（n）即可；n=0时，值域为[f（0），f（1）]．解答：解：当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2+（n+1）+﹣n2﹣n﹣=2n+2，故f（x）的值域中的整数个数是2n+2，n=0时，值域为[f（0），f（1）]=[，]，有1，2两个整数．故答案为：2n+2点评：本题考查二次函数的值域问题，对问题的化归转化能力．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ=即可求得答案．解答：解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．点评：本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题．26．（1991•云南）解不等式：．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先移项平方后化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．解答：解：①当x＜0时，由于等价于5﹣4x﹣x2≥0即有﹣5≤x≤1，故不等式的解集是[﹣5，0）；②当x=0时，由于，显然x=0满足题意；③当x＞0时，由于等价于即有由于故不等式的解集是．综上可知，不等式的解集是．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，考查计算能力．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M解答：证明：连接AC1∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，∴=Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1==Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1==∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1∴A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1∴AB1⊥A1M点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．考点：数列的极限；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得b1和q的值，可得d的值，从而求得，{a n}，{b n}的通项公式．解答：解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q（|q|＜1）．则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得，故有d=．∴a n=1+（n﹣1），b n=6•．点评：本小题考查等差数列、等比数列的概念，数列的极限，运用方程（组）解决问题的能力，属于中档题．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐标．由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到．又ab=，联立即可得出．解答：解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，直线PQ的方程为，则P，由线段的定比分点坐标公式得，=．∴．代入双曲线的方程得，整理得，解得，或=．（舍去）．∴．又ab=，∴，a=1．故所求的双曲线方程为．点评：本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及综合解题能力．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：证明题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，而f（x）==1﹣，利用作差证明f（x2）＞f（x1）即可；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；解答：（Ⅰ）证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，f（x）==1﹣，f（x2）﹣f（x1）==，由指数函数性质知，＞0，＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．①现用数学归纳法证明①式．（1）当n=3时，左边=23﹣1=7，右边=2×3=6，∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2k﹣1＞2k，那么2k+1﹣1=2•2k﹣1=2（2k﹣1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k﹣1），∵k≥3，∴2k﹣1＞0．∴2k+1﹣1＞2（k+1）．这就是说，当n=k+1时①式成立．根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．点评：本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．。
1991年全国高考数学理科
1991年全国高考数学（理科 ）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分） （1）已知54sin =α，并且是第二象限的角，那么αtg 的值等于 （ ） （A ）34- （B ）43- （C ）43 （D ）34（2）焦点在（-1，0）顶点在（1，0）的抛物线方程是 （ ）（A ）)1(82+=x y (B))1(82+-=x y (C))1(82-=x y (D))1(82--=x y(3) 函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 （ ） （A ）2π（B ）π （C ）π2 （D ）π4 （4）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （ ） （A ）12对 （B ）24对 （C ）36对 （D ）48对 （5）函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是 （ ） （A ）2π-=x （B ）4π-=x （C ）8π=x （D ）45π=x（6）如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 （ ） （A ）垂心 （B ）重心 （C ）外心 （D ）内心 （7）已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （8）如果圆锥曲线的极坐标方程为θ-=ρcos 3516，那么它的焦点的极坐标为 （ ）（A ）),6(),0,0(π （B ）)0,3(),0,3(- （C ）)0,3(),0,0( （D ）)0,6(),0,0( （9）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 （ ） （A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种 （10）如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过．．． （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （11）设甲、乙、丙是三个命题。
1991年全国统一高考数学试卷(文科)
1991年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（1991•全国）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．2．（3分）（1991•全国）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1） B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）3．（3分）（1991•全国）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（3分）（1991•全国）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A．（5，2） B．（2，﹣5）C．（﹣5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）5．（3分）（1991•全国）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对6．（3分）（1991•全国）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=7．（3分）（1991•全国）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心8．（3分）（1991•全国）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．209．（3分）（1991•全国）9、已知函数y=（x∈R，且x≠1），那么它的反函数为（）A．y=（x∈R，且x≠1）B．y=（x∈R，且x≠6）C．y=（x∈R，且x≠﹣）D．y=（x∈R，且x≠﹣5）10．（3分）（1991•全国）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种11．（3分）（1991•全国）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12．（3分）（1991•全国）[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（）A．0 B．1 C．2 D．313．（3分）（1991•全国）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（3分）（1991•全国）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣515．（3分）（1991•全国）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）（1991•全国）双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是．17．（3分）（1991•全国）已知sinx=，则sin2（x﹣）=．18．（3分）（1991•全国）不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集是．19．（3分）（1991•全国）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=．20．（3分）（1991•全国）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）（1991•全国）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值．22．（8分）（1991•全国）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．23．（10分）（1991•全国）如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45°，求这个棱台的体积．24．（10分）（1991•全国）设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．25．（12分）（1991•全国）设a＞0，a≠1，解关于x的不等式26．（12分）（1991•全国）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．1991年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（1991•全国）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选：A．【点评】掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．2．（3分）（1991•全国）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1） B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）【考点】K7：抛物线的标准方程．【专题】48 ：分析法．【分析】先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．【解答】解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．3．（3分）（1991•全国）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】H1：三角函数的周期性．【分析】观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．【解答】解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选：B．【点评】对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．4．（3分）（1991•全国）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A．（5，2） B．（2，﹣5）C．（﹣5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）【考点】Z1：对称图形．【专题】11 ：计算题．【分析】点关于直线对称，首先要看直线方程，根据直线方程求出x，再求出y，代值计算即可．【解答】解：x+y=0y=﹣xx=﹣y所以对称点是（﹣5，﹣2）故选：C．【点评】对称问题是数形结合思想的应用，学生对点及直线的对称要和图形结合5．（3分）（1991•全国）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；L2：棱柱的结构特征．【分析】由异面直线定义入手，分类计数即可．【解答】解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．故选：B．【点评】本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．6．（3分）（1991•全国）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．【解答】解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．7．（3分）（1991•全国）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心【考点】L3：棱锥的结构特征．【专题】14 ：证明题；15 ：综合题．【分析】顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．【解答】解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．8．（3分）（1991•全国）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】87：等比数列的性质．【分析】先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选：A．【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程．9．（3分）（1991•全国）9、已知函数y=（x∈R，且x≠1），那么它的反函数为（）A．y=（x∈R，且x≠1）B．y=（x∈R，且x≠6）C．y=（x∈R，且x≠﹣）D．y=（x∈R，且x≠﹣5）【考点】4R：反函数．【分析】欲求原函数y=的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵y=，∴x=（y∈R，且y≠6），∴x，y互换，得y=（x∈R，且x≠6），故选：B．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．10．（3分）（1991•全国）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故选：C．【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．11．（3分）（1991•全国）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答．【解答】解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选：A．【点评】甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．12．（3分）（1991•全国）[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】通过观察n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限．【解答】解：[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=[n××××…×]==2．故选：C．【点评】本题主要考查极限及其运算，较为简单．13．（3分）（1991•全国）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】IG：直线的一般式方程．【专题】11 ：计算题．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC＜0，BC＜0∴AB＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故选：C．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题14．（3分）（1991•全国）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51 ：函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上必是增函数且最小值为﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．15．（3分）（1991•全国）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】16 ：压轴题．【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故选：C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）（1991•全国）双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是（﹣2，2）．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】数形结合，先求出双曲线中心坐标，进而得到在y轴上的焦点坐标，中心是两个焦点的中点．【解答】解：双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，∴双曲线中心坐标（﹣1，2），∴在y轴上的焦点坐标（0，2），∴另一个焦点（﹣2，2），故答案是（﹣2，2）．【点评】数形结合，中点考查双曲线的性质．17．（3分）（1991•全国）已知sinx=，则sin2（x﹣）=2﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用同角三角函数基本关系可知sin2（x﹣）=﹣cos2x，进而利用倍角公式把sinx=代入即可．【解答】解：sin2（x﹣）=﹣cos2x=﹣（1﹣2sin2x）=﹣（1﹣）=2﹣故答案为2﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用和利用倍角公式化简求值．属基础题．18．（3分）（1991•全国）不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集是{x|﹣4＜x＜2} ．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4K：对数函数的定义域．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想．【分析】外层函数是增函数，不等式为lg（x2+2x+2）＜lg10，由单调性不等式可以转化为x2+2x+2＜10，解此不等式即得不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集．【解答】解：由题意不等式lg（x2+2x+2）＜1可以变为lg（x2+2x+2）＜lg10，∵y=lgx是增函数，∴x2+2x+2＜10 （由于x2+2x+2＞0恒成立，故本处省略讨论其符号）解得﹣4＜x＜2故不等式的解集是{x|﹣4＜x＜2}故答案为{x|﹣4＜x＜2}【点评】本题考查求对数不等式，考查知识点是对数的单调性，指对不等式一般都是用相应函数的单调性将其转化为常规不等式求解集．19．（3分）（1991•全国）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+．【考点】7F：基本不等式及其应用；DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．=C7K（ax）7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k，【解答】解：T k+1故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查．20．（3分）（1991•全国）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=2．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；35 ：转化思想．【分析】跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；与面AC所成的角为∠C1AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解：∵B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α；同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ；∵AB=2，AD=，AA1=，∴AC1=3，AC=，AB=，AD1=，∴cosα==，cosβ==，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，故答案为2．【点评】考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）（1991•全国）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，即可得到答案．【解答】解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）．当sin（2x+）=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+．【点评】本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式．属基础题．22．（8分）（1991•全国）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11 ：计算题．【分析】利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．【解答】解：===1﹣i．1﹣i的模r==．因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，所以辐角的主值θ=π．【点评】本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．23．（10分）（1991•全国）如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45°，求这个棱台的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题．【分析】利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB，∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，求出AB、BC，再利用棱台的体积公式求出体积即可．【解答】解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，∠ABB1=45°．作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°，∴DB=DB1=AA1=a，∴AB=2a．由于棱台的两个底面相似，故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．∵B1C1=A1B1=a，AB=2a，∴BC=2a．=A1B1×B1C1=．∴S上S下=AB×BC=2a2．V棱台=•A1A•=•a•．【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．（10分）（1991•全国）设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想．【分析】因为{a n}是等差数列，所以用a1和d分别表示出b1，b2，b3，再结合题意列出关于a1、d的方程，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴，可得=（）d为常数，即{b n}为等比数列，b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，考查了学生的运算能力和公式的灵活运用能力，难度中等．25．（12分）（1991•全国）设a＞0，a≠1，解关于x的不等式【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16 ：压轴题．【分析】本题为解数型不等式，结合指数函数的单调性，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，再转化为解二次型不等式．【解答】解法一原不等式可写成．①根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得x4﹣2x2+a2＜0，②由于0＜a＜1时，判别式△=4﹣4a2＞0，所以②式等价于③④解③式得x＜﹣或x＞，解④式得﹣＜x＜．所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}．（Ⅱ）当a＞1时，由①式得x4﹣2x2+a2＞0，⑤由于a＞1，判别式△＜0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为R 综合得当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；当a＞1时，原不等式的解集为R．解法二原不等式可写成．①（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得x4﹣2x2+a2＜0，②分解因式得（x2﹣1+）（x2﹣1﹣）＜0．③④⑤即⑥⑦或解由④、⑤组成的不等式组得﹣＜x＜﹣．或＜x＜．由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；（Ⅱ）当a＞1时，由①式得x4﹣2x2+a2＞0，⑧配方得（x2﹣1）2+a2﹣1＞0，⑨对任意实数x，不等式⑨都成立，即a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣∞＜x＜+∞}．综合得当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣∞＜x＜+∞}．【点评】本题考查指数函数的性质、解不等式等知识点，注意分类讨论．26．（12分）（1991•全国）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．【解答】解：设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式，整理得（a2+b2）x2+2a2x+a2（1﹣b2）=0，③设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得整理得④⑤解这个方程组，得或根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或故所求椭圆的方程为，或【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）=为奇函数，那么a=．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）==﹣f（﹣x）⇒a=1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．3．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y=log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．4．对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y=log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y=log a x在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）5．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x），定义域是{0}且f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．6．极限及其运算【知识点的知识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，a n=0，当|a|=1时，若a=1，则a n=1；若a=﹣1，则a n=（﹣1）n不存在当|a|＞1时，a n=不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S=（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．=a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作=a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x=x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）=在x=1处无定义，但存在，因为在x=1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x=x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点x=x0处都连续．（2）函数f（x）在点x=x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x=x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x=x0处的极限值等于该点的函数值，即．=f（x0）．（3）函数f（x）在点x=x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x=x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x=x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．7．其他不等式的解法【知识点的知识】。
1991年全国高考数学试题及其参考答案
1991年全国高考数学试题及其参考答案(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =－2π(B) x =－4π(C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为( )(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1－21+n )]的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合{x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂(B)N M(C)N M (D)N M二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg 31+arctg 21的值是____________(17) 不等式226-+x x<1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．(22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数，实数a >1，解关于x 的不等式 log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2－a )(26) (本小题满分12分)3双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为5的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A(8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4π(17) {x |－2<x <1} (18) 314 (19) 1+510 (20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1＋cos2x )——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)．——5分当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z }． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=i i+-23 ——2分=1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值 θ=47π． ——8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分∵ BD ⊥AC ，∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ． ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ．即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．(24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x -= (x 1－x 2) (222121x x x x ++)——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2－x 1x 2>0；——6分当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0；∴ f(x 2)－ f (x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则f(x 2)－f(x 1)=x31－x32= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)． ——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分∵ x 1，x 2不同时为零，∴ x 21＋x 22>0．又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0，∴ f (x 2)－ f (x 1) = (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数 f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·n a a axlog log=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ， 所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n --<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411 ——12分所以，不等式③的解集为{x |x >2411a++}．①②综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411ax ++>} (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则ab =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356ab ca x x -=+ ④ 222222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为 P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))．由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1， 整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，(a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因为a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以c =22b a +=2a ． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))．由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10． ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0．——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1，将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1．——12分。
(详细解析)1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A ．(5,2)PB ．(2,5)P -C ．(5,2)P --D ．(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y '，则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．6．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．7．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．8．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a + 的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．9．已知函数651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠），那么它的反函数为 A ．651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠） B ．56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠）C ．165x y x -=+（x R ∈，且56x ≠-）D ．65x y x -=+（x R ∈，且5x ≠-）【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--，所以所求反函数为56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠），B 正确．10．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么 A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12． )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．14．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．15．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上，为(0,2)，则另一焦点满足012m+=-，得2m =-，所以另一焦点的坐标是(2,2)-．17．已知sin x =sin 2()4x π-= ．【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-．18．不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 ． 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<，即2280x x +-<，解得42x -<<．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1015a =+．20．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,．如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ，那么222cos cos cos αβγ++=． 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ，∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=；同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=；1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=．∵不妨设12,2,3AB AD AA ===，∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====， ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======．所以222cos cos cos 2αβγ++=．三、解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++． ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值，这时最大值等于22+． ——6分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，已知1AA ⊥底面ABC ，11111AA A B B C a ===，1B B BC ⊥，且1B B 和底面ABC 所成的角45︒，求这个棱台的体积．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．因为1AA ⊥底面ABC ，所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥．又1BC BB ⊥，且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB ， 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥． ∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角，145ABB ∠=︒． ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ，则11//B D A A ，故1B D ⊥底面ABC ． ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒， ∴ 11DB DB AA a ===，∴2AB a =． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆．∵1111,2B C A B a AB a ===，∴2BC a =．∴21111122a S A B B C =⋅=上，2122S AB BC a =⋅=下． ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=． ——10分24．（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，1()2n an b =．已知123123211,88b b b b b b ++==．求等差数列的通项n a ． 【解】本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程（组）解决问题的能力．满分10分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．∴()111()2a n dn b +-=．1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===． 由12318b b b =，得3218b =，解得212b =． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ，解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==． ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-． ——8分 所以，当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-．当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-． ——10分25．（本小题满分12分）设0,1a a >≠，解关于x 的不等式42221()xx a a a->． 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一：原不等式可写成4222x x a aa-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ② ——3分由于01a <<时，判别式2440a ∆=->，所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||．——8分（Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑤ ——9分由于1a >，判别式0∆<，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． ——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． 解法二：原不等式可写成2242a x x a a-->． ① ——1分（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ②——3分分解因式得22(110x x --<． ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<．——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；——8分 （Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．26．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q，且,OP OQ PQ ⊥=．求椭圆的方程． 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=，③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ，那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++． ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=，可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩，整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ，根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，；或（Ⅱ）2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， ——10分资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分 解法二：同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=， ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++．由题设OP OQ ⊥，得1212111x x x x ++⋅=-． ⑤ 将④式代入⑤式，整理得22222a b a b +=． ⑥由PQ =，得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=，即2215()4x x -=．⑦ 将④式代入⑦式，整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+． ⑧ 将⑥式、⑧式联立，整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分。
1991年高考数学试卷
1991年高考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集I = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，则(∁_IA)∪(∁_IB)=（）A. varnothingB. {1, 2, 4, 5}C. {1, 2, 3, 4, 5}D. {3}2. 函数y = sin(x)/(2)cos(x)/(2)的最小正周期是（）A. 4πB. 2πC. πD. (π)/(2)3. 已知α、β是方程x^2-2x - 4 = 0的两个实数根，则α^3+8β + 6=（）A. -1B. 2C. 22D. 304. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A. 12对。
B. 24对。
C. 36对。
D. 48对。
5. 方程sin 4xcos 5x=-cos 4xsin 5x的一个解是（）A. 10^∘B. 20^∘C. 50^∘D. 70^∘6. 已知y = log_a(2 - ax)在[0, 1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (0, 2)D. [2,+∞)7. 函数y=(sin x)/(2 - cos x)的值域是（）A. [-(√(3))/(3),(√(3))/(3)]B. [-(√(3))/(6),(√(3))/(6)]C. (-(√(3))/(3),(√(3))/(3))D. (-(√(3))/(6),(√(3))/(6))8. 双曲线3x^2-y^2=3的渐近线方程是（）A. y=± 3xB. y = ±(1)/(3)xC. y=±√(3)xD. y=±(√(3))/(3)x9. 已知f(x)=x^5+ax^3+bx - 8，且f(-2)=10，则f(2)=（）A. -26B. -18C. -10D. 1010. 圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A. ((l)/(6))^3πB. (1)/(9)((l)/(2))^3πC. ((l)/(4))^3πD. 2((l)/(4))^3π11. 已知z∈ C，| z - 2| = 1，则| z + 2 + 5i|的最大值和最小值分别是（）A. √(41)+1和√(41)-1B. 3和1C. 5√(2)和√(34)D. √(39)和312. 复数z = 1 + cosθ + isinθ(π<θ<2π)的模为（）A. 2cos(θ)/(2)B. -2cos(θ)/(2)C. 2sin(θ)/(2)D. -2sin(θ)/(2)13. 由数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个。
精编版-1991年四川高考文科数学真题及答案
1991年四川高考文科数学真题及答案考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34- (B) 43- (C) 43(D)34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( )(A) y 2=8(x ＋1) (B) y 2=－8(x ＋1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3) 函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )(A)2π (B) π(C) 2π(D) 4π(4) P (2，5)关于直线x ＋y =0的对称点的坐标是( )(A) (5，2)(B) (2，－5)(C) (－5，－2)(D) (－2，－5)(5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(6) 函数y =sin(2x ＋25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =－2π (B) x =－4π (C) x =8π (D) x =45π(7) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(8) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于 ( )(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20(9) 已知函数y =156-+x x (x ∈R ，且x ≠1)，那么它的反函数为 ( )(A) y =156-+x x (x ∈R ，且x ≠1)(B) y =65-+x x (x ∈R ，且x ≠6)(C) y =561+-x x (x ∈R ，且x ≠－65)(D) y =56+-x x (x ∈R ，且x ≠－5)(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种（D ）35种(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n (1)21+n )]的值等于 ( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C =0不通过．．．( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(14) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(15) 圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3=0上到直线x ＋y ＋1=0的距离为2的点共有( )(A) 1个 (B) 2个(C) 3个(D) 4个二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) 双曲线以直线x =－1和y =2为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________．(17) 已知sin x =215-，则sin2(x －4π)=____________ (18) 不等式lg(x 2＋2x ＋2)<1的解集是_____________(19) 在(ax ＋1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，若实数a >1，那么a =_____________(20) 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知顶点A 上三条棱长分别是32、、2．如果对角线AC 1与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ=_________三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最大值． (22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)如图，在三棱台A 1B 1C 1－ABC 中，已知A 1A ⊥底面ABC ，A 1A = A 1B 1= B 1C 1=a ，B 1B ⊥BC ，且B 1B 和底面ABC 所成的角45º，求这个棱台的体积．(24) (本小题满分10分) 设{a n }是等差数列，b n =(21)a n ．已知b 1＋b 2＋b 3=821, b 1b 2b 3=81．求等差数列的通项a n ．(25) (本小题满分12分) 设a >0，a ≠1，解关于x 的不等式.)1(2242a x x aa >- (26) (本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x ＋1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210．求椭圆的方程．参考答案及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五．只给整数分数．一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．(16) (－2，2) (17) 2－5 (18) {x |－4<x <2} (19) 1+510(20) 2三．解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x=(sin 2x ＋cos 2x )+2sin x cos x +2cos 2x ——2分=1+sin2x+(1＋cos2x ) ——4分=2+sin2x+cos2x =2+2sin(2x+4π)． ——6分当sin(2x+4π)=1时，函数y 有最大值，这时y 的最大值等于2+2． ——8分注：没有说明“当sin(2x+4π)=1时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分． (22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii+-23 ——2分 =1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值θ=47π． ——8分 (23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：因为A 1A ⊥底面ABC ，所以根据平面的垂线的定义有A 1A ⊥BC ．又BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面A 1ABB 1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角， ∠ABB 1=45º． ——3分 作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ，故B 1D ⊥底面ABC ． ∵ Rt △B 1DB 中∠DBB 1=45º，∴ DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故 Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1． ∵ B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ， ∴ BC =2a ．∴ S 上=21A 1B 1×B 1C 1=22a ．S 下=21AB ×BC =2a 2． ——8分 V 棱台=31·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ ——10分(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1+(n －1)d ．∴ ()dn a n b 1121-+⎪⎭⎫⎝⎛=b 1b 3=121a⎪⎭⎫ ⎝⎛·da 2121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=()d a +⎪⎭⎫⎝⎛1221=22b ．由 b 1b 2b 3=81，得32b =81， 解得 b 2=21． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ， 整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解这个方程组得b 1=2，b 3=81或b 1=81，b 3=2 ——6分 ∴ a 1=－1，d =2或a 1=3，d =－2． ——8分 所以，当a 1=－1，d =2时 a n =a 1+(n －1)d =2n －3． 当a 1=3，d =－2时a n =a 1+(n －1)d =5－2n ． ——10分(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一 原不等式可写成 2242a x x a a-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论： (Ⅰ)当0<a <1时，由①式得x 4－2x 2+a 2<0， ② ——3分由于0<a <1时，判别式 △=4－4a 2>0, 所以②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-+<-->.11112222a x a x ，——5分 解③式得 x <－211a --或x >211a --， 解④式得 －211a-+<x <211a-+． ——7分所以，0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}．——8分 (Ⅱ) 当a >1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2>0， ⑤ ——9分由于a >1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为③ ④{x |－∞<x <＋∞}． ——12分 综合得当0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；当a >1时，原不等式的解集为 {x |－∞<x <＋∞}． 解法二 原不等式可写成 2242a x x a a-->． ① ——1分(Ⅰ) 当0<a <1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2<0， ② ——3分分解因式得 (x 2－1＋21a -)(x 2－1－21a -)<0． ③即 ⎪⎩⎪⎨⎧<--->-+-;011,0112222a x a x或 ⎪⎩⎪⎨⎧>---<-+-.011,0112222a x a x ——5分 解由④、⑤组成的不等式组得 －211a-+<x <－211a --．或 211a --<x <211a-+ ． ——7分由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a <1时，原不等式的解集为 {x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；——8分 (Ⅱ) 当a >1时，由①式得x 4－2x 2＋a 2>0， ⑧ ——9分配方得 (x 2－1)2＋a 2－1>0， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即a >1时，原不等式的解集为{x |－∞<x <＋∞}． ——12分 综合得当0<a <1时，原不等式的解集为④ ⑤ ⑥⑦{x |－211a-+<x <－211a --}∪{x |211a --<x <211a-+}；当a >1时，原不等式的解集为 {x |－∞<x <＋∞}．(26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一 设所求椭圆方程为.12222=+b y a x 依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,12222x y b y ax 将②式代入①式，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2x ＋a 2(1－b 2)=0, ③ ——2分设方程③的两个根分别为x 1，x 2，那么直线y =x ＋1与椭圆的交点为P (x 1，x 1＋1)，Q (x 2，x 2＋1)． ——3分由题设OP ⊥OQ ,|PQ |=210，可得 ()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++--=+⋅+.2101111122122122211x x x x x x x x ，整理得()()⎩⎨⎧=--+=+++.05164012212212121x x x x x x x x ，——6分解这个方程组，得① ② ④ ⑤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ， 根据根与系数的关系，由③式得(Ⅰ)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+；，4112322222222b a b a b a a 或 (Ⅱ) ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.4112122222222b a b a b a a ， ——10分解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ，故所求椭圆的方程为132222=+y x ， 或 .123222=+y x ——12分 解法二 同解法一得(a 2+b 2)x 2+2a 2x +a 2(1－b 2)=0， ③ ——2分解方程③得22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分则直线y =x +1与椭圆的交点为P (x 1，x 1+1)，Q (x 2，x 2+1)．由题设OP ⊥OQ ，得。
高考理科数学试题及答案1991
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
91年数学高考真题
91年数学高考真题1991年，数学高考真题1991年的数学高考，令无数考生们备感紧张。
数学是一门需要逻辑思维和数学功底结合的学科，考试内容涵盖了各个领域，考查考生的数学综合能力。
下面就让我们来看一看当年的数学高考真题，感受一下那段难忘的历史吧。
一、选择题部分1. 若平面直角坐标系的横纵坐标单位长度相等，则方程 y=ax²+b 有两个不等实根，则 a、b 的关系是( )A. a < 0, b>0B. a > 0, b > 0C. a < 0, b < 0D. a > 0, b < 02.求第n个气球的半径，当第一个气球的半径是1时，第二个气球的半径是1.5，第三个是1.5^2，第n个是1.5^(n-1)。
( )A. 1.5^nB. 1.5^(n-1)C. 0.5^nD. 1.5^(n+1)3.函数 y=f(x)的图象如下图，过点 A (m, f(m)) 的直线将该图象截成面积相等的两部分，则 m 的取值范围是( )A. ( -∞, 0)B. (0, 1)C. (1, 3)D. (3, +∞)4.已知函数f(x) = sin(2x + π/4)，则 f(x) 的最小正周期是( )A. πB. 2πC. 4πD. 2π/35. 甲、乙两地相距180千米。
甲车以100千米/小时的速度由乙向甲，乙车以120千米/小时的速度由甲向乙，中间相遇时，乙车行驶的时间是( )A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时二、解答题部分1. 已知二次函数 f(x) = ax² + bx + c 满足条件：当 x = 1 时，f(x) = c; 当 x = 2 时，f(x) = b. 求 f(0) 的值。
2. 已知 a+b+c=6，且 a^3+b^3+c^3=54，求 a²+b²+c²的值。
3. 计算：(1+2+3+...+20)² - (1²+2²+3²+...+20²) 的值。
1991年全国统一高考数学试卷(文科)
1991年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ） A ． y 2=8（x+1） B ． y 2=﹣8（x+1） C ． y 2=8（x ﹣1） D ． y 2=﹣8（x ﹣1） 3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π4．（3分）（2012•北京模拟）P （2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A ． （5，2） B ． （2，﹣5） C ． （﹣5，﹣2） D ． （﹣2，﹣5） 5．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A ． 12对 B ． 24对 C ． 36对 D ． 48对6．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin （2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ． x=﹣B ． x=﹣C ． x=D ． x=7．（3分）6、如果三棱锥S ﹣ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ） A ． 垂心 B ． 重心 C ． 外心 D ． 内心 8．（3分）已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于（ ） A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 209．（3分）9、已知函数y=（x ∈R ，且x≠1），那么它的反函数为（ ） A ． y=（x ∈R ，且x≠1） B ． y=（x ∈R ，且x≠6） C ． y=（x ∈R ，且x≠﹣）D ．y=（x ∈R ，且x≠﹣5）10．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ． 丙是甲的充要条件 D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 13．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 14．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣5 15．（3分）圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 16．（3分）双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 _________ ．17．（3分）已知sinx=，则sin2（x ﹣）= _________ ．18．（3分）不等式lg （x 2+2x+2）＜1的解集是 _________ ． 19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a ＞1，那么a= _________ ．20．（3分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知顶点A 上三条棱长分别是、2．如果对角线AC 1与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos 2α+cos 2β+cos 2γ= _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 21．（8分）求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值．22．（8分）已知复数z=1+i ，求复数的模和辐角的主值．23．（10分）如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45°，求这个棱台的体积．24．（10分）设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．25．（12分）设a＞0，a≠1，解关于x的不等式26．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．1991年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．解答：解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A点评：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1）B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）考点：抛物线的标准方程．专题：分析法．分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．故选D．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．4．（3分）（2012•北京模拟）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（）A．（5，2）B．（2，﹣5）C．（﹣5，﹣2）D．（﹣2，﹣5）考点：对称图形．专题：计算题．分析：点关于直线对称，首先要看直线方程，根据直线方程求出x，再求出y，代值计算即可．解答：解：x+y=0y=﹣xx=﹣y所以对称点是（﹣5，﹣2）故选C点评：对称问题是数形结合思想的应用，学生对点及直线的对称要和图形结合理解更好．5．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．分析：由异面直线定义入手，分类计数即可．解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．故选B．点评：本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．6．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解答：解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1故选A．点评：本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．7．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心考点：棱锥的结构特征．专题：证明题；综合题．分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．8．（3分）已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于（ ） A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 20考点： 等比数列． 分析： 先由等比数列的性质求出a 2•a 4=a 32，a 4•a 6=a 52，再将a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25转化为（a 3+a 5）2=25求解．解答： 解：由等比数列的性质得：a 2•a 4=a 32，a 4•a 6=a 52∴a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25可化为 （a 3+a 5）2=25又∵a n ＞0 ∴a 3+a 5=5 故选A点评： 本题主要考查等比数列性质和解方程．9．（3分）9、已知函数y=（x ∈R ，且x≠1），那么它的反函数为（ ） A ． y=（x ∈R ，且x≠1） B ． y=（x ∈R ，且x≠6） C ． y=（x ∈R ，且x≠﹣） D ．y=（x ∈R ，且x≠﹣5）考点： 反函数． 分析：欲求原函数y=的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式．解答：解：∵y=，∴x=（y ∈R ，且y≠1），∴x ，y 互换，得y=（x ∈R ，且x≠1）．故选A ．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．10．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种考点： 分步乘法计数原理． 分析： 本题既有分类计数原理也有分步计数原理． 解答： 解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C 52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C 42•5=30；不同的取法共有70种 故选C点评： 注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答．解答：解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A点评：甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．12．（3分）[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（）A．0B．1C．2D．3考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：通过观察n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限．解答：解：[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=[n××××…×]==2．故选C．点评：本题主要考查极限及其运算，较为简单．13．（3分）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC＜0，BC＜0∴AB＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C．点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题 14．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣5考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数，所以f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数， 且奇函数f （x ）在区间[3，7]上有f （3）min =5，则f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上有f （﹣3）max =﹣f （3）=﹣5， 故选B ．点评： 本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系． 15．（3分）圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 压轴题． 分析： 先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果． 解答： 解：圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是 2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 16．（3分）双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 （﹣2，2） ．考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 数形结合，先求出双曲线中心坐标，进而得到在y 轴上的焦点坐标，中心是两个焦点的中点．解答： 解：双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴，∴双曲线中心坐标（﹣1，2）， ∴在y 轴上的焦点坐标（0，2）， ∴另一个焦点（﹣2，2）， 故答案是（﹣2，2）．点评： 数形结合，中点考查双曲线的性质．17．（3分）已知sinx=，则sin2（x ﹣）= 2﹣ ．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用同角三角函数基本关系可知sin2（x﹣）=﹣cos2x，进而利用倍角公式把sinx=代入即可．解答：解：sin2（x﹣）=﹣cos2x=﹣（1﹣2sin2x）=﹣（1﹣）=2﹣故答案为2﹣点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用和利用倍角公式化简求值．属基础题．18．（3分）不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集是{x|﹣4＜x＜2}．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．专题：计算题；转化思想．分析：外层函数是增函数，不等式为lg（x2+2x+2）＜lg10，由单调性不等式可以转化为x2+2x+2＜10，解此不等式即得不等式lg（x2+2x+2）＜1的解集．解答：解：由题意不等式lg（x2+2x+2）＜1可以变为lg（x2+2x+2）＜lg10，∵y=lgx是增函数，∴x2+2x+2＜10 （由于x2+2x+2＞0恒成立，故本处省略讨论其符号）解得﹣4＜x＜2故不等式的解集是{x|﹣4＜x＜2}故答案为{x|﹣4＜x＜2}点评：本题考查求对数不等式，考查知识点是对数的单调性，指对不等式一般都是用相应函数的单调性将其转化为常规不等式求解集．19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+．考点：基本不等式；二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．解答：解：T k+1=C7K（ax）7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k，故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查．20．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=2．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；与面AC所成的角为∠C1AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos2α+cos2β+cos2γ的值．解答：解：∵B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α；同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ；∵AB=2，AD=，AA1=，∴AC1=3，AC=，AB=，AD1=，∴cosα==，cosβ==，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，故答案为2．点评：考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：计算题．分析：先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin （wx+ρ）+b的形式，即可得到答案．解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）．当sin（2x+）=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+．点评：本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式．属基础题．22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．解答：解：===1﹣i．1﹣i的模r==．因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，所以辐角的主值θ=π．点评：本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．23．（10分）如图，在三棱台A1B1C1﹣ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45°，求这个棱台的体积．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB，∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，求出AB、BC，再利用棱台的体积公式求出体积即可．解答：解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，∠ABB1=45°．作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°，∴DB=DB1=AA1=a，∴AB=2a．由于棱台的两个底面相似，故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．∵B1C1=A1B1=a，AB=2a，∴BC=2a．∴S=A1B1×B1C1=．上S下=AB×BC=2a2．V棱台=•A1A•=•a•．点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．（10分）设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：方程思想．分析：因为{a n}是等差数列，所以用a1和d分别表示出b1，b2，b3，再结合题意列出关于a1、d的方程，求解即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．点评：本题考查了等差数列的性质和通项公式，考查了学生的运算能力和公式的灵活运用能力，难度中等．25．（12分）设a＞0，a≠1，解关于x的不等式考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：本题为解数型不等式，结合指数函数的单调性，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，再转化为解二次型不等式．解答：解法一原不等式可写成．①根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得x4﹣2x2+a2＜0，②由于0＜a＜1时，判别式△=4﹣4a2＞0，所以②式等价于③④解③式得x＜﹣或x＞，解④式得﹣＜x＜．所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}．（Ⅱ）当a＞1时，由①式得x4﹣2x2+a2＞0，⑤由于a＞1，判别式△＜0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为R综合得当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；当a＞1时，原不等式的解集为R．解法二原不等式可写成．①（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得x4﹣2x2+a2＜0，②分解因式得（x2﹣1+）（x2﹣1﹣）＜0．③④⑤即⑥⑦或解由④、⑤组成的不等式组得﹣＜x＜﹣．或＜x＜．由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；（Ⅱ）当a＞1时，由①式得x4﹣2x2+a2＞0，⑧配方得（x2﹣1）2+a2﹣1＞0，⑨对任意实数x，不等式⑨都成立，即a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣∞＜x＜+∞}．综合得当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}∪{x|＜x＜}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣∞＜x＜+∞}．点评：本题考查指数函数的性质、解不等式等知识点，注意分类讨论．26．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．解答：解：设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式，整理得（a2+b2）x2+2a2x+a2（1﹣b2）=0，③设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得整理得④⑤解这个方程组，得或根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或故所求椭圆的方程为，或点评：本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y 得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．。
(详细解析)1991年全国高考数学理科
1991年全国高考数学（理科 ）试题考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分．一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分． 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．5．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．6．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．7．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．8．如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为A ．(0,0),(6,)πB ．)0,3(),0,3(-C ．)0,3(),0,0(D ．)0,6(),0,0( 【答案】D【解析】曲线是椭圆，当0θ=时得8,a c θπ+==时得2a c -=，∴26c =，故焦点的极坐标为)0,6(),0,0(．9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．10．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上 是A ．增函数且最小值为5-B ．增函数且最大值为5-C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5- 【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．14．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．15．设全集为R ，()sin ,()cos f x x g x x ==，{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那 么集合{()()0}x f x g x =等于 A ．M N B ．M N C ．M N D ．M N【答案】D【解析】由题设{,},{,}2M x x k k Z N xx k k Z πππ=≠∈=≠+∈，则{()()0}x f x g x =，M N =．二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．11arctan arctan 32+的值是 ． 【答案】4π 【解析】由于1111tan(arctan )tan(arctan )113232tan(arctan arctan )11111321tan(arctan )tan(arctan )13232+++===-⋅-⋅，所以11arctan arctan 324π+=．17．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{21}x x -<<【解析】222206166xx xx +-+-<⇒<，得220x x +-<，解得解集是{21}x x -<<．18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45︒，那么这个正三棱台的体积等于 ． 【答案】314 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为3，故正三棱台的体积为114333V =⨯=．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ， 那么a = ．【答案】15+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以15a =+．20．在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===， 那么这个球面的面积是 ． 【答案】23a π【解析】因为球的直径等于以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线的长，从而2R =，故球面的面积为224)32S a ππ==球面．三．解答题：本大题共6小题；共60分． 21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 222(s i n c o s )2s i n c o s2c o s x xx x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 22)4x x x π=++=+． ——5分当sin(2)14x π+=-时y 取得最小值2= ——6分使y 取最小值的x 的集合为3{|,}8N x x k k Z ππ==-∈． ——8分【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模r ==．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分 23．（本小题满分10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =．求点B 到平面EFG 的距离．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．如图，连结,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于,H O ．因为ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，故//EF BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知//BD 平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分∵ BD AC ⊥，∴ EF HC ⊥．∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF GC ⊥， ∴EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK HG ⊥交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，2GC =，∴ AC HO HC ===．∴ 在Rt HCG ∆中，HG =．由于Rt HKO ∆和Rt HCG ∆有一个锐角是公共的，故Rt HKO Rt HCG ∆∆．∴11HO GC OK HG ⋅===． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．【编者注】本题用“等积代换”，即B EFG G EFB V V --=亦可． 24．（本小题满分10分）根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． 【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++ ——3分∵12x x <，∴120x x -<． ——4分当120x x <时，有22211221212()0x x x x x x x x ++=+->； ——6分当120x x ≥时，有2211220x x x x ++>；∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 证法二：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++． ——3分∵12x x <，∴120x x -<． ——4分∵12,x x 不同时为零，∴22120x x +>．又 ∵2222121212121()2x x x x x x x x +>+≥≥-，∴2211220x x x x ++>， ∴ 2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 25．（本小题满分12分）已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log 4log 12log a a a x x x -++121(2)(2)log log ()3n nn a a n x x a ---+->-．【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．利用对数换底公式，原不等式左端化为231log 4log 12log (2)log n n a a a a x x x n x --+++-11(2)[124(2)]log log 3nn a a x x ---=-+++-=故原不等式可化为21(2)1(2)log log ()33n na a x x a ---->-． ① 当n 为奇数时，1(2)03n-->，不等式①等价于2log log ()a a x x a >-． ② 因为1a >，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a xx x x ⎧>⇔<< ——6分因为102<，122+>=所以，不等式②的解集为1{|}2x x +<<． ——8分 当n 为偶数时，1(2)03n--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③ 因为1a >，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x xx x ⎧>⎪⇔⎨<⎪⎩ 或x x ⎧>⎪⎨>⎪⎩ ——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411 ——12分 所以，不等式③的解集为1{|}2x x >． 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是1{}2x x <<； 当n为偶数时，原不等式的解集是{|x x >．26．（本小题满分12分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于,P Q 两点．若,4OP OQ PQ ⊥=，求双曲线的方程．【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为22221x y a b-=．依题意知，点,P Q的坐标满足方程组)22221(x y a b y x c c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩其中将②式代入①式，整理得22222222(53)6(35)0b a x a cx a c b c -+-+=．③ ——3分设方程③的两个根为12,x x ，若2253b a =，则b a = 即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以22530b a -≠．根据根与系数的关系，有21222222212226533553a cx x b a a c a b x x b a ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩——6分由于,P Q在直线)y x c =-上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --． 由OP OQ ⊥121=-， 整理得212123()830c x x x x c +--=． ⑥将④，⑤式及222c a b =+代入⑥式，并整理得42243830a a b b +-=，2222(3)(3)0a b a b +-=．因为2230a b +≠，解得223b a =，所以2c a ==． ——8分由4PQ =，得2222121()))]4x x x c x c -+---=． 整理得21212()4100x x x x +--=． ⑦将④，⑤式及223b a =，2c a =代入⑦式，解得21a =． ——10分将21a =代入223b a = 得23b =． 故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得22122353a c x b a-+=-，22222353a c x b a --=- ④ ——6分由于,P Q 在直线)y x c =-上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --．由OP OQ ⊥，得1212))0x x x c x c +--=． ⑤ 将④式及222c a b =+代入⑤式并整理得42243830a a b b +-=，即2222(3)(3)0a b a b +-=．因2230a b +≠，解得223b a =． ——8分由4PQ =，得2222121()))]4x x x c x c -+---=． 即221()10x x -=． ⑥将④式代入⑥式并整理得22224(53)160b a a b --=． ——10分将223b a =代入上式，得21a =，将21a =代入223b a =得23b =．故所求双曲线方程为2213yx-=．——12分1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．。
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1991年全国高考数学（文科 ）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分） （1）已知54sin =α，并且是第二象限的角，那么αtg 的值等于 （ ） （A ）34- （B ）43- （C ）43 （D ）34（2）焦点在（-1，0）顶点在（1，0）的抛物线方程是 （ ）（A ）)1(82+=x y (B))1(82+-=x y (C))1(82-=x y (D) )1(82--=x y(3) 函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 （ ）（A ）2π（B ）π （C ）π2 （D ）π4 （4）点P （2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是 （ ）（A ）（5，2） （B ）（2，-5） （C ）（-5，-2） （D ）（-2，-5） （5）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （ ） （A ）12对 （B ）24对 （C ）36对 （D ）48对 （6）函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是 （ ） （A ）2π-=x （B ）4π-=x （C ）8π=x （D ）45π=x（7）如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 （ ） （A ）垂心 （B ）重心 （C ）外心 （D ）内心 （8）已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （9）已知函数)1,(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为 （ ） （A ）)1,(156≠∈-+=x R x x x y 且 （B ）)6,(65≠∈-+=x R x x x y 且 （C ）)65,(561-≠∈+-=x R x x x y 且 （D ）)5,(56-≠∈+-=x R x x x y 且 （10）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 （ ） （A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种（11）设甲、乙、丙是三个命题。
1991年全国高考数学(理科)试题
1991年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．43- B ．34- C ．34 D ．432.焦点在(1,0)-,顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．28(1)y x =+B ．28(1)y x =-+C ．28(1)y x =-D ．28(1)y x =--3.函数cos 4sin 4y x x =-的最小正周期是A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 4.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对5.函数5sin(2)2y x π=+的图像的一条对称轴的方程是 A ．2x π=- B ．4x π=- C ．8x π= D ．54x π= 6.如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相 等,且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内,那么O 是ABC ∆的A.垂心B.重心C.外心D.内心7.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅++⋅=,那么35a a +的值等于A.5B.10C.15D.208.如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为 A ．(0,0)，(6,)π B ．(3,0)-，(3,0)C ．(0,0)，(3,0)D ．(0,0)，(6,0)9.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有A.140种B.84种C.70种D.35种10.如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 12. 1111lim((1)(1)(1)(1))3452n n n →∞----+的值等于 A.0 B.1 C.2 D.313.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5,那么()f x 在区间[]7,3--上是A.增函数且最小值为5-B.增函数且最大值为5-C.减函数且最小值为5-D.减函数且最大值为5-14.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有A.1个B.2个C.3个D.4个15.设全集为R ,()sin f x x =,()cos g x x =,{}()0M x f x =≠,{}()0n x g x =≠,那么集合{}()()0x f x g x =等于 A ．M N B ．M N C ．M N D ．M N二、填空题:把答案填在题中横线上.16.11arctan arctan 32+的值是 . 17.不等式2261x x +-<的解集为 .18.已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是 45，那么这个正三棱台的体积等于 .19.在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么a = .20.在球面上有四个点,,,P A B C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA PB = PC a ==，那么这个球面的面积是 .三、解答题.21.求函数sin 22sin cos 3cos 2y x x x x =++的最小值,并写出使函数y 取最小值的x 的集合.22.已知复数1z i =+，求复数2361z z z -++的模和辐角主值. 23.已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =,求点B 到平面EFG 的距离.24.根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数.25.已知n 为自然数,实数1a >，解关于x 的不等式 23121(2)log 4log 12log (2)log log ()3n n n a a a a a x x x n x x a ----+++->-. 26.双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为,P Q 两点，若OP OQ ⊥,4PQ =,求双曲线的方程.。
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1991年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
【】
[Key]
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
常规卷和A型卷答案
(1)A
(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是
(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)
(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1)
【】
[Key] (2)D
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是
【】
[Key] (3)B
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有
(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对
【】
[Key] (4)B
【】
[Key] (5)A
(6)如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相
等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的
(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心
【】
[Key] (6)D
(7)已知{a n},且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
【】
[Key] (7)A
(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)
【】
[Key] (8)D
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有
(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种
【】
[Key] (9)C
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
【】
[Key] (10)C
(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【】
[Key] (11)A
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【】
[Key] (12)C
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是
(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5
(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5
【】
[Key] (13)B
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
【】
[Key] (14)C
(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于
【】
[Key] (15)D
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是
45°,那么这个正三棱台的体积等于 .
(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数
a>1,那么a= .
(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是 .
[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.
[Key] 三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
[Key] (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.
(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.
[Key] (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.
解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.
注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上
是减函数.
[Key] (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.
证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,
∵x1<x2,
∴x1-x2<0.
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,
∵x1<x2,
∴x1-x2<0.
∵x1,x2不同时为零,
即f(x2)<f(x1).
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
[Key] (25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.
解:利用对数换底公式,原不等式左端化为
因为a>1,②式等价于
log a x<log a(x2-a).
因为a>1,②式等价于
[Key] (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得
(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③
根据根与系数的关系,有
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0,
(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.
将a2 =1代入b2=3a2得b2=3.
解法二:④式以上同解法一.
将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0, 即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
即(x2-x1)2=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为。