结构动力学(2)

2 k
I )A( k ) 0
（ K ωk2 M)A( k ) 0 ( k 1,2, ,n )
5. 主振型的正交性
主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意 两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。
（ K ωi2 M)A( i ) 0 （ K ω2j M)A( j ) 0
1
2
ΔP
0
(14-47)
式中：Y0 [ y10 y20
yn0 ]T ，为位移幅值向量；
ΔP=[Δ1P Δ2P …ΔnP]T，为荷载幅值引起的静力位移列向量。
k
iP
ij FPj
i1
求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值 yi0 yi0为正时表示质量mi 的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负 时，表示与单位力方向相反。当 k (k 1, 2, , n) 时，K 2M 0，
4. 对称性的利用 振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振
动时荷载对称或反对称。
多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称， 可分别取半边结构进行计算。
对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下， 振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可 分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。
j)
0
( A( i ) )T M A( j ) 0
（主振型的第一正交性）
( A( i ) )T K A( j ) 0
（主振型的第二正交性）
主振型正交性的物理意义
(A( j) )T MA(i) 0
(A( j) )T KA(i) 0
在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的惯性力不 会在其他主振型上作功。
(A( j ) )（T K ωi2 M)A( i ) 0
(A( i ) )（T K ω2j M)A( j ) 0
(1)
(A( i ) )（T K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
(2)
又: K T K MT M
(1)式-(2)式得:
( i2
2 j
)(
A( i )
)T
M
A(
在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的弹性力不 会在其他主振型上作功。
相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上 去。
对于集中质量的多自由度体系，第一振型正交性可简化计算为：
n
( A( i ) )T M A( j )
m A A ( i ) ( j ) kk k
主振型正交性的作用： k1
1、运动微分方程： 柔度法
刚度法
Y + δMY = 0 MY KY 0 ( K 1 )
2、振幅方程:
(δM
1 ω2
I)A
=
0
3、频率方程:
1 δM - ω2 I = 0
（ K ω2 M)A 0 K ω2 M 0
求解上述方程得出n个自振频率 1，2 ，┅，n 。
4、各阶主振型为：
（
M
1
1、检验主振型计算的正确性。 2、将多自由度体系的受迫振动按振型进行分解。
§14-6 多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动
1．位移幅值计算
(1) 柔度法
建立的振动微分方程为
Y + δMY ΔP sint
稳态振动时的位移方程 Y Y 0 sint
（14-46）
稳态振动时的振幅方程
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δM
1
2
I
Y
0
(14-49) (14-50)
惯性力 FIi mi yi mi 2 yi0 sin t FIi0 sin t,
FIi0 mi 2 yi0 为惯性力幅值。 惯性力始终与位移同向。
(1) 求得位移后，由 FIi0 mi 2 yi0 求惯性力幅值。
(2) 如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯 性力幅值。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以， 一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。
对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为
(11m1
1
2
)
y10
12 m2
y20
1P
2
0
21m1 y10 (22m2
1
2
)
y20
2P
2
0
D m1 11 2 1 12m2 2 21m1 2 m2 22 2 1
D1
1 p 2 p
(14-48)
12m2 2 m2 22 2 1
D2
m1 11 2 1 21m1 2
1P 2 P
y10
D1 D
y20
D2 D
(2) 刚度法 建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上）
ΜY + ΚY = F sint
稳态振动时的振幅方程为
K 2M Y0 F
式中， F=[F1 F2 …Fn]T，为荷载幅值向量。 2．惯性力幅值计算
δ
1
2
M
1
F10
ΔP
0
两个自由度体系惯性力幅值计算公式
(14-51)
(11
F0
21 11
1
m1
(
2 )F101 12 F102
22
1
m2
2
) F102
1P 2P
0 0
(14-52)
求得惯性力幅值FI0如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处 的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。
3. 动内力幅值计算 位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时
达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力 学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。
多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且 不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采 用统一动力系数计算动力反应。