结构动力学(2)

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结构动力学第二章

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

第2章结构动力学概述(中英文)

动荷载的定义 definition of dynamic loadings
荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。 A dynamic load is any load of which its magnitude, direction, and/or position varies with time. In general, if the inertial forces represent a significant portion of the total load equilibrated by the internal elastic forces of the structure, then this kind of load is defined as dynamic loading.
动荷载：
Dynamic loading：any load of which its magnitude, direction
and /or position varies with time
快慢标准：是否会使结构产生显著的加速度. criteria： Whether a remarkable acceleration is exerted on the structure
静荷载 Static load 结构体系 Structural system 位移displacement 静力响应 Responses to static loads 内力internal force 应力stress
输入 input
输出 Output
大小 magnitude 方向 direction 作用点 position

结构动力学习题解答-2

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====第一章单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。

试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。

又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。

属于工程反问题的一种。

在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。

系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。

又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。

如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。

2、如何从物理意义上理解线性振动系统解的可叠加性。

求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。

复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。

4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。

固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。

圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。

即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。

它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。

一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。

系统的状态按照阻尼比ζ来划分。

把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。

2-1结构动力学(单自由度)

c 2 m
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t

y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为：惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1

y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v

t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )

结构动力学思考题解答

结构动力学思考题made by 云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。

运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。

2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。

意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。

3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。

5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。

思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。

依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。

2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。

结构动力学(克拉夫) 第二章分析动力学基础

第二章分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制。

N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。

• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图）与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束）与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零。

两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索与双向（约束方程为等式）：刚杆工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页）梁的挠度曲线用三角级数表示：广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数）非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。

结构力学(Ⅱ)教案

结构力学(Ⅱ)教案一、引言课程介绍：本课程是结构力学的高级课程，旨在加深学生对结构力学的基本概念、原理和方法的理解，掌握复杂结构体系的受力分析与设计方法。

目标：通过本章的学习，学生应能够理解并应用结构力学的原理，对复杂结构进行受力分析，并确定结构的稳定性与承载能力。

二、平面力系内容：平面力系的合成与分解，力的平衡条件，力矩与力偶矩，平面力系的平衡方程。

目标：学生应能够进行平面力系的合成与分解，应用平衡条件解决力矩问题，并利用平衡方程求解复杂力系的平衡。

三、空间力系内容：空间力系的合成与分解，空间力系的平衡条件，空间力矩与力偶矩，空间力系的平衡方程，自由度的概念。

目标：学生应能够进行空间力系的合成与分解，解决空间力矩问题，利用平衡方程求解复杂空间力系的平衡，并理解结构体系中自由度的概念。

四、轴向力与剪力内容：轴向力的概念，剪力的概念，轴向力与剪力的计算，剪力图的绘制。

目标：学生应能够理解轴向力和剪力的概念，计算简单结构中的轴向力和剪力，并绘制剪力图以分析结构的受力情况。

五、弯曲力与弯矩内容：弯曲力的概念，弯矩的概念，弯曲力与弯矩的计算，弯矩图的绘制。

目标：学生应能够理解弯曲力和弯矩的概念，计算简单结构中的弯曲力和弯矩，并绘制弯矩图以分析结构的受力情况。

六、扭转内容：扭转的概念，扭转力矩的概念，扭转力矩的计算，扭转剪切应力与扭转应变，扭转弹性稳定性的概念。

目标：学生应能够理解扭转的概念和扭转力矩的概念，计算简单杆件的扭转力矩，分析扭转剪切应力和扭转应变，理解扭转弹性稳定性的概念。

七、剪力墙与框架结构内容：剪力墙的概念和特点，框架结构的概念和特点，剪力墙和框架结构的受力分析，剪力墙和框架结构的承载力计算。

目标：学生应能够理解剪力墙和框架结构的概念和特点，进行剪力墙和框架结构的受力分析，计算剪力墙和框架结构的承载力。

八、空间结构内容：空间结构的概念，空间结构的受力分析，空间结构的承载力计算，空间结构的设计方法。

《结构力学》结构动力学(2)

为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下，与之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着增加增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着增加减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5）时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和的差别很小。

于开平-结构动力学第二讲

(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
��ሷ 1 + ��ሶ 1 + ��1 = ��0 sin�� 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ��ሷ 2 + �� ሶ 2 + ��2 = ��0 cos�� （2）（1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为�� = �� ，代入运动控制方程得： (−��2 �� + �� + �� )�� = ��0 �� 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数�� 前系数相等，由此可得： �� = ��0 �� − �� 2 + ��

高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)

a J
Φ
a p b Φ J b {0} p

[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综合总体结构的动态特性总系统（n个自由度）子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI

结构动力学-2(哈工大结构动力学)

m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
令 c / 2m y 2y 2 y 0
设 y(t) Aet
2 2 2 0 特征方程
根为 i 1 2 由初始条件
小阻尼情况
y(0) y0 , y(0) v0
1 (c 2m)
c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0
k
k
k
PROBLEMS：
3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系运动方程
y(t) 11[my(t)] k11y(t) my(t) 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
m
my(t)
y(t)
l EI
km
运动方程的通解 y(t) c1 cost c2 sin t
令 D 1 2
方程的通解为
y(t) Aet sin( Dt D )
A
y02
( v0
y0 D
)2
y(t) et (c1 sin Dt c2 cosDt) tan D y0D /(v0 y0 )

结构动力学第二版教学设计

结构动力学第二版教学设计一、教学目标本课程是结构工程专业中的重要专业课程之一，旨在培养学生具备结构动力学相关知识，能够独立完成复杂结构的动力学计算和分析。

本次教学目标包括：1.掌握结构的动力学分析方法和原理；2.熟悉结构的扭转、悬链线、弹性振动等动力学特性；3.学会运用结构动力学软件计算单自由度和多自由度结构的响应。

二、教学内容1. 动力学基础1.1 动力学的概念和分类；1.2 单自由度和多自由度动力学系统的基本特征；1.3 低阶和高阶模态及其特点；1.4 等效线性化方法和时间积分法。

2. 结构的扭转、悬链线、弹性振动2.1 扭转振动的分析方法；2.2 悬链线振动的分析方法；2.3 弹性振动的分析方法。

3. 结构动力学软件3.1 常用的结构动力学软件及其功能；3.2 单自由度和多自由度结构的响应计算实例。

三、教学方法授课采用理论讲解、实例分析、结构动力学软件实验和课堂互动等多种教学方法。

其中，对于动力学基础部分的讲解，将结合实例演示，以帮助学生更加直观地理解和掌握基本概念和特征；对于结构动力学软件部分，将设置针对性课程实验，让学生有机会通过实际操作掌握软件使用方法。

此外，教师将对学生提出的问题和难点进行解答和剖析，以巩固学生对知识点的掌握和理解。

四、教学评估为了确保教学效果，本课程将设置期中考试和期末考试两个考核环节。

其中期中考试占总评成绩的30%，主要考核基础知识理解和运用能力；期末考试占总评成绩的70%，主要考核学生对于整个课程的综合理解和能力掌握情况。

此外，课程还将设置结构动力学软件实验环节，并对学生实验成绩进行评估，用于辅助考核。

五、教学资源为了让学生更好地理解结构动力学知识和方法，教材采用了结构动力学相关领域内公认的经典教材《结构动力学（第二版）》；课程还将设置相关结构动力学软件实验，以便学生更好地掌握软件的运用方法。

六、教学进度本课程为64学时的专业课程，具体教学进度安排如下：教学单元学时数动力学基础16扭转、悬链线、弹性振动24结构动力学软件16课堂练习和实验8合计64学时七、总结通过本次结构动力学的教学，学生将能够全面掌握结构动力学相关的基础知识、分析方法和软件工具的使用，为将来从事结构工程实践打下深厚的基础。

结构力学：第十章结构动力学2

ae-ξωt t
低阻尼y- t曲线
t
无阻尼y- t曲线
②阻尼对振幅的影响.
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
yk1 eT 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
ln yk lneT T 2 称为振幅的对数递减率.
yk1
r
如 0.2 则 r 1, 1 r ln yk 1 ln yk
令
k m
,
c 2m ( 阻尼比）
y 2 y 2 y 0(15.16)
k m y
cy ky
c y
my
设解为：y(t) Celt 特征方程为：l2 2l 2 0
1)ξ<1（低阻尼）情况
l ( ± 2 1)
l ir 其中 r 1 2
y et C1 cosrt C2 sinrt
低阻尼体系的自振圆频率
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
平稳阶段：
y
yst
1
1
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
§10-3 单自由度体系的受迫振动
受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
y(t)
k
m
m
P(t ) P(t )
myky P(t)(a)
y 2 y P(t) (15.24)
m
一、简谐荷载：
77613m86l El3I2l
5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
192EI ml3

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4. 对称性的利用振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振
动时荷载对称或反对称。
多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。
对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。
(A( j ) )（T K ωi2 M)A( i ) 0
(A( i ) )（T K ω2j M)A( j ) 0
(1)
(A( i ) )（T K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
(2)
又: K T K MT M
(1)式-(2)式得:
( i22 j)(源自A( i ))TM
A(
3. 动内力幅值计算位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时
达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。
多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采用统一动力系数计算动力反应。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。
对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为
(11m1
1
2
)
y10
12 m2
y20
1P
2
0
21m1 y10 (22m2
1
2
)
y20
2P
2
0
D m1 11 2 1 12m2 2 21m1 2 m2 22 2 1
1
2
ΔP
0
(14-47)
式中：Y0 [ y10 y20
yn0 ]T ，为位移幅值向量；
ΔP=[Δ1P Δ2P …ΔnP]T，为荷载幅值引起的静力位移列向量。
k
iP
ij FPj
i1
求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值 yi0 yi0为正时表示质量mi 的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。当 k (k 1, 2, , n) 时，K 2M 0，
1、检验主振型计算的正确性。 2、将多自由度体系的受迫振动按振型进行分解。
§14-6 多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动
1．位移幅值计算
(1) 柔度法
建立的振动微分方程为
Y + δMY ΔP sint
稳态振动时的位移方程 Y Y 0 sint
（14-46）
稳态振动时的振幅方程
δM
1
2
I
Y
0
(14-49) (14-50)
惯性力 FIi mi yi mi 2 yi0 sin t FIi0 sin t,
FIi0 mi 2 yi0 为惯性力幅值。惯性力始终与位移同向。
(1) 求得位移后，由 FIi0 mi 2 yi0 求惯性力幅值。
(2) 如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯性力幅值。
在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上作功。
相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去。
对于集中质量的多自由度体系，第一振型正交性可简化计算为：
n
( A( i ) )T M A( j )
m A A ( i ) ( j ) kk k
主振型正交性的作用： k1
δ
1
2
M
1
F10
ΔP
0
两个自由度体系惯性力幅值计算公式
(14-51)
(11
F0
21 11
1
m1
(
2 )F101 12 F102
22
1
m2
2
) F102
1P 2P
0 0
(14-52)
求得惯性力幅值FI0如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。
1、运动微分方程：柔度法
刚度法
Y + δMY = 0 MY KY 0 ( K 1 )
2、振幅方程:
(δM
1 ω2
I)A
=
0
3、频率方程:
1 δM - ω2 I = 0
（ K ω2 M)A 0 K ω2 M 0
求解上述方程得出n个自振频率 1，2 ，┅，n 。
4、各阶主振型为：
（
M
1
2 k
I )A( k ) 0
（ K ωk2 M)A( k ) 0 ( k 1,2, ,n )
5. 主振型的正交性
主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。
（ K ωi2 M)A( i ) 0 （ K ω2j M)A( j ) 0
D1
1 p 2 p
(14-48)
12m2 2 m2 22 2 1
D2
m1 11 2 1 21m1 2
1P 2 P
y10
D1 D
y20
D2 D
(2) 刚度法建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上）
ΜY + ΚY = F sint
稳态振动时的振幅方程为
K 2M Y0 F
式中， F=[F1 F2 …Fn]T，为荷载幅值向量。 2．惯性力幅值计算
j)
0
( A( i ) )T M A( j ) 0
（主振型的第一正交性）
( A( i ) )T K A( j ) 0
（主振型的第二正交性）
主振型正交性的物理意义
(A( j) )T MA(i) 0
(A( j) )T KA(i) 0
在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上作功。